voltageequation4

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1. 同期モータの電圧方程式 ー④d,q軸鎖交磁束を用いた導出 大阪府立大学 工学研究科 清水 悠生
2. 2 本記事を読む前に ✓ 本記事はこちらの続きです ✓ 同期モータの電圧方程式③ ✓ https://yuyumoyuyu.com/2020/10/25/voltageequation3/
3. 3 同期モータの電圧方程式 ✓ 平衡3相交流駆動の同期モータを考える 𝑣𝑢 𝑣𝑣 𝑣𝑤 = 𝑅𝑎 𝑖𝑢 𝑖𝑣 𝑖𝑤 + 𝑑 𝑑𝑡 𝛹𝑢 𝛹𝑣 𝛹𝑤 𝑣𝑢 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑤 ：u,v,w相電圧 𝑖𝑢 , 𝑖𝑣 , 𝑖𝑤 ：u,v,w相電流 𝛹𝑢 , 𝛹𝑣 , 𝛹𝑤 ：u,v,w相電機子鎖交磁束 𝑅𝑎 ：電機子抵抗 u相コイル u v w u相鎖交磁束 u相電圧 u相電流 v相 w相 電機子抵抗 ロータ ステータ
4. 4 本記事の目標 ✓ 電圧方程式の3相座標系⇒d-q座標系の変換を 鎖交磁束ベースで行う 𝑣𝑢 𝑣𝑣 𝑣𝑤 = 𝑅𝑎 𝑖𝑢 𝑖𝑣 𝑖𝑤 + 𝑑 𝑑𝑡 𝛹𝑢 𝛹𝑣 𝛹𝑤 𝑣𝑢 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑤 ：u,v,w相電圧 𝑖𝑢 , 𝑖𝑣 , 𝑖𝑤 ：u,v,w相電流 𝛹𝑢 , 𝛹𝑣 , 𝛹𝑤 ：u,v,w相電機子鎖交磁束 𝑅𝑎 ：電機子抵抗 ✓ 前回使用したインダクタンス行列と界磁磁束ベクトルは 本記事（の前半）では使用しない
5. 5 電圧方程式の計算 ✓ 電圧方程式の両辺に変換行列 C を左から掛ける ✓ この時点で変換行列は3相⇒α-β/d-qのどちらでも良い 𝑪 𝑣𝑢 𝑣𝑣 𝑣𝑤 = 𝑪𝑅𝑎 𝑖𝑢 𝑖𝑣 𝑖𝑤 + 𝑪 𝑑 𝑑𝑡 𝛹𝑢 𝛹𝑣 𝛹𝑤 = 𝑪𝑅𝑎 𝑖𝑢 𝑖𝑣 𝑖𝑤 + 𝑑 𝑑𝑡 𝑪 𝛹𝑢 𝛹𝑣 𝛹𝑤 − 𝑑 𝑑𝑡 𝑪 𝛹𝑢 𝛹𝑣 𝛹𝑤 ✓ 変換行列に関してはこちら↓を参照 ✓ https://yuyumoyuyu.com/2020/07/12/dqrotatingcoordinate2/ 行列の積の微分公式より 𝑑 𝑑𝑡 𝑨𝑩 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑨 𝑩 + 𝑨 𝑑 𝑑𝑡 𝑩 ⇔ 𝑨 𝑑 𝑑𝑡 𝑩 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑨𝑩 − 𝑑 𝑑𝑡 𝑨 𝑩
6. 6 3相座標系⇒α-β座標系の場合 ✓ 3相⇒α-β（絶対変換）の場合は変換行列が 時間に依存しないのでそのまま計算する 𝑪 𝑣𝑢 𝑣𝑣 𝑣𝑤 = 𝑪𝑅𝑎 𝑖𝑢 𝑖𝑣 𝑖𝑤 + 𝑑 𝑑𝑡 𝑪 𝛹𝑢 𝛹𝑣 𝛹𝑤 − 𝑑 𝑑𝑡 𝑪 𝛹𝑢 𝛹𝑣 𝛹𝑤 ⟺ 𝑣𝛼 𝑣𝛽 = 𝑅𝑎 𝑖𝛼 𝑖𝛽 + 𝑑 𝑑𝑡 𝛹𝛼 𝛹𝛽 3相⇒α-βの場合 𝑪 = 𝑪2 = 2 3 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 , 𝑑 𝑑𝑡 𝑪 = 0 0 0 0 0 0 であるから =0 𝑣𝛼 , 𝑣𝛽 ：α,β相電圧 𝑖𝛼 , 𝑖𝛽 ：α,β相電流 𝛹𝛼 , 𝛹𝛽 ：α,β相電機子鎖交磁束
7. 7 α-β座標系⇒d-q回転座標系の場合(1/2) ✓ α-β⇒d-qの場合は変換行列の時間微分を計算する必要あり α-β⇒d-qの場合 𝑪 = 𝑪3 = cos(𝜔𝑡) sin(𝜔𝑡) −sin(𝜔𝑡) cos(𝜔𝑡) = 𝑪𝒖 𝑪𝒍 𝑑 𝑑𝑡 𝑪 = 𝜔 −sin(𝜔𝑡) cos(𝜔𝑡) −cos(𝜔𝑡) −sin(𝜔𝑡) = 𝜔 𝑪𝒍 −𝑪𝒖 とおくと となる
8. 8 α-β座標系⇒d-q回転座標系の場合(2/2) ✓ 計算すると，鎖交磁束表現の電圧方程式が求まる 𝑪 𝑣𝑢 𝑣𝑣 𝑣𝑤 = 𝑪𝑅𝑎 𝑖𝑢 𝑖𝑣 𝑖𝑤 + 𝑑 𝑑𝑡 𝑪 𝛹𝑢 𝛹𝑣 𝛹𝑤 − 𝑑 𝑑𝑡 𝑪 𝛹𝑢 𝛹𝑣 𝛹𝑤 ⟺ 𝑣𝑑 𝑣𝑞 = 𝑅𝑎 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + 𝑑 𝑑𝑡 𝛹𝑑 𝛹𝑞 − 𝜔 𝑪𝒍 −𝑪𝒖 𝛹𝑢 𝛹𝑣 𝛹𝑤 = 𝑅𝑎 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + 𝑑 𝑑𝑡 𝛹𝑑 𝛹𝑞 + 𝜔 −𝛹𝑞 𝛹𝑑 𝑑 𝑑𝑡 𝑪 = 𝜔 −sin(𝜔𝑡) cos(𝜔𝑡) −cos(𝜔𝑡) −sin(𝜔𝑡) = 𝜔 𝑪𝒍 −𝑪𝒖 𝑣𝑑 , 𝑣𝑞 ：d,q相電圧 𝑖𝑑 , 𝑖𝑞 ：d,q相電流 𝛹𝑑 , 𝛹𝑞 ：d,q相電機子鎖交磁束 より 𝛹𝑑 𝛹𝑞 = 𝑪 𝛹𝑢 𝛹𝑣 𝛹𝑤 = 𝑪𝒖 𝛹𝑢 𝛹𝑣 𝛹𝑤 𝑪𝒍 𝛹𝑢 𝛹𝑣 𝛹𝑤
9. 9 電圧方程式の解釈 ✓ 電圧方程式は以下のように解釈可能 𝑣𝑑 𝑣𝑞 = 𝑅𝑎 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + 𝑑 𝑑𝑡 𝛹𝑑 𝛹𝑞 + 𝜔 −𝛹𝑞 𝛹𝑑 電圧降下 定常状態の誘導起電力 非定常状態 の誘導起電力 ✓ つづいて，この方程式からインダクタンス表現の 電圧方程式を導出してみます
10. 10 u,v,w相鎖交磁束 ✓ u,v,w相磁束鎖交数ベクトルは次式の通り 𝛹𝑢 𝛹𝑣 𝛹𝑤 = 𝐿𝑢 𝑀𝑣𝑢 𝑀𝑤𝑢 𝑀𝑢𝑣 𝐿𝑣 𝑀𝑤𝑣 𝑀𝑢𝑤 𝑀𝑣𝑤 𝐿𝑤 𝑖𝑢 𝑖𝑣 𝑖𝑤 + 𝛹𝑓 cos 𝜔𝑡 𝛹𝑓 cos 𝜔𝑡 − 2𝜋 3 𝛹𝑓 cos 𝜔𝑡 + 2𝜋 3 インダクタンス行列 界磁磁束ベクトル u相 u軸 v軸 w軸 界磁磁束 𝛹𝑓 回転子位置 𝜔𝑡 (電気角) 界磁磁束の u相成分 𝛹𝑓 cos 𝜔𝑡
11. 11 3相座標系におけるインダクタンス ✓ 3相座標系における自己インダクタンス， 相互インダクタンスは次式のように定義 ✓ 自己インダクタンス ✓ 相互インダクタンス 𝑀𝑢𝑣 = 𝑀𝑣𝑢 = − 1 2 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 − 2𝜋 3 𝑀𝑣𝑤 = 𝑀𝑤𝑣 = − 1 2 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 𝑀𝑤𝑢 = 𝑀𝑢𝑤 = − 1 2 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 + 2𝜋 3 𝐿𝑢 = 𝑙𝑎 + 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 𝐿𝑣 = 𝑙𝑎 + 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 + 2𝜋 3 𝐿𝑤 = 𝑙𝑎 + 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 − 2𝜋 3 ✓ 詳細はこちら↓を参照 ✓ https://yuyumoyuyu.com/2020/10/11/voltageequation/
12. 12 鎖交磁束の3相座標系⇒α-β座標系の変換(1/4) ✓ 両辺に変換行列 𝑪2 を左から掛ける 𝑪2 𝛹𝑢 𝛹𝑣 𝛹𝑤 = 𝑪2 𝐿𝑢 𝑀𝑣𝑢 𝑀𝑤𝑢 𝑀𝑢𝑣 𝐿𝑣 𝑀𝑤𝑣 𝑀𝑢𝑤 𝑀𝑣𝑤 𝐿𝑤 𝑪2 𝑇𝑪2 𝑖𝑢 𝑖𝑣 𝑖𝑤 + 𝑪2 𝛹𝑓 cos 𝜔𝑡 𝛹𝑓 cos 𝜔𝑡 − 2𝜋 3 𝛹𝑓 cos 𝜔𝑡 + 2𝜋 3 ⟺ 𝛹𝛼 𝛹𝛽 = 𝑪2 𝐿𝑢 𝑀𝑣𝑢 𝑀𝑤𝑢 𝑀𝑢𝑣 𝐿𝑣 𝑀𝑤𝑣 𝑀𝑢𝑤 𝑀𝑣𝑤 𝐿𝑤 𝑪2 𝑇 𝑖𝛼 𝑖𝛽 + 𝑪2 𝛹𝑓 cos 𝜔𝑡 𝛹𝑓 cos 𝜔𝑡 − 2𝜋 3 𝛹𝑓 cos 𝜔𝑡 + 2𝜋 3 定義より 𝑪𝟐 𝑻𝑪𝟐 = 𝑰 𝑪2 = 3 2 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2
13. 13 鎖交磁束の3相座標系⇒α-β座標系の変換(2/4) ✓ インダクタンス行列を計算する 𝑪2 𝐿𝑢 𝑀𝑣𝑢 𝑀𝑤𝑢 𝑀𝑢𝑣 𝐿𝑣 𝑀𝑤𝑣 𝑀𝑢𝑤 𝑀𝑣𝑤 𝐿𝑤 𝑪2 𝑇 = 2 3 𝐿𝑢 + 1 6 𝐿𝑣 + 1 6 𝐿𝑤 − 2 3 𝑀𝑢𝑣 − 2 3 𝑀𝑢𝑤 + 1 3 𝑀𝑣𝑤 − 1 2 3 𝐿𝑣 + 1 2 3 𝐿𝑤 + 1 3 𝑀𝑣𝑢 − 1 3 𝑀𝑤𝑢 − 1 2 3 𝐿𝑣 + 1 2 3 𝐿𝑤 + 1 3 𝑀𝑣𝑢 − 1 3 𝑀𝑤𝑢 1 2 𝐿𝑣 + 1 2 𝐿𝑤 − 𝑀𝑤𝑣 = 𝑙𝑎 + 3 2 𝐿𝑎 − 3 2 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 − 3𝐿𝑎𝑠 2 sin 2𝜔𝑡 − 3𝐿𝑎𝑠 2 sin 2𝜔𝑡 𝑙𝑎 + 3 2 𝐿𝑎 + 3 2 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 = 𝐿0 + 𝐿1 cos 2𝜔𝑡 𝐿1 sin 2𝜔𝑡 𝐿1 sin 2𝜔𝑡 𝐿0 − 𝐿1 cos 2𝜔𝑡 ✓ この式変形は↓のp.8-10,12の結果を利用 ✓ https://yuyumoyuyu.com/2020/10/18/voltageequation2/
14. 14 鎖交磁束の3相座標系⇒α-β座標系の変換(3/4) ✓ 界磁磁束ベクトルを計算する 𝑪2 𝛹𝑓 cos 𝜔𝑡 𝛹𝑓 cos 𝜔𝑡 − 2𝜋 3 𝛹𝑓 cos 𝜔𝑡 + 2𝜋 3 = 2 3 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 𝛹𝑓 cos 𝜔𝑡 𝛹𝑓 cos 𝜔𝑡 − 2𝜋 3 𝛹𝑓 cos 𝜔𝑡 + 2𝜋 3 = 2 3 𝛹𝑓 cos 𝜔𝑡 − 1 2 cos 𝜔𝑡 − 2𝜋 3 − 1 2 cos 𝜔𝑡 + 2𝜋 3 3 2 cos 𝜔𝑡 − 2𝜋 3 − 3 2 cos 𝜔𝑡 + 2𝜋 3 = 3 2 𝛹𝑓 cos 𝜔𝑡 sin 𝜔𝑡 = 𝛹𝑎 cos 𝜔𝑡 sin 𝜔𝑡 +和積の公式 cos 𝜔𝑡 + cos 𝜔𝑡 − 2𝜋 3 + cos 𝜔𝑡 + 2𝜋 3 = 0
15. 15 鎖交磁束の3相座標系⇒α-β座標系の変換(4/4) ✓ まとめると，α-β座標系の鎖交磁束は次式 𝛹𝛼 𝛹𝛽 = 𝐿0 + 𝐿1 cos 2𝜔𝑡 𝐿1 sin 2𝜔𝑡 𝐿1 sin 2𝜔𝑡 𝐿0 − 𝐿1 cos 2𝜔𝑡 𝑖𝛼 𝑖𝛽 + 𝛹𝑎 cos 𝜔𝑡 sin 𝜔𝑡
16. 16 鎖交磁束のα-β座標系⇒d-q回転座標系の変換 ✓ 両辺に変換行列 𝑪3 を左から掛ける 𝑪3 𝛹𝛼 𝛹𝛽 = 𝑪3 𝐿0 + 𝐿1 cos 2𝜔𝑡 𝐿1 sin 2𝜔𝑡 𝐿1 sin 2𝜔𝑡 𝐿0 − 𝐿1 cos 2𝜔𝑡 𝑪3 𝑇𝑪3 𝑖𝛼 𝑖𝛽 + 𝛹𝑎 𝑪3 cos 𝜔𝑡 sin 𝜔𝑡 ⇔ 𝛹𝑑 𝛹𝑞 = 𝑪3 𝐿0 + 𝐿1 cos 2𝜔𝑡 𝐿1 sin 2𝜔𝑡 𝐿1 sin 2𝜔𝑡 𝐿0 − 𝐿1 cos 2𝜔𝑡 𝑪3 𝑇 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + 𝛹𝑎 𝑪3 cos 𝜔𝑡 sin 𝜔𝑡 = 𝐿0 𝑪3 1 0 0 1 𝑪3 𝑇 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + 𝐿1 𝑪3 cos 2𝜔𝑡 sin 2𝜔𝑡 sin 2𝜔𝑡 −cos 2𝜔𝑡 𝑪3 𝑇 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + 𝛹𝑎 1 0 𝑪3 1 0 0 1 𝑪3 𝑇 = 𝑪3 𝑪3 𝑇 = 1 0 0 1 𝑪3 cos 2𝜔𝑡 sin 2𝜔𝑡 sin 2𝜔𝑡 −cos 2𝜔𝑡 𝑪3 𝑇 = cos 𝜔𝑡 sin 𝜔𝑡 sin 𝜔𝑡 −cos 𝜔𝑡 𝑪3 𝑇 = 1 0 0 −1 = 𝐿0 + 𝐿1 0 0 𝐿0 − 𝐿1 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + 𝛹𝑎 0 = 𝐿𝑑 0 0 𝐿𝑞 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + 𝛹𝑎 0 𝑪3 = cos(𝜔𝑡) sin(𝜔𝑡) −sin(𝜔𝑡) cos(𝜔𝑡) 絶対変換の定義 加法定理 ✓ 鎖交磁束をd-q回転座標系に変換できた！ 𝐿𝑑 : = 𝐿0 + 𝐿1 𝐿𝑞 : = 𝐿0 − 𝐿1
17. 17 もとの電圧方程式に代入する ✓ 導出した鎖交磁束式をもとの電圧方程式に代入する 𝑣𝑑 𝑣𝑞 = 𝑅𝑎 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + 𝑑 𝑑𝑡 𝛹𝑑 𝛹𝑞 + 𝜔 −𝛹𝑞 𝛹𝑑 = 𝑅𝑎 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + 𝑑 𝑑𝑡 𝐿𝑑 𝑖𝑑 + 𝛹𝑎 𝐿𝑞 𝑖𝑞 + 𝜔 −𝐿𝑞 𝑖𝑞 𝐿𝑑 𝑖𝑑 + 𝛹𝑎 = 𝑅𝑎 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + 𝐿𝑑 0 0 𝐿𝑞 𝑑 𝑑𝑡 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + −𝜔𝐿𝑞 𝑖𝑞 𝜔𝐿𝑑 𝑖𝑑 + 𝜔𝛹𝑎 ✓ こちらの記事↓で導出した電圧方程式と同じ結果に！ ✓ https://yuyumoyuyu.com/2020/10/25/voltageequation3/ ✓ 鎖交磁束を介した方が計算量が少ない 𝛹𝑑 𝛹𝑞 = 𝐿𝑑 0 0 𝐿𝑞 𝑖𝑑 𝑖𝑞 + 𝛹𝑎 0