同期モータの電圧方程式ー④d,q軸鎖交磁束を用いた導出大阪府立大学 工学研究科清水 悠生
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2本記事を読む前に✓ 本記事はこちらの続きです✓ 同期モータの電圧方程式③✓ https://yuyumoyuyu.com/2020/10/25/voltageequation3/
3同期モータの電圧方程式✓ 平衡3相交流駆動の同期モータを考える𝑣𝑢𝑣𝑣𝑣𝑤= 𝑅𝑎𝑖𝑢𝑖𝑣𝑖𝑤+𝑑𝑑𝑡𝛹𝑢𝛹𝑣𝛹𝑤𝑣𝑢, 𝑣𝑣, 𝑣𝑤：u,v,w相電圧𝑖𝑢, 𝑖𝑣, 𝑖𝑤：u,v,w相電流𝛹𝑢, 𝛹𝑣, 𝛹𝑤：u,v,w相電機子鎖交磁束𝑅𝑎：電機子抵抗u相コイルuvwu相鎖交磁束u相電圧u相電流v相w相電機子抵抗ロータステータ
4本記事の目標✓ 電圧方程式の3相座標系⇒d-q座標系の変換を鎖交磁束ベースで行う𝑣𝑢𝑣𝑣𝑣𝑤= 𝑅𝑎𝑖𝑢𝑖𝑣𝑖𝑤+𝑑𝑑𝑡𝛹𝑢𝛹𝑣𝛹𝑤𝑣𝑢, 𝑣𝑣, 𝑣𝑤：u,v,w相電圧𝑖𝑢, 𝑖𝑣, 𝑖𝑤：u,v,w相電流𝛹𝑢, 𝛹𝑣, 𝛹𝑤：u,v,w相電機子鎖交磁束𝑅𝑎：電機子抵抗✓ 前回使用したインダクタンス行列と界磁磁束ベクトルは本記事（の前半）では使用しない
5電圧方程式の計算✓ 電圧方程式の両辺に変換行列 C を左から掛ける✓ この時点で変換行列は3相⇒α-β/d-qのどちらでも良い𝑪𝑣𝑢𝑣𝑣𝑣𝑤= 𝑪𝑅𝑎𝑖𝑢𝑖𝑣𝑖𝑤+ 𝑪𝑑𝑑𝑡𝛹𝑢𝛹𝑣𝛹𝑤= 𝑪𝑅𝑎𝑖𝑢𝑖𝑣𝑖𝑤+𝑑𝑑𝑡𝑪𝛹𝑢𝛹𝑣𝛹𝑤−𝑑𝑑𝑡𝑪𝛹𝑢𝛹𝑣𝛹𝑤✓ 変換行列に関してはこちら↓を参照✓ https://yuyumoyuyu.com/2020/07/12/dqrotatingcoordinate2/行列の積の微分公式より𝑑𝑑𝑡𝑨𝑩 =𝑑𝑑𝑡𝑨 𝑩 + 𝑨𝑑𝑑𝑡𝑩⇔ 𝑨𝑑𝑑𝑡𝑩 =𝑑𝑑𝑡𝑨𝑩 −𝑑𝑑𝑡𝑨 𝑩
63相座標系⇒α-β座標系の場合✓ 3相⇒α-β（絶対変換）の場合は変換行列が時間に依存しないのでそのまま計算する𝑪𝑣𝑢𝑣𝑣𝑣𝑤= 𝑪𝑅𝑎𝑖𝑢𝑖𝑣𝑖𝑤+𝑑𝑑𝑡𝑪𝛹𝑢𝛹𝑣𝛹𝑤−𝑑𝑑𝑡𝑪𝛹𝑢𝛹𝑣𝛹𝑤⟺𝑣𝛼𝑣𝛽= 𝑅𝑎𝑖𝛼𝑖𝛽+𝑑𝑑𝑡𝛹𝛼𝛹𝛽3相⇒α-βの場合𝑪 = 𝑪2=231 −12−12032−32,𝑑𝑑𝑡𝑪 =0 0 00 0 0であるから=0𝑣𝛼, 𝑣𝛽：α,β相電圧𝑖𝛼, 𝑖𝛽：α,β相電流𝛹𝛼, 𝛹𝛽：α,β相電機子鎖交磁束
7α-β座標系⇒d-q回転座標系の場合(1/2)✓ α-β⇒d-qの場合は変換行列の時間微分を計算する必要ありα-β⇒d-qの場合𝑪 = 𝑪3=cos(𝜔𝑡) sin(𝜔𝑡)−sin(𝜔𝑡) cos(𝜔𝑡)=𝑪𝒖𝑪𝒍𝑑𝑑𝑡𝑪 = 𝜔−sin(𝜔𝑡) cos(𝜔𝑡)−cos(𝜔𝑡) −sin(𝜔𝑡)= 𝜔𝑪𝒍−𝑪𝒖とおくととなる
8α-β座標系⇒d-q回転座標系の場合(2/2)✓ 計算すると，鎖交磁束表現の電圧方程式が求まる𝑪𝑣𝑢𝑣𝑣𝑣𝑤= 𝑪𝑅𝑎𝑖𝑢𝑖𝑣𝑖𝑤+𝑑𝑑𝑡𝑪𝛹𝑢𝛹𝑣𝛹𝑤−𝑑𝑑𝑡𝑪𝛹𝑢𝛹𝑣𝛹𝑤⟺𝑣𝑑𝑣𝑞= 𝑅𝑎𝑖𝑑𝑖𝑞+𝑑𝑑𝑡𝛹𝑑𝛹𝑞− 𝜔𝑪𝒍−𝑪𝒖𝛹𝑢𝛹𝑣𝛹𝑤= 𝑅𝑎𝑖𝑑𝑖𝑞+𝑑𝑑𝑡𝛹𝑑𝛹𝑞+ 𝜔−𝛹𝑞𝛹𝑑𝑑𝑑𝑡𝑪 = 𝜔−sin(𝜔𝑡) cos(𝜔𝑡)−cos(𝜔𝑡) −sin(𝜔𝑡)= 𝜔𝑪𝒍−𝑪𝒖𝑣𝑑, 𝑣𝑞：d,q相電圧𝑖𝑑, 𝑖𝑞：d,q相電流𝛹𝑑, 𝛹𝑞：d,q相電機子鎖交磁束より𝛹𝑑𝛹𝑞= 𝑪𝛹𝑢𝛹𝑣𝛹𝑤=𝑪𝒖𝛹𝑢𝛹𝑣𝛹𝑤𝑪𝒍𝛹𝑢𝛹𝑣𝛹𝑤
9電圧方程式の解釈✓ 電圧方程式は以下のように解釈可能𝑣𝑑𝑣𝑞= 𝑅𝑎𝑖𝑑𝑖𝑞+𝑑𝑑𝑡𝛹𝑑𝛹𝑞+ 𝜔−𝛹𝑞𝛹𝑑電圧降下 定常状態の誘導起電力非定常状態の誘導起電力✓ つづいて，この方程式からインダクタンス表現の電圧方程式を導出してみます
10u,v,w相鎖交磁束✓ u,v,w相磁束鎖交数ベクトルは次式の通り𝛹𝑢𝛹𝑣𝛹𝑤=𝐿𝑢𝑀𝑣𝑢𝑀𝑤𝑢𝑀𝑢𝑣𝐿𝑣𝑀𝑤𝑣𝑀𝑢𝑤𝑀𝑣𝑤𝐿𝑤𝑖𝑢𝑖𝑣𝑖𝑤+𝛹𝑓cos 𝜔𝑡𝛹𝑓cos 𝜔𝑡 −2𝜋3𝛹𝑓cos 𝜔𝑡 +2𝜋3インダクタンス行列界磁磁束ベクトルu相u軸v軸w軸界磁磁束 𝛹𝑓回転子位置 𝜔𝑡 (電気角)界磁磁束のu相成分𝛹𝑓cos 𝜔𝑡
113相座標系におけるインダクタンス✓ 3相座標系における自己インダクタンス，相互インダクタンスは次式のように定義✓ 自己インダクタンス✓ 相互インダクタンス𝑀𝑢𝑣= 𝑀𝑣𝑢= −12𝐿𝑎− 𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡 −2𝜋3𝑀𝑣𝑤= 𝑀𝑤𝑣= −12𝐿𝑎− 𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡𝑀𝑤𝑢= 𝑀𝑢𝑤= −12𝐿𝑎− 𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡 +2𝜋3𝐿𝑢= 𝑙𝑎+ 𝐿𝑎− 𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡𝐿𝑣= 𝑙𝑎+ 𝐿𝑎− 𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡 +2𝜋3𝐿𝑤= 𝑙𝑎+ 𝐿𝑎− 𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡 −2𝜋3✓ 詳細はこちら↓を参照✓ https://yuyumoyuyu.com/2020/10/11/voltageequation/
12鎖交磁束の3相座標系⇒α-β座標系の変換(1/4)✓ 両辺に変換行列 𝑪2を左から掛ける𝑪2𝛹𝑢𝛹𝑣𝛹𝑤= 𝑪2𝐿𝑢𝑀𝑣𝑢𝑀𝑤𝑢𝑀𝑢𝑣𝐿𝑣𝑀𝑤𝑣𝑀𝑢𝑤𝑀𝑣𝑤𝐿𝑤𝑪2𝑇𝑪2𝑖𝑢𝑖𝑣𝑖𝑤+ 𝑪2𝛹𝑓cos 𝜔𝑡𝛹𝑓cos 𝜔𝑡 −2𝜋3𝛹𝑓cos 𝜔𝑡 +2𝜋3⟺𝛹𝛼𝛹𝛽= 𝑪2𝐿𝑢𝑀𝑣𝑢𝑀𝑤𝑢𝑀𝑢𝑣𝐿𝑣𝑀𝑤𝑣𝑀𝑢𝑤𝑀𝑣𝑤𝐿𝑤𝑪2𝑇𝑖𝛼𝑖𝛽+ 𝑪2𝛹𝑓cos 𝜔𝑡𝛹𝑓cos 𝜔𝑡 −2𝜋3𝛹𝑓cos 𝜔𝑡 +2𝜋3定義より 𝑪𝟐𝑻𝑪𝟐= 𝑰𝑪2=321 −12−12032−32
13鎖交磁束の3相座標系⇒α-β座標系の変換(2/4)✓ インダクタンス行列を計算する𝑪2𝐿𝑢𝑀𝑣𝑢𝑀𝑤𝑢𝑀𝑢𝑣𝐿𝑣𝑀𝑤𝑣𝑀𝑢𝑤𝑀𝑣𝑤𝐿𝑤𝑪2𝑇=23𝐿𝑢+16𝐿𝑣+16𝐿𝑤−23𝑀𝑢𝑣−23𝑀𝑢𝑤+13𝑀𝑣𝑤−12 3𝐿𝑣+12 3𝐿𝑤+13𝑀𝑣𝑢−13𝑀𝑤𝑢−12 3𝐿𝑣+12 3𝐿𝑤+13𝑀𝑣𝑢−13𝑀𝑤𝑢12𝐿𝑣+12𝐿𝑤− 𝑀𝑤𝑣=𝑙𝑎+32𝐿𝑎−32𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡 −3𝐿𝑎𝑠2sin 2𝜔𝑡−3𝐿𝑎𝑠2sin 2𝜔𝑡 𝑙𝑎+32𝐿𝑎+32𝐿𝑎𝑠cos 2𝜔𝑡=𝐿0+ 𝐿1cos 2𝜔𝑡 𝐿1sin 2𝜔𝑡𝐿1sin 2𝜔𝑡 𝐿0− 𝐿1cos 2𝜔𝑡✓ この式変形は↓のp.8-10,12の結果を利用✓ https://yuyumoyuyu.com/2020/10/18/voltageequation2/
14鎖交磁束の3相座標系⇒α-β座標系の変換(3/4)✓ 界磁磁束ベクトルを計算する𝑪2𝛹𝑓cos 𝜔𝑡𝛹𝑓cos 𝜔𝑡 −2𝜋3𝛹𝑓cos 𝜔𝑡 +2𝜋3=231 −12−12032−32𝛹𝑓cos 𝜔𝑡𝛹𝑓cos 𝜔𝑡 −2𝜋3𝛹𝑓cos 𝜔𝑡 +2𝜋3=23𝛹𝑓cos 𝜔𝑡 −12cos 𝜔𝑡 −2𝜋3−12cos 𝜔𝑡 +2𝜋332cos 𝜔𝑡 −2𝜋3−32cos 𝜔𝑡 +2𝜋3=32𝛹𝑓cos 𝜔𝑡sin 𝜔𝑡= 𝛹𝑎cos 𝜔𝑡sin 𝜔𝑡+和積の公式cos 𝜔𝑡 + cos 𝜔𝑡 −2𝜋3+ cos 𝜔𝑡 +2𝜋3= 0
15鎖交磁束の3相座標系⇒α-β座標系の変換(4/4)✓ まとめると，α-β座標系の鎖交磁束は次式𝛹𝛼𝛹𝛽=𝐿0+ 𝐿1cos 2𝜔𝑡 𝐿1sin 2𝜔𝑡𝐿1sin 2𝜔𝑡 𝐿0− 𝐿1cos 2𝜔𝑡𝑖𝛼𝑖𝛽+ 𝛹𝑎cos 𝜔𝑡sin 𝜔𝑡
16鎖交磁束のα-β座標系⇒d-q回転座標系の変換✓ 両辺に変換行列 𝑪3を左から掛ける𝑪3𝛹𝛼𝛹𝛽= 𝑪3𝐿0+ 𝐿1cos 2𝜔𝑡 𝐿1sin 2𝜔𝑡𝐿1sin 2𝜔𝑡 𝐿0− 𝐿1cos 2𝜔𝑡𝑪3𝑇𝑪3𝑖𝛼𝑖𝛽+ 𝛹𝑎𝑪3cos 𝜔𝑡sin 𝜔𝑡⇔𝛹𝑑𝛹𝑞= 𝑪3𝐿0+ 𝐿1cos 2𝜔𝑡 𝐿1sin 2𝜔𝑡𝐿1sin 2𝜔𝑡 𝐿0− 𝐿1cos 2𝜔𝑡𝑪3𝑇𝑖𝑑𝑖𝑞+ 𝛹𝑎𝑪3cos 𝜔𝑡sin 𝜔𝑡= 𝐿0𝑪31 00 1𝑪3𝑇𝑖𝑑𝑖𝑞+ 𝐿1𝑪3cos 2𝜔𝑡 sin 2𝜔𝑡sin 2𝜔𝑡 −cos 2𝜔𝑡𝑪3𝑇𝑖𝑑𝑖𝑞+ 𝛹𝑎10𝑪31 00 1𝑪3𝑇 = 𝑪3𝑪3𝑇 =1 00 1𝑪3cos 2𝜔𝑡 sin 2𝜔𝑡sin 2𝜔𝑡 −cos 2𝜔𝑡𝑪3𝑇 =cos 𝜔𝑡 sin 𝜔𝑡sin 𝜔𝑡 −cos 𝜔𝑡𝑪3𝑇 =1 00 −1=𝐿0+ 𝐿100 𝐿0− 𝐿1𝑖𝑑𝑖𝑞+𝛹𝑎0=𝐿𝑑00 𝐿𝑞𝑖𝑑𝑖𝑞+𝛹𝑎0𝑪3=cos(𝜔𝑡) sin(𝜔𝑡)−sin(𝜔𝑡) cos(𝜔𝑡)絶対変換の定義加法定理✓ 鎖交磁束をd-q回転座標系に変換できた！𝐿𝑑: = 𝐿0+ 𝐿1𝐿𝑞: = 𝐿0− 𝐿1
17もとの電圧方程式に代入する✓ 導出した鎖交磁束式をもとの電圧方程式に代入する𝑣𝑑𝑣𝑞= 𝑅𝑎𝑖𝑑𝑖𝑞+𝑑𝑑𝑡𝛹𝑑𝛹𝑞+ 𝜔−𝛹𝑞𝛹𝑑= 𝑅𝑎𝑖𝑑𝑖𝑞+𝑑𝑑𝑡𝐿𝑑𝑖𝑑+ 𝛹𝑎𝐿𝑞𝑖𝑞+ 𝜔−𝐿𝑞𝑖𝑞𝐿𝑑𝑖𝑑+ 𝛹𝑎= 𝑅𝑎𝑖𝑑𝑖𝑞+𝐿𝑑00 𝐿𝑞𝑑𝑑𝑡𝑖𝑑𝑖𝑞+−𝜔𝐿𝑞𝑖𝑞𝜔𝐿𝑑𝑖𝑑+ 𝜔𝛹𝑎✓ こちらの記事↓で導出した電圧方程式と同じ結果に！✓ https://yuyumoyuyu.com/2020/10/25/voltageequation3/✓ 鎖交磁束を介した方が計算量が少ない𝛹𝑑𝛹𝑞=𝐿𝑑00 𝐿𝑞𝑖𝑑𝑖𝑞+𝛹𝑎0
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