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voltageequation4

yuki
July 05, 2021
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 voltageequation4

yuki

July 05, 2021
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  1. 同期モータの電圧方程式
    ー④d,q軸鎖交磁束を用いた導出
    大阪府立大学 工学研究科
    清水 悠生

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  2. 2
    本記事を読む前に
    ✓ 本記事はこちらの続きです
    ✓ 同期モータの電圧方程式③
    ✓ https://yuyumoyuyu.com/2020/10/25/voltageequation3/

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  3. 3
    同期モータの電圧方程式
    ✓ 平衡3相交流駆動の同期モータを考える
    𝑣𝑢
    𝑣𝑣
    𝑣𝑤
    = 𝑅𝑎
    𝑖𝑢
    𝑖𝑣
    𝑖𝑤
    +
    𝑑
    𝑑𝑡
    𝛹𝑢
    𝛹𝑣
    𝛹𝑤
    𝑣𝑢
    , 𝑣𝑣
    , 𝑣𝑤
    :u,v,w相電圧
    𝑖𝑢
    , 𝑖𝑣
    , 𝑖𝑤
    :u,v,w相電流
    𝛹𝑢
    , 𝛹𝑣
    , 𝛹𝑤
    :u,v,w相電機子鎖交磁束
    𝑅𝑎
    :電機子抵抗
    u相コイル
    u
    v
    w
    u相鎖交磁束
    u相電圧
    u相電流
    v相
    w相
    電機子抵抗
    ロータ
    ステータ

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  4. 4
    本記事の目標
    ✓ 電圧方程式の3相座標系⇒d-q座標系の変換を
    鎖交磁束ベースで行う
    𝑣𝑢
    𝑣𝑣
    𝑣𝑤
    = 𝑅𝑎
    𝑖𝑢
    𝑖𝑣
    𝑖𝑤
    +
    𝑑
    𝑑𝑡
    𝛹𝑢
    𝛹𝑣
    𝛹𝑤
    𝑣𝑢
    , 𝑣𝑣
    , 𝑣𝑤
    :u,v,w相電圧
    𝑖𝑢
    , 𝑖𝑣
    , 𝑖𝑤
    :u,v,w相電流
    𝛹𝑢
    , 𝛹𝑣
    , 𝛹𝑤
    :u,v,w相電機子鎖交磁束
    𝑅𝑎
    :電機子抵抗
    ✓ 前回使用したインダクタンス行列と界磁磁束ベクトルは
    本記事(の前半)では使用しない

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  5. 5
    電圧方程式の計算
    ✓ 電圧方程式の両辺に変換行列 C を左から掛ける
    ✓ この時点で変換行列は3相⇒α-β/d-qのどちらでも良い
    𝑪
    𝑣𝑢
    𝑣𝑣
    𝑣𝑤
    = 𝑪𝑅𝑎
    𝑖𝑢
    𝑖𝑣
    𝑖𝑤
    + 𝑪
    𝑑
    𝑑𝑡
    𝛹𝑢
    𝛹𝑣
    𝛹𝑤
    = 𝑪𝑅𝑎
    𝑖𝑢
    𝑖𝑣
    𝑖𝑤
    +
    𝑑
    𝑑𝑡
    𝑪
    𝛹𝑢
    𝛹𝑣
    𝛹𝑤

    𝑑
    𝑑𝑡
    𝑪
    𝛹𝑢
    𝛹𝑣
    𝛹𝑤
    ✓ 変換行列に関してはこちら↓を参照
    ✓ https://yuyumoyuyu.com/2020/07/12/dqrotatingcoordinate2/
    行列の積の微分公式より
    𝑑
    𝑑𝑡
    𝑨𝑩 =
    𝑑
    𝑑𝑡
    𝑨 𝑩 + 𝑨
    𝑑
    𝑑𝑡
    𝑩
    ⇔ 𝑨
    𝑑
    𝑑𝑡
    𝑩 =
    𝑑
    𝑑𝑡
    𝑨𝑩 −
    𝑑
    𝑑𝑡
    𝑨 𝑩

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  6. 6
    3相座標系⇒α-β座標系の場合
    ✓ 3相⇒α-β(絶対変換)の場合は変換行列が
    時間に依存しないのでそのまま計算する
    𝑪
    𝑣𝑢
    𝑣𝑣
    𝑣𝑤
    = 𝑪𝑅𝑎
    𝑖𝑢
    𝑖𝑣
    𝑖𝑤
    +
    𝑑
    𝑑𝑡
    𝑪
    𝛹𝑢
    𝛹𝑣
    𝛹𝑤

    𝑑
    𝑑𝑡
    𝑪
    𝛹𝑢
    𝛹𝑣
    𝛹𝑤

    𝑣𝛼
    𝑣𝛽
    = 𝑅𝑎
    𝑖𝛼
    𝑖𝛽
    +
    𝑑
    𝑑𝑡
    𝛹𝛼
    𝛹𝛽
    3相⇒α-βの場合
    𝑪 = 𝑪2
    =
    2
    3
    1 −
    1
    2

    1
    2
    0
    3
    2

    3
    2
    ,
    𝑑
    𝑑𝑡
    𝑪 =
    0 0 0
    0 0 0
    であるから
    =0
    𝑣𝛼
    , 𝑣𝛽
    :α,β相電圧
    𝑖𝛼
    , 𝑖𝛽
    :α,β相電流
    𝛹𝛼
    , 𝛹𝛽
    :α,β相電機子鎖交磁束

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  7. 7
    α-β座標系⇒d-q回転座標系の場合(1/2)
    ✓ α-β⇒d-qの場合は変換行列の時間微分を計算する必要あり
    α-β⇒d-qの場合
    𝑪 = 𝑪3
    =
    cos(𝜔𝑡) sin(𝜔𝑡)
    −sin(𝜔𝑡) cos(𝜔𝑡)
    =
    𝑪𝒖
    𝑪𝒍
    𝑑
    𝑑𝑡
    𝑪 = 𝜔
    −sin(𝜔𝑡) cos(𝜔𝑡)
    −cos(𝜔𝑡) −sin(𝜔𝑡)
    = 𝜔
    𝑪𝒍
    −𝑪𝒖
    とおくと
    となる

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  8. 8
    α-β座標系⇒d-q回転座標系の場合(2/2)
    ✓ 計算すると,鎖交磁束表現の電圧方程式が求まる
    𝑪
    𝑣𝑢
    𝑣𝑣
    𝑣𝑤
    = 𝑪𝑅𝑎
    𝑖𝑢
    𝑖𝑣
    𝑖𝑤
    +
    𝑑
    𝑑𝑡
    𝑪
    𝛹𝑢
    𝛹𝑣
    𝛹𝑤

    𝑑
    𝑑𝑡
    𝑪
    𝛹𝑢
    𝛹𝑣
    𝛹𝑤

    𝑣𝑑
    𝑣𝑞
    = 𝑅𝑎
    𝑖𝑑
    𝑖𝑞
    +
    𝑑
    𝑑𝑡
    𝛹𝑑
    𝛹𝑞
    − 𝜔
    𝑪𝒍
    −𝑪𝒖
    𝛹𝑢
    𝛹𝑣
    𝛹𝑤
    = 𝑅𝑎
    𝑖𝑑
    𝑖𝑞
    +
    𝑑
    𝑑𝑡
    𝛹𝑑
    𝛹𝑞
    + 𝜔
    −𝛹𝑞
    𝛹𝑑
    𝑑
    𝑑𝑡
    𝑪 = 𝜔
    −sin(𝜔𝑡) cos(𝜔𝑡)
    −cos(𝜔𝑡) −sin(𝜔𝑡)
    = 𝜔
    𝑪𝒍
    −𝑪𝒖
    𝑣𝑑
    , 𝑣𝑞
    :d,q相電圧
    𝑖𝑑
    , 𝑖𝑞
    :d,q相電流
    𝛹𝑑
    , 𝛹𝑞
    :d,q相電機子鎖交磁束
    より
    𝛹𝑑
    𝛹𝑞
    = 𝑪
    𝛹𝑢
    𝛹𝑣
    𝛹𝑤
    =
    𝑪𝒖
    𝛹𝑢
    𝛹𝑣
    𝛹𝑤
    𝑪𝒍
    𝛹𝑢
    𝛹𝑣
    𝛹𝑤

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  9. 9
    電圧方程式の解釈
    ✓ 電圧方程式は以下のように解釈可能
    𝑣𝑑
    𝑣𝑞
    = 𝑅𝑎
    𝑖𝑑
    𝑖𝑞
    +
    𝑑
    𝑑𝑡
    𝛹𝑑
    𝛹𝑞
    + 𝜔
    −𝛹𝑞
    𝛹𝑑
    電圧降下 定常状態の誘導起電力
    非定常状態
    の誘導起電力
    ✓ つづいて,この方程式からインダクタンス表現の
    電圧方程式を導出してみます

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  10. 10
    u,v,w相鎖交磁束
    ✓ u,v,w相磁束鎖交数ベクトルは次式の通り
    𝛹𝑢
    𝛹𝑣
    𝛹𝑤
    =
    𝐿𝑢
    𝑀𝑣𝑢
    𝑀𝑤𝑢
    𝑀𝑢𝑣
    𝐿𝑣
    𝑀𝑤𝑣
    𝑀𝑢𝑤
    𝑀𝑣𝑤
    𝐿𝑤
    𝑖𝑢
    𝑖𝑣
    𝑖𝑤
    +
    𝛹𝑓
    cos 𝜔𝑡
    𝛹𝑓
    cos 𝜔𝑡 −
    2𝜋
    3
    𝛹𝑓
    cos 𝜔𝑡 +
    2𝜋
    3
    インダクタンス行列
    界磁磁束ベクトル
    u相
    u軸
    v軸
    w軸
    界磁磁束 𝛹𝑓
    回転子位置 𝜔𝑡 (電気角)
    界磁磁束の
    u相成分
    𝛹𝑓
    cos 𝜔𝑡

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  11. 11
    3相座標系におけるインダクタンス
    ✓ 3相座標系における自己インダクタンス,
    相互インダクタンスは次式のように定義
    ✓ 自己インダクタンス
    ✓ 相互インダクタンス
    𝑀𝑢𝑣
    = 𝑀𝑣𝑢
    = −
    1
    2
    𝐿𝑎
    − 𝐿𝑎𝑠
    cos 2𝜔𝑡 −
    2𝜋
    3
    𝑀𝑣𝑤
    = 𝑀𝑤𝑣
    = −
    1
    2
    𝐿𝑎
    − 𝐿𝑎𝑠
    cos 2𝜔𝑡
    𝑀𝑤𝑢
    = 𝑀𝑢𝑤
    = −
    1
    2
    𝐿𝑎
    − 𝐿𝑎𝑠
    cos 2𝜔𝑡 +
    2𝜋
    3
    𝐿𝑢
    = 𝑙𝑎
    + 𝐿𝑎
    − 𝐿𝑎𝑠
    cos 2𝜔𝑡
    𝐿𝑣
    = 𝑙𝑎
    + 𝐿𝑎
    − 𝐿𝑎𝑠
    cos 2𝜔𝑡 +
    2𝜋
    3
    𝐿𝑤
    = 𝑙𝑎
    + 𝐿𝑎
    − 𝐿𝑎𝑠
    cos 2𝜔𝑡 −
    2𝜋
    3
    ✓ 詳細はこちら↓を参照
    ✓ https://yuyumoyuyu.com/2020/10/11/voltageequation/

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  12. 12
    鎖交磁束の3相座標系⇒α-β座標系の変換(1/4)
    ✓ 両辺に変換行列 𝑪2
    を左から掛ける
    𝑪2
    𝛹𝑢
    𝛹𝑣
    𝛹𝑤
    = 𝑪2
    𝐿𝑢
    𝑀𝑣𝑢
    𝑀𝑤𝑢
    𝑀𝑢𝑣
    𝐿𝑣
    𝑀𝑤𝑣
    𝑀𝑢𝑤
    𝑀𝑣𝑤
    𝐿𝑤
    𝑪2
    𝑇𝑪2
    𝑖𝑢
    𝑖𝑣
    𝑖𝑤
    + 𝑪2
    𝛹𝑓
    cos 𝜔𝑡
    𝛹𝑓
    cos 𝜔𝑡 −
    2𝜋
    3
    𝛹𝑓
    cos 𝜔𝑡 +
    2𝜋
    3

    𝛹𝛼
    𝛹𝛽
    = 𝑪2
    𝐿𝑢
    𝑀𝑣𝑢
    𝑀𝑤𝑢
    𝑀𝑢𝑣
    𝐿𝑣
    𝑀𝑤𝑣
    𝑀𝑢𝑤
    𝑀𝑣𝑤
    𝐿𝑤
    𝑪2
    𝑇
    𝑖𝛼
    𝑖𝛽
    + 𝑪2
    𝛹𝑓
    cos 𝜔𝑡
    𝛹𝑓
    cos 𝜔𝑡 −
    2𝜋
    3
    𝛹𝑓
    cos 𝜔𝑡 +
    2𝜋
    3
    定義より 𝑪𝟐
    𝑻𝑪𝟐
    = 𝑰
    𝑪2
    =
    3
    2
    1 −
    1
    2

    1
    2
    0
    3
    2

    3
    2

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  13. 13
    鎖交磁束の3相座標系⇒α-β座標系の変換(2/4)
    ✓ インダクタンス行列を計算する
    𝑪2
    𝐿𝑢
    𝑀𝑣𝑢
    𝑀𝑤𝑢
    𝑀𝑢𝑣
    𝐿𝑣
    𝑀𝑤𝑣
    𝑀𝑢𝑤
    𝑀𝑣𝑤
    𝐿𝑤
    𝑪2
    𝑇
    =
    2
    3
    𝐿𝑢
    +
    1
    6
    𝐿𝑣
    +
    1
    6
    𝐿𝑤

    2
    3
    𝑀𝑢𝑣

    2
    3
    𝑀𝑢𝑤
    +
    1
    3
    𝑀𝑣𝑤

    1
    2 3
    𝐿𝑣
    +
    1
    2 3
    𝐿𝑤
    +
    1
    3
    𝑀𝑣𝑢

    1
    3
    𝑀𝑤𝑢

    1
    2 3
    𝐿𝑣
    +
    1
    2 3
    𝐿𝑤
    +
    1
    3
    𝑀𝑣𝑢

    1
    3
    𝑀𝑤𝑢
    1
    2
    𝐿𝑣
    +
    1
    2
    𝐿𝑤
    − 𝑀𝑤𝑣
    =
    𝑙𝑎
    +
    3
    2
    𝐿𝑎

    3
    2
    𝐿𝑎𝑠
    cos 2𝜔𝑡 −
    3𝐿𝑎𝑠
    2
    sin 2𝜔𝑡

    3𝐿𝑎𝑠
    2
    sin 2𝜔𝑡 𝑙𝑎
    +
    3
    2
    𝐿𝑎
    +
    3
    2
    𝐿𝑎𝑠
    cos 2𝜔𝑡
    =
    𝐿0
    + 𝐿1
    cos 2𝜔𝑡 𝐿1
    sin 2𝜔𝑡
    𝐿1
    sin 2𝜔𝑡 𝐿0
    − 𝐿1
    cos 2𝜔𝑡
    ✓ この式変形は↓のp.8-10,12の結果を利用
    ✓ https://yuyumoyuyu.com/2020/10/18/voltageequation2/

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  14. 14
    鎖交磁束の3相座標系⇒α-β座標系の変換(3/4)
    ✓ 界磁磁束ベクトルを計算する
    𝑪2
    𝛹𝑓
    cos 𝜔𝑡
    𝛹𝑓
    cos 𝜔𝑡 −
    2𝜋
    3
    𝛹𝑓
    cos 𝜔𝑡 +
    2𝜋
    3
    =
    2
    3
    1 −
    1
    2

    1
    2
    0
    3
    2

    3
    2
    𝛹𝑓
    cos 𝜔𝑡
    𝛹𝑓
    cos 𝜔𝑡 −
    2𝜋
    3
    𝛹𝑓
    cos 𝜔𝑡 +
    2𝜋
    3
    =
    2
    3
    𝛹𝑓
    cos 𝜔𝑡 −
    1
    2
    cos 𝜔𝑡 −
    2𝜋
    3

    1
    2
    cos 𝜔𝑡 +
    2𝜋
    3
    3
    2
    cos 𝜔𝑡 −
    2𝜋
    3

    3
    2
    cos 𝜔𝑡 +
    2𝜋
    3
    =
    3
    2
    𝛹𝑓
    cos 𝜔𝑡
    sin 𝜔𝑡
    = 𝛹𝑎
    cos 𝜔𝑡
    sin 𝜔𝑡
    +和積の公式
    cos 𝜔𝑡 + cos 𝜔𝑡 −
    2𝜋
    3
    + cos 𝜔𝑡 +
    2𝜋
    3
    = 0

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  15. 15
    鎖交磁束の3相座標系⇒α-β座標系の変換(4/4)
    ✓ まとめると,α-β座標系の鎖交磁束は次式
    𝛹𝛼
    𝛹𝛽
    =
    𝐿0
    + 𝐿1
    cos 2𝜔𝑡 𝐿1
    sin 2𝜔𝑡
    𝐿1
    sin 2𝜔𝑡 𝐿0
    − 𝐿1
    cos 2𝜔𝑡
    𝑖𝛼
    𝑖𝛽
    + 𝛹𝑎
    cos 𝜔𝑡
    sin 𝜔𝑡

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  16. 16
    鎖交磁束のα-β座標系⇒d-q回転座標系の変換
    ✓ 両辺に変換行列 𝑪3
    を左から掛ける
    𝑪3
    𝛹𝛼
    𝛹𝛽
    = 𝑪3
    𝐿0
    + 𝐿1
    cos 2𝜔𝑡 𝐿1
    sin 2𝜔𝑡
    𝐿1
    sin 2𝜔𝑡 𝐿0
    − 𝐿1
    cos 2𝜔𝑡
    𝑪3
    𝑇𝑪3
    𝑖𝛼
    𝑖𝛽
    + 𝛹𝑎
    𝑪3
    cos 𝜔𝑡
    sin 𝜔𝑡

    𝛹𝑑
    𝛹𝑞
    = 𝑪3
    𝐿0
    + 𝐿1
    cos 2𝜔𝑡 𝐿1
    sin 2𝜔𝑡
    𝐿1
    sin 2𝜔𝑡 𝐿0
    − 𝐿1
    cos 2𝜔𝑡
    𝑪3
    𝑇
    𝑖𝑑
    𝑖𝑞
    + 𝛹𝑎
    𝑪3
    cos 𝜔𝑡
    sin 𝜔𝑡
    = 𝐿0
    𝑪3
    1 0
    0 1
    𝑪3
    𝑇
    𝑖𝑑
    𝑖𝑞
    + 𝐿1
    𝑪3
    cos 2𝜔𝑡 sin 2𝜔𝑡
    sin 2𝜔𝑡 −cos 2𝜔𝑡
    𝑪3
    𝑇
    𝑖𝑑
    𝑖𝑞
    + 𝛹𝑎
    1
    0
    𝑪3
    1 0
    0 1
    𝑪3
    𝑇 = 𝑪3
    𝑪3
    𝑇 =
    1 0
    0 1
    𝑪3
    cos 2𝜔𝑡 sin 2𝜔𝑡
    sin 2𝜔𝑡 −cos 2𝜔𝑡
    𝑪3
    𝑇 =
    cos 𝜔𝑡 sin 𝜔𝑡
    sin 𝜔𝑡 −cos 𝜔𝑡
    𝑪3
    𝑇 =
    1 0
    0 −1
    =
    𝐿0
    + 𝐿1
    0
    0 𝐿0
    − 𝐿1
    𝑖𝑑
    𝑖𝑞
    +
    𝛹𝑎
    0
    =
    𝐿𝑑
    0
    0 𝐿𝑞
    𝑖𝑑
    𝑖𝑞
    +
    𝛹𝑎
    0
    𝑪3
    =
    cos(𝜔𝑡) sin(𝜔𝑡)
    −sin(𝜔𝑡) cos(𝜔𝑡)
    絶対変換の定義
    加法定理
    ✓ 鎖交磁束をd-q回転座標系に変換できた!
    𝐿𝑑
    : = 𝐿0
    + 𝐿1
    𝐿𝑞
    : = 𝐿0
    − 𝐿1

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  17. 17
    もとの電圧方程式に代入する
    ✓ 導出した鎖交磁束式をもとの電圧方程式に代入する
    𝑣𝑑
    𝑣𝑞
    = 𝑅𝑎
    𝑖𝑑
    𝑖𝑞
    +
    𝑑
    𝑑𝑡
    𝛹𝑑
    𝛹𝑞
    + 𝜔
    −𝛹𝑞
    𝛹𝑑
    = 𝑅𝑎
    𝑖𝑑
    𝑖𝑞
    +
    𝑑
    𝑑𝑡
    𝐿𝑑
    𝑖𝑑
    + 𝛹𝑎
    𝐿𝑞
    𝑖𝑞
    + 𝜔
    −𝐿𝑞
    𝑖𝑞
    𝐿𝑑
    𝑖𝑑
    + 𝛹𝑎
    = 𝑅𝑎
    𝑖𝑑
    𝑖𝑞
    +
    𝐿𝑑
    0
    0 𝐿𝑞
    𝑑
    𝑑𝑡
    𝑖𝑑
    𝑖𝑞
    +
    −𝜔𝐿𝑞
    𝑖𝑞
    𝜔𝐿𝑑
    𝑖𝑑
    + 𝜔𝛹𝑎
    ✓ こちらの記事↓で導出した電圧方程式と同じ結果に!
    ✓ https://yuyumoyuyu.com/2020/10/25/voltageequation3/
    ✓ 鎖交磁束を介した方が計算量が少ない
    𝛹𝑑
    𝛹𝑞
    =
    𝐿𝑑
    0
    0 𝐿𝑞
    𝑖𝑑
    𝑖𝑞
    +
    𝛹𝑎
    0

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