Logit Models in Small Samples

Talk given on September 16, 2015, at Texas A&M University.

Transcript

1. Logit Models in Small Samples Kelly McCaskey and Carlisle Rainey
3. How likely are the Kuwaitis to form an active resistance to the PGFK? What factors make this resistance more or less likely?
5. –Weisiger (2014) “A good understanding of when resistance is likely after conquest should influence leaders’ decisions about whether to fight in the first place, whether to accept compromise settlements prior to a final military victory, and when it may be worthwhile to encourage resistance among friendly conquered populations”
6. Variable Standardized Coefficient Estimate 90% Confidence Interval Coordinating Leader 0.44* [0.19, 0.69] Polity Score of Conqueror -0.27* [-0.55, 0.00] log(Distance) 0.47* [0.21, 0.74] Terrain 0.20 [-0.04, 0.45] Soldiers per Territory -0.13 [-0.41, 0.15] GDP per Capita -0.13 [-0.38, 0.12] Constant 0.40* [0.30, 0.50] N 35 Events 14 R2 0.61 Linear Probability Model Estimates
7. What is the probability of a Kuwaiti resistance in the aftermath of the Iraqi invasion? -0.22
8. How many times more likely is a Kuwaiti resistance if they have a coordinating leader? -0.90
9. a logit model What We Need
10. How many times more likely is a Kuwaiti resistance if they have a coordinating leader? 281.9
11. 35 observations “It is risky to use ML with samples smaller than 100, while samples larger than 500 seem adequate.” –J. Scott Long
12. The biostatistics literature recommends 10 events per explanatory variable. 2.3 EPEV
13. ML estimates are severely biased in small samples.
14. Pr(yi = 1) = logit 1 ( cons + 0.5x1 + k X j =2 0.2xj)
15. βcons = −1 25% 50% 75% 100% 125% k = 9 50 100 150 200 Sample Size Percent Bias Percent Bias of the ML Estimator
16. βcons = −1 βcons = −0.5 βcons = 0 0% 25% 50% 75% 100% 125% 0% 25% 50% 75% 100% 125% 0% 25% 50% 75% 100% 125% k = 3 k = 6 k = 9 50 100 150 200 50 100 150 200 50 100 150 200 Sample Size (N) Percent Bias Percent Bias of the ML Estimator
17. a logit model What We Need a good estimator
18. L⇤( |y) = L( |y) penalty z }| { |I( )|1 2
19. βcons = −1 βcons = −0.5 βcons = 0 0% 40% 80% 120% 0% 40% 80% 120% 0% 40% 80% 120% k = 3 k = 6 k = 9 50 100 150 200 50 100 150 200 50 100 150 200 Sample Size Percent Bias Method ML PML Percent Bias of ML and PML Estimators 30 observations about 8 events 120% 7%
20. But what about the variance?
21. βcons = −1 βcons = −0.5 βcons = 0 5% 10% 20% 50% 100% 200% 500% 5% 10% 20% 50% 100% 200% 500% 5% 10% 20% 50% 100% 200% 500% k = 3 k = 6 k = 9 50 100 150 200 50 100 150 200 50 100 150 200 Sample Size Variance Inflation Variance Inflation (%) of ML Relative to PML
22. MSE(ˆ) = E[(ˆ true)2] = V ar(ˆ) + [E(ˆ)]2
23. βcons = −1 βcons = −0.5 βcons = 0 1% 10% 100% 1,000% 1% 10% 100% 1,000% 1% 10% 100% 1,000% k = 3 k = 6 k = 9 50 100 150 200 50 100 150 200 50 100 150 200 Sample Size Mean−Squared Error Inflation Mean−Squared Error Inflation (%) of ML Relative to PML
24. 0 50 100 150 50 100 150 200 Sample Size Relative Contribution of Variance Compared to Bias Number of Variables 3 6 9 Intercept −1 −0.5 0 The Relative Contribution of the Variance Compared to the Bias as the Sample Size Varies
25. • • • • • • • • • • • • • • N = 35 (14 events) Intercept Conqueror's Polity Score log(Intercapital Distance) Terrain Occupying Force Density Per Capita GDP Coordinating Leader −20 −10 0 10 20 Logistic Regression Coefficients and 90% Confidence Intervals (Variables Standardized) Method • • ML Estimate PML Estimate Logistic Regression Model Explaining Post−Conflict Guerrilla War
26. 0.0 0.2 0.4 0.6 Brier Score Log Score Score Type Score Method ML PML Out−of−Sample Prediction Scores
27. How many times more likely is a Kuwaiti resistance if they have a coordinating leader? ML: 281.9 PML: 18.5
28. Practical Advice
29. What is a “small sample”?
30. ⇠ = 1 k min " n X i=1 yi, n X i=1 (1 yi) #
31. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 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32. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ξ = 96 ξ = 33 Intercept 0% 1% 2% 2% 3% 5% 10% 20% 50% 100% 200% 2 5 10 20 50 100 200 500 ξ MSE−Inflation Sample Size • • 1000 2000 −2 0 2 True Coefficient MSE−Inflation of ML Relative to PML for the Intercept as the Information Increases
33. Acceptable Inaccuracy Slope Copefficients Intercept Substantial ξ < 12 ξ < 33 Noticeable 12 ≤ ξ < 51 33 ≤ ξ < 96 Negligible ξ ≥ 51 ξ ≥ 96 Some Thresholds
34. Acceptable Inaccuracy Slope Copefficients Intercept Substantial ξ < 12 ξ < 33 Noticeable 12 ≤ ξ < 51 33 ≤ ξ < 96 Negligible ξ ≥ 51 ξ ≥ 96 Some Thresholds
35. Acceptable Inaccuracy Slope Copefficients Intercept Substantial ξ < 12 ξ < 33 Noticeable 12 ≤ ξ < 51 33 ≤ ξ < 96 Negligible ξ ≥ 51 ξ ≥ 96 Some Thresholds
36. PML in Short • Always better in theory. • Easy to implement. • Makes a big difference in small samples. • Makes a small, but noticeable, difference in much larger samples.
37. 1. Choose the number of covariates k randomly from a uniform distribution from 3 to 12. 2. Choose the sample size n randomly from a uniform distribution from 200 to 3,000. 3. Choose the intercept cons randomly from a uniform distribution from -4 to 4. 4. Choose the slope coefficients 1, ..., k randomly from a normal distribu- tion with mean 0 and standard deviation 0.5. 5. Choose a covariance matrix ⌃ for the explanatory variables randomly using the method developed by Joe (2006) such that the variances along the diagonal range from from 0.25 to 2. 6. Choose the explanatory variables x1, x2, ..., xk randomly from a multivari- ate normal distribution with mean 0 and covariance matrix ⌃ . Generating a Random DGP
38. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ξ = 51 ξ = 12 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 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39. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ξ = 96 ξ = 33 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ξ = 96 ξ = 33 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ξ = 96 ξ = 33 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ξ = 96 ξ = 33 Sample Size Between 200 and 500 Sample Size Between 501 and 1,000 Sample Size Between 1,001 and 1,500 Sample Size Between 1,501 and 2,000 0% 1% 2% 2% 3% 5% 10% 20% 50% 100% 200% 0% 1% 2% 2% 3% 5% 10% 20% 50% 100% 200% 2 5 10 20 50 100 200 500 2 5 10 20 50 100 200 500 ξ MSE−Inflation Sample Size • • 1000 2000 −2 0 2 True Coefficient MSE−Inflation of ML Relative to PML for the Intercept as the Information Increases