Unnecessary

Transcript

1. Unnecessary Bias The Consequences of Averaging Simulated Quantities of Interest

   Carlisle Rainey Assistant Professor Texas A&M University crainey@tamu.edu Holger Kern Assistant Professor Florida State University hkern@fsu.edu paper, data, and code at carlislerainey.com/talk

2. Unnecessary Bias The Consequences of Averaging Simulated Quantities of Interest

   Carlisle Rainey Assistant Professor Texas A&M University crainey@tamu.edu Holger Kern Assistant Professor Florida State University hkern@fsu.edu paper, data, and code at carlislerainey.com/talk

3. Should you average simulated quantities of interest?

4. Should you average simulated quantities of interest?

5. …the way King, Tomz, and Wittenberg (2000) say to do.

   Should you average simulated quantities of interest?

6. …the way King, Tomz, and Wittenberg (2000) say to do.

   …the way Clarify and Zelig do. Should you average simulated quantities of interest?

7. …the way King, Tomz, and Wittenberg (2000) say to do.

   …the way Clarify and Zelig do. …the way that Matt Golder’s marginal effects plot code does. Should you average simulated quantities of interest?

8. …the way King, Tomz, and Wittenberg (2000) say to do.

   …the way Clarify and Zelig do. …the way that Matt Golder’s marginal effects plot code does. …the way that Hanmer and Kalkan’s (2013) code does. Should you average simulated quantities of interest?

9. …the way King, Tomz, and Wittenberg (2000) say to do.

   …the way Clarify and Zelig do. …the way that Matt Golder’s marginal effects plot code does. …the way that Hanmer and Kalkan’s (2013) code does. …the way that my own code does. Should you average simulated quantities of interest?

10. …the way King, Tomz, and Wittenberg (2000) say to do.

    …the way Clarify and Zelig do. …the way that Matt Golder’s marginal effects plot code does. …the way that Hanmer and Kalkan’s (2013) code does. …the way that my own code does. …the way that Holger’s code does. Should you average simulated quantities of interest?

11. …the way King, Tomz, and Wittenberg (2000) say to do.

    …the way Clarify and Zelig do. …the way that Matt Golder’s marginal effects plot code does. …the way that Hanmer and Kalkan’s (2013) code does. …the way that my own code does. …the way that Holger’s code does. …the way that your own code might. Should you average simulated quantities of interest?

12. No.

13. None

14. TABLE 2. Models of Involvement in Militarized Disputes, 1950–1985: Assessing

    the Liberal Peace Variable Eqn 1 Eqn 2 Eqn 3 Eqn 4 Democracy scoreL ß -0.0497 -0.0554 -0.0413 -0.0457 SEß 0.0074 0.0077 0.0083 0.0076 p < .001 < .001 < .001 < .001 Economic growth rateL -0.0223 -0.0318 -0.0297 -0.0220 0.0085 0.0093 0.0094 0.0090 .009 < .001 < .001 .02 Allies -0.821 -0.868 -0.864 -0.815 0.080 0.092 0.092 0.083 < .001 < .001 < .001 < .001 Contiguity 1.31 1.26 1.32 1.39 0.08 0.09 0.09 0.08 < .001 < .001 < .001 < .001 Capability ratio -0.00307 -0.00345 -0.00356 -0.00279 0.00042 0.00050 0.00051 0.00041 < .001 < .001 < .001 < .001 Dyadic trade-to-GDP ratioL -66.1 -43.8 -81.0 13.4 12.5 15.2 < .001 < .001 < .001 Total trade-to-GDP ratioL -0.706 -0.512 0.192 0.193 < .001 .008 Trend, dyadic trade-to-GDP -8.89 ratioH 2.93 < .001 Constant -3.29 -3.28 -3.20 -3.32 0.08 0.10 0.10 0.08 < .001 < .001 < .001 < .001 Chi2 764.04 593.65 611.74 728.56 P of chi2 < .0001 < .0001 < .0001 < .0001 Log likelihood -3477.57 -2795.89 -2786.85 -3231.42 N 20,990 17,709 17,709 19,772

15. 0.08 < .001 Capability ratio -0.00307 0.00042 < .001 Dyadic

    trade-to-GDP ratioL -66.1 13.4 < .001 Total trade-to-GDP ratioL Trend, dyadic trade-to-GDP

16. TABLE 3. Annual Probabilities of Involvement in a Militarized Dispute,

    1950–1985, Based on the Estimated Coefficients for Equations 1 and 2 in Table 2 Equation 1 Equation 2 1. Democracy scoreL , economic growth rateL , dyadic .078 .070 trade-to-GDP ratioL , and capability ratio at mean values; allies equals 0; contiguity equals 1 2. Increase in democracyL of 1 std. dev.; other variables .057 .049 at baseline values 3. Increase in dyadic trade-to-GDP ratioL of 1 std. dev.; .047 — other variables at baseline values 4. Increase in total trade-to-GDP ratioL of 1 std. dev.; — .061 other variables at baseline values 5. Increase in economic growth rateL of 1 std. dev.; other .073 .064 variables at baseline values 6. Allies equals 1; other variables at baseline values .036 .031 7. Contiguity equals 0; other variables at baseline values .022 .021 8. Increase in capability ratio of 1 std. dev.; other variables .021 .016 at baseline values 9. Capability ratio equals 1; other variables at baseline values .122 .117 10. Capability ratio equals 10; other variables at baseline values .119 .114

17. TABLE 3. Annual Probabilities of Involvement in a Militarized Dispute,

    1950–1985, Based on the Estimated Coefficients for Equations 1 and 2 in Table 2 Equation 1 Equation 2 1. Democracy scoreL , economic growth rateL , dyadic .078 .070 trade-to-GDP ratioL , and capability ratio at mean values; allies equals 0; contiguity equals 1 2. Increase in democracyL of 1 std. dev.; other variables .057 .049 at baseline values 3. Increase in dyadic trade-to-GDP ratioL of 1 std. dev.; .047 — other variables at baseline values 4. Increase in total trade-to-GDP ratioL of 1 std. dev.; — .061 other variables at baseline values 5. Increase in economic growth rateL of 1 std. dev.; other .073 .064 variables at baseline values 6. Allies equals 1; other variables at baseline values .036 .031 7. Contiguity equals 0; other variables at baseline values .022 .021 8. Increase in capability ratio of 1 std. dev.; other variables .021 .016 at baseline values 9. Capability ratio equals 1; other variables at baseline values .122 .117 10. Capability ratio equals 10; other variables at baseline values .119 .114

18. TABLE 3. Annual Probabilities of Involvement in a Militarized Dispute,

    1950–1985, Based on the Estimated Coefficients for Equations 1 and 2 in Table 2 Equation 1 Equation 2 1. Democracy scoreL , economic growth rateL , dyadic .078 .070 trade-to-GDP ratioL , and capability ratio at mean values; allies equals 0; contiguity equals 1 2. Increase in democracyL of 1 std. dev.; other variables .057 .049 at baseline values 3. Increase in dyadic trade-to-GDP ratioL of 1 std. dev.; .047 — other variables at baseline values 4. Increase in total trade-to-GDP ratioL of 1 std. dev.; — .061 other variables at baseline values 5. Increase in economic growth rateL of 1 std. dev.; other .073 .064 variables at baseline values 6. Allies equals 1; other variables at baseline values .036 .031 7. Contiguity equals 0; other variables at baseline values .022 .021 8. Increase in capability ratio of 1 std. dev.; other variables .021 .016 at baseline values 9. Capability ratio equals 1; other variables at baseline values .122 .117 10. Capability ratio equals 10; other variables at baseline values .119 .114

19. TABLE 3. Annual Probabilities of Involvement in a Militarized Dispute,

    1950–1985, Based on the Estimated Coefficients for Equations 1 and 2 in Table 2 Equation 1 Equation 2 1. Democracy scoreL , economic growth rateL , dyadic .078 .070 trade-to-GDP ratioL , and capability ratio at mean values; allies equals 0; contiguity equals 1 2. Increase in democracyL of 1 std. dev.; other variables .057 .049 at baseline values 3. Increase in dyadic trade-to-GDP ratioL of 1 std. dev.; .047 — other variables at baseline values 4. Increase in total trade-to-GDP ratioL of 1 std. dev.; — .061 other variables at baseline values 5. Increase in economic growth rateL of 1 std. dev.; other .073 .064 variables at baseline values 6. Allies equals 1; other variables at baseline values .036 .031 7. Contiguity equals 0; other variables at baseline values .022 .021 8. Increase in capability ratio of 1 std. dev.; other variables .021 .016 at baseline values 9. Capability ratio equals 1; other variables at baseline values .122 .117 10. Capability ratio equals 10; other variables at baseline values .119 .114

20. TABLE 3. Annual Probabilities of Involvement in a Militarized Dispute,

    1950–1985, Based on the Estimated Coefficients for Equations 1 and 2 in Table 2 Equation 1 Equation 2 1. Democracy scoreL , economic growth rateL , dyadic .078 .070 trade-to-GDP ratioL , and capability ratio at mean values; allies equals 0; contiguity equals 1 2. Increase in democracyL of 1 std. dev.; other variables .057 .049 at baseline values 3. Increase in dyadic trade-to-GDP ratioL of 1 std. dev.; .047 — other variables at baseline values 4. Increase in total trade-to-GDP ratioL of 1 std. dev.; — .061 other variables at baseline values 5. Increase in economic growth rateL of 1 std. dev.; other .073 .064 variables at baseline values 6. Allies equals 1; other variables at baseline values .036 .031 7. Contiguity equals 0; other variables at baseline values .022 .021 8. Increase in capability ratio of 1 std. dev.; other variables .021 .016 at baseline values 9. Capability ratio equals 1; other variables at baseline values .122 .117 10. Capability ratio equals 10; other variables at baseline values .119 .114 difference of -0.031

21. two options

22. two options use the invariance property

23. two options use the invariance property Long (1997)

24. two options use the invariance property average simulated QIs

25. two options use the invariance property average simulated QIs Clarify

    in Stata

26. two options use the invariance property average simulated QIs

27. two options use the invariance property average simulated QIs t.i.

    bias

28. two options use the invariance property average simulated QIs t.i.

    bias 2x t.i. bias

29. two options use the invariance property average simulated QIs t.i.

    bias 2x t.i. bias 2017 PA (1)

30. two options use the invariance property average simulated QIs t.i.

    bias 2x t.i. bias 2017 PA What happens when you average simulated QIs? (2) (1)

31. two options use the invariance property average simulated QIs t.i.

    bias 2x t.i. bias 2017 PA What happens when you average simulated QIs? Does any of this matter? (2) (3) (1)

32. Rainey (2017)

33. Long (1997)

34. King (1998)

35. margins

36. predict()

37. bias

38. bias expected estimate - true value

39. bias expected estimate - true value under repeated sampling

40. bias expected estimate - true value under repeated sampling *IMPORTANT*

    property of procedure, not estimate
41. None
42. None
43. None

44. e.g., small-sample bias in logit

45. Jensen’s inequality: E[g(X)] > g(E[X]) for convex g. e.g., small-sample

    bias in logit

46. A Stark Illustration

47. yi ⇠ N(µ, 1), for i = 1, 2, ...,

    100 ⌧(µ) = µ2 µ = 0

48. yi ⇠ N(µ, 1), for i = 1, 2, ...,

    100 ⌧(µ) = µ2 µ = 0 DGP or model

49. yi ⇠ N(µ, 1), for i = 1, 2, ...,

    100 ⌧(µ) = µ2 µ = 0 DGP or model QI

50. yi ⇠ N(µ, 1), for i = 1, 2, ...,

    100 ⌧(µ) = µ2 µ = 0 DGP or model QI truth

51. sample ave. is a BUE of u. (…and MLE!) yi

    ⇠ N(µ, 1), for i = 1, 2, ..., 100 ⌧(µ) = µ2 µ = 0 DGP or model QI truth

52. 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 µ

    ^ τ ^ Iteration 1

53. • τ ^mle µ ^mle 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.4

    −0.2 0.0 0.2 0.4 µ ^ τ ^ Iteration 1

54. • • 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.4 −0.2 0.0 0.2

    0.4 µ ^ τ ^ Iteration 2

55. • • • 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.4 −0.2 0.0

    0.2 0.4 µ ^ τ ^ Iteration 3

56. • • • • 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.4 −0.2

    0.0 0.2 0.4 µ ^ τ ^ Iteration 4

57. • • • • • 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.4

    −0.2 0.0 0.2 0.4 µ ^ τ ^ Iteration 5

58. • • • • • • 0.00 0.05 0.10 0.15

    −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 µ ^ τ ^ Iteration 6

59. • • • • • • • 0.00 0.05 0.10

    0.15 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 µ ^ τ ^ Iteration 7

60. • • • • • • • • 0.00 0.05

    0.10 0.15 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 µ ^ τ ^ Iteration 8

61. • • • • • • • • • 0.00

    0.05 0.10 0.15 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 µ ^ τ ^ Iteration 9

62. • • • • • • • • • •

    0.00 0.05 0.10 0.15 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 µ ^ τ ^ Iteration 10

63. 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 µ

    ^ τ ^ Iteration 10000

64. µ ^ τ ^ −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.00

    0.05 0.10 0.15 0 30 60 90 0 1 2 3 4 Estimate Density Method Maximum Likelihood Average of Simulations

65. • µ ^ τ ^ −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4

    0.00 0.05 0.10 0.15 0 30 60 90 0 1 2 3 4 Estimate Density Method Maximum Likelihood Average of Simulations

66. • • µ ^ τ ^ −0.4 −0.2 0.0 0.2

    0.4 0.00 0.05 0.10 0.15 0 30 60 90 0 1 2 3 4 Estimate Density Method Maximum Likelihood Average of Simulations

67. One Theoretical Result

68. One Theoretical Result Convex transformations lead to positive transformation-induced bias.

69. two options use the invariance property average simulated QIs t.i.

    bias 2x t.i. bias 2017 PA What happens when you average simulated QIs? Does any of this matter? (2) (3) (1)

70. Simulating Quantities of Interest King, Tomz, Wittenberg (2000)

71. Simulating Quantities of Interest King, Tomz, Wittenberg (2000) 1. Fit

    the model.

72. Simulating Quantities of Interest King, Tomz, Wittenberg (2000) 1. Fit

    the model. 2. Simulate the coefficients.

73. Simulating Quantities of Interest King, Tomz, Wittenberg (2000) 1. Fit

    the model. 2. Simulate the coefficients. 3. Transform simulated coefficients into the quantities of interest.

74. Simulating Quantities of Interest King, Tomz, Wittenberg (2000) 1. Fit

    the model. 2. Simulate the coefficients. 3. Transform simulated coefficients into the quantities of interest. 4. Average the simulations of the quantity of interest to obtain a point estimate.

75. King, Tomz, Wittenberg (2000)

76. Gelman and Hill (2006)

77. mattgolder.com/interactions

78. A Stark Illustration continued…

79. sample ave. is a BUE of u. (…and MLE!) yi

    ⇠ N(µ, 1), for i = 1, 2, ..., 100 ⌧(µ) = µ2 µ = 0 DGP or model QI truth

80. sample ave. is a BUE of u. (…and MLE!) yi

    ⇠ N(µ, 1), for i = 1, 2, ..., 100 ⌧(µ) = µ2 µ = 0 DGP or model QI truth SE is 1/sqrt(100)

81. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3

    0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1

82. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3

    0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 normal w/ mean of 0.2 and SD of 0.1

83. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3

    0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1

84. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3

    0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 sim. coef.

85. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3

    0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 sim. coef. translated into sim. QI

86. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3

    0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 sim. coef. translated into sim. QI

87. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3

    0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 τ ^avg. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1

88. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3

    0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2

89. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3

    0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2

90. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3

    0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2

91. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ

    τ Iteration 2

92. τ ^avg. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3

    0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2

93. τ ^avg. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3

    0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 3

94. τ ^avg. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3

    0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 4

95. τ ^avg. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3

    0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 5

96. τ ^avg. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3

    0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 5 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 6

97. τ ^avg. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3

    0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 5 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 6 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 7

98. τ ^avg. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3

    0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 5 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 6 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 7 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 8

99. τ ^avg. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3

    0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 5 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 6 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 7 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 8 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 9

100. • • µ ^ τ ^ −0.4 −0.2 0.0 0.2

     0.4 0.00 0.05 0.10 0.15 0 30 60 90 0 1 2 3 4 Estimate Density Method Maximum Likelihood Average of Simulations

101. • • µ ^ τ ^ −0.4 −0.2 0.0 0.2

     0.4 0.00 0.05 0.10 0.15 0 30 60 90 0 1 2 3 4 Estimate Density Method Maximum Likelihood Average of Simulations

102. • • • µ ^ τ ^ −0.4 −0.2 0.0

     0.2 0.4 0.00 0.05 0.10 0.15 0 30 60 90 0 1 2 3 4 Estimate Density Method Maximum Likelihood Average of Simulations

103. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3

     0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 τ ^avg. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1

104. 1 2 3

105. For a convex transformation, the average of simulations is always

     greater than the (upwardly biased) ML estimate. 1 2 3

106. For a convex transformation, the average of simulations is always

     greater than the (upwardly biased) ML estimate. So, of course the average of simulations is more biased than the ML estimate. 1 2 3

107. For a convex transformation, the average of simulations is always

     greater than the (upwardly biased) ML estimate. So, of course the average of simulations is more biased than the ML estimate. This additional bias is roughly equal to the transformation-induced bias. 1 2 3

108. two options use the invariance property average simulated QIs t.i.

     bias 2x t.i. bias 2017 PA What happens when you average simulated QIs? Does any of this matter? (2) (3) (1)

109. additional bias from simulation is similar to small-sample bias in

     logit

110. The additional bias grows larger…

111. The additional bias grows larger… as the standard errors increase

     and

112. The additional bias grows larger… as the standard errors increase

     and as the transformations become more nonlinear.

113. Three Examples

114. study George and Epstein (1992) key claim Supreme Ct. decisions

     depend on legal and extralegal factors. data 64 observations, 11 explanatory variables quantities of interest first difference: effect of a Solicitor General brief on the probability of a conservative decision for all 64 combinations of the other covariates

115. • • • • • • • • • •

     • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.0 0.2 0.4 0.6 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Effect of a Solicitor General Brief

116. • • • • • • • • • •

     • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.0 0.2 0.4 0.6 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Effect of a Solicitor General Brief sim. avg. about 20% smaller than MLE

117. • • • • • • • • • •

     • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.0 0.2 0.4 0.6 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Effect of a Solicitor General Brief sim. avg. about 20% smaller than MLE sim. avg. about 2x the MLE

118. • • • • • • • • • •

     • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.0 0.2 0.4 0.6 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Effect of a Solicitor General Brief sim. avg. about 20% smaller than MLE sim. avg. about 2x the MLE 7 cases where sim. avg. >10x MLE

119. study Fearon and Laitin (2003) key claim Lots of factors

     lead to civil wars, but ethnic and religious diversity do not. data 6,327 observations (106 events), 11 explanatory variables quantities of interest risk ratio: the effect of a 10% decrease in GDP per capita on the probability of civil war for all 6,327 combinations of explanatory variables

120. • • • • • • • • • •

     • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 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127. study Holland (2017) key claim Politicians enforce laws less diligently

     when it helps them keep office data 19, 36, and 34 observations 3 explanatory variables quantities of interest expected count: the expected number of enforcement operations for each observation.

128. • • • • • • • • • •

     • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Bogota Lima Santiago 10 20 30 10 20 30 40 50 2 4 6 8 5 10 20 40 60 10 20 30 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Expected Number of Enforcement Operations

129. • • • • • • • • • •

     • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Bogota Lima Santiago 10 20 30 10 20 30 40 50 2 4 6 8 5 10 20 40 60 10 20 30 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Expected Number of Enforcement Operations MLE is 24 sim. avg. is 46 sim. avg. is 90% bigger

130. • • • • • • • • • •

     • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Bogota Lima Santiago 10 20 30 10 20 30 40 50 2 4 6 8 5 10 20 40 60 10 20 30 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Expected Number of Enforcement Operations MLE is 24 sim. avg. is 46 sim. avg. is 90% bigger MLE is 4.6 sim. avg. is 5.8 sim. avg. is 25% bigger

131. two options use the invariance property average simulated QIs t.i.

     bias 2x t.i. bias 2017 PA What happens when you average simulated QIs? Does any of this matter? (2) (3) (1)

132. Questions?

133. Appendix Stark Illustration • Illustration of Transformation- Induced Bias. Iteration

     1 Iteration 10 Iteration 10,000 • Illustration of Additional Bias Iteration 1 Iteration 2 Iterations 1-9 Sampling Distributions Examples George and Epstein (1992) Fearon and Laitin (2003) Holland (2017) Logit Quantities of Interest Technical Details Theorem 1 from Rainey 2017 Lemma 1 Theorem 1 Law of Iterated Expectations Blank

134. • τ ^mle µ ^mle 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.4

     −0.2 0.0 0.2 0.4 µ ^ τ ^ Iteration 1 toc

135. • • • • • • • • • •

     0.00 0.05 0.10 0.15 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 µ ^ τ ^ Iteration 10 toc

136. 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 µ

     ^ τ ^ Iteration 10000 toc

137. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3

     0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 τ ^avg. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 toc

138. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3

     0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2 toc

139. τ ^avg. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3

     0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 5 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 6 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 7 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 8 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 9 toc

140. • • • µ ^ τ ^ −0.4 −0.2 0.0

     0.2 0.4 0.00 0.05 0.10 0.15 0 30 60 90 0 1 2 3 4 Estimate Density Method Maximum Likelihood Average of Simulations toc

141. • • • • • • • • • •

     • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.0 0.2 0.4 0.6 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Effect of a Solicitor General Brief toc

142. • • • • • • • • • •

     • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.0 0.2 0.4 0.6 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Effect of a Solicitor General Brief sim. avg. about 20% smaller than MLE toc

143. • • • • • • • • • •

     • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.0 0.2 0.4 0.6 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Effect of a Solicitor General Brief sim. avg. about 20% smaller than MLE sim. avg. about 2x the MLE toc

144. • • • • • • • • • •

     • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.0 0.2 0.4 0.6 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Effect of a Solicitor General Brief sim. avg. about 20% smaller than MLE sim. avg. about 2x the MLE 7 cases where sim. avg. >10x MLE toc

145. • • • • • • • • • •

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152. • • • • • • • • • •

     • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Bogota Lima Santiago 10 20 30 10 20 30 40 50 2 4 6 8 5 10 20 40 60 10 20 30 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Expected Number of Enforcement Operations toc

153. • • • • • • • • • •

     • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Bogota Lima Santiago 10 20 30 10 20 30 40 50 2 4 6 8 5 10 20 40 60 10 20 30 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Expected Number of Enforcement Operations MLE is 24 sim. avg. is 46 sim. avg. is 90% bigger toc

154. • • • • • • • • • •

     • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Bogota Lima Santiago 10 20 30 10 20 30 40 50 2 4 6 8 5 10 20 40 60 10 20 30 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Expected Number of Enforcement Operations MLE is 24 sim. avg. is 46 sim. avg. is 90% bigger MLE is 4.6 sim. avg. is 5.8 sim. avg. is 25% bigger toc

155. yi ⇠ Bernoulli(⇡i), for i = 1, 2, ..., 100

     logit(⇡i) = 1.5 + xi + 0.2wi + 0.5zi toc

156. probability marginal effect first difference risk ratio coefficient−induced bias transformation−induced

     bias additional bias coefficient−induced bias transformation−induced bias additional bias coefficient−induced bias transformation−induced bias additional bias coefficient−induced bias transformation−induced bias additional bias 0.1 0.2 0.3 0.4 0.1 0.2 0.3 0.4 0.1 0.2 0.3 0.4 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.050 0.075 0.100 0.125 0.050 0.075 0.100 0.125 0.050 0.075 0.100 0.125 1.3 1.4 1.5 1.6 1.3 1.4 1.5 1.6 1.3 1.4 1.5 1.6 True Quantity of Interest True Quantity of Interest True Quantity of Interest True Quantity of Interest Bias Bias Bias Bias −0.02 −0.01 0.00 0.01 0.02 −0.04 −0.02 0.00 −0.02 −0.01 0.00 −0.04 0.00 0.04 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • toc

157. Theorem 1 (t.i. bias, Rainey 2017) Suppose a non-degenerate estimator

     ˆ. Then any strictly convex (concave) ⌧ creates upward (downward) transformation- induced ⌧-bias. Proof The proof follows directly from Jensen’s inequality. Suppose that the non-degenerate sampling distribution of ˆ is given by S (b) so that ˆ ⇠ S (b). Then E(ˆ) = R B bS (b)db and E[⌧(ˆ)] = R B ⌧(b)S (b)db. Suppose first that ⌧ is convex. By Jensen’s inequality, R B ⌧(b)S (b)db > ⌧ ⇥R B bS (b)db ⇤ , which implies that E[⌧(ˆ)] > ⌧[E(ˆ)]. Because E[⌧(ˆ)] ⌧[E(ˆ)] > 0, the transformation- induced ⌧-bias is upward. By similar argument, one can show that for any strictly concave ⌧, E[⌧(ˆ)] ⌧[E(ˆ)] > 0 and that the transformation-induced ⌧-bias is downward. ⌅ toc

158. toc Lemma 1 Suppose a maximum likelihood estimator ˆmle. Then

     any strictly convex (concave) ⌧ guarantees that ˆ ⌧avg. is strictly greater [less] than ˆ ⌧mle. Proof By definition, ˆ ⌧avg. = E h ⌧ ⇣ ˜ ⌘i . Using Jensen’s inequality, we know that E h ⌧ ⇣ ˜ ⌘i > ⌧ h E ⇣ ˜ ⌘i , so that ˆ ⌧avg. > ⌧ h E ⇣ ˜ ⌘i . However, because ˜ ⇠ N h ˆmle, ˆ V ⇣ ˆmle ⌘i , E ⇣ ˜ ⌘ = ˆmle, so that ˆ ⌧avg. > ⌧ ⇣ ˆmle ⌘ . Of course, ˆ ⌧mle = ⌧ ⇣ ˆmle ⌘ by definition, so that ˆ ⌧avg. > ˆ ⌧mle. The proof for concave ⌧ follows similarly. ⌅

159. Theorem 1 Suppose a maximum likelihood estimator ˆmle. Then for

     any strictly convex or concave ⌧, the transformation-induced ⌧-bias for ˆ ⌧avg. is strictly greater in magnitude than the transformation-induced ⌧-bias for ˆ ⌧mle. Proof According to Theorem 1 of Rainey (2017), E ˆ ⌧mle ⌧ h E ⇣ ˆmle ⌘i > 0. Lemma 1 shows that for any convex ⌧, ˆ ⌧avg. > ˆ ⌧mle. It follows that E (ˆ ⌧avg.) ⌧ h E ⇣ ˆmle ⌘i | {z } t.i. ⌧-bias in ˆ ⌧avg. > E ˆ ⌧mle ⌧ h E ⇣ ˆmle ⌘i | {z } t.i. ⌧-bias in ˆ ⌧mle > 0. For the concave case, it follows similarly that E (ˆ ⌧avg.) ⌧ h E ⇣ ˆmle ⌘i | {z } t.i. ⌧-bias in ˆ ⌧avg. < E ˆ ⌧mle ⌧ h E ⇣ ˆmle ⌘i | {z } t.i. ⌧-bias in ˆ ⌧mle < 0 ⌅ toc

160. toc

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