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Unnecessary

Carlisle Rainey
January 25, 2018
550

 Unnecessary

Carlisle Rainey

January 25, 2018
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  1. Unnecessary Bias The Consequences of Averaging Simulated Quantities of Interest

    Carlisle Rainey Assistant Professor Texas A&M University [email protected] Holger Kern Assistant Professor Florida State University [email protected] paper, data, and code at carlislerainey.com/talk
  2. Unnecessary Bias The Consequences of Averaging Simulated Quantities of Interest

    Carlisle Rainey Assistant Professor Texas A&M University [email protected] Holger Kern Assistant Professor Florida State University [email protected] paper, data, and code at carlislerainey.com/talk
  3. …the way King, Tomz, and Wittenberg (2000) say to do.

    Should you average simulated quantities of interest?
  4. …the way King, Tomz, and Wittenberg (2000) say to do.

    …the way Clarify and Zelig do. Should you average simulated quantities of interest?
  5. …the way King, Tomz, and Wittenberg (2000) say to do.

    …the way Clarify and Zelig do. …the way that Matt Golder’s marginal effects plot code does. Should you average simulated quantities of interest?
  6. …the way King, Tomz, and Wittenberg (2000) say to do.

    …the way Clarify and Zelig do. …the way that Matt Golder’s marginal effects plot code does. …the way that Hanmer and Kalkan’s (2013) code does. Should you average simulated quantities of interest?
  7. …the way King, Tomz, and Wittenberg (2000) say to do.

    …the way Clarify and Zelig do. …the way that Matt Golder’s marginal effects plot code does. …the way that Hanmer and Kalkan’s (2013) code does. …the way that my own code does. Should you average simulated quantities of interest?
  8. …the way King, Tomz, and Wittenberg (2000) say to do.

    …the way Clarify and Zelig do. …the way that Matt Golder’s marginal effects plot code does. …the way that Hanmer and Kalkan’s (2013) code does. …the way that my own code does. …the way that Holger’s code does. Should you average simulated quantities of interest?
  9. …the way King, Tomz, and Wittenberg (2000) say to do.

    …the way Clarify and Zelig do. …the way that Matt Golder’s marginal effects plot code does. …the way that Hanmer and Kalkan’s (2013) code does. …the way that my own code does. …the way that Holger’s code does. …the way that your own code might. Should you average simulated quantities of interest?
  10. No.

  11. TABLE 2. Models of Involvement in Militarized Disputes, 1950–1985: Assessing

    the Liberal Peace Variable Eqn 1 Eqn 2 Eqn 3 Eqn 4 Democracy scoreL ß -0.0497 -0.0554 -0.0413 -0.0457 SEß 0.0074 0.0077 0.0083 0.0076 p < .001 < .001 < .001 < .001 Economic growth rateL -0.0223 -0.0318 -0.0297 -0.0220 0.0085 0.0093 0.0094 0.0090 .009 < .001 < .001 .02 Allies -0.821 -0.868 -0.864 -0.815 0.080 0.092 0.092 0.083 < .001 < .001 < .001 < .001 Contiguity 1.31 1.26 1.32 1.39 0.08 0.09 0.09 0.08 < .001 < .001 < .001 < .001 Capability ratio -0.00307 -0.00345 -0.00356 -0.00279 0.00042 0.00050 0.00051 0.00041 < .001 < .001 < .001 < .001 Dyadic trade-to-GDP ratioL -66.1 -43.8 -81.0 13.4 12.5 15.2 < .001 < .001 < .001 Total trade-to-GDP ratioL -0.706 -0.512 0.192 0.193 < .001 .008 Trend, dyadic trade-to-GDP -8.89 ratioH 2.93 < .001 Constant -3.29 -3.28 -3.20 -3.32 0.08 0.10 0.10 0.08 < .001 < .001 < .001 < .001 Chi2 764.04 593.65 611.74 728.56 P of chi2 < .0001 < .0001 < .0001 < .0001 Log likelihood -3477.57 -2795.89 -2786.85 -3231.42 N 20,990 17,709 17,709 19,772
  12. 0.08 < .001 Capability ratio -0.00307 0.00042 < .001 Dyadic

    trade-to-GDP ratioL -66.1 13.4 < .001 Total trade-to-GDP ratioL Trend, dyadic trade-to-GDP
  13. TABLE 3. Annual Probabilities of Involvement in a Militarized Dispute,

    1950–1985, Based on the Estimated Coefficients for Equations 1 and 2 in Table 2 Equation 1 Equation 2 1. Democracy scoreL , economic growth rateL , dyadic .078 .070 trade-to-GDP ratioL , and capability ratio at mean values; allies equals 0; contiguity equals 1 2. Increase in democracyL of 1 std. dev.; other variables .057 .049 at baseline values 3. Increase in dyadic trade-to-GDP ratioL of 1 std. dev.; .047 — other variables at baseline values 4. Increase in total trade-to-GDP ratioL of 1 std. dev.; — .061 other variables at baseline values 5. Increase in economic growth rateL of 1 std. dev.; other .073 .064 variables at baseline values 6. Allies equals 1; other variables at baseline values .036 .031 7. Contiguity equals 0; other variables at baseline values .022 .021 8. Increase in capability ratio of 1 std. dev.; other variables .021 .016 at baseline values 9. Capability ratio equals 1; other variables at baseline values .122 .117 10. Capability ratio equals 10; other variables at baseline values .119 .114
  14. TABLE 3. Annual Probabilities of Involvement in a Militarized Dispute,

    1950–1985, Based on the Estimated Coefficients for Equations 1 and 2 in Table 2 Equation 1 Equation 2 1. Democracy scoreL , economic growth rateL , dyadic .078 .070 trade-to-GDP ratioL , and capability ratio at mean values; allies equals 0; contiguity equals 1 2. Increase in democracyL of 1 std. dev.; other variables .057 .049 at baseline values 3. Increase in dyadic trade-to-GDP ratioL of 1 std. dev.; .047 — other variables at baseline values 4. Increase in total trade-to-GDP ratioL of 1 std. dev.; — .061 other variables at baseline values 5. Increase in economic growth rateL of 1 std. dev.; other .073 .064 variables at baseline values 6. Allies equals 1; other variables at baseline values .036 .031 7. Contiguity equals 0; other variables at baseline values .022 .021 8. Increase in capability ratio of 1 std. dev.; other variables .021 .016 at baseline values 9. Capability ratio equals 1; other variables at baseline values .122 .117 10. Capability ratio equals 10; other variables at baseline values .119 .114
  15. TABLE 3. Annual Probabilities of Involvement in a Militarized Dispute,

    1950–1985, Based on the Estimated Coefficients for Equations 1 and 2 in Table 2 Equation 1 Equation 2 1. Democracy scoreL , economic growth rateL , dyadic .078 .070 trade-to-GDP ratioL , and capability ratio at mean values; allies equals 0; contiguity equals 1 2. Increase in democracyL of 1 std. dev.; other variables .057 .049 at baseline values 3. Increase in dyadic trade-to-GDP ratioL of 1 std. dev.; .047 — other variables at baseline values 4. Increase in total trade-to-GDP ratioL of 1 std. dev.; — .061 other variables at baseline values 5. Increase in economic growth rateL of 1 std. dev.; other .073 .064 variables at baseline values 6. Allies equals 1; other variables at baseline values .036 .031 7. Contiguity equals 0; other variables at baseline values .022 .021 8. Increase in capability ratio of 1 std. dev.; other variables .021 .016 at baseline values 9. Capability ratio equals 1; other variables at baseline values .122 .117 10. Capability ratio equals 10; other variables at baseline values .119 .114
  16. TABLE 3. Annual Probabilities of Involvement in a Militarized Dispute,

    1950–1985, Based on the Estimated Coefficients for Equations 1 and 2 in Table 2 Equation 1 Equation 2 1. Democracy scoreL , economic growth rateL , dyadic .078 .070 trade-to-GDP ratioL , and capability ratio at mean values; allies equals 0; contiguity equals 1 2. Increase in democracyL of 1 std. dev.; other variables .057 .049 at baseline values 3. Increase in dyadic trade-to-GDP ratioL of 1 std. dev.; .047 — other variables at baseline values 4. Increase in total trade-to-GDP ratioL of 1 std. dev.; — .061 other variables at baseline values 5. Increase in economic growth rateL of 1 std. dev.; other .073 .064 variables at baseline values 6. Allies equals 1; other variables at baseline values .036 .031 7. Contiguity equals 0; other variables at baseline values .022 .021 8. Increase in capability ratio of 1 std. dev.; other variables .021 .016 at baseline values 9. Capability ratio equals 1; other variables at baseline values .122 .117 10. Capability ratio equals 10; other variables at baseline values .119 .114
  17. TABLE 3. Annual Probabilities of Involvement in a Militarized Dispute,

    1950–1985, Based on the Estimated Coefficients for Equations 1 and 2 in Table 2 Equation 1 Equation 2 1. Democracy scoreL , economic growth rateL , dyadic .078 .070 trade-to-GDP ratioL , and capability ratio at mean values; allies equals 0; contiguity equals 1 2. Increase in democracyL of 1 std. dev.; other variables .057 .049 at baseline values 3. Increase in dyadic trade-to-GDP ratioL of 1 std. dev.; .047 — other variables at baseline values 4. Increase in total trade-to-GDP ratioL of 1 std. dev.; — .061 other variables at baseline values 5. Increase in economic growth rateL of 1 std. dev.; other .073 .064 variables at baseline values 6. Allies equals 1; other variables at baseline values .036 .031 7. Contiguity equals 0; other variables at baseline values .022 .021 8. Increase in capability ratio of 1 std. dev.; other variables .021 .016 at baseline values 9. Capability ratio equals 1; other variables at baseline values .122 .117 10. Capability ratio equals 10; other variables at baseline values .119 .114 difference of -0.031
  18. two options use the invariance property average simulated QIs t.i.

    bias 2x t.i. bias 2017 PA What happens when you average simulated QIs? (2) (1)
  19. two options use the invariance property average simulated QIs t.i.

    bias 2x t.i. bias 2017 PA What happens when you average simulated QIs? Does any of this matter? (2) (3) (1)
  20. yi ⇠ N(µ, 1), for i = 1, 2, ...,

    100 ⌧(µ) = µ2 µ = 0
  21. yi ⇠ N(µ, 1), for i = 1, 2, ...,

    100 ⌧(µ) = µ2 µ = 0 DGP or model
  22. yi ⇠ N(µ, 1), for i = 1, 2, ...,

    100 ⌧(µ) = µ2 µ = 0 DGP or model QI
  23. yi ⇠ N(µ, 1), for i = 1, 2, ...,

    100 ⌧(µ) = µ2 µ = 0 DGP or model QI truth
  24. sample ave. is a BUE of u. (…and MLE!) yi

    ⇠ N(µ, 1), for i = 1, 2, ..., 100 ⌧(µ) = µ2 µ = 0 DGP or model QI truth
  25. • τ ^mle µ ^mle 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.4

    −0.2 0.0 0.2 0.4 µ ^ τ ^ Iteration 1
  26. • • • • 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.4 −0.2

    0.0 0.2 0.4 µ ^ τ ^ Iteration 4
  27. • • • • • 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.4

    −0.2 0.0 0.2 0.4 µ ^ τ ^ Iteration 5
  28. • • • • • • 0.00 0.05 0.10 0.15

    −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 µ ^ τ ^ Iteration 6
  29. • • • • • • • 0.00 0.05 0.10

    0.15 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 µ ^ τ ^ Iteration 7
  30. • • • • • • • • 0.00 0.05

    0.10 0.15 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 µ ^ τ ^ Iteration 8
  31. • • • • • • • • • 0.00

    0.05 0.10 0.15 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 µ ^ τ ^ Iteration 9
  32. • • • • • • • • • •

    0.00 0.05 0.10 0.15 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 µ ^ τ ^ Iteration 10
  33. µ ^ τ ^ −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.00

    0.05 0.10 0.15 0 30 60 90 0 1 2 3 4 Estimate Density Method Maximum Likelihood Average of Simulations
  34. • µ ^ τ ^ −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4

    0.00 0.05 0.10 0.15 0 30 60 90 0 1 2 3 4 Estimate Density Method Maximum Likelihood Average of Simulations
  35. • • µ ^ τ ^ −0.4 −0.2 0.0 0.2

    0.4 0.00 0.05 0.10 0.15 0 30 60 90 0 1 2 3 4 Estimate Density Method Maximum Likelihood Average of Simulations
  36. two options use the invariance property average simulated QIs t.i.

    bias 2x t.i. bias 2017 PA What happens when you average simulated QIs? Does any of this matter? (2) (3) (1)
  37. Simulating Quantities of Interest King, Tomz, Wittenberg (2000) 1. Fit

    the model. 2. Simulate the coefficients. 3. Transform simulated coefficients into the quantities of interest.
  38. Simulating Quantities of Interest King, Tomz, Wittenberg (2000) 1. Fit

    the model. 2. Simulate the coefficients. 3. Transform simulated coefficients into the quantities of interest. 4. Average the simulations of the quantity of interest to obtain a point estimate.
  39. sample ave. is a BUE of u. (…and MLE!) yi

    ⇠ N(µ, 1), for i = 1, 2, ..., 100 ⌧(µ) = µ2 µ = 0 DGP or model QI truth
  40. sample ave. is a BUE of u. (…and MLE!) yi

    ⇠ N(µ, 1), for i = 1, 2, ..., 100 ⌧(µ) = µ2 µ = 0 DGP or model QI truth SE is 1/sqrt(100)
  41. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3

    0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1
  42. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3

    0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 normal w/ mean of 0.2 and SD of 0.1
  43. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3

    0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1
  44. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3

    0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 sim. coef.
  45. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3

    0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 sim. coef. translated into sim. QI
  46. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3

    0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 sim. coef. translated into sim. QI
  47. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3

    0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 τ ^avg. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1
  48. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3

    0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2
  49. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3

    0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2
  50. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3

    0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2
  51. τ ^avg. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3

    0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2
  52. τ ^avg. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3

    0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 3
  53. τ ^avg. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3

    0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 4
  54. τ ^avg. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3

    0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 5
  55. τ ^avg. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3

    0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 5 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 6
  56. τ ^avg. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3

    0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 5 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 6 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 7
  57. τ ^avg. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3

    0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 5 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 6 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 7 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 8
  58. τ ^avg. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3

    0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 5 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 6 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 7 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 8 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 9
  59. • • µ ^ τ ^ −0.4 −0.2 0.0 0.2

    0.4 0.00 0.05 0.10 0.15 0 30 60 90 0 1 2 3 4 Estimate Density Method Maximum Likelihood Average of Simulations
  60. • • µ ^ τ ^ −0.4 −0.2 0.0 0.2

    0.4 0.00 0.05 0.10 0.15 0 30 60 90 0 1 2 3 4 Estimate Density Method Maximum Likelihood Average of Simulations
  61. • • • µ ^ τ ^ −0.4 −0.2 0.0

    0.2 0.4 0.00 0.05 0.10 0.15 0 30 60 90 0 1 2 3 4 Estimate Density Method Maximum Likelihood Average of Simulations
  62. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3

    0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 τ ^avg. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1
  63. For a convex transformation, the average of simulations is always

    greater than the (upwardly biased) ML estimate. 1 2 3
  64. For a convex transformation, the average of simulations is always

    greater than the (upwardly biased) ML estimate. So, of course the average of simulations is more biased than the ML estimate. 1 2 3
  65. For a convex transformation, the average of simulations is always

    greater than the (upwardly biased) ML estimate. So, of course the average of simulations is more biased than the ML estimate. This additional bias is roughly equal to the transformation-induced bias. 1 2 3
  66. two options use the invariance property average simulated QIs t.i.

    bias 2x t.i. bias 2017 PA What happens when you average simulated QIs? Does any of this matter? (2) (3) (1)
  67. The additional bias grows larger… as the standard errors increase

    and as the transformations become more nonlinear.
  68. study George and Epstein (1992) key claim Supreme Ct. decisions

    depend on legal and extralegal factors. data 64 observations, 11 explanatory variables quantities of interest first difference: effect of a Solicitor General brief on the probability of a conservative decision for all 64 combinations of the other covariates
  69. • • • • • • • • • •

    • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.0 0.2 0.4 0.6 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Effect of a Solicitor General Brief
  70. • • • • • • • • • •

    • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.0 0.2 0.4 0.6 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Effect of a Solicitor General Brief sim. avg. about 20% smaller than MLE
  71. • • • • • • • • • •

    • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.0 0.2 0.4 0.6 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Effect of a Solicitor General Brief sim. avg. about 20% smaller than MLE sim. avg. about 2x the MLE
  72. • • • • • • • • • •

    • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.0 0.2 0.4 0.6 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Effect of a Solicitor General Brief sim. avg. about 20% smaller than MLE sim. avg. about 2x the MLE 7 cases where sim. avg. >10x MLE
  73. study Fearon and Laitin (2003) key claim Lots of factors

    lead to civil wars, but ethnic and religious diversity do not. data 6,327 observations (106 events), 11 explanatory variables quantities of interest risk ratio: the effect of a 10% decrease in GDP per capita on the probability of civil war for all 6,327 combinations of explanatory variables
  74. • • • • • • • • • •

    • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 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  76. • • • • • • • • • •

    • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 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  77. • • • • • • • • • •

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• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 100 101 102 103 104 105 100 100.5 101 101.5 102 102.5 103 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate 100 100.5 101 101.5 102 Ratio: Avg./MLE The Effect of a 10% Decrease in GDP on the Probability of Civil War Kuwait from 1968-72 year MLE s.a. ratio 1968 101 743 7 1969 99 716 7 1970 65 311 5 1971 48 177 4 1972 50 189 4
  81. study Holland (2017) key claim Politicians enforce laws less diligently

    when it helps them keep office data 19, 36, and 34 observations 3 explanatory variables quantities of interest expected count: the expected number of enforcement operations for each observation.
  82. • • • • • • • • • •

    • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Bogota Lima Santiago 10 20 30 10 20 30 40 50 2 4 6 8 5 10 20 40 60 10 20 30 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Expected Number of Enforcement Operations
  83. • • • • • • • • • •

    • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Bogota Lima Santiago 10 20 30 10 20 30 40 50 2 4 6 8 5 10 20 40 60 10 20 30 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Expected Number of Enforcement Operations MLE is 24 sim. avg. is 46 sim. avg. is 90% bigger
  84. • • • • • • • • • •

    • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Bogota Lima Santiago 10 20 30 10 20 30 40 50 2 4 6 8 5 10 20 40 60 10 20 30 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Expected Number of Enforcement Operations MLE is 24 sim. avg. is 46 sim. avg. is 90% bigger MLE is 4.6 sim. avg. is 5.8 sim. avg. is 25% bigger
  85. two options use the invariance property average simulated QIs t.i.

    bias 2x t.i. bias 2017 PA What happens when you average simulated QIs? Does any of this matter? (2) (3) (1)
  86. Appendix Stark Illustration • Illustration of Transformation- Induced Bias. Iteration

    1 Iteration 10 Iteration 10,000 • Illustration of Additional Bias Iteration 1 Iteration 2 Iterations 1-9 Sampling Distributions Examples George and Epstein (1992) Fearon and Laitin (2003) Holland (2017) Logit Quantities of Interest Technical Details Theorem 1 from Rainey 2017 Lemma 1 Theorem 1 Law of Iterated Expectations Blank
  87. • τ ^mle µ ^mle 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.4

    −0.2 0.0 0.2 0.4 µ ^ τ ^ Iteration 1 toc
  88. • • • • • • • • • •

    0.00 0.05 0.10 0.15 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 µ ^ τ ^ Iteration 10 toc
  89. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3

    0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 τ ^avg. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 toc
  90. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3

    0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2 toc
  91. τ ^avg. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3

    0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 5 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 6 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 7 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 8 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 9 toc
  92. • • • µ ^ τ ^ −0.4 −0.2 0.0

    0.2 0.4 0.00 0.05 0.10 0.15 0 30 60 90 0 1 2 3 4 Estimate Density Method Maximum Likelihood Average of Simulations toc
  93. • • • • • • • • • •

    • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.0 0.2 0.4 0.6 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Effect of a Solicitor General Brief toc
  94. • • • • • • • • • •

    • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.0 0.2 0.4 0.6 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Effect of a Solicitor General Brief sim. avg. about 20% smaller than MLE toc
  95. • • • • • • • • • •

    • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.0 0.2 0.4 0.6 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Effect of a Solicitor General Brief sim. avg. about 20% smaller than MLE sim. avg. about 2x the MLE toc
  96. • • • • • • • • • •

    • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.0 0.2 0.4 0.6 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Effect of a Solicitor General Brief sim. avg. about 20% smaller than MLE sim. avg. about 2x the MLE 7 cases where sim. avg. >10x MLE toc
  97. • • • • • • • • • •

    • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 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  99. • • • • • • • • • •

    • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 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  100. • • • • • • • • • •

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  101. • • • • • • • • • •

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  102. • • • • • • • • • •

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  103. • • • • • • • • • •

    • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 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  104. • • • • • • • • • •

    • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Bogota Lima Santiago 10 20 30 10 20 30 40 50 2 4 6 8 5 10 20 40 60 10 20 30 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Expected Number of Enforcement Operations toc
  105. • • • • • • • • • •

    • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Bogota Lima Santiago 10 20 30 10 20 30 40 50 2 4 6 8 5 10 20 40 60 10 20 30 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Expected Number of Enforcement Operations MLE is 24 sim. avg. is 46 sim. avg. is 90% bigger toc
  106. • • • • • • • • • •

    • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Bogota Lima Santiago 10 20 30 10 20 30 40 50 2 4 6 8 5 10 20 40 60 10 20 30 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Expected Number of Enforcement Operations MLE is 24 sim. avg. is 46 sim. avg. is 90% bigger MLE is 4.6 sim. avg. is 5.8 sim. avg. is 25% bigger toc
  107. yi ⇠ Bernoulli(⇡i), for i = 1, 2, ..., 100

    logit(⇡i) = 1.5 + xi + 0.2wi + 0.5zi toc
  108. probability marginal effect first difference risk ratio coefficient−induced bias transformation−induced

    bias additional bias coefficient−induced bias transformation−induced bias additional bias coefficient−induced bias transformation−induced bias additional bias coefficient−induced bias transformation−induced bias additional bias 0.1 0.2 0.3 0.4 0.1 0.2 0.3 0.4 0.1 0.2 0.3 0.4 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.050 0.075 0.100 0.125 0.050 0.075 0.100 0.125 0.050 0.075 0.100 0.125 1.3 1.4 1.5 1.6 1.3 1.4 1.5 1.6 1.3 1.4 1.5 1.6 True Quantity of Interest True Quantity of Interest True Quantity of Interest True Quantity of Interest Bias Bias Bias Bias −0.02 −0.01 0.00 0.01 0.02 −0.04 −0.02 0.00 −0.02 −0.01 0.00 −0.04 0.00 0.04 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • toc
  109. Theorem 1 (t.i. bias, Rainey 2017) Suppose a non-degenerate estimator

    ˆ. Then any strictly convex (concave) ⌧ creates upward (downward) transformation- induced ⌧-bias. Proof The proof follows directly from Jensen’s inequality. Suppose that the non-degenerate sampling distribution of ˆ is given by S (b) so that ˆ ⇠ S (b). Then E(ˆ) = R B bS (b)db and E[⌧(ˆ)] = R B ⌧(b)S (b)db. Suppose first that ⌧ is convex. By Jensen’s inequality, R B ⌧(b)S (b)db > ⌧ ⇥R B bS (b)db ⇤ , which implies that E[⌧(ˆ)] > ⌧[E(ˆ)]. Because E[⌧(ˆ)] ⌧[E(ˆ)] > 0, the transformation- induced ⌧-bias is upward. By similar argument, one can show that for any strictly concave ⌧, E[⌧(ˆ)] ⌧[E(ˆ)] > 0 and that the transformation-induced ⌧-bias is downward. ⌅ toc
  110. toc Lemma 1 Suppose a maximum likelihood estimator ˆmle. Then

    any strictly convex (concave) ⌧ guarantees that ˆ ⌧avg. is strictly greater [less] than ˆ ⌧mle. Proof By definition, ˆ ⌧avg. = E h ⌧ ⇣ ˜ ⌘i . Using Jensen’s inequality, we know that E h ⌧ ⇣ ˜ ⌘i > ⌧ h E ⇣ ˜ ⌘i , so that ˆ ⌧avg. > ⌧ h E ⇣ ˜ ⌘i . However, because ˜ ⇠ N h ˆmle, ˆ V ⇣ ˆmle ⌘i , E ⇣ ˜ ⌘ = ˆmle, so that ˆ ⌧avg. > ⌧ ⇣ ˆmle ⌘ . Of course, ˆ ⌧mle = ⌧ ⇣ ˆmle ⌘ by definition, so that ˆ ⌧avg. > ˆ ⌧mle. The proof for concave ⌧ follows similarly. ⌅
  111. Theorem 1 Suppose a maximum likelihood estimator ˆmle. Then for

    any strictly convex or concave ⌧, the transformation-induced ⌧-bias for ˆ ⌧avg. is strictly greater in magnitude than the transformation-induced ⌧-bias for ˆ ⌧mle. Proof According to Theorem 1 of Rainey (2017), E ˆ ⌧mle ⌧ h E ⇣ ˆmle ⌘i > 0. Lemma 1 shows that for any convex ⌧, ˆ ⌧avg. > ˆ ⌧mle. It follows that E (ˆ ⌧avg.) ⌧ h E ⇣ ˆmle ⌘i | {z } t.i. ⌧-bias in ˆ ⌧avg. > E ˆ ⌧mle ⌧ h E ⇣ ˆmle ⌘i | {z } t.i. ⌧-bias in ˆ ⌧mle > 0. For the concave case, it follows similarly that E (ˆ ⌧avg.) ⌧ h E ⇣ ˆmle ⌘i | {z } t.i. ⌧-bias in ˆ ⌧avg. < E ˆ ⌧mle ⌧ h E ⇣ ˆmle ⌘i | {z } t.i. ⌧-bias in ˆ ⌧mle < 0 ⌅ toc
  112. toc

  113. toc