Unnecessary

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1. Unnecessary Bias The Consequences of Averaging Simulated Quantities of Interest Carlisle Rainey Assistant Professor Texas A&M University crainey@tamu.edu Holger Kern Assistant Professor Florida State University hkern@fsu.edu paper, data, and code at carlislerainey.com/talk
2. Unnecessary Bias The Consequences of Averaging Simulated Quantities of Interest Carlisle Rainey Assistant Professor Texas A&M University crainey@tamu.edu Holger Kern Assistant Professor Florida State University hkern@fsu.edu paper, data, and code at carlislerainey.com/talk
3. Should you average simulated quantities of interest?
4. Should you average simulated quantities of interest?
5. …the way King, Tomz, and Wittenberg (2000) say to do. Should you average simulated quantities of interest?
6. …the way King, Tomz, and Wittenberg (2000) say to do. …the way Clarify and Zelig do. Should you average simulated quantities of interest?
7. …the way King, Tomz, and Wittenberg (2000) say to do. …the way Clarify and Zelig do. …the way that Matt Golder’s marginal effects plot code does. Should you average simulated quantities of interest?
8. …the way King, Tomz, and Wittenberg (2000) say to do. …the way Clarify and Zelig do. …the way that Matt Golder’s marginal effects plot code does. …the way that Hanmer and Kalkan’s (2013) code does. Should you average simulated quantities of interest?
9. …the way King, Tomz, and Wittenberg (2000) say to do. …the way Clarify and Zelig do. …the way that Matt Golder’s marginal effects plot code does. …the way that Hanmer and Kalkan’s (2013) code does. …the way that my own code does. Should you average simulated quantities of interest?
10. …the way King, Tomz, and Wittenberg (2000) say to do. …the way Clarify and Zelig do. …the way that Matt Golder’s marginal effects plot code does. …the way that Hanmer and Kalkan’s (2013) code does. …the way that my own code does. …the way that Holger’s code does. Should you average simulated quantities of interest?
11. …the way King, Tomz, and Wittenberg (2000) say to do. …the way Clarify and Zelig do. …the way that Matt Golder’s marginal effects plot code does. …the way that Hanmer and Kalkan’s (2013) code does. …the way that my own code does. …the way that Holger’s code does. …the way that your own code might. Should you average simulated quantities of interest?
12. No.
14. TABLE 2. Models of Involvement in Militarized Disputes, 1950–1985: Assessing the Liberal Peace Variable Eqn 1 Eqn 2 Eqn 3 Eqn 4 Democracy scoreL ß -0.0497 -0.0554 -0.0413 -0.0457 SEß 0.0074 0.0077 0.0083 0.0076 p < .001 < .001 < .001 < .001 Economic growth rateL -0.0223 -0.0318 -0.0297 -0.0220 0.0085 0.0093 0.0094 0.0090 .009 < .001 < .001 .02 Allies -0.821 -0.868 -0.864 -0.815 0.080 0.092 0.092 0.083 < .001 < .001 < .001 < .001 Contiguity 1.31 1.26 1.32 1.39 0.08 0.09 0.09 0.08 < .001 < .001 < .001 < .001 Capability ratio -0.00307 -0.00345 -0.00356 -0.00279 0.00042 0.00050 0.00051 0.00041 < .001 < .001 < .001 < .001 Dyadic trade-to-GDP ratioL -66.1 -43.8 -81.0 13.4 12.5 15.2 < .001 < .001 < .001 Total trade-to-GDP ratioL -0.706 -0.512 0.192 0.193 < .001 .008 Trend, dyadic trade-to-GDP -8.89 ratioH 2.93 < .001 Constant -3.29 -3.28 -3.20 -3.32 0.08 0.10 0.10 0.08 < .001 < .001 < .001 < .001 Chi2 764.04 593.65 611.74 728.56 P of chi2 < .0001 < .0001 < .0001 < .0001 Log likelihood -3477.57 -2795.89 -2786.85 -3231.42 N 20,990 17,709 17,709 19,772
15. 0.08 < .001 Capability ratio -0.00307 0.00042 < .001 Dyadic trade-to-GDP ratioL -66.1 13.4 < .001 Total trade-to-GDP ratioL Trend, dyadic trade-to-GDP
16. TABLE 3. Annual Probabilities of Involvement in a Militarized Dispute, 1950–1985, Based on the Estimated Coefficients for Equations 1 and 2 in Table 2 Equation 1 Equation 2 1. Democracy scoreL , economic growth rateL , dyadic .078 .070 trade-to-GDP ratioL , and capability ratio at mean values; allies equals 0; contiguity equals 1 2. Increase in democracyL of 1 std. dev.; other variables .057 .049 at baseline values 3. Increase in dyadic trade-to-GDP ratioL of 1 std. dev.; .047 — other variables at baseline values 4. Increase in total trade-to-GDP ratioL of 1 std. dev.; — .061 other variables at baseline values 5. Increase in economic growth rateL of 1 std. dev.; other .073 .064 variables at baseline values 6. Allies equals 1; other variables at baseline values .036 .031 7. Contiguity equals 0; other variables at baseline values .022 .021 8. Increase in capability ratio of 1 std. dev.; other variables .021 .016 at baseline values 9. Capability ratio equals 1; other variables at baseline values .122 .117 10. Capability ratio equals 10; other variables at baseline values .119 .114
17. TABLE 3. Annual Probabilities of Involvement in a Militarized Dispute, 1950–1985, Based on the Estimated Coefficients for Equations 1 and 2 in Table 2 Equation 1 Equation 2 1. Democracy scoreL , economic growth rateL , dyadic .078 .070 trade-to-GDP ratioL , and capability ratio at mean values; allies equals 0; contiguity equals 1 2. Increase in democracyL of 1 std. dev.; other variables .057 .049 at baseline values 3. Increase in dyadic trade-to-GDP ratioL of 1 std. dev.; .047 — other variables at baseline values 4. Increase in total trade-to-GDP ratioL of 1 std. dev.; — .061 other variables at baseline values 5. Increase in economic growth rateL of 1 std. dev.; other .073 .064 variables at baseline values 6. Allies equals 1; other variables at baseline values .036 .031 7. Contiguity equals 0; other variables at baseline values .022 .021 8. Increase in capability ratio of 1 std. dev.; other variables .021 .016 at baseline values 9. Capability ratio equals 1; other variables at baseline values .122 .117 10. Capability ratio equals 10; other variables at baseline values .119 .114
18. TABLE 3. Annual Probabilities of Involvement in a Militarized Dispute, 1950–1985, Based on the Estimated Coefficients for Equations 1 and 2 in Table 2 Equation 1 Equation 2 1. Democracy scoreL , economic growth rateL , dyadic .078 .070 trade-to-GDP ratioL , and capability ratio at mean values; allies equals 0; contiguity equals 1 2. Increase in democracyL of 1 std. dev.; other variables .057 .049 at baseline values 3. Increase in dyadic trade-to-GDP ratioL of 1 std. dev.; .047 — other variables at baseline values 4. Increase in total trade-to-GDP ratioL of 1 std. dev.; — .061 other variables at baseline values 5. Increase in economic growth rateL of 1 std. dev.; other .073 .064 variables at baseline values 6. Allies equals 1; other variables at baseline values .036 .031 7. Contiguity equals 0; other variables at baseline values .022 .021 8. Increase in capability ratio of 1 std. dev.; other variables .021 .016 at baseline values 9. Capability ratio equals 1; other variables at baseline values .122 .117 10. Capability ratio equals 10; other variables at baseline values .119 .114
19. TABLE 3. Annual Probabilities of Involvement in a Militarized Dispute, 1950–1985, Based on the Estimated Coefficients for Equations 1 and 2 in Table 2 Equation 1 Equation 2 1. Democracy scoreL , economic growth rateL , dyadic .078 .070 trade-to-GDP ratioL , and capability ratio at mean values; allies equals 0; contiguity equals 1 2. Increase in democracyL of 1 std. dev.; other variables .057 .049 at baseline values 3. Increase in dyadic trade-to-GDP ratioL of 1 std. dev.; .047 — other variables at baseline values 4. Increase in total trade-to-GDP ratioL of 1 std. dev.; — .061 other variables at baseline values 5. Increase in economic growth rateL of 1 std. dev.; other .073 .064 variables at baseline values 6. Allies equals 1; other variables at baseline values .036 .031 7. Contiguity equals 0; other variables at baseline values .022 .021 8. Increase in capability ratio of 1 std. dev.; other variables .021 .016 at baseline values 9. Capability ratio equals 1; other variables at baseline values .122 .117 10. Capability ratio equals 10; other variables at baseline values .119 .114
20. TABLE 3. Annual Probabilities of Involvement in a Militarized Dispute, 1950–1985, Based on the Estimated Coefficients for Equations 1 and 2 in Table 2 Equation 1 Equation 2 1. Democracy scoreL , economic growth rateL , dyadic .078 .070 trade-to-GDP ratioL , and capability ratio at mean values; allies equals 0; contiguity equals 1 2. Increase in democracyL of 1 std. dev.; other variables .057 .049 at baseline values 3. Increase in dyadic trade-to-GDP ratioL of 1 std. dev.; .047 — other variables at baseline values 4. Increase in total trade-to-GDP ratioL of 1 std. dev.; — .061 other variables at baseline values 5. Increase in economic growth rateL of 1 std. dev.; other .073 .064 variables at baseline values 6. Allies equals 1; other variables at baseline values .036 .031 7. Contiguity equals 0; other variables at baseline values .022 .021 8. Increase in capability ratio of 1 std. dev.; other variables .021 .016 at baseline values 9. Capability ratio equals 1; other variables at baseline values .122 .117 10. Capability ratio equals 10; other variables at baseline values .119 .114 difference of -0.031
21. two options
22. two options use the invariance property
23. two options use the invariance property Long (1997)
24. two options use the invariance property average simulated QIs
25. two options use the invariance property average simulated QIs Clarify in Stata
26. two options use the invariance property average simulated QIs
27. two options use the invariance property average simulated QIs t.i. bias
28. two options use the invariance property average simulated QIs t.i. bias 2x t.i. bias
29. two options use the invariance property average simulated QIs t.i. bias 2x t.i. bias 2017 PA (1)
30. two options use the invariance property average simulated QIs t.i. bias 2x t.i. bias 2017 PA What happens when you average simulated QIs? (2) (1)
31. two options use the invariance property average simulated QIs t.i. bias 2x t.i. bias 2017 PA What happens when you average simulated QIs? Does any of this matter? (2) (3) (1)
32. Rainey (2017)
33. Long (1997)
34. King (1998)
35. margins
36. predict()
37. bias
38. bias expected estimate - true value
39. bias expected estimate - true value under repeated sampling
40. bias expected estimate - true value under repeated sampling *IMPORTANT* property of procedure, not estimate
44. e.g., small-sample bias in logit
45. Jensen’s inequality: E[g(X)] > g(E[X]) for convex g. e.g., small-sample bias in logit
46. A Stark Illustration
47. yi ⇠ N(µ, 1), for i = 1, 2, ..., 100 ⌧(µ) = µ2 µ = 0
48. yi ⇠ N(µ, 1), for i = 1, 2, ..., 100 ⌧(µ) = µ2 µ = 0 DGP or model
49. yi ⇠ N(µ, 1), for i = 1, 2, ..., 100 ⌧(µ) = µ2 µ = 0 DGP or model QI
50. yi ⇠ N(µ, 1), for i = 1, 2, ..., 100 ⌧(µ) = µ2 µ = 0 DGP or model QI truth
51. sample ave. is a BUE of u. (…and MLE!) yi ⇠ N(µ, 1), for i = 1, 2, ..., 100 ⌧(µ) = µ2 µ = 0 DGP or model QI truth
52. 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 µ ^ τ ^ Iteration 1
53. • τ ^mle µ ^mle 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 µ ^ τ ^ Iteration 1
54. • • 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 µ ^ τ ^ Iteration 2
55. • • • 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 µ ^ τ ^ Iteration 3
56. • • • • 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 µ ^ τ ^ Iteration 4
57. • • • • • 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 µ ^ τ ^ Iteration 5
58. • • • • • • 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 µ ^ τ ^ Iteration 6
59. • • • • • • • 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 µ ^ τ ^ Iteration 7
60. • • • • • • • • 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 µ ^ τ ^ Iteration 8
61. • • • • • • • • • 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 µ ^ τ ^ Iteration 9
62. • • • • • • • • • • 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 µ ^ τ ^ Iteration 10
63. 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 µ ^ τ ^ Iteration 10000
64. µ ^ τ ^ −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.00 0.05 0.10 0.15 0 30 60 90 0 1 2 3 4 Estimate Density Method Maximum Likelihood Average of Simulations
65. • µ ^ τ ^ −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.00 0.05 0.10 0.15 0 30 60 90 0 1 2 3 4 Estimate Density Method Maximum Likelihood Average of Simulations
66. • • µ ^ τ ^ −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.00 0.05 0.10 0.15 0 30 60 90 0 1 2 3 4 Estimate Density Method Maximum Likelihood Average of Simulations
67. One Theoretical Result
68. One Theoretical Result Convex transformations lead to positive transformation-induced bias.
69. two options use the invariance property average simulated QIs t.i. bias 2x t.i. bias 2017 PA What happens when you average simulated QIs? Does any of this matter? (2) (3) (1)
70. Simulating Quantities of Interest King, Tomz, Wittenberg (2000)
71. Simulating Quantities of Interest King, Tomz, Wittenberg (2000) 1. Fit the model.
72. Simulating Quantities of Interest King, Tomz, Wittenberg (2000) 1. Fit the model. 2. Simulate the coefficients.
73. Simulating Quantities of Interest King, Tomz, Wittenberg (2000) 1. Fit the model. 2. Simulate the coefficients. 3. Transform simulated coefficients into the quantities of interest.
74. Simulating Quantities of Interest King, Tomz, Wittenberg (2000) 1. Fit the model. 2. Simulate the coefficients. 3. Transform simulated coefficients into the quantities of interest. 4. Average the simulations of the quantity of interest to obtain a point estimate.
75. King, Tomz, Wittenberg (2000)
76. Gelman and Hill (2006)
77. mattgolder.com/interactions
78. A Stark Illustration continued…
79. sample ave. is a BUE of u. (…and MLE!) yi ⇠ N(µ, 1), for i = 1, 2, ..., 100 ⌧(µ) = µ2 µ = 0 DGP or model QI truth
80. sample ave. is a BUE of u. (…and MLE!) yi ⇠ N(µ, 1), for i = 1, 2, ..., 100 ⌧(µ) = µ2 µ = 0 DGP or model QI truth SE is 1/sqrt(100)
81. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1
82. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 normal w/ mean of 0.2 and SD of 0.1
83. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1
84. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 sim. coef.
85. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 sim. coef. translated into sim. QI
86. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 sim. coef. translated into sim. QI
87. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 τ ^avg. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1
88. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2
89. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2
90. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2
91. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2
92. τ ^avg. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2
93. τ ^avg. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 3
94. τ ^avg. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 4
95. τ ^avg. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 5
96. τ ^avg. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 5 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 6
97. τ ^avg. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 5 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 6 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 7
98. τ ^avg. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 5 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 6 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 7 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 8
99. τ ^avg. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 5 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 6 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 7 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 8 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 9
100. • • µ ^ τ ^ −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.00 0.05 0.10 0.15 0 30 60 90 0 1 2 3 4 Estimate Density Method Maximum Likelihood Average of Simulations
101. • • µ ^ τ ^ −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.00 0.05 0.10 0.15 0 30 60 90 0 1 2 3 4 Estimate Density Method Maximum Likelihood Average of Simulations
102. • • • µ ^ τ ^ −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.00 0.05 0.10 0.15 0 30 60 90 0 1 2 3 4 Estimate Density Method Maximum Likelihood Average of Simulations
103. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 τ ^avg. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1
104. 1 2 3
105. For a convex transformation, the average of simulations is always greater than the (upwardly biased) ML estimate. 1 2 3
106. For a convex transformation, the average of simulations is always greater than the (upwardly biased) ML estimate. So, of course the average of simulations is more biased than the ML estimate. 1 2 3
107. For a convex transformation, the average of simulations is always greater than the (upwardly biased) ML estimate. So, of course the average of simulations is more biased than the ML estimate. This additional bias is roughly equal to the transformation-induced bias. 1 2 3
108. two options use the invariance property average simulated QIs t.i. bias 2x t.i. bias 2017 PA What happens when you average simulated QIs? Does any of this matter? (2) (3) (1)
109. additional bias from simulation is similar to small-sample bias in logit
110. The additional bias grows larger…
111. The additional bias grows larger… as the standard errors increase and
112. The additional bias grows larger… as the standard errors increase and as the transformations become more nonlinear.
113. Three Examples
114. study George and Epstein (1992) key claim Supreme Ct. decisions depend on legal and extralegal factors. data 64 observations, 11 explanatory variables quantities of interest first difference: effect of a Solicitor General brief on the probability of a conservative decision for all 64 combinations of the other covariates
115. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.0 0.2 0.4 0.6 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Effect of a Solicitor General Brief
116. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.0 0.2 0.4 0.6 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Effect of a Solicitor General Brief sim. avg. about 20% smaller than MLE
117. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.0 0.2 0.4 0.6 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Effect of a Solicitor General Brief sim. avg. about 20% smaller than MLE sim. avg. about 2x the MLE
118. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.0 0.2 0.4 0.6 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Effect of a Solicitor General Brief sim. avg. about 20% smaller than MLE sim. avg. about 2x the MLE 7 cases where sim. avg. >10x MLE
119. study Fearon and Laitin (2003) key claim Lots of factors lead to civil wars, but ethnic and religious diversity do not. data 6,327 observations (106 events), 11 explanatory variables quantities of interest risk ratio: the effect of a 10% decrease in GDP per capita on the probability of civil war for all 6,327 combinations of explanatory variables
120. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 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121. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 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122. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 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• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 100 101 102 103 104 105 100 100.5 101 101.5 102 102.5 103 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate 100 100.5 101 101.5 102 Ratio: Avg./MLE The Effect of a 10% Decrease in GDP on the Probability of Civil War Kuwait from 1968-72 year MLE s.a. ratio 1968 101 743 7 1969 99 716 7 1970 65 311 5 1971 48 177 4 1972 50 189 4
127. study Holland (2017) key claim Politicians enforce laws less diligently when it helps them keep office data 19, 36, and 34 observations 3 explanatory variables quantities of interest expected count: the expected number of enforcement operations for each observation.
128. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Bogota Lima Santiago 10 20 30 10 20 30 40 50 2 4 6 8 5 10 20 40 60 10 20 30 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Expected Number of Enforcement Operations
129. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Bogota Lima Santiago 10 20 30 10 20 30 40 50 2 4 6 8 5 10 20 40 60 10 20 30 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Expected Number of Enforcement Operations MLE is 24 sim. avg. is 46 sim. avg. is 90% bigger
130. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Bogota Lima Santiago 10 20 30 10 20 30 40 50 2 4 6 8 5 10 20 40 60 10 20 30 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Expected Number of Enforcement Operations MLE is 24 sim. avg. is 46 sim. avg. is 90% bigger MLE is 4.6 sim. avg. is 5.8 sim. avg. is 25% bigger
131. two options use the invariance property average simulated QIs t.i. bias 2x t.i. bias 2017 PA What happens when you average simulated QIs? Does any of this matter? (2) (3) (1)
132. Questions?
133. Appendix Stark Illustration • Illustration of Transformation- Induced Bias. Iteration 1 Iteration 10 Iteration 10,000 • Illustration of Additional Bias Iteration 1 Iteration 2 Iterations 1-9 Sampling Distributions Examples George and Epstein (1992) Fearon and Laitin (2003) Holland (2017) Logit Quantities of Interest Technical Details Theorem 1 from Rainey 2017 Lemma 1 Theorem 1 Law of Iterated Expectations Blank
134. • τ ^mle µ ^mle 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 µ ^ τ ^ Iteration 1 toc
135. • • • • • • • • • • 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 µ ^ τ ^ Iteration 10 toc
136. 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 µ ^ τ ^ Iteration 10000 toc
137. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 τ ^avg. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 toc
138. τ ^mle µ ^mle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2 toc
139. τ ^avg. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 2 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 5 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 6 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 7 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 8 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −0.3 0.0 0.3 0.6 µ τ Iteration 9 toc
140. • • • µ ^ τ ^ −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.00 0.05 0.10 0.15 0 30 60 90 0 1 2 3 4 Estimate Density Method Maximum Likelihood Average of Simulations toc
141. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.0 0.2 0.4 0.6 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Effect of a Solicitor General Brief toc
142. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.0 0.2 0.4 0.6 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Effect of a Solicitor General Brief sim. avg. about 20% smaller than MLE toc
143. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.0 0.2 0.4 0.6 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Effect of a Solicitor General Brief sim. avg. about 20% smaller than MLE sim. avg. about 2x the MLE toc
144. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.0 0.2 0.4 0.6 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Effect of a Solicitor General Brief sim. avg. about 20% smaller than MLE sim. avg. about 2x the MLE 7 cases where sim. avg. >10x MLE toc
145. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 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147. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 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152. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Bogota Lima Santiago 10 20 30 10 20 30 40 50 2 4 6 8 5 10 20 40 60 10 20 30 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Expected Number of Enforcement Operations toc
153. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Bogota Lima Santiago 10 20 30 10 20 30 40 50 2 4 6 8 5 10 20 40 60 10 20 30 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Expected Number of Enforcement Operations MLE is 24 sim. avg. is 46 sim. avg. is 90% bigger toc
154. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Bogota Lima Santiago 10 20 30 10 20 30 40 50 2 4 6 8 5 10 20 40 60 10 20 30 Maximum Likelihood Estimate Simulation Average Estimate Expected Number of Enforcement Operations MLE is 24 sim. avg. is 46 sim. avg. is 90% bigger MLE is 4.6 sim. avg. is 5.8 sim. avg. is 25% bigger toc
155. yi ⇠ Bernoulli(⇡i), for i = 1, 2, ..., 100 logit(⇡i) = 1.5 + xi + 0.2wi + 0.5zi toc
156. probability marginal effect first difference risk ratio coefficient−induced bias transformation−induced bias additional bias coefficient−induced bias transformation−induced bias additional bias coefficient−induced bias transformation−induced bias additional bias coefficient−induced bias transformation−induced bias additional bias 0.1 0.2 0.3 0.4 0.1 0.2 0.3 0.4 0.1 0.2 0.3 0.4 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.050 0.075 0.100 0.125 0.050 0.075 0.100 0.125 0.050 0.075 0.100 0.125 1.3 1.4 1.5 1.6 1.3 1.4 1.5 1.6 1.3 1.4 1.5 1.6 True Quantity of Interest True Quantity of Interest True Quantity of Interest True Quantity of Interest Bias Bias Bias Bias −0.02 −0.01 0.00 0.01 0.02 −0.04 −0.02 0.00 −0.02 −0.01 0.00 −0.04 0.00 0.04 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • toc
157. Theorem 1 (t.i. bias, Rainey 2017) Suppose a non-degenerate estimator ˆ. Then any strictly convex (concave) ⌧ creates upward (downward) transformation- induced ⌧-bias. Proof The proof follows directly from Jensen’s inequality. Suppose that the non-degenerate sampling distribution of ˆ is given by S (b) so that ˆ ⇠ S (b). Then E(ˆ) = R B bS (b)db and E[⌧(ˆ)] = R B ⌧(b)S (b)db. Suppose first that ⌧ is convex. By Jensen’s inequality, R B ⌧(b)S (b)db > ⌧ ⇥R B bS (b)db ⇤ , which implies that E[⌧(ˆ)] > ⌧[E(ˆ)]. Because E[⌧(ˆ)] ⌧[E(ˆ)] > 0, the transformation- induced ⌧-bias is upward. By similar argument, one can show that for any strictly concave ⌧, E[⌧(ˆ)] ⌧[E(ˆ)] > 0 and that the transformation-induced ⌧-bias is downward. ⌅ toc
158. toc Lemma 1 Suppose a maximum likelihood estimator ˆmle. Then any strictly convex (concave) ⌧ guarantees that ˆ ⌧avg. is strictly greater [less] than ˆ ⌧mle. Proof By definition, ˆ ⌧avg. = E h ⌧ ⇣ ˜ ⌘i . Using Jensen’s inequality, we know that E h ⌧ ⇣ ˜ ⌘i > ⌧ h E ⇣ ˜ ⌘i , so that ˆ ⌧avg. > ⌧ h E ⇣ ˜ ⌘i . However, because ˜ ⇠ N h ˆmle, ˆ V ⇣ ˆmle ⌘i , E ⇣ ˜ ⌘ = ˆmle, so that ˆ ⌧avg. > ⌧ ⇣ ˆmle ⌘ . Of course, ˆ ⌧mle = ⌧ ⇣ ˆmle ⌘ by definition, so that ˆ ⌧avg. > ˆ ⌧mle. The proof for concave ⌧ follows similarly. ⌅
159. Theorem 1 Suppose a maximum likelihood estimator ˆmle. Then for any strictly convex or concave ⌧, the transformation-induced ⌧-bias for ˆ ⌧avg. is strictly greater in magnitude than the transformation-induced ⌧-bias for ˆ ⌧mle. Proof According to Theorem 1 of Rainey (2017), E ˆ ⌧mle ⌧ h E ⇣ ˆmle ⌘i > 0. Lemma 1 shows that for any convex ⌧, ˆ ⌧avg. > ˆ ⌧mle. It follows that E (ˆ ⌧avg.) ⌧ h E ⇣ ˆmle ⌘i | {z } t.i. ⌧-bias in ˆ ⌧avg. > E ˆ ⌧mle ⌧ h E ⇣ ˆmle ⌘i | {z } t.i. ⌧-bias in ˆ ⌧mle > 0. For the concave case, it follows similarly that E (ˆ ⌧avg.) ⌧ h E ⇣ ˆmle ⌘i | {z } t.i. ⌧-bias in ˆ ⌧avg. < E ˆ ⌧mle ⌧ h E ⇣ ˆmle ⌘i | {z } t.i. ⌧-bias in ˆ ⌧mle < 0 ⌅ toc
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