『しっかり学ぶ数理最適化』第2章 2.1節 数理最適化入門 - 学習まとめ資料 -

『しっかり学ぶ数理最適化』（著：梅谷俊治）の読書アウトプット

※注記事項
・本スライドには、参考図書に基づいてスライド作成者個人の解釈が含まれている
・本スライド作成者の学びのアウトプットであるため、作者にとって自明な点は省略あるいは説明を簡素化している

Transcript

1. 『しっかり学ぶ数理最適化』 　第2章 線形計画 　2.1節 線形計画問題の定式化 　- 学習まとめ資料 - 2021/02/06 Takuma Yoshioka
2. 注意事項 ❖ 本資料は梅谷俊治 著「しっかり学ぶ数理最適化 モデルからアルゴ リズムまで」から学んだ事柄のまとめ資料である ❖ そのため、一部、説明不足や誤った理解が含まれる可能性がある 点に注意されたい ❖ また、本形式での資料作成は同じデータサイエンティストコミュニ ティに属する友人のアイディアを拝借している 公式正誤表及び関連資料 ：https://sites.google.com/view/introduction-to-optimization/main
3. 2.1 線形計画問題の定式化 線形計画問題：目的関数が線形関数＋すべての制約条件が 線形の等式or不等式 例） 栄養問題：野菜ジュースに含まれる m種類の栄養素の必要量を満たしつつ製造原料費を最小化 定式化の記法 記法① 記法② 記法③
4. 現実問題に対する線形計画問題 ❖ 現実の問題に対して、 線形関数のみで目的関数・制約条件を完璧に記述できるケース は稀 ❖ 逆に正確さを失わずに定式化すると 非線形計画問題となってしまう ➢ 最適解を求めるのが 非常に困難になる ❖ 一方で、線形計画問題は効率的に最適解を求めることができるケースが多い ➢ 一見すると非線形に見える最適化問題でも、変数の追加や式の変形などのテクニックにより「 等 価な線形計画問題」に変形できることもある （2.1.2節以降は、非線形計画問題を線形計画問題に変形することにフォーカス）
5. 2.1.1 線形計画問題の応用例1 輸送計画問題：ある１つ製品について、複数の工場（倉庫）から複数の顧客に輸送 mヵ所の工場 nヵ所の顧客
6. 2.1.1 線形計画問題の応用例2 日程計画問題：n個の作業からなるプロジェクトについて、プロジェクト全体を T日以内に完了させた上で、 　　　　　　　費用の合計を最小化する PERT（Program Evaluation and Review Technique） 1 2 3 4 5 6 7 Start End ネットワーク n=7個の作業
7. 2.1.1 線形計画問題の応用例3 生産計画問題：ある１工場での生産時の 生産費と、ある１倉庫での保管時の 保管費の合計を最小化
8. 2.1.2 凸な非線形関数の近似 分離可能で凸な非線形関数の最小化問題は線形問題に近似できる 分離可能：目的関数を１変数関数の和で表すことができること（図 2.4） 区分線形関数：各区分ごと線分で表される線形関数を集めた関数
9. 2.1.3 連立１次方程式の近似解 　　　(誤差の種類と定式化) すべての制約条件を同時には満たせない連立１次方程式に対して、 できる限り多くの制約条件を満たす近似解を求める問題 連立１次方程式に対して、各制約条件の誤差をできる限り小さくする近似解を求める 　平均２乗誤差： 　平均誤差　　： 　最悪誤差　　： 平均誤差を最小にする近似解 xを求める問題は、制約なしの最適化問題に定式化できる
10. 2.1.3 連立１次方程式の近似解 　　　(誤差を表す変数の導入と式変形) 絶対値関数に対して、誤差を表す変数 ziを導入することで線形計画問題に変形できる イメージ図 非線形関数である絶対値関数 を、 線形計画問題に変換できる！
11. 2.1.3 連立１次方程式の近似解 (回帰分析) 前ページと同様の方法にて、 回帰分析も実現可能 m組のデータ(x1, y1), … ,(xm, ym)に対してn次の多項式関数を近似的に表す 平均誤差を最小にするパラメータ w0, w1, .... ,wnを求める問題を制約なし最適化問題に定式化 前ページと同様に誤差を表す変数 ziを導入すると同様の変形が可能
12. 2.1.3 連立１次方程式の近似解 　　(予算を公平に分配) 与えられた条件の下で限られた予算を n個の事業にできるだけ公平に配分する →配分額の最小値を最大化する 配分額の最小値を 表す変数zを導入
13. 2.1.3 連立１次方程式の近似解 　　(多目的関数を線形計画問題へ定式化) k個の目的関数を同時に最小化する問題 →ある目的関数の値を最小化しようとすると他の目的関数の値が大きくなるトレードオフ →すべての目的関数をバランス良く最小化するために、各目的関数の 最大値を最小化する。 すべての目的関数の最大値を 表す変数zを導入
14. 2.1.4 比率の最小化 分数計画問題：２つの関数の比を目的関数に持つ最適化問題（もちろん非線形関数） （応用例） 事業効率の評価（包絡分析法）： n個の事業の経営効率を相対的に評価する方法 　　　　　　　　　　　　　　　 →「収入/支出」の値が大きいほど経営効率が良い 　　　　　　　　　　　　　　　 →各事業が持つ複数の入力（支出）と出力（収入）に対して最適な重み付けを探る ただし、　　 新たに２つの変数を導入