『しっかり学ぶ数理最適化』第1章 数理最適化入門 - 学習まとめ資料 -

『しっかり学ぶ数理最適化』（著：梅谷俊治）の読書アウトプット

※注記事項
・本スライドには、参考図書に基づいてスライド作成者個人の解釈が含まれている
・本スライド作成者の学びのアウトプットであるため、作者にとって自明な点は省略あるいは説明を簡素化している

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1. 『しっかり学ぶ数理最適化』 　第1章 数理最適化入門 　- 学習まとめ資料 - 2021/01/26 Takuma Yoshioka
2. 注意事項 ❖ 本資料は梅谷俊治 著「しっかり学ぶ数理最適化 モデルからアルゴ リズムまで」から学んだ事柄のまとめ資料である ❖ そのため、一部、説明不足や誤った理解が含まれる可能性がある 点に注意されたい ❖ また、本形式での資料作成は同じデータサイエンティストコミュニ ティに属する友人のアイディアを拝借している 公式正誤表及び関連資料 ：https://sites.google.com/view/introduction-to-optimization/main
3. 1.1 数理最適化とは 最適化問題：与えられた制約条件の下で目的関数の値を最小（ or 最大）による解を求める問題 数理最適化：最適化問題を通じて現実社会における意思決定や問題解決を実現する手段 数理最適化における手続き（プロセス） 現実社会に おける問題 最適化問題 計算結果 解決策 定式化 アルゴリズムに よる求解 分析・検証 最適化問題とアルゴリズムの再検討 ※一連のプロセスが 1回で終わることはまれであり、繰り返し検討を行うことでより良い数理モデルとその解（解決策）を得る
4. 最適化問題の例 トマト にんじん ほうれん草 必要量 食物繊維 10 25 30 50 ビタミンC 15 5 35 60 鉄分 2 2 20 10 βカロテン 5 80 40 40 価格 400 250 1000 なるべく低価格で必要な栄養素を得るためには、何をどれくらい野菜ジュースに含めればよいか？ 条件設定 定式化例 目的関数と制約条件を用いて記述 min: 目的関数最小化、st: 制約条件
5. 回帰問題（最小二乗法）との比較 ❖ 最小二乗法 ➢ 平均２乗誤差を最小化する問題としても捉える事ができる ➢ ２変数(傾きaと切片b)の連立一次方程式を解けば良い ➢ 解を直接求める一般的な式を与えることができる （解の公式） ❖ 数理最適化 ➢ 上記のような一般的な式を与えることは困難 ➢ そのため、数値計算を繰り返して解を求める手続き ＝「アルゴリズム」を与えることが主要な目的となる
6. 1.2 最適化問題における解の分類 単語 定義 実行可能解 制約条件を満たす解 実行不能 制約条件を満たす解が存在しない 非有界 目的関数の値を限りなく改善できるため、最適解が存在しない 大域最適解 実行可能領域の中で目的関数の値が最小となる解 局所最適解 実行可能領域の中で目的関数の値がその近傍内で最小となる解 →最適解を求めることが困難な場合が多いため、近傍内の最適解を求めるケースがある ※上記定義は最小化問題を想定した場合の定義。最大化問題の場合は適宜読み替える必要がある
7. 1.3 代表的な最適化問題 単語 定義 連続最適化問題 変数が実数値のような連続的な値をとる最適化問題 線形計画問題（LP） 目的関数が線形関数で、すべての制約条件が線形の等式もしくは不等式で表される最適 化問題 非線形計画問題 非線形関数で表される目的関数や制約条件を含む最適化問題 ２次計画問題 目的関数が２次関数で、すべての制約条件が線形の等式もしくは 不等式で表される最適化問題 離散最適化問題 組合せ最適化問題 変数が整数値や２値 {0, 1}のような離散的な値をとる最適化問題 最適解を含む解の集合が順列やネットワークなど組合せ的な構造をもつ最適化問題 整数計画問題（IP） すべての変数が整数値のみをとる線形計画問題 混合整数計画問題 （MIP or MILP） 一部の変数が整数値のみをとる線形計画問題