Myon-Zerfall

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1. Myon-Zerfall
   Frank S. Thomas
   Fakult¨
   at f¨
   ur Physik und Astronomie
   der Universit¨
   at W¨
   urzburg
   19. Dezember 2008
   Frank S. Thomas 1 / 29
   

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2. Das Myon
   Historisches:
   1936 entdeckt von Carl D. Anderson in kosmischer Strahlung
   µ± entstehen in Luftschauern beim Zerfall von π± und K±
   Eigenschaften des Myons:
   Masse mµ = 105,658369(9) MeV ≈ 207 me
   Ladung −e
   Spin 1/2
   mittlere Lebensdauer ≈ 2,2 µs
   Frank S. Thomas 2 / 29
   

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3. Inhalt
   Feynman-Amplitude
   Feynman-Diagramm
   Feynman-Regeln der schwachen Wechselwirkung
   Effektive 4-Fermionwechselwirkung
   Betragsquadrat und Spinsumme
   Ruhesystem des Myons
   Drei-Teilchen-Phasenraum
   Phasenraumelement
   Dalitz-Plot
   Ergebnisse
   Energiespektrum der Elektronen
   Zerfallsbreite und Lebensdauer
   Korrekturen
   Bedeutung des Myon-Zerfalls
   Frank S. Thomas 3 / 29
   

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4. Feynman-Amplitude
   Feynman-Diagramm
   Feynman-Diagramm
   Zerfall des Myons
   µ− → e− + νµ + νe
   ¡
   W−(q)
   µ−(p)
   νµ(k)
   µ ν
   νe(k )
   e−(p )
   Impulserhaltung
   des gesamten Zerfalls: p = p + k + k
   an jedem Vertex: q = p − k = p + k
   Frank S. Thomas 4 / 29
   

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5. Feynman-Amplitude
   Feynman-Regeln der schwachen Wechselwirkung
   Feynman-Regeln der schwachen Wechselwirkung
   Erweiterung der Feynman-Regeln f¨
   ur schwache Wechselwirkung
   (ohne Ber¨
   ucksichtigung neutraler Str¨
   ome)
   Faktor f¨
   ur jeden Vertex mit innerer W-Boson-Linie:
   −ig
   √
   2
   γµ
   1 − γ5
   2
   Propagator f¨
   ur W-Bosonen mit Impuls q:
   i
   −gµν + qµqν/M2
   W
   q2 − M2
   W
   (Masse des W-Bosons MW
   = 80,403(29) GeV)
   Frank S. Thomas 5 / 29
   

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6. Feynman-Amplitude
   Effektive 4-Fermionwechselwirkung
   Feynman-Amplitude
   Die Feynman-Amplitude kann nun direkt aus dem Diagramm
   abgelesen werden:
   Mfi =
   −ig2
   8
   u(k)γµ(1 − γ5)u(p)
   −gµν + qµqν/M2
   W
   q2 − M2
   W
   × u(p )γν(1 − γ5)v(k )
   ¡
   W−(q)
   µ−(p)
   νµ(k)
   µ ν
   νe(k )
   e−(p )
   Frank S. Thomas 6 / 29
   

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7. Feynman-Amplitude
   Effektive 4-Fermionwechselwirkung
   Feynman-Amplitude
   Die Feynman-Amplitude kann nun direkt aus dem Diagramm
   abgelesen werden:
   Mfi =
   −ig2
   8
   u(k)γµ(1 − γ5)u(p)
   −gµν + qµqν/M2
   W
   q2 − M2
   W
   × u(p )γν(1 − γ5)v(k )
   Termumformungen f¨
   uhren zu:
   Mfi =
   ig2
   8(q2 − M2
   W
   )
   u(k)γµ(1 − γ5)u(p)u(p )γµ(1 − γ5)v(k )
   − u(k)γµ(1 − γ5)u(p)
   qµqν
   M2
   W
   u(p )γν(1 − γ5)v(k )
   Frank S. Thomas 7 / 29
   

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8. Feynman-Amplitude
   Effektive 4-Fermionwechselwirkung
   Feynman-Amplitude
   Vereinfachung des Summanden:
   u(k)γµ(1 − γ5)u(p)
   qµqν
   M2
   W
   u(p )γν(1 − γ5)v(k )
   Unter Verwendung
   des Antikommutators: γ5, γµ = 0
   der Dirac-Gleichungen:
   ¡
   pu(p) = mµu(p)
   u(p )
   ¡
   p = u(p )me
   Mfi =
   ig2
   8(q2 − M2
   W
   )
   u(k)γµ(1 − γ5)u(p)u(p )γµ(1 − γ5)v(k )
   −
   mµme
   M2
   W
   u(k)(1 + γ5)u(p)u(p )(1 − γ5)v(k )
   Frank S. Thomas 8 / 29
   

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9. Feynman-Amplitude
   Effektive 4-Fermionwechselwirkung
   Effektive 4-Fermionwechselwirkung
   Betrachtung des Impuls¨
   ubertrags und des Verh¨
   altnisses der
   Teilchenmassen ergibt effektive Feynman-Amplitude:
   q2 ≤ p2 = m2
   µ
   M2
   W
   ⇒ (q2 − M2
   W
   ) ≈ −M2
   W
   mµme/M2
   W
   ≈ 8 · 10−9 1
   Effektive Feynman-Amplitude
   Mfi =
   −ig2
   8M2
   W
   u(k)γµ(1 − γ5)u(p) u(p )γµ(1 − γ5)v(k )
   Frank S. Thomas 9 / 29
   

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10. Feynman-Amplitude
    Effektive 4-Fermionwechselwirkung
    Effektive 4-Fermionwechselwirkung
    Entwicklung des W-Boson-Propagators:
    i
    −gµν + qµqν/M2
    W
    q2 − M2
    W
    −
    −
    −
    −
    −
    −
    →
    |q2| M2
    W
    igµν
    M2
    W
    Diagramm schrumpft zu Kontaktwechselwirkung von vier
    Fermionen:
    ¡
    µ−(p)
    νe(k )
    e−(p )
    νµ(k)
    ¨
    Ahnliche Wechselwirkung schlug Fermi 1934 f¨
    ur β−-Zerfall vor
    Konvention:
    g2
    M2
    W
    =
    8GF
    √
    2
    Frank S. Thomas 10 / 29
    

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11. Feynman-Amplitude
    Betragsquadrat und Spinsumme
    Betragsquadrat
    Komplex konjugierte Amplitude berechnet sich mit Hilfe von:
    (ab)† = b†a†, (γν)† = γ0γνγ0, (γ5)† = γ5 und (γ0)2 = 1
    M∗
    fi
    =
    iGF
    √
    2
    u(p)γν(1 − γ5)u(k) v(k )γν(1 − γ5)u(p )
    |Mfi|2 =
    G2
    F
    2
    u(k)γµ(1 − γ5)u(p)u(p)γν(1 − γ5)u(k)
    × u(p )γµ(1 − γ5)v(k )v(k )γν(1 − γ5)u(p )
    =
    G2
    F
    2
    LµνMµν
    Frank S. Thomas 11 / 29
    

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12. Feynman-Amplitude
    Betragsquadrat und Spinsumme
    Spinsumme
    Myon ist unpolarisiert und Spins der Zerfallsprodukte werden nicht
    nachgewiesen → |Mfi|2 = 1
    2 Spins
    |Mfi|2
    Lµν = 1
    2 r,s
    us,α(k)(γµ(1 − γ5))αβur,β(p)
    ×ur,σ(p)(γν(1 − γ5))στ us,τ (k)
    Spinsumme der Produkte uu:
    r
    ur,β(p)ur,σ(p) = (
    ¡
    p + mµ)βσ
    s
    us,τ (k)us,α(k) =
    
    kτα
    ⇒ Lµν =
    1
    2
    kτα(γµ(1 − γ5))αβ(
    ¡
    p + mµ)βσ(γν(1 − γ5))στ
    ⇒ Verwendung von Spurtechniken, da AijBjkCki = tr(ABC)
    Frank S. Thomas 12 / 29
    

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13. Feynman-Amplitude
    Betragsquadrat und Spinsumme
    Spinsumme
    Umschreiben von Lµν als Spur eines Produkts von Matrizen:
    Lµν = 1
    2
    tr
    
    kγµ(1 − γ5)(
    ¡
    p + mµ)γν(1 − γ5)
    (1 − γ5)2 = 1 − 2γ5 + (γ5)2 = 2(1 − γ5)
    ⇒ Lµν = tr
    
    kγµ(
    ¡
    p + mµ)γν(1 − γ5)
    tr(γµ1 . . . γν2n+1 )= 0 ⇒ tr
    
    kγµmµγν(1 − γ5) = 0
    Lµν = tr
    
    kγµ
    ¡
    pγν(1 − γ5)
    Lµν = kαpβtr γαγµγβγν(1 − γ5)
    Ganz analog wird Mµν berechnet:
    Mµν = 2p σk τ tr γσγµγτ γν(1 − γ5)
    Frank S. Thomas 13 / 29
    

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14. Feynman-Amplitude
    Betragsquadrat und Spinsumme
    Spinsumme
    Mit Spurregeln f¨
    ur γ-Matrizen wird die spingemittelte
    Feynman-Amplitude berechnet:
    tr γαγµγβγν = 4(gαµgβν + gανgµβ − gαβgµν)
    tr γαγµγβγνγ5 = 4i αµβν
    ⇒ tr γαγµγβγν(1 − γ5) tr γσγµγτ γν(1 − γ5) = 64δα
    σ
    δβ
    τ
    kαpβp σk τ δα
    σ
    δβ
    τ
    = (kp )(pk )
    Spingemittelte Feynman-Amplitude
    |Mfi|2 = 64G2
    F
    (kp )(pk )
    Frank S. Thomas 14 / 29
    

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15. Feynman-Amplitude
    Ruhesystem des Myons
    Ruhesystem des Myons
    Berechnung der Skalarprodukte im Ruhesystem des Myons:
    p = (mµ, 0), p = (E , p ), k = (ω, k), k = (ω , k )
    (pk ) = mµω
    (kp ) = ωE − kp = ωE − ω|p | cos α me=0
    = ωE (1 − cos α)
    ¨
    Uber Impulserhaltung kann α durch Energien ersetzt werden:
    (p − k )2 = (p + k)2 ⇒ (1 − cos α) = (m2
    µ
    − 2mµω )/(2ωE )
    Feynman-Amplitude im Ruhesystem des Myons
    |Mfi|2 = 32G2
    F
    m2
    µ
    ω (mµ − 2ω )
    Frank S. Thomas 15 / 29
    

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16. Drei-Teilchen-Phasenraum
    Inhalt
    Feynman-Amplitude
    Feynman-Diagramm
    Feynman-Regeln der schwachen Wechselwirkung
    Effektive 4-Fermionwechselwirkung
    Betragsquadrat und Spinsumme
    Ruhesystem des Myons
    Drei-Teilchen-Phasenraum
    Phasenraumelement
    Dalitz-Plot
    Ergebnisse
    Energiespektrum der Elektronen
    Zerfallsbreite und Lebensdauer
    Korrekturen
    Bedeutung des Myon-Zerfalls
    Frank S. Thomas 16 / 29
    

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17. Drei-Teilchen-Phasenraum
    Phasenraumelement
    Drei-Teilchen-Phasenraum
    Zerfall eines Teilchens A (mit P = (M, 0)) in n Teilchen:
    A(P) −→ 1(p1) + 2(p2) + . . . + n(pn)
    3n-fach differentielle Zerfallsbreite allgemein definiert als:
    d3nΓ = (2π)4δ4(P − n
    i=1
    pi)
    1
    2M
    |Mfi|2
    n
    i=1
    d3pi
    (2π)32Ei
    =
    1
    2M
    |Mfi|2d3nL
    Phasenraumelement des Myon-Zerfalls:
    d9L =
    1
    256π5
    δ4(p − p − k − k )
    d3p
    E
    d3k
    ω
    d3k
    ω
    Frank S. Thomas 17 / 29
    

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18. Drei-Teilchen-Phasenraum
    Phasenraumelement
    Drei-Teilchen-Phasenraum
    Parametrisierung des Phasenraums:
    Wegen Energie-Impulserhaltung 9 − 4 = 5 Freiheitsgrade
    Zerfall im Ruhesystem isotrop ⇒ 3 Winkel legen Orientierung
    der Zerfallsebene im Raum fest
    2 dieser Winkel (Ω) fixieren Richtung von p
    Kugelkoordinaten f¨
    ur k (φ, θ) mit p -Richtung als z-Achse:
    Winkel φ gibt Rotation von (k , k) um p an
    2 Energien (E , ω ) bestimmen ω
    Frank S. Thomas 18 / 29
    

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19. Drei-Teilchen-Phasenraum
    Phasenraumelement
    Phasenraumelement
    Integration ¨
    uber d3k mit Impulsanteil der Delta-Funktion:
    d6L = 1
    256π5
    δ(mµ −E −ω−ω )δ3(−p −k−k )d3p
    E
    d3k
    ω
    d3k
    ω
    = 1
    256π5
    δ(mµ − E − ω − ω ) 1
    E ωω
    d3p d3k
    Einf¨
    uhrung von Kugelkoordinaten f¨
    ur d3p und d3k :
    d3p = |p |2d|p |dΩ
    d3k = |k |2d|k |dφd(cos θ)
    |p|d|p| = EdE wegen E2 = m2 + |p|2
    d6L = 1
    256π5
    δ(mµ − E − ω − ω )|p ||k |
    ω
    dE dω dΩdφd(cos θ)
    Frank S. Thomas 19 / 29
    

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20. Drei-Teilchen-Phasenraum
    Phasenraumelement
    Phasenraumelement
    Integration ¨
    uber d(cos θ) nicht trivial, da ω = ω(cos θ):
    ω = m2
    νµ
    + |k|2
    = m2
    νµ
    + E 2 − m2
    e
    + ω 2 − m2
    νe
    + 2|p ||k | cos θ
    δ (f(x)) g(x)dx = i
    g(xi)
    |f (xi)|
    mit f(xi) = 0
    ∂ω
    ∂(cos θ)
    −1
    = ω
    |p ||k |
    d5L = 1
    256π5
    dE dω dΩdφ
    Integration ¨
    uber Ω und φ, da Myon unpolarisiert:
    Phasenraumelement des Myonzerfalls
    d2L =
    1
    32π3
    dE dω
    Frank S. Thomas 20 / 29
    

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21. Drei-Teilchen-Phasenraum
    Dalitz-Plot
    Dalitz-Plot
    Jedes Zerfallsereignis wird als Punkt in der E -ω -Ebene dargestellt;
    Grenzen des Plots folgen aus Energieerhaltung und ω(cos θ):
    cos θ =
    (mµ−E −ω )2−E 2−ω 2−m2
    νµ
    +m2
    e
    +m2
    νe
    2
    √
    E 2−m2
    e
    qω 2−m2
    νe
    Einschr¨
    ankung von E und ω , da −1 ≤ cos θ ≤ 1
    Masselose Teilchen: E ≤ mµ
    2
    ∧ ω ≤ mµ
    2
    ∧ E + ω ≥ mµ
    2
    Frank S. Thomas 21 / 29
    

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22. Ergebnisse
    Inhalt
    Feynman-Amplitude
    Feynman-Diagramm
    Feynman-Regeln der schwachen Wechselwirkung
    Effektive 4-Fermionwechselwirkung
    Betragsquadrat und Spinsumme
    Ruhesystem des Myons
    Drei-Teilchen-Phasenraum
    Phasenraumelement
    Dalitz-Plot
    Ergebnisse
    Energiespektrum der Elektronen
    Zerfallsbreite und Lebensdauer
    Korrekturen
    Bedeutung des Myon-Zerfalls
    Frank S. Thomas 22 / 29
    

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23. Ergebnisse
    Energiespektrum der Elektronen
    Energiespektrum der Elektronen
    Mit |Mfi|2 und d2L folgt differentielle Zerfallsbreite:
    d2Γ
    dE dω
    =
    G2
    F
    2π3
    mµω (mµ − 2ω )
    Integration ¨
    uber ω ergibt Energiespektrum der Elektronen:
    Integrationsgrenzen aus Dalitz-Plot: mµ
    2
    − E ≤ ω ≤ mµ
    2
    Energiespektrum der Elektronen
    dΓ
    dE
    =
    G2
    F
    m2
    µ
    12π3
    E 2 3 −
    4E
    mµ
    f¨
    ur 0 ≤ E ≤
    mµ
    2
    Frank S. Thomas 23 / 29
    

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24. Ergebnisse
    Energiespektrum der Elektronen
    Energiespektrum der Elektronen
    Vergleich zwischen Experiment und Theorie:
    Spektrum von Positronen beim Zerfall µ+ → e+νµνe
    Frank S. Thomas 24 / 29
    

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25. Ergebnisse
    Zerfallsbreite und Lebensdauer
    Zerfallsbreite und Lebensdauer
    Integration ¨
    uber E ergibt Zerfallsbreite:
    Γ =
    mµ
    2
    0
    G2
    F
    m2
    µ
    12π3
    E 2 3 −
    4E
    mµ
    dE =
    G2
    F
    m5
    µ
    192π3
    Zerfallskanal µ− → e−νµνe mit BR ≈ 100% dominant:
    Lebensdauer des Myons
    τ =
    1
    Γ
    =
    192π3
    G2
    F
    m5
    µ
    Vergleich zwischen berechneter und experimenteller Lebensdauer:
    τcalc
    = 2,18738(8) µs
    τexp
    = 2,19703(4) µs
    Relative Abweichung von τcalc zu τexp ≈ −0,4%
    Frank S. Thomas 25 / 29
    

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26. Ergebnisse
    Korrekturen
    Korrekturen
    Bisher verwendete N¨
    aherungen:
    Berechnung in Baumn¨
    aherung, keine Strahlungskorrekturen
    Approximation des W-Boson-Propagators
    Vernachl¨
    assigung der Neutrinomassen
    Vernachl¨
    assigung der Elektronenmasse
    Vernachl¨
    assigung weiterer Zerfallskan¨
    ale
    W-Boson-Propagator mit n¨
    achstem Glied der Entwicklung:
    ⇒ Γ = G2
    F
    m5
    µ
    192π3
    1 + 3m2
    µ
    5M2
    W
    Korrektur in Gr¨
    oßenordnung 10−6 ⇒ vernachl¨
    assigbar
    Frank S. Thomas 26 / 29
    

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27. Ergebnisse
    Korrekturen
    Elektronenmasse und Strahlungskorrekturen
    Rechnung ohne Vernachl¨
    assigung der Elektronenmasse:
    Γ = G2
    F
    m5
    µ
    192π3
    1 − 8x2 + 8x6 − x8 − 24x4 ln(x) , x = me
    mµ
    Korrektur ≈ 2 · 10−4, also rel. Abweichung von 0,02%
    Strahlungskorrekturen der QED niedrigster Ordnung:
    Γ = G2
    F
    m5
    µ
    192π3
    1 − α
    2π
    π2 − 25
    4
    Korrektur ≈ 4 · 10−3, also rel. Abweichung von 0,4%
    ¡
    W−
    µ−
    νµ
    νe
    γ
    e−
    ¡
    W−
    µ−
    νµ
    νe
    e−
    Frank S. Thomas 27 / 29
    

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28. Ergebnisse
    Bedeutung des Myon-Zerfalls
    Bedeutung des Myon-Zerfalls
    Pr¨
    azise Bestimmung der Kopplungskonstante GF , da
    Lebensdauer auf einige 10−1 ps genau gemessen werden kann
    ¨
    Uberpr¨
    ufung der zugrundeliegenden QFT durch Vergleich von
    Theorie und Experiment
    Klassisches Beispiel f¨
    ur Zeitdilatation, da Myonen aus
    kosmischer Strahlung noch auf der Erde detektiert werden
    Frank S. Thomas 28 / 29
    

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29. Literatur
    de Wit, B. und J. Smith (1986).
    Field Theory in Particle Physics, Bd. 1. North-Holland.
    Halzen, Francis und A. D. Martin (1984).
    Quarks & Leptons. John Wiley & Sons.
    Mandl, Franz und G. Shaw (1993).
    Quantenfeldtheorie. AULA-Verlag, 1 Aufl.
    Nachtmann, Otto (1989).
    Elementary Particle Physics. Springer-Verlag.
    Renton, Peter (1990).
    Electroweak Interactions. Cambridge University Press.
    Scheck, Florian (2001).
    Theoretische Physik, Bd. 4. Springer-Verlag.
    Frank S. Thomas 29 / 29
    

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