da ´ algebra linear na reconstru¸ c˜ ao de imagens de tomografia Karyd’ja Souza Lucas Torres Raquel Oliveira Departamento de Matem´ atica Centro de Ciˆ encias Exatas e da Terra Universidade Federal de do Rio Grande do Norte 04 de Dezembro de 2014
Johann Radon Conquistas: Participa¸ c˜ ao no teorema Radon-Nikodym Conceito da medida de Radon como fun¸ c˜ ao Linear Teorema de Radon Os n´ umeros Radon–Hurwitz Foi provavelmente o primeiro a fazer uso da propriedade Radon-Riesz A transformada de Radon Figura: Johann Radon em ˜ 1920
Transformada de Radon Dada uma fun¸ c˜ ao integr´ avel de pontos no plano em R, a transformada de Radon gera uma fun¸ c˜ ao das retas no plano em R, que corresponde a integral de linha da fun¸ c˜ ao original de cada reta. Definition Transformada de Radon [Rf]( , θ) = ∞ −∞ f 2 + z2, θ + tan−1 z dz
expans˜ ao em s´ erie M´ etodos de expans˜ ao em s´ erie Discretiza¸ c˜ ao Considere que as medi¸ c˜ oes obtidas s˜ ao relativas as retas ( 1, θ1), ( 2, θ2), . . . , ( I, θI). Defini¸ c˜ ao Rif = Rf( i, θi)
expans˜ ao em s´ erie M´ etodos de expans˜ ao em s´ erie Discretiza¸ c˜ ao Considere que as medi¸ c˜ oes obtidas s˜ ao relativas as retas ( 1, θ1), ( 2, θ2), . . . , ( I, θI). Defini¸ c˜ ao Rif = Rf( i, θi) Tentaremos encontrar uma imagem ˆ f tal que, para todo i ∈ {1, 2, . . . , I} Ri ˆ f Rif
expans˜ ao em s´ erie M´ etodos de expans˜ ao em s´ erie Fun¸ c˜ oes da Base N´ os reconstruiremos uma imagem como uma combina¸ c˜ ao linear de J fun¸ c˜ oes de base, que formam uma base em B = (b1, b2, . . . , bJ ). O conjunto B deve ser linearmente independente. N´ os podemos definir bi como Fun¸ c˜ ao de base - Pixel bj(r, φ) = 1, se (r, φ) estiver dentro do j-´ esimo pixel 0, caso contr´ ario.
expans˜ ao em s´ erie M´ etodos de expans˜ ao em s´ erie Fun¸ c˜ oes da Base Ou com a alternativa mais suave Fun¸ c˜ ao de base - Blob ba,α,δ(r, φ) = Ca,α,δ 1 − r a 2 I2 α 1 − r a 2 , se 0 ≤ r ≤ a, 0, caso contr´ ario. Cada elemento da base ´ e uma transla¸ c˜ ao da fun¸ c˜ ao, formando uma malha hexagonal.
expans˜ ao em s´ erie M´ etodos de expans˜ ao em s´ erie Fun¸ c˜ oes da Base As bases s˜ ao tais que podemos aproximar a imagem original como uma combina¸ c˜ ao linear das bases: Rif J j=1 xjRibj.
expans˜ ao em s´ erie M´ etodos de expans˜ ao em s´ erie Otimiza¸ c˜ ao y ´ e o vetor de dados obtidos (yi = Rif) R ´ e uma matriz I × J, com ri,j = Ribj x ´ e o vetor imagem Buscamos o x que minimiza Rx − y
ART Algebraic Reconstruction Technique Dados registrados s˜ ao falhos; Sistema pode n˜ ao ter solu¸ c˜ ao; Sistema pode ter multiplas solu¸ c˜ oes; Erros num´ ericos; Matriz muito grande; O ART consiste em um m´ etodo iterativo para encontrar uma solu¸ c˜ ao aceitavel para o sistema. Tamb´ em ´ e conhecido como M´ etodo de Kaczmarz.
ART M´ etodo de Kaczmarz As linhas da matriz, ri, combinadas com o yi correspondente definem hiperplanos. Na itera¸ c˜ ao k, a linha ik ´ e considerada. Passo iterativo x(k+1) = x(k) + yi− rik ,x(k) rik 2 rik , se rik = 0 x(k), caso contr´ ario.
ART Proje¸ c˜ oes Sucessivas O m´ etodo satisfaz Passo iterativo J j=1 rik,jx(k) j = yik Isso demostra que ele equivale a fazer proje¸ c˜ oes sucessivas nos planos.
ART M´ etodo de Kaczmarz A ordem de escolha das linhas importa; O met´ odo funciona melhor em matrizes esparsas. Figura: Diferen¸ ca na escolha da ordem
hackel
cromwellryan
paulrobertlloyd
keavy
eitanlees
chriscoyier
addyosmani
morganepeng
bkeepers
akmur
shlominoach
holman
