Métodos para determinação de raízes e resolução de sistemas não lineares

Trabalho da segunda unidade da matéria de Cálculo Numérico do Bacharelado em Tecnologia da Informação na Universidade Federal do Rio Grande do Norte.

Transcript

1. M´ etodos para determinar ra´ ızes de fun¸ c˜ oes e solucionar sistemas n˜ ao lineares 01 de junho de 2017 Raquel Lopes de Oliveira Vin´ ıcius Campos Tinoco Ribeiro Vitor Rodrigues Greati Instituto Metr´ opole Digital Universidade Federal do Rio Grande do Norte Natal-RN
2. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao Corda Newton Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Agenda Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao Corda Newton Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson
3. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor 2 Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao Corda Newton Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Objetivo Implementa¸ c˜ oes de m´ etodos para: 1. Dada uma fun¸ c˜ ao f : D(f ) ⊆ D → D, D ∈ {R, C}, determinar uma raiz, ou seja, um elemento r ∈ D(f ) tal que f (r) = 0; 2. Encontrar uma solu¸ c˜ ao para um sistema de equa¸ c˜ oes n˜ ao lineares, o que equivale a buscar um vetor x tal que F(x) = 0, onde o campo vetorial F : S ⊆ Rn → Rn ´ e obtido a partir das equa¸ c˜ oes do sistema.
4. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento 3 Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao Corda Newton Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Lagrange I Isolamento do intervalo Este m´ etodo se aplica quando a fun¸ c˜ ao f ´ e determinada por um polinˆ omio de grau n, ou seja, f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn, an > 0, a0 = 0. Para tanto, define-se b como sendo o maior valor absoluto dos coeficientes negativos, e k como o maior ´ ındice dos coeficientes negativos, e, com isso, a cota superior das ra´ ızes positivas, L(f ), de f ´ e dada por L(f ) = 1 + n−k b an . Para encontrar os demais limites, compomos as fun¸ c˜ oes f1 x ,f−x e f− 1 x , calculando L(f1 x ),L(f−x ) e L(f− 1 x ). Os limites para positivas, ent˜ ao, fica 1 L(f1 x ) , L(f ) e −L(f−x ), − 1 L(f− 1 x ) .
5. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange 4 Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao Corda Newton Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Troca de Sinal I Isolamento do intervalo Utiliza-se do princ´ ıpio de que, para um intervalo I = [a, b], se f (a) · f (b) < 0, ent˜ ao h´ a uma raiz de f em I. Assim, busca por um intervalo com essa propriedade, atrav´ es de um ponto inicial e um passo, como mostrado abaixo. Algoritmo 2.1: Algoritmo da troca de sinal. Input: f : D(f ) ⊆ R → R, p ∈ R, x0 ∈ D(f ), N0 ∈ N Output: Um intervalo I ⊆ D(f ) com possivelmente uma raiz de f . begin x ← x0 i ← 1 while i ≤ N0 and f (x + p) · f (x) > 0 do x ← x + p i ← i + 1 return [x, x + p]
6. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento 5 Bisse¸ c˜ ao Corda Newton Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I M´ etodo de Bisse¸ c˜ ao
7. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento 6 Bisse¸ c˜ ao Corda Newton Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Bisse¸ c˜ ao Itera¸ c˜ ao 1 - x2 − 2 - Intervalo inicial: [−1, 2] Exemplo gr´ afico do m´ etodo da bisse¸ c˜ ao para a fun¸ c˜ ao : x2 − 2 partindo do intervalo: [−1, 2] : −1 1 2 −2 −1 1 2 3 f (a) = f (−1) = −1 f (b) = f (2) = 2 f (p) = f (0.5) = −1.75
8. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento 7 Bisse¸ c˜ ao Corda Newton Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Bisse¸ c˜ ao Itera¸ c˜ ao 2 - x2 − 2 - Intervalo inicial: [−1, 2] Exemplo gr´ afico do m´ etodo da bisse¸ c˜ ao para a fun¸ c˜ ao : x2 − 2 −1 1 2 −2 −1 1 2 3 f (a) = f (0.5) = −1.75 f (b) = f (2) = 2 f (p) = f (1.25) = −0.4375
9. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento 8 Bisse¸ c˜ ao Corda Newton Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Bisse¸ c˜ ao Itera¸ c˜ ao 3 - x2 − 2 - Intervalo inicial: [−1, 2] Exemplo gr´ afico do m´ etodo da bisse¸ c˜ ao para a fun¸ c˜ ao : x2 − 2 −1 1 2 −2 −1 1 2 3 f (a) = f (1.25) = −0.4375 f (b) = f (2) = 2 f (p) = f (1.625) = 0.640625
10. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento 9 Bisse¸ c˜ ao Corda Newton Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Bisse¸ c˜ ao Itera¸ c˜ ao 4 - x2 − 2 - Intervalo inicial: [−1, 2] Exemplo gr´ afico do m´ etodo da bisse¸ c˜ ao para a fun¸ c˜ ao : x2 − 2 −1 1 2 −2 −1 1 2 3 f (a) = f (1.25) = −0.4375 f (b) = f (1.625) = 0.640625 f (p) = f (1.4375) = 0.6664062
11. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento 10 Bisse¸ c˜ ao Corda Newton Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Bisse¸ c˜ ao Itera¸ c˜ ao 5 - x2 − 2 - Intervalo inicial: [−1, 2] Exemplo gr´ afico do m´ etodo da bisse¸ c˜ ao para a fun¸ c˜ ao : x2 − 2 −1 1 2 −2 −1 1 2 3 f (a) = f (1.25) = −0.4375 f (b) = f (1.4375) = 0.6664062 f (p) = f (1.34375) = −0.194336
12. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento 11 Bisse¸ c˜ ao Corda Newton Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Bisse¸ c˜ ao Itera¸ c˜ ao 6 - x2 − 2 - Intervalo inicial: [−1, 2] Exemplo gr´ afico do m´ etodo da bisse¸ c˜ ao para a fun¸ c˜ ao : x2 − 2 −1 1 2 −2 −1 1 2 3 f (a) = f (1.34375) = −0.194336 f (b) = f (1.4375) = 0.6664062 f (p) = f (1.39062) = −0.0661621
13. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento 12 Bisse¸ c˜ ao Corda Newton Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Bisse¸ c˜ ao Itera¸ c˜ ao 12 - x2 − 2 - Intervalo inicial: [−1, 2] Exemplo gr´ afico do m´ etodo da bisse¸ c˜ ao para a fun¸ c˜ ao : x2 − 2 −1 1 2 −2 −1 1 2 3 f (a) = f (1.41406) = −0.000427246 f (b) = f (1.41553) = 0.00371766 f (p) = f (1.41479) = 0.00164467
14. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao 13 Corda Newton Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I M´ etodo das cordas
15. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao 14 Corda Newton Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Corda Itera¸ c˜ ao 1 - x2 − 2 - Intervalo inicial: [−1, 2] Exemplo gr´ afico do m´ etodo da bisse¸ c˜ ao para a fun¸ c˜ ao : x2 − 2 partindo do intervalo: [−1, 2] : −1 1 2 −2 −1 1 2 3 f (a) = f (−1) = −1 f (b) = f (2) = 2 f (p) = f (0) = −2
16. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao 15 Corda Newton Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Corda Itera¸ c˜ ao 2 - x2 − 2 - Intervalo inicial: [−1, 2] Exemplo gr´ afico do m´ etodo da bisse¸ c˜ ao para a fun¸ c˜ ao : x2 − 2 −1 1 2 −2 −1 1 2 3 f (a) = f (0) = −2 f (b) = f (2) = 2 f (p) = f (1) = −1
17. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao 16 Corda Newton Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Corda Itera¸ c˜ ao 3 - x2 − 2 - Intervalo inicial: [−1, 2] Exemplo gr´ afico do m´ etodo da bisse¸ c˜ ao para a fun¸ c˜ ao : x2 − 2 −1 1 2 −2 −1 1 2 3 f (a) = f (1) = −1 f (b) = f (2) = 2 f (p) = f (1.33333) = −0.22222
18. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao 17 Corda Newton Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Corda Itera¸ c˜ ao 4 - x2 − 2 - Intervalo inicial: [−1, 2] Exemplo gr´ afico do m´ etodo da bisse¸ c˜ ao para a fun¸ c˜ ao : x2 − 2. −1 1 2 −2 −1 1 2 3 f (a) = f (1.33333) = −0.222222 f (b) = f (2) = 2 f (p) = f (1.4) = −0.0.4
19. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao 18 Corda Newton Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Corda Itera¸ c˜ ao 7 - x2 − 2 - Intervalo inicial: [−1, 2] Exemplo gr´ afico do m´ etodo da bisse¸ c˜ ao para a fun¸ c˜ ao : x2 − 2. −1 1 2 −2 −1 1 2 3 f (a) = f (1.41379) = −0.00118906 f (b) = f (2) = 2 f (p) = f (1.41414) = −0.000204061
20. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao Corda 19 Newton Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I M´ etodo de Newton-Raphson
21. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao Corda 20 Newton Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Newton Itera¸ c˜ ao 1 Exemplo gr´ afico do m´ etodo da bisse¸ c˜ ao para a fun¸ c˜ ao : x2 − 2 −2 −1 1 2 −2 −1 1 f (−1) = −1 x0 = −1.5
22. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao Corda 21 Newton Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Newton Itera¸ c˜ ao 2 Exemplo gr´ afico do m´ etodo da bisse¸ c˜ ao para a fun¸ c˜ ao : x2 − 2. −2 −1 1 2 −2 −1 1 f (−1.5) = 0.25 x0 = −1.41667
23. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao Corda Newton 22 Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I M´ etodo do ponto fixo
24. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao Corda Newton 23 Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Ponto fixo Convergˆ encia f (x) = x2 + x − 6 g(x) = 6 − x2 −3 −1 1 3 −5 −3 −1 1 3 5 g(1.5) = 3.75
25. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao Corda Newton 24 Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Ponto fixo Convergˆ encia f (x) = x2 + x − 6 g(x) = 6 − x2 −3 −1 1 3 −9 −7 −5 −3 −1 1 3 g(3.75) = −8.0625
26. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao Corda Newton 25 Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Ponto fixo Convergˆ encia f (x) = x2 + x − 6 g(x) = √ 6 − x −3 −1 1 3 −5 −3 −1 1 3 5 g(1.5) = 2.12
27. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao Corda Newton 26 Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Ponto fixo Convergˆ encia f (x) = x2 + x − 6 g(x) = √ 6 − x −3 −1 1 3 −5 −3 −1 1 3 5 g(2.12) = 1.96944
28. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao Corda Newton 27 Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Ponto fixo Convergˆ encia f (x) = x2 + x − 6 g(x) = √ 6 − x −3 −1 1 3 −5 −3 −1 1 3 5 g(1.96944) = 2.00763
29. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao Corda Newton 28 Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Ponto fixo Convergˆ encia f (x) = x2 + x − 6 g(x) = √ 6 − x −3 −1 1 3 −5 −3 −1 1 3 5 g(2.00763) = 1.99809
30. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao Corda Newton 29 Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Ponto fixo Convergˆ encia f (x) = x2 + x − 6 g(x) = √ 6 − x −3 −1 1 3 −5 −3 −1 1 3 5 g(1.99809) = 2.00048
31. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao Corda Newton 30 Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Ponto fixo Itera¸ c˜ ao 1 Exemplo gr´ afico do m´ etodo da bisse¸ c˜ ao para a fun¸ c˜ ao : x2 − 2 e g(x) = x − 2·(x2−2)·2x 2·(2x)2 − 2 · (x2 − 2): −2 −1 1 2 3 −2 −1 1 2 3 4 f (x) g(x) x = y g(1) = 1.14
32. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao Corda Newton 31 Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Ponto fixo Itera¸ c˜ ao 2 Exemplo gr´ afico do m´ etodo da bisse¸ c˜ ao para a fun¸ c˜ ao : x2 − 2 e g(x) = x − 2·(x2−2)·2x 2·(2x)2 − 2 · (x2 − 2): −2 −1 1 2 3 −2 −1 1 2 3 4 f (x) g(x) x = y g(1.4) = 1.41421
33. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao Corda Newton 32 Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Ponto fixo Itera¸ c˜ ao 3 Exemplo gr´ afico do m´ etodo da bisse¸ c˜ ao para a fun¸ c˜ ao : x2 − 2 e g(x) = x − 2·(x2−2)·2x 2·(2x)2 − 2 · (x2 − 2): −2 −1 1 2 3 −2 −1 1 2 3 4 f (x) g(x) x = y g(1.41421) = 1.41421
34. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao Corda Newton Ponto-fixo 33 Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Compara¸ c˜ oes Fun¸ c˜ ao : x2 − 2 Intervalo : [−1, 2] G(x) : x − 2 · (x2 − 2) · 2x 2 · (2x)2 − 2 · (x2 − 2) Aproxima¸ c˜ ao : 0.5 Bisse¸ c˜ ao Corda Newton Ponto fixo Bisse¸ c˜ ao Newton Itera¸ c˜ oes 14 8 4 3 2
35. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao Corda Newton Ponto-fixo 34 Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Compara¸ c˜ oes Fun¸ c˜ ao : x2 − 2 Intervalo : [−1.2, 10] G(x) : x − 2 · (x2 − 2) · 2x 2 · (2x)2 − 2 · (x2 − 2) Aproxima¸ c˜ ao : 0.5 Bisse¸ c˜ ao Corda Newton Ponto fixo Bisse¸ c˜ ao Newton Itera¸ c˜ oes 16 49 4 3 2
36. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao Corda Newton Ponto-fixo 35 Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Resultados - Resolu¸ c˜ oes de equa¸ c˜ oes Fun¸ c˜ oes de testes Fun¸ c˜ ao polinomial −3 −2 −1 1 2 3 −100 −50 50 100 150 Figura: f (x) = x8 − 18x6 + 105x4 − 232x2 + 144 Fun¸ c˜ ao n˜ ao-polinomial −4 −2 2 4 −4 −2 2 4 Figura: f (x) = cos(x) − x
37. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao Corda Newton Ponto-fixo 36 Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Resultados - Resolu¸ c˜ oes de equa¸ c˜ oes Condi¸ c˜ oes de paradas Foi utilizado um ε = 0.0001 e as seguintes condi¸ c˜ oes de parada: |f (a)| < ε (1) |f (b) − f (a)| < ε (2) |b − a| < ε (3)
38. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao Corda Newton Ponto-fixo 37 Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Resultados - Resolu¸ c˜ oes de equa¸ c˜ oes Etapa de isolamento Aplica¸ c˜ ao de Lagrange a f (x): IPositivo L = [0.440665, 16.2315] e INegativo L = [−16.2315, −0.0616084] Refinamento do intervalo com troca de sinal e P = 1: IPostivo = [0.440665, 1.44067] e INegativo = [−3.23155, −2.23155] Aplica¸ c˜ ao de troca de sinal a h(x), com P = 2 e intervalo inicial I = [−1000, 1000]: IPositivo = [0, 2]
39. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao Corda Newton Ponto-fixo 38 Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Resultados - Teste dos m´ etodos f (x) = x8 − 18x6 + 105x4 − 232x2 + 144. IPositivo Observa¸ c˜ ao para a fun¸ c˜ ao g(x) do Ponto-Fixo: Utilizou-se da equa¸ c˜ ao do m´ etodo de Edmond Halley. Como o Newton, esse produz iterativamente uma seq¨ uˆ encia de aproxima¸ c˜ oes ` a raiz; Sua taxa de convergˆ encia para a raiz ´ e c´ ubica. xn+1 = xn − 2f (xn)f (xn) 2[f (xn)]2 − f (xn)f (xn) Itera¸ c˜ oes Bisse¸ c˜ ao Cordas Newton Ponto-Fixo Bisse¸ c˜ ao-Newton 1 0.940665 1.22908 0.996915 0.999662 0.940665 2 1.19067 1.08135 0.99999 1 1.19067 3 1.06567 1.02133 1 1.06567 4 1.00317 1.00486 1.00317 5 0.971915 1.00107 0.971915 6 0.98754 1.00023 0.98754 7 0.995353 1.00005 0.995353 8 0.999259 1.00001 0.999977 9 1.00121 1 1 10 1.00024 11 0.999747 12 0.999992 13 1.00011 14 1.00005 Tabela: Resultados para o intervalo positivo.
40. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao Corda Newton Ponto-fixo 39 Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Resultados - Teste dos m´ etodos f (x) = x8 − 18x6 + 105x4 − 232x2 + 144. INegativo Itera¸ c˜ oes Bisse¸ c˜ ao Cordas Newton Ponto-Fixo Bisse¸ c˜ ao-Newton 1 -2.73155 -2.25799 -0.517056 -2.68231 -2.73155 2 -2.98155 -2.2901 -0.996909 -2.52882 -2.98155 3 -3.10655 -2.32948 -0.99999 -2.24466 -3.10655 4 -3.04405 -2.37806 -1 -2.08847 -3.04405 5 -3.0128 -2.43791 -2.03039 -3.0128 6 -2.99717 -2.51065 -2.01024 -2.99717 7 -3.00498 -2.59592 -2.00342 -3.00498 8 -3.00108 -2.68925 -2.00114 -3.00008 9 -2.99912 -2.78095 -2.00038 -3 10 -3.0001 -2.8592 -2.00013 11 -2.99961 -2.91665 12 -2.99986 -2.9536 13 -2.99998 -2.97518 14 -3.00004 -2.98703 15 -2.99331 16 -2.99657 17 -2.99825 18 -2.99911 19 -2.99955 20 -2.99977 21 -2.99988 22 -2.99994 23 -2.99997 24 -2.99998 25 -2.99999 26 -3.0 Tabela: Resultados para o intervalo negativo.
41. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao Corda Newton Ponto-fixo 40 Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Resultados - Teste dos m´ etodos h(x) = cos x − x. IPositivo Itera¸ c˜ oes Bisse¸ c˜ ao Cordas Newton Ponto-Fixo Bisse¸ c˜ ao-Newton 1 1.0 0.585455 0.750364 0.740874 1.0 2 0.5 0.717135 0.739113 0.739085 0.5 3 0.75 0.736256 10.75 4 0.625 0.738726 0.625 5 0.6875 0.73904 0.6875 6 0.71875 0.71875 7 0.734375 0.734375 8 0.742188 0.73909 9 0.738281 10 0.740234 11 0.739258 12 0.73877 13 0.739014 14 0.739136 Tabela: Resultados para a fun¸ c˜ ao n˜ ao polinomial.
42. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao Corda Newton Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: 41 Newton Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I M´ etodo de Newton I Sistemas de equa¸ c˜ oes n˜ ao lineares O m´ etodo de Newton (Algoritmo 3.1), de convergˆ encia quadr´ atica, utiliza a seguinte regra para produzir uma sequˆ encia de vetores que convirja para o resultado desejado: xi = xi−1 − J−1(xi−1 )F(xi−1 ). Algoritmo 3.1: M´ etodo de Newton. Input: F : D(F) ⊆ Rn → Rn, N0 ∈ N, ∈ R, x0 ∈ D(F). Output: Uma aproxima¸ c˜ ao r para um vetor x tal que F(x) = 0. begin i ← 0 while i ≤ N0 do if ||F(xi )|| < then return xi i ← i + 1 Resolver J(xi−1 )y = −F(xi−1 ) xi ← xi−1 + y return “N´ umero m´ aximo de itera¸ c˜ oes alcan¸ cado.”
43. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao Corda Newton Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton 42 Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I M´ etodo de Broyden I Sistemas de equa¸ c˜ oes n˜ ao lineares O m´ etodo de Newton exige a inversibilidade da matriz jacobiana, bem como o c´ alculo dela em cada ponto. O m´ etodo de Broyden consiste em se utilizar uma matriz A que substitua a jacobiana por uma que se assemelhe a ela. Para entender a condi¸ c˜ ao a que A deve satisfazer, vale lembrar da seguinte aproxima¸ c˜ ao para a derivada de uma fun¸ c˜ ao escalar: f (x1 ) ≈ f (x1 ) − f (x0 ) x1 − x0 . Como, no c´ alculo de sistemas n˜ ao lineares, lida-se com vetores, n˜ ao se pode dividir por x1 − x0 . Por´ em, A1 pode substituir J(x1 ) ao satisfazer a seguinte equa¸ c˜ ao: A1 (x1 − x0 ) = F(x1 ) − F(x0 ).
44. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao Corda Newton Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton 43 Broyden Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I M´ etodo de Broyden II Sistemas de equa¸ c˜ oes n˜ ao lineares Da´ ı, obt´ em-se a regra: xi = xi−1 − A−1 i−1 F(xi−1 ). Para obter cada Ai , chamando ∆xi = xi − xi−1 e ∆Fi = F(xi ) − F(xi−1 ), define-se um vetor ui na forma: ui = ∆Fi − Ai−1 ∆xi ∆xt i ∆xi Com isso, Ai = Ai−1 + ui ∆xt i A inversa de Ai ´ e facilmente computada (f´ ormula de Sherman-Morrison): A−1 i = A−1 i−1 + A−1 i−1 ui ∆xt i A−1 i−1 1 + ∆xt i A−1 i−1 ui
45. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao Corda Newton Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden 44 Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Casos de teste I Sistemas de equa¸ c˜ oes n˜ ao lineares As implementa¸ c˜ oes dos m´ etodos para resolu¸ c˜ ao de sistemas n˜ ao lineares foram testadas utilizando os seguintes campos vetoriais: F(x, y, z) =   3x − cos xy − 1 2 x2 − 81(y + 0.1)2 + sin z + 1.06 e−xy + 20z + 10π−3 3   (4) F(x, y) = x2 + y2 − 1 x + y − 1 (5)
46. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao Corda Newton Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden 45 Testes e resultados Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Resultados I Sistemas de equa¸ c˜ oes n˜ ao lineares Tabela: Resultados para o primeiro sistema. Newton Broyden x0 Itera¸ c˜ oes Tempo (ms) Itera¸ c˜ oes Tempo (ms) (10−4, 10−4, −10−4) 4 0.190 19 0.800 (0.1,0.1,-0.1) 4 0.164 24 0.830 (0.5,0.5,-0.5) 6 0.140 14 0.372 (1,1,1) 7 0.360 - - (5,5,-5) 45 1.168 - - (40,40,40) 1684 28.30 - - (50,50,50) - - - - Tabela: Resultados para o segundo sistema. Newton Broyden x0 Itera¸ c˜ oes Tempo (ms) Itera¸ c˜ oes Tempo (ms) (0,0) - - 10 0.228 (1,1) - - 8 0.180 (1,2) 6 0.281 18 0.267 (3,4) 9 0.138 12 0.216 (100,100) 14 0.159 22 0.463 (1000,1500) 17 0.115 26 0.340 (-15000,-10000) 21 0.307 28 0.773
47. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao Corda Newton Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados 46 Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Fractais I Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson Uma aplica¸ c˜ ao curiosa do m´ etodo de Newton-Raphson consiste na cria¸ c˜ ao de fractais utilizando os chamados basin of attraction de ra´ ızes complexas. Para entendˆ e-la, parte-se da fun¸ c˜ ao f : C → C na forma f (z) = zn − 1, onde n ∈ N e z ∈ C. As n ra´ ızes de f s˜ ao conhecidas como roots of unity. Seja Z = {zi }1≤i≤n a fam´ ılia das ra´ ızes de f . Chama-se basin of attraction de cada raiz zi o conjunto Bi = {z ∈ C | z converge para zi por Newton-Raphson}.
48. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao Corda Newton Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados 47 Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Fractais II Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson Considere, agora, o retˆ angulo R = {0, . . . , 1000}2. Para cada p = (x, y) ∈ R, toma-se o seu correspondente p = (x , y ) no quadrado [0, 1]2 atrav´ es das f´ ormulas x = 2x 1000 − 1 y = 2y 1000 − 1. Chame de R o conjunto de todos os p obtidos dessa forma. Um p ∈ R pode ser visto como um n´ umero complexo x + y i e, portanto, candidato a ser uma aproxima¸ c˜ ao inicial do m´ etodo de Newton-Raphson. Uma vez executado com p como valor inicial, o m´ etodo produz uma sequˆ encia que se aproxima de uma das ra´ ızes em Z. Seja NR : R → Z ∪ {λ} a fun¸ c˜ ao que retorna essa raiz para p ∈ R quando o m´ etodo converge, e λ, quando n˜ ao converge.
49. 54 DIM0404 - CALCULO NUMERICO PARA CIENCIA DA COMPUTACAO Raquel, Vin´ ıcius e Vitor Objetivo Resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ ao: Isolamento Lagrange Troca de Sinal Refinamento Bisse¸ c˜ ao Corda Newton Ponto-fixo Testes e resultados Resolu¸ c˜ ao de sistema n˜ ao linear: Newton Broyden Testes e resultados 48 Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson UFRN Natal-RN o p le ó r D t i e gi M t a o l t u t i t s n I Fractais III Aplica¸ c˜ ao curiosa de Newton-Raphson Considere, agora, uma imagem I : R → R3 no espa¸ co RGB, na qual cada pixel (x, y) ∈ R tem intensidade definida por I(x, y) = c(NR(x , y )), onde c : Z ∪ {λ} → R3 ´ e um mapa que atribui a cada raiz de f uma cor no espa¸ co RGB. A imagem I, assim formada, representa um fractal, sendo diferente para cada n. As imagens a seguir demonstram a gera¸ c˜ ao de fractais dessa forma para n = 3, . . . , 8.