アルゴリズムと計算量

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1. 計算量とアルゴリズム

2. はじめに
 問題を解く手順のことをアルゴリズムと呼ぶ
 
 一般的に一つの問題を解決するアルゴリズムは複数考えられる
 
 どうやってアルゴリズムの良し悪しを判断するか
 そもそも良いアルゴリズムとは？
 
 

3. 良いアルゴリズム = 計算量が少ない

4. 計算量とは
 アルゴリズムを実行するのに必要なリソースを示す指標
 
 • 時間計算量
 かかる時間やステップ数がどれくらいか
 • 空間計算量
 消費するメモリがどれくらいか
 
 基本的に計算量は入力に依存する
 時間計算量と空間計算量はトレードオフの関係にある

5. 計算量オーダー
 計算量を大まかに測れるもの
 入力サイズnが大きくなった場合にどうなっていくか
 上記をO(n)やO(logn)のように表現する
 O(n): nに比例した回数の計算ステップを要する
 O(logn): lognに比例した回数の計算ステップを要する
 
 n logn n^2 10 3 100 20 4 400 100 7 10,000 300 8 90,000 1000 10 1,000,000
6. 計算量の求め方
 右記のプログラムの計算量を求める
 1. 各行のステップ数を足して全体の
 ステップ数を算出する
 ...1+n^2+n^2+1 = 2+2n^2 
 2. 最大次数以外の項を除く
 ...2+2n^2 → 2n^2
 3. 係数を除く
 ...2n^2 → n^2
 このコードの計算量は O(n^2)

7. 計算量の求め方
 Q. なんで最大次数以外の項を除くの？
 
 A. nが大きくなると他の項がほぼ無視できるため
 例)ステップ数が2n^2+10n+10, n=10000 
 2n^2+10n+10 = 200100010
 2n^2 = 200000000
 
 Q. 係数を除くのはなぜ？
 
 A. 計算量の定義上、定数倍程度の違いはさほど重要じゃない
 O(n^3)とO(10n^2)だと10n^2の方が早いので

8. 有名なアルゴリズム
 min <= x < max におけるxの値を特定したいときの手法
 • 線形探索法: O(n)
 minから順に比較していく
 • 二分探索法: O(logn)
 2/max以上かを繰り返し確認していく
 ソート済のものにしか使えない
 
 

9. ソートアルゴリズム(最悪/平均/最良)
 • クイックソート: O(n^2)/O(nlogn)/O(nlogn)
 基準値を決めてそれより大きい配列と小さい配列に分割
 上記を再帰的に繰り返し行う
 • 選択ソート: O(n^2)/O(n^2)/O(n^2)
 最小の要素を見つけ先頭の要素と入れ替え
 先頭の要素を除いて最小を見つけ二番目の要素と入れ替え...
 • バブルソート: O(n^2)/O(n^2)/O(n)
 先頭から順に隣接する要素と比較して入れ替え
 最後から二番目の要素まで上記繰り返し
 

10. 最後に
 • 場面によって最適なアルゴリズムは異なる
 • 計算量はデータ構造(配列,連結リスト,ツリー...)でも変化する
 • アルゴリズム調べると色々な問題出てきて面白い
 • この辺詳しくなりたければ競プロやるのが良さそう