Cubic Applications

Cubic function applications to real life problems

Aplicaciones de la función cúbica a problemas reales

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1. G. Edgar Mata Ortiz
3. Contenido Problemas de razonamiento 01 La función cúbica 02 Ecuación de la cúbica 03 Ejemplo 04 Math Model
4. Problemas de razonamiento Estos problemas muestran algunas de las aplicaciones de la matemática a diferentes situaciones de la vida real y/o profesional.
5. Problemas de razonamiento En el presente documento se plantea un tema relacionado con la vida profesional; el uso de la matemática para determinar el comportamiento de un proceso.
6. Problemas de razonamiento La solución de un problema de razonamiento requiere de un proceso de “modelado” o representación de la situación real en términos de variables y relaciones matemáticas
7. Problemas de razonamiento
8. La función cúbica. Linear equations La función cúbica es un objeto matemático y no tienen un significado específico en el mundo real. Para que los objetos matemáticos sean aplicados a la realidad es necesario expresar la información en términos de esta ciencia.
9. Función cúbica Linear equations Con la finalidad de que el problema planteado pueda resolverse mediante una función cúbica es necesario establecer algunos postulados: 1. Sólo una de las dos variables que describen el problema estará elevada al cubo 2. Se asume que las relaciones entre la variable independiente (x) y la dependiente (y) es de tercer grado
10. Descripción de la Realidad Al resolver un problema de razonamiento es necesario emplear conocimientos de la disciplina o ciencia a la que pertenece el problema que se resolverá: Física, economía, finanzas, química, termodinámica, entre muchas otras.
11. Descripción de la realidad El conocimiento necesario para resolver este problema es el de descripción de la realidad. Cuando los valores de dos o más variable se relacionan de acuerdo a una función matemática, decimos que la función describe a la realidad.
12. Descripción de la realidad Debemos tener claro que la representación de la realidad que se realiza mediante una ecuación, abstrae mucha de la complejidad del fenómeno que se estudia.
13. Ejemplo Una buena forma de aprender es mediante ejemplos. En las siguientes diapositivas se resuelve un problema de razonamiento mostrando detalladamente cada paso del proceso.
14. Ejemplo Un cierto proceso presenta dificultades para su medición, por lo que solamente se dispone de 4 puntos de datos. Una vez graficados estos datos y con base en el conocimiento del proceso, se ha determinado que la relación entre las dos variables sigue la forma de una función cúbica. Primera Parte Variable independiente (x) -NE -NE/2 NE/2 NE Variable dependiente (y) -NE NL NE -NL
15. Ejemplo Encuentra la función que relaciona ambas variables y, mediante aproximaciones sucesivas, determina los puntos de intersección de la función con el eje equis, así como los puntos máximos y mínimos. En este ejemplo tomaremos NL = 12, NE = 7, cuando lo resuelvas utiliza tu propio número de lista y número de equipo Primera Parte Variable independiente (x) -7 -7/2 = - 3.5 7/2 = + 3.5 7 Variable dependiente (y) -7 12 7 -12
16. Ejemplo Debido a la dificultad para la medición, se han encontrado algunos errores, fueron corregidos empleando un equipo de mayor exactitud, obteniéndose los siguientes resultados. Segunda Parte Variable independiente (x) -NE(0.9) -NE(0.45) NE(0.48) NE(0.95) Variable dependiente (y) -NE(0.95) NL(0.55) NE(0.55) -NL(1.05)
17. Ejemplo Encuentra la función que relaciona ambas variables y, mediante aproximaciones sucesivas, determina los puntos de intersección de la función con el eje equis, así como los puntos máximos y mínimos. Segunda Parte Variable independiente (x) -NE(0.9) -NE(0.45) NE(0.48) NE(0.95) Variable dependiente (y) -NE(0.95) NL(0.55) NE(0.55) -NL(1.05)
18. Problemas de razonamiento
19. Problemas de razonamiento En realidad, se deben resolver dos problemas independientes.
20. Dos problemas independientes 01 02 Determinar primera ecuación Determinar segunda ecuación
21. Resolver la primera parte del problema 01 Determinar punto máximo inicial Un cierto proceso presenta dificultades para su medición, por lo que solamente se dispone de 4 puntos de datos. Una vez graficados estos datos y con base en el conocimiento del proceso, se ha determinado que la relación entre las dos variables sigue la forma de una función cúbica. Variable independiente (x) -7 - 3.5 + 3.5 7 Variable dependiente (y) -7 12 7 -12
22. Resolver la primera parte del problema 01 Determinar punto máximo inicial Encuentra la función que relaciona ambas variables y, mediante aproximaciones sucesivas, determina los puntos de intersección de la función con el eje equis, así como los puntos máximos y mínimos. Variable independiente (x) -7 - 3.5 + 3.5 7 Variable dependiente (y) -7 12 7 -12
23. Resolver la primera parte del problema El primer paso consiste en comprender el problema Comprender el problema Identificar cantidades desconocidas Datos Relaciones entre datos y cantidades desconocidas Preguntas
24. Resolver la primera parte del problema Las cantidades desconocidas son los coeficientes de la ecuación cúbica en forma general: Identificar cantidades desconocidas = 3 + 2 + +
25. Resolver la primera parte del problema Los datos disponibles son: Tabla que relaciona equis con ye Datos
26. Resolver la primera parte del problema Para establecer la relación entre las dos cantidades desconocidas vamos a trazar la gráfica con los cuatro puntos que se proporcionan como datos. Relaciones entre datos y cantidades desconocidas
27. Resolver la primera parte del problema Relaciones entre datos y cantidades desconocidas Con base en la gráfica podemos postular que la relación entre las cantidades desconocidas es de tercer grado.
28. Resolver la primera parte del problema Solamente nos preguntan una cosa: ¿Cuál es la ecuación de tercer grado que describe el comportamiento del proceso? Preguntas
29. Resumen del primer paso Identificar las cantidades desconocidas Datos disponibles Relaciones entre cantidades desconocidas y datos ¿Qué es lo que nos preguntan? Coeficiente de la ecuación cúbica en forma general Tabla con cuatro mediciones de las variables x, y Hemos postulado que la relación entre las cantidades desconocidas es de tercer grado Ecuación que describe el proceso
30. Resumen del primer paso Este primer paso resulta muy largo de explicar debido a que estamos tratando de poner por escrito lo que sucede en la mente de la persona que está analizando el problema. Más adelante ordenaremos la información de tal forma que sea posible, para cualquier persona, seguir la línea de razonamientos que condujo al planteamiento y resolución del problema.
31. Resolver la primera parte del problema El segundo paso consiste en expresar algebraicamente las cantidades desconocidas, datos, y sus relaciones. Expresar en el lenguaje del álgebra Incógnita “x” Relaciones x, y Incógnita “y” Otras relaciones x, y
32. Resolver la primera parte del problema Naturalmente este segundo paso toma como base la información generada en el primer paso: cantidades desconocidas, datos y relaciones que serán expresadas como una ecuación de segundo grado
33. Resolver la primera parte del problema Vamos a anotar esta segunda parte en una tabla con la finalidad de que podamos comunicar mejor el proceso de solución a otras personas.
34. Resolver la primera parte del problema La tabla contendrá las cantidades desconocidas, sus interrelaciones, y su expresión algebraica. Cantidades desconocidas Información disponible y/o interrelaciones Expresión algebraica
35. Lenguaje algebraico Cantidades desconocidas Información disponible y/o interrelaciones Expresión algebraica Coeficientes de la ecuación cúbica Incógnitas a, b, c ,d Cualquiera de las cantidades desconocidas puede tomarse como incógnita, en este caso se ha decidido tomar la temperatura como incógnita e identificarla como la variable independiente equis.
36. Resumen del segundo paso Este segundo paso fue, sencillamente, una traducción del lenguaje natural al algebraico. TRADUCCIÓN Lenguaje natural Función cúbica
37. Resolver la primera parte del problema El tercer paso consiste en obtener las ecuaciones que relacionan las incógnitas y los datos. = ()
38. Resolver la primera parte del problema El tercer paso consiste en obtener las ecuaciones que relacionan las incógnitas y los datos. Para efectuar el tercer paso debemos recurrir a información o conocimientos adicionales a los que el problema presenta, en este caso, la forma de determinar la ecuación de una función cúbica.
39. El tercer paso consiste en encontrar la ecuación de la parábola: Sabemos que la forma general de la función cúbica es: = 3 + 2 + + Aplicando la propiedad reflexiva de la igualdad: 3 + 2 + + = Resolver la primera parte del problema
40. Resumen del tercer paso La obtención de las ecuaciones se basa en conocimientos previos, algún dato del problema o una combinación de las dos cosas. En este caso vamos a utilizar conocimientos de geometría analítica: “Si un punto pertenece a una curva, entonces debe cumplir con su ecuación” = ()
41. Obtener la ecuación de la Función Cúbica Vamos a sustituir las coordenadas de los cuatro puntos en la forma general de la ecuación de tercer grado en la forma: 3 + 2 + + = = ()
42. Resolver la primera parte del problema Las escalas de los ejes pueden ser diferentes. En este ejemplo tomaremos NL = 12, NE = 7, cuando lo resuelvas utiliza tu propio número de lista y número de equipo = 3 + 2 + +
43. = 3 + 2 + + 3 + 2 + + = (−7)3+(−7)2+(−7) + = (−7) −343 + 49 − 7 + 1 = −7 Sustituyendo las coordenadas x, y del primer punto en la forma general de la ecuación de tercer grado
44. = 3 + 2 + + 3 + 2 + + = (−3.5)3+(−3.5)2+(−3.5) + = (12) −42.875 + 12.25 − 3.5 + 1 = 12 Sustituyendo las coordenadas x, y del segundo punto en la forma general de la ecuación de tercer grado
45. = 3 + 2 + + 3 + 2 + + = (+3.5)3+(+3.5)2+(+3.5) + = (7) +42.875 + 12.25 + 3.5 + 1 = 7 Sustituyendo las coordenadas x, y del tercer punto en la forma general de la ecuación de tercer grado
46. = 3 + 2 + + 3 + 2 + + = (7)3+(7)2+(7) + = (−12) +343 + 49 + 7 + 1 = −12 Sustituyendo las coordenadas x, y del cuarto punto en la forma general de la ecuación de tercer grado
47. −343 + 49 − 7 + 1 = −7 −42.875 + 12.25 − 3.5 + 1 = 12 +42.875 + 12.25 + 3.5 + 1 = 7 +343 + 49 + 7 + 1 = −12 Obtenemos un sistema de cuatro ecuaciones lineales con cuatro incógnitas
48. Resolver la primera parte del problema El cuarto paso consiste en resolver el sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas por cualquier método, como: 1. Método de Cramer o por determinantes 2. Método de Gauss 3. Método de Gauss Jordan
49. Resolver la primera parte del problema El cuarto paso consiste en resolver el sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas por cualquier método, como: 1. Método de Cramer o por determinantes 2. Método de Gauss 3. Método de Gauss Jordan En este ejemplo emplearemos el método de Cramer.
50. Resolver la primera parte del problema El método de Cramer no es el más eficiente, requiere efectuar demasiadas operaciones aritméticas por lo que, generalmente se prefiere el método de Gauss. Sin embargo, empleando las tecnologías de la información y comunicación, es muy sencillo generar una hoja de Excel que resuelva un sistema de 4x4, incluso es posible incluir los pasos. En caso de que requerir mayor información acerca del método de Cramer se encuentra una presentación en el siguiente enlace: http://proc-industriales.blogspot.com/2020/10/cramer-method-2020.html
51. Determinantes - 343.0 + 49.0 - 7.0 + 1.0 DP = - 42.9 + 12.3 - 3.5 + 1.0 = + 132355.1 + 42.9 + 12.3 + 3.5 + 1.0 + 343.0 + 49.0 + 7.0 + 1.0 - 7.0 + 49.0 - 7.0 + 1.0 Da = + 12.0 + 12.3 - 3.5 + 1.0 = + 1286.3 + 7.0 + 12.3 + 3.5 + 1.0 - 12.0 + 49.0 + 7.0 + 1.0 - 343.0 - 7.0 - 7.0 + 1.0 Db = - 42.9 + 12.0 - 3.5 + 1.0 = - 68428.5 + 42.9 + 7.0 + 3.5 + 1.0 + 343.0 - 12.0 + 7.0 + 1.0 - 343.0 + 49.0 - 7.0 + 1.0 Dc = - 42.9 + 12.3 + 12.0 + 1.0 = - 110295.9 + 42.9 + 12.3 + 7.0 + 1.0 + 343.0 + 49.0 - 12.0 + 1.0 - 343.0 + 49.0 - 7.0 - 7.0 Dd = - 42.9 + 12.3 - 3.5 + 12.0 = + 2095622.8 + 42.9 + 12.3 + 3.5 + 7.0 + 343.0 + 49.0 + 7.0 - 12.0 Determinantes calculados mediante Excel =mdeterm(Rango)
52. Ecuaciones y valores de las incógnitas - 343.00 x 1 + 49.00 x2 - 7.00 x 3 + 1.0 x4 = - 7.0 - 42.875 x 1 + 12.25 x2 - 3.50 x 3 + 1.0 x4 = + 12.0 + 42.875 x 1 + 12.25 x2 + 3.50 x 3 + 1.0 x4 = + 7.0 + 343.00 x 1 + 49.00 x2 + 7.00 x 3 + 1.0 x4 = - 12.0 a = b = c = d = + 0.0097181730 - 0.5170068027 - 0.8333333333 + 15.8333333333
53. Ecuación de la función cúbica = 3 + 2 + + = +0.0097183 − 0.5170062 − 0.8ത 3 + 15.8ത 3 - 343.00 x 1 + 49.00 x2 - 7.00 x 3 + 1.0 x4 = - 7.0 - 42.875 x 1 + 12.25 x2 - 3.50 x 3 + 1.0 x4 = + 12.0 + 42.875 x 1 + 12.25 x2 + 3.50 x 3 + 1.0 x4 = + 7.0 + 343.00 x 1 + 49.00 x2 + 7.00 x 3 + 1.0 x4 = - 12.0 a = b = c = d = + 0.0097181730 - 0.5170068027 - 0.8333333333 + 15.8333333333
54. Hemos obtenido la ecuación de la función cúbica Esta ecuación representa, para nosotros, la relación que existe entre las variables del proceso. Es el modelo matemático que elegimos arbitrariamente. Se escriben seis decimales, pero al efectuar operaciones se utilizarán todos los que se obtuvieron para mejorar la exactitud. = +0.0097183 − 0.5170062 − 0.8ത 3 + 15.8ത 3
55. Solamente falta trazar la gráfica y verificar que pasa por los cuatro puntos que teníamos como datos = +0.0097183 − 0.5170062 − 0.8ത 3 + 15.8ത 3
56. Respuesta La función cúbica que describe el proceso tiene por ecuación: = +0.0097183 − 0.5170062 − 0.8ത 3 + 15.8ത 3
57. Gracias Por su atención licmata@hotmail.com http://licmata-math.blogspot.com/ http://www.slideshare.net/licmata/ http://www.facebook.com/licemata Twitter: @licemata