(2024) Couper un gâteau... sans connaître le nombre de convives

Support d'une intervention aux Journées Nationales de l'APMEP au Havre le 21 octobre 2024.
Partant d'un problème élémentaire de partage de gâteau, on convoque des connaissances arithmétiques et combinatoires qui permettent de petits raisonnements accessibles en fin de lycée.

Transcript

1. Couper un gâteau... sans connaître le nombre de convives Roger Mansuy Journées APMEP 2024
2. Introduction Pour l’anniversaire de mon épouse, • j’ai prévu de faire un gâteau, • j’ai invité un couple de vieux amis, mais j’ai oublié de leur demander si leurs deux ados venaient: on sera donc 4, 5 ou 6 autour de la table.
3. Introduction Pour l’anniversaire de mon épouse, • j’ai prévu de faire un gâteau, • j’ai invité un couple de vieux amis, mais j’ai oublié de leur demander si leurs deux ados venaient: on sera donc 4, 5 ou 6 autour de la table. Je souhaite couper le gâteau avant l’arrivée des invités et que l’on puisse le partager équitablement peu importe que le nombre que nous serons.
4. Introduction Pour l’anniversaire de mon épouse, • j’ai prévu de faire un gâteau, • j’ai invité un couple de vieux amis, mais j’ai oublié de leur demander si leurs deux ados venaient: on sera donc 4, 5 ou 6 autour de la table. Je souhaite couper le gâteau avant l’arrivée des invités et que l’on puisse le partager équitablement peu importe que le nombre que nous serons. Comment couper le gâteau?
5. Solution 1: on coupe 60 parts de même taille
6. Solution 1: on coupe 60 parts de même taille • Si on est 4, chacun prend 15 parts. • Si on est 5, chacun prend 12 parts. • Si on est 6, chacun prend 10 parts.
7. Solution 1bis: on coupe p parts de même taille
8. Solution 1bis: on coupe p parts de même taille • Si on est 4, il faut que 4 divise p. • Si on est 5, il faut que 5 divise p. • Si on est 6, il faut que 6 divise p. Ainsi, p est un multiple du ppcm 4 ∨ 5 ∨ 6 = 60.
9. Solution 2: on coupe des parts de taille 10 60 , 9 60 , 8 60 , 7 60 , 6 60 , 5 60 , 5 60 , 4 60 , 3 60 , 2 60 , 1 60 .
10. Solution 2: on coupe des parts de taille 10 60 , 9 60 , 8 60 , 7 60 , 6 60 , 5 60 , 5 60 , 4 60 , 3 60 , 2 60 , 1 60 . Il n’y a que 11 parts dans ce découpage.
11. Solution 2: on coupe des parts de taille 10 60 , 9 60 , 8 60 , 7 60 , 6 60 , 5 60 , 5 60 , 4 60 , 3 60 , 2 60 , 1 60 . • Si l’on est 4, on se répartit les parts de la façon suivante: 10 60 + 5 60 , 9 60 + 6 60 , 8 60 + 7 60 , 5 60 + 4 60 + 3 60 + 2 60 + 1 60
12. Solution 2: on coupe des parts de taille 10 60 , 9 60 , 8 60 , 7 60 , 6 60 , 5 60 , 5 60 , 4 60 , 3 60 , 2 60 , 1 60 . • Si l’on est 4, on se répartit les parts de la façon suivante: 10 60 + 5 60 , 9 60 + 6 60 , 8 60 + 7 60 , 5 60 + 4 60 + 3 60 + 2 60 + 1 60 • Si l’on est 5, on se répartit les parts de la façon suivante: 10 60 + 2 60 , 9 60 + 3 60 , 8 60 + 4 60 , 7 60 + 5 60 , 6 60 + 5 60 + 1 60
13. Solution 2: on coupe des parts de taille 10 60 , 9 60 , 8 60 , 7 60 , 6 60 , 5 60 , 5 60 , 4 60 , 3 60 , 2 60 , 1 60 . • Si l’on est 4, on se répartit les parts de la façon suivante: 10 60 + 5 60 , 9 60 + 6 60 , 8 60 + 7 60 , 5 60 + 4 60 + 3 60 + 2 60 + 1 60 • Si l’on est 5, on se répartit les parts de la façon suivante: 10 60 + 2 60 , 9 60 + 3 60 , 8 60 + 4 60 , 7 60 + 5 60 , 6 60 + 5 60 + 1 60 • Si l’on est 6, on se répartit les parts de la façon suivante: 10 60 , 9 60 + 1 60 , 8 60 + 2 60 , 7 60 + 3 60 , 6 60 + 4 60 , 5 60 + 5 60
14. Problème général Pour tout entier n ≥ 2, notons un le nombre minimal de parts d’une découpe d’un gâteau telle que l’on puisse se partager équitablement le gâteau que l’on soit n − 1, n ou n + 1 convives.
15. Problème général Pour tout entier n ≥ 2, notons un le nombre minimal de parts d’une découpe d’un gâteau telle que l’on puisse se partager équitablement le gâteau que l’on soit n − 1, n ou n + 1 convives. Que dire de un ?
16. Problème général Pour tout entier n ≥ 2, notons un le nombre minimal de parts d’une découpe d’un gâteau telle que l’on puisse se partager équitablement le gâteau que l’on soit n − 1, n ou n + 1 convives. Que dire de un ? D’après l’introduction, u5 ≤ 11.
17. Cas particuliers Calculons un pour de petites valeurs de n.
18. Pour n = 2, c’est-à-dire 1, 2 ou 3 convives, on vérifie immédiatement que u2 ≥ 3
19. Pour n = 2, c’est-à-dire 1, 2 ou 3 convives, on vérifie immédiatement que u2 ≥ 3 puis que u2 ≥ 4.
20. Pour n = 2, c’est-à-dire 1, 2 ou 3 convives, on vérifie immédiatement que u2 ≥ 3 puis que u2 ≥ 4. On a également u2 ≤ 4 avec le découpage suivant en parts de taille 2 6 , 2 6 , 1 6 , 1 6 :
21. Pour n = 2, c’est-à-dire 1, 2 ou 3 convives, on vérifie immédiatement que u2 ≥ 3 puis que u2 ≥ 4. On a également u2 ≤ 4 avec le découpage suivant en parts de taille 2 6 , 2 6 , 1 6 , 1 6 : En conclusion, u2 = 4.
22. Photographie Bob Jagendorf
23. Pour n = 3, c’est-à-dire 2, 3 ou 4 convives, montrons que u3 = 6 en deux étapes. • On montre qu’il est impossible d’obtenir un découpage admissible avec au plus 5 parts. • On exhibe un découpage admissible du gâteau avec 6 parts.
24. Pour n = 3, c’est-à-dire 2, 3 ou 4 convives, montrons que u3 = 6 en deux étapes. • On montre qu’il est impossible d’obtenir un découpage admissible avec au plus 5 parts. Ainsi, u3 ≥ 6. • On exhibe un découpage admissible du gâteau avec 6 parts. Ainsi, u3 ≤ 6.
25. Supposons que u3 ≤ 5 donc qu’il existe un découpage acceptable du gâteau en 5 parts que l’on peut partager équitablement entre 2, 3 ou 4 personnes.
26. Supposons que u3 ≤ 5 donc qu’il existe un découpage acceptable du gâteau en 5 parts que l’on peut partager équitablement entre 2, 3 ou 4 personnes. Quand on partage le gâteau entre 4 personnes, l’une à deux parts et les autres en ont une seule: il y a donc 3 parts de taille 1 4 et 2 parts de taille inférieure.
27. Supposons que u3 ≤ 5 donc qu’il existe un découpage acceptable du gâteau en 5 parts que l’on peut partager équitablement entre 2, 3 ou 4 personnes. Quand on partage le gâteau entre 4 personnes, l’une à deux parts et les autres en ont une seule: il y a donc 3 parts de taille 1 4 et 2 parts de taille inférieure. Quand on partage le gâteau entre 3 personnes, chacun doit avoir une part de taille 1 4 (car 1 4 + 1 4 > 1 3 ) mais une d’entre elle ne pourra pas avoir d’autre part: contradiction.
28. Supposons que u3 ≤ 5 donc qu’il existe un découpage acceptable du gâteau en 5 parts que l’on peut partager équitablement entre 2, 3 ou 4 personnes. Quand on partage le gâteau entre 4 personnes, l’une à deux parts et les autres en ont une seule: il y a donc 3 parts de taille 1 4 et 2 parts de taille inférieure. Quand on partage le gâteau entre 3 personnes, chacun doit avoir une part de taille 1 4 (car 1 4 + 1 4 > 1 3 ) mais une d’entre elle ne pourra pas avoir d’autre part: contradiction. En conclusion, u3 > 5, soit u3 ≥ 6.
29. Le découpage suivant 3 12 , 3 12 , 2 12 , 2 12 , 1 12 , 1 12 permet de partager le gâteau entre 2, 3 ou 4 convives:
30. Le découpage suivant 3 12 , 3 12 , 2 12 , 2 12 , 1 12 , 1 12 permet de partager le gâteau entre 2, 3 ou 4 convives: En conclusion, u3 ≤ 6, et puis, par double inégalité, u3 = 6.
31. Pour n = 4, un raisonnement analogue donne u4 = 9
32. Pour n = 4, un raisonnement analogue donne u4 = 9, et un découpage admissible est 12 60 , 12 60 , 10 60 , 8 60 , 7 60 , 5 60 , 3 60 , 2 60 , 1 60
33. Pour n = 4, un raisonnement analogue donne u4 = 9, et un découpage admissible est 12 60 , 12 60 , 10 60 , 8 60 , 7 60 , 5 60 , 3 60 , 2 60 , 1 60 Pour 5: 12 60 , 12 60 , 10 60 + 2 60 , 8 60 + 3 60 + 1 60 , 7 60 + 5 60 Pour 4: 12 60 + 3 60 , 12 60 + 2 60 + 1 60 , 10 60 + 5 60 , 8 60 + 7 60 Pour 3: 12 60 + 8 60 , 12 60 + 7 60 + 1 60 , 10 60 + 5 60 + 3 60 + 2 60
34. Pour n = 5, un raisonnement analogue donne u5 = 11, et un découpage admissible est 10 60 , 10 60 , 10 60 , 8 60 , 7 60 , 5 60 , 4 60 , 2 60 , 2 60 , 1 60 , 1 60
35. Pour n = 5, un raisonnement analogue donne u5 = 11, et un découpage admissible est 10 60 , 10 60 , 10 60 , 8 60 , 7 60 , 5 60 , 4 60 , 2 60 , 2 60 , 1 60 , 1 60 Dans l’introduction, on avait le découpage 10 60 , 9 60 , 8 60 , 7 60 , 6 60 , 5 60 , 5 60 , 4 60 , 3 60 , 2 60 , 1 60 . Il n’y a en général pas unicité de la solution!
36. Voici quelques jolis résultats obtenus informatiquement avec des parts de tailles toutes différentes. Pour n = 6, un découpage en 13 parts est 30 210 , 27 210 , 25 210 , 22 210 , 20 210 , 18 210 , 17 210 , 13 210 , 12 210 , 10 210 , 8 210 , 5 210 , 3 210 Pour n = 7, un découpage en 16 parts est 88 840 , 82 840 , 80 840 , 73 840 , 68 840 , 67 840 , 58 840 , 53 840 , 52 840 , 47 840 , 38 840 , 37 840 , 32 840 , 25 840 , 23 840 , 17 840 Pour n = 8, un découpage en 19 parts est 259 2520 , 195 2520 , 185 2520 , 179 2520 , 165 2520 , 161 2520 , 160 2520 , 155 2520 , 150 2520 , 130 2520 , 120 2520 , 119 2520 , 115 2520 , 101 2520 , 95 2520 , 85 2520 , 69 2520 , 56 2520 , 21 2520
37. Voici quelques jolis résultats obtenus informatiquement avec des parts de tailles toutes différentes. Pour n = 6, un découpage en 13 parts est 30 210 , 27 210 , 25 210 , 22 210 , 20 210 , 18 210 , 17 210 , 13 210 , 12 210 , 10 210 , 8 210 , 5 210 , 3 210 Pour n = 7, un découpage en 16 parts est 88 840 , 82 840 , 80 840 , 73 840 , 68 840 , 67 840 , 58 840 , 53 840 , 52 840 , 47 840 , 38 840 , 37 840 , 32 840 , 25 840 , 23 840 , 17 840 Non minimal! Pour n = 8, un découpage en 19 parts est 259 2520 , 195 2520 , 185 2520 , 179 2520 , 165 2520 , 161 2520 , 160 2520 , 155 2520 , 150 2520 , 130 2520 , 120 2520 , 119 2520 , 115 2520 , 101 2520 , 95 2520 , 85 2520 , 69 2520 , 56 2520 , 21 2520 Non minimal!
38. Récapitulons n 1 2 3 4 5 6 7 un 2 4 6 9 11 13 15 Sur OEIS: • A085148: Numbers k such that k!!!!! + 1 is prime • A060106: Numbers that are congruent to 1, 4, 6, 9, 11 mod 12. The ebony keys on a piano, starting with A0 = the 0th key • A160019: Lodumo2 applied to each row of Pascal’s triangle • A160813: a(n) = n-th squarefree number plus n-th cubefree number • A329826: Beatty sequence for (5 + √ (17))/4 • A272371: Maximal balanced binary trees in the Tamari lattices
39. Minoration de un Pour chercher un , on commence par montrer que de ”petites” valeurs sont impossibles... On cherche donc à minorer un .
40. Comme on doit pouvoir partager le gâteau entre n + 1 personnes, on a immédiatement la minoration un ≥ n + 1
41. Comme on doit pouvoir partager le gâteau entre n + 1 personnes, on a immédiatement la minoration un ≥ n + 1 Comparons avec les valeurs connues de un : n 2 3 4 5 6 7 un 4 6 9 11 13 15 n + 1 3 4 5 6 7 8
42. Si lorsque l’on partage entre n convives, l’un n’obtient qu’une part, alors cette part mesure 1 n ; cette ”grosse” part empêche de partager équitablement le gâteau entre n + 1 convives.
43. Si lorsque l’on partage entre n convives, l’un n’obtient qu’une part, alors cette part mesure 1 n ; cette ”grosse” part empêche de partager équitablement le gâteau entre n + 1 convives. Ainsi, dans le partage entre n convives, chacun a au moins 2 parts et donc un ≥ 2n
44. Si lorsque l’on partage entre n convives, l’un n’obtient qu’une part, alors cette part mesure 1 n ; cette ”grosse” part empêche de partager équitablement le gâteau entre n + 1 convives. Ainsi, dans le partage entre n convives, chacun a au moins 2 parts et donc un ≥ 2n Comparons avec les valeurs connues de un : n 2 3 4 5 6 7 un 4 6 9 11 13 15 2n 4 6 8 10 12 14
45. Avec quelques efforts, on peut être un peu plus précis dans le cas n ≥ 3: un découpage en 2n parts ne contient que des parts de taille k n(n+1) avec k entier.
46. Avec quelques efforts, on peut être un peu plus précis dans le cas n ≥ 3: un découpage en 2n parts ne contient que des parts de taille k n(n+1) avec k entier. Mais alors, il n’est pas possible de partager en n − 1 convives.
47. Avec quelques efforts, on peut être un peu plus précis dans le cas n ≥ 3: un découpage en 2n parts ne contient que des parts de taille k n(n+1) avec k entier. Mais alors, il n’est pas possible de partager en n − 1 convives. Ainsi, pour n ≥ 3, un ≥ 2n + 1.
48. Majoration de un Brutalement, on obtient un ≤ (n − 1) × n × (n + 1).
49. Majoration de un Brutalement, on obtient un ≤ (n − 1) × n × (n + 1). On peut facilement faire un petit peu mieux un ≤ (n − 1) ∨ n ∨ (n + 1).
50. Majoration de un Brutalement, on obtient un ≤ (n − 1) × n × (n + 1). On peut facilement faire un petit peu mieux un ≤ (n − 1) ∨ n ∨ (n + 1). Comparons avec les valeurs connues de un : n 2 3 4 5 6 7 un 4 6 9 11 13 15 (n − 1) ∨ n ∨ (n + 1) 6 12 60 60 210 168
51. Construisons des polygones réguliers à n − 1, n et n + 1 sommets ayant un sommet commun. Les segments reliant ces sommets au centre fournissent un découpage admissible. Comme il y a (n − 1) + n + (n + 1) − 2 = 3n − 2 sommets (en tenant compte du sommet commun), un ≤ 3n − 2
52. Construisons des polygones réguliers à n − 1, n et n + 1 sommets ayant un sommet commun. Les segments reliant ces sommets au centre fournissent un découpage admissible. Comme il y a (n − 1) + n + (n + 1) − 2 = 3n − 2 sommets (en tenant compte du sommet commun), un ≤ 3n − 2 Pour n = 12 11-gone
53. Construisons des polygones réguliers à n − 1, n et n + 1 sommets ayant un sommet commun. Les segments reliant ces sommets au centre fournissent un découpage admissible. Comme il y a (n − 1) + n + (n + 1) − 2 = 3n − 2 sommets (en tenant compte du sommet commun), un ≤ 3n − 2 Pour n = 12 12-gone
54. Construisons des polygones réguliers à n − 1, n et n + 1 sommets ayant un sommet commun. Les segments reliant ces sommets au centre fournissent un découpage admissible. Comme il y a (n − 1) + n + (n + 1) − 2 = 3n − 2 sommets (en tenant compte du sommet commun), un ≤ 3n − 2 Pour n = 12 13-gone
55. Construisons des polygones réguliers à n − 1, n et n + 1 sommets ayant un sommet commun. Les segments reliant ces sommets au centre fournissent un découpage admissible. Comme il y a (n − 1) + n + (n + 1) − 2 = 3n − 2 sommets (en tenant compte du sommet commun), un ≤ 3n − 2 Pour n = 12 11-gone 12-gone 13-gone
56. Construisons des polygones réguliers à n − 1, n et n + 1 sommets ayant un sommet commun. Les segments reliant ces sommets au centre fournissent un découpage admissible. Comme il y a (n − 1) + n + (n + 1) − 2 = 3n − 2 sommets (en tenant compte du sommet commun), un ≤ 3n − 2 Pour n = 12
57. Lorsque n est impair, un argument analogue donne un découpage avec (n − 1) + n + (n + 1) − 2 − 1 sommets (en remarquant que le point opposé au sommet de départ est commun au (n − 1)-gone et au (n + 1)-gone), donc un ≤ 3n − 3
58. Lorsque n est impair, un argument analogue donne un découpage avec (n − 1) + n + (n + 1) − 2 − 1 sommets (en remarquant que le point opposé au sommet de départ est commun au (n − 1)-gone et au (n + 1)-gone), donc un ≤ 3n − 3 Comparons avec les valeurs connues de un : n 2 3 4 5 6 7 un 4 6 9 11 13 15 3n − {2 ou 3} 4 6 10 12 16 19
59. Équivalent de un Montrons le théorème suivant. Théorème. un = 2n + O( √ n).
60. Équivalent de un Montrons le théorème suivant. Théorème. un = 2n + O( √ n). Étant donnée la minoration en 2n déjà obtenue, il suffit de travailler pour obtenir une majoration du même ordre de grandeur.
61. L’idée générale va consister à partager intelligemment une majorité du gâteau puis de gérer de manière plus frustre le relicat. Plus précisément, notons m = ⌊ √ n⌋ et séparons le gâteau en deux parties: l’une de proportion m2 n , l’autre de proportion 1 − m2 n . proportion: m2 n proportion: 1 − m2 n
62. Commençons par couper la ”grande” partie en 2m2 parts dont les tailles (proportions) sont, pour tous i, j ∈ 1, m , ai,j = 1 2n + i (n−1)n + j n(n+1) , et bi,j = 1 n − ai,j .
63. Commençons par couper la ”grande” partie en 2m2 parts dont les tailles (proportions) sont, pour tous i, j ∈ 1, m , ai,j = 1 2n + i (n−1)n + j n(n+1) , et bi,j = 1 n − ai,j . Remarquons que • ces proportions sont bien toutes positives, • leur somme est égale à m2 n .
64. Soit (i, j) ∈ 1, m 2. Alors, ai,j + bi,j = 1 n .
65. Soit (i, j) ∈ 1, m 2. Alors, ai,j + bi,j = 1 n . On a ainsi une façon de faire m2 portions (avec deux parts chacune) de taille 1 n . Il en faut n pour partager le gâteau entre n convives.
66. Soit (i, j) ∈ 1, m 2. Alors, ai,j + bi,j = 1 n . On a ainsi une façon de faire m2 portions (avec deux parts chacune) de taille 1 n . Il en faut n pour partager le gâteau entre n convives. Il suffit de couper le reste du gâteau en n − m2 parts égales.
67. Soit (i, j) ∈ 1, m − 1 × 1, m . Alors, ai+1,j + bi,j = 1 (n−1)n + ai,j + bi,j = 1 (n−1)n + 1 n = 1 n−1 .
68. Soit (i, j) ∈ 1, m − 1 × 1, m . Alors, ai+1,j + bi,j = 1 (n−1)n + ai,j + bi,j = 1 (n−1)n + 1 n = 1 n−1 . On a ainsi une façon de faire (m − 1)m portions (avec deux parts chacune) de taille 1 n−1 . Il en faut n − 1 pour partager le gâteau entre n − 1 convives.
69. Soit (i, j) ∈ 1, m − 1 × 1, m . Alors, ai+1,j + bi,j = 1 (n−1)n + ai,j + bi,j = 1 (n−1)n + 1 n = 1 n−1 . On a ainsi une façon de faire (m − 1)m portions (avec deux parts chacune) de taille 1 n−1 . Il en faut n − 1 pour partager le gâteau entre n − 1 convives. Il suffit de (re-)couper le reste du gâteau en (n − 1) − (m − 1)m parts égales.
70. Soit (i, j) ∈ 1, m × 1, m − 1 . Alors, ai,j + bi,j+1 = − 1 n(n+1) + ai,j+1 + bi,j+1 = − 1 n(n+1) + 1 n = 1 n+1 .
71. Soit (i, j) ∈ 1, m × 1, m − 1 . Alors, ai,j + bi,j+1 = − 1 n(n+1) + ai,j+1 + bi,j+1 = − 1 n(n+1) + 1 n = 1 n+1 . On a ainsi une façon de faire (m − 1)m portions (avec deux parts chacune) de taille 1 n+1 . Il en faut n + 1 pour partager le gâteau entre n + 1 convives.
72. Soit (i, j) ∈ 1, m × 1, m − 1 . Alors, ai,j + bi,j+1 = − 1 n(n+1) + ai,j+1 + bi,j+1 = − 1 n(n+1) + 1 n = 1 n+1 . On a ainsi une façon de faire (m − 1)m portions (avec deux parts chacune) de taille 1 n+1 . Il en faut n + 1 pour partager le gâteau entre n + 1 convives. Il suffit de (re-)couper le reste du gâteau en (n + 1) − (m − 1)m parts égales.
73. Avec cette stratégie, on obtient au plus 2m2 + ( n − m2 ) + ( (n − 1) − (m − 1)m ) + ( (n + 1) − (m − 1)m ) parts.
74. Avec cette stratégie, on obtient au plus 2m2 + ( n − m2 ) + ( (n − 1) − (m − 1)m ) + ( (n + 1) − (m − 1)m ) parts. Rappelons que l’encadrement √ n − 1 < m ≤ √ n entraîne les estimations asymptotiques suivantes: Lemme. m = O( √ n) et m2 = n + O( √ n).
75. Avec cette stratégie, on obtient au plus 2m2 + ( n − m2 ) + ( (n − 1) − (m − 1)m ) + ( (n + 1) − (m − 1)m ) parts. Rappelons que l’encadrement √ n − 1 < m ≤ √ n entraîne les estimations asymptotiques suivantes: Lemme. m = O( √ n) et m2 = n + O( √ n). Le découpage proposé a donc un nombre de parts de la forme 2n + O( √ n), ce qui achève la démonstration du théorème.
76. Une variante Pour tous entiers m, n ≥ 2, notons vm,n le nombre minimal de parts d’une découpe d’un gâteau telle que l’on puisse se partager équitablement le gâteau que l’on soit m ou n convives.
77. Une variante Pour tous entiers m, n ≥ 2, notons vm,n le nombre minimal de parts d’une découpe d’un gâteau telle que l’on puisse se partager équitablement le gâteau que l’on soit m ou n convives. Que dire de vm,n ?
78. On dispose d’une formule explicite pour cette quantité. Théorème. vm,n = m + n − m ∧ n.
79. On dispose d’une formule explicite pour cette quantité. Théorème. vm,n = m + n − m ∧ n. En revenant au problème initial, on obtient que un ≥ vn,n+1 = 2n.
80. Montrons tout d’abord la majoration vm,n ≤ m + n − m ∧ n.
81. Montrons tout d’abord la majoration vm,n ≤ m + n − m ∧ n. Considérons un m-gone régulier et un n-gone régulier partageant un sommet; comme ils admettent m ∧ n sommets communs, la figure obtenue comporte m + n − m ∧ n sommets Pour m = 8 et n = 12 (et donc m ∧ n = 4) 8-gone 12-gone
82. Montrons tout d’abord la majoration vm,n ≤ m + n − m ∧ n. Considérons un m-gone régulier et un n-gone régulier partageant un sommet; comme ils admettent m ∧ n sommets communs, la figure obtenue comporte m + n − m ∧ n sommets donc fournit un découpage admissible à m + n − m ∧ n parts. Pour m = 8 et n = 12 (et donc m ∧ n = 4) 8-gone 12-gone
83. Pour la minoration vm,n ≥ m + n − m ∧ n, on associe un graphe à chaque découpage admissible: • m sommets représentent les portions lors du découpage équitable pour m convives, • n sommets représentent les portions lors du découpage équitable pour n convives, • une arête joint deux sommets si une part appartient aux deux portions associées aux sommets.
84. Pour la minoration vm,n ≥ m + n − m ∧ n, on associe un graphe à chaque découpage admissible: • m sommets représentent les portions lors du découpage équitable pour m convives, • n sommets représentent les portions lors du découpage équitable pour n convives, • une arête joint deux sommets si une part appartient aux deux portions associées aux sommets. Il s’agit d’un graphe biparti dont le nombre d’arêtes est le nombre de parts du découpage.
85. Exemple avec m = 5, n = 6.
86. Exemple avec m = 5, n = 6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
87. Exemple avec m = 5, n = 6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 {1, 10} {2, 9} {3, 8} {4, 7} {5, 6, 11}
88. Exemple avec m = 5, n = 6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 {1, 10} {2, 9} {3, 8} {4, 7} {5, 6, 11} {1} {2, 11} {3, 10} {4, 9} {5, 8} {6, 7}
89. Exemple avec m = 5, n = 6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 {1, 10} {2, 9} {3, 8} {4, 7} {5, 6, 11} {1} {2, 11} {3, 10} {4, 9} {5, 8} {6, 7}
90. Exemple avec m = 4, n = 6.
91. Exemple avec m = 4, n = 6. 1 2 3 4 5 6 7 8 {1, 2} {3, 4} {5, 6} {7, 8} {1} {2, 3} {4} {5} {6, 7} {8}
92. Lemme. Un graphe connexe à s sommets admet au moins s − 1 arêtes.
93. Lemme. Un graphe connexe à s sommets admet au moins s − 1 arêtes. Lemme. Un graphe à p composantes connexes et s sommets admet au moins s − p arêtes.
94. Lemme. Un graphe connexe à s sommets admet au moins s − 1 arêtes. Lemme. Un graphe à p composantes connexes et s sommets admet au moins s − p arêtes. Il reste alors à ”déterminer” le nombre de composantes connexes du graphe associé à un découpage.
95. Remarquons qu’une composante connexe du graphe associé au découpage qui comporte a sommets de la partition en m parts et b sommets de la partition en n parts vérifie a × 1 m = b × 1 n , soit an = bm.
96. Remarquons qu’une composante connexe du graphe associé au découpage qui comporte a sommets de la partition en m parts et b sommets de la partition en n parts vérifie a × 1 m = b × 1 n , soit an = bm. En notant d = m ∧ n, m = dm′ et n = dn′, on a an′ = bm′.
97. Remarquons qu’une composante connexe du graphe associé au découpage qui comporte a sommets de la partition en m parts et b sommets de la partition en n parts vérifie a × 1 m = b × 1 n , soit an = bm. En notant d = m ∧ n, m = dm′ et n = dn′, on a an′ = bm′. Ainsi, d’après le lemme de Gauss, n′ divise b, puis b ≥ n′ = n m∧n .
98. Remarquons qu’une composante connexe du graphe associé au découpage qui comporte a sommets de la partition en m parts et b sommets de la partition en n parts vérifie a × 1 m = b × 1 n , soit an = bm. En notant d = m ∧ n, m = dm′ et n = dn′, on a an′ = bm′. Ainsi, d’après le lemme de Gauss, n′ divise b, puis b ≥ n′ = n m∧n . Comme il y a au moins n m∧n sommets (de la deuxième catégorie) dans chaque composante connexe et n sommets (de la deuxième catégorie) au total, il y a au plus m ∧ n composantes connexes.
99. Ainsi, il y a au plus m ∧ n composantes connexes dans notre graphe. Rappelons le lemme: Lemme. Un graphe à p composantes connexes et s sommets admet au moins s − p arêtes. Le graphe associé au découpage admet au moins m + n − m ∧ n arêtes d’où vm,n ≥ m + n − m ∧ n.
100. Conclusion Finalement, j’ai choisi de faire des fondants chocolat-speculoos qui se dégèlent/cuisent à la dernière minute: pas de découpage!
101. Conclusion Finalement, j’ai choisi de faire des fondants chocolat-speculoos qui se dégèlent/cuisent à la dernière minute: pas de découpage! Source mathématique sur Math Overflow