不変量

(若手)エンジニアもくもく会 vol.12 @CrowdWorks
https://youth-engineer-mokumoku.connpass.com/event/126962/

Transcript

1. 不変量
   

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2. 自己紹介
   小柳 昌生 (Koyanagi Masaki)
   Twitter: @mascii_k
   株式会社ビザスク エンジニア
   

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3. Wikipedia
   不変量（ふへんりょう、invariant）とは、数学的対象を特
   徴付ける別種の数学的対象のことである。一般に、不変
   量は数や多項式など、不変量同士の同型性判定がもと
   の対象の同型性判定より簡単であるものをとる。良い不
   変量とは、簡単に計算でき、かつなるべく強い同型性判
   別能力をもつものである。
   

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5. 例
   https://www.ap-siken.com/kakomon/26_haru/q2.html
   

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6. 答え：AはCと同形であるが，Bとは同形でない。
   Animation GIF: https://www.ap-siken.com/kakomon/26_haru/img/02a.gif
   

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7. A,C と B が同型でない理由
   説明できますか？？？
   

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8. A,C と B が同型でない理由
   最小部分サイクルのサイズを与える関数 f を考える
   f(A) = 4, f(B) = 3, f(C) = 4
   ※この f はグラフ理論において「内周」と呼ばれる不変量で、 gで表すことが多い
   

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9. A,C と B が同型でない理由
   他にも、頂点の数・辺の数・次数列といった不変量がある
   (今回の A,B,C は全て一致してしまう)
   

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10. 同じではないことを示す方が簡単だったりする
    グラフの同型に関する問題は、
    頂点数が増えると一気に難しくなることが知られています。
    等しくないことは、いい感じの不変量が等しくないことを示せればOK
    x, y が等しい ⇒ f(x) と f(y) が等しい
    ↓(対偶)
    f(x), f(y) が等しくない ⇒ x と y が等しくない
    

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11. SHA-1 (ハッシュ関数) の例
    ファイル x, y の ハッシュ値 SHA-1(x) と SHA-1(y) が等しくなけ
    れば x と y は異なるファイルである: ◯
    ファイル x, y の ハッシュ値 SHA-1(x) と SHA-1(y) が等しいなら
    ば x と y は同じファイルである: ×
    

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12. 反例
    PDF1
    https://qiita.com/rana_kualu/items/53368eeec521013f0c11
    PDF2
    

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