実務で役立つ幾何学 ボロノイ図の基礎から グラフ・ネットワーク応用まで

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1. 2026-05-22 第147回NearMe技術勉強会 Shunma Serizawa 実務で役⽴つ幾何学 ボロノイ図の基礎から グラフ‧ネットワーク応⽤まで
2. ⽬次 1. 距離 2. ボロノイ図の定義 3. ボロノイ図の発展 4. 実務への応⽤
3. 1. 平⾯上の距離 • ユークリッド距離 • マンハッタン距離
4. 1. 球⾯上の距離（⼤円距離）
5. 1. 球⾯上の距離
6. 2. ボロノイ図の定義
7. 2. ボロノイ図の作り⽅ • 前提条件 • 2 次元平⾯上 • ユークリッド距離
8. 2. ボロノイ図の作り⽅ • 隣接する⺟点との境界を定義 • 対象の⺟点 (⾚) と隣の⺟点との 垂直⼆等分線を描画
9. 2. ボロノイ図の作り⽅ • 隣接する⺟点との境界を定義 • 対象の⺟点 (⾚) と隣の⺟点との 垂直⼆等分線を描画
10. 2. ボロノイ図の作り⽅ • 隣接する⺟点との境界を定義 • 対象の⺟点 (⾚) と隣の⺟点との 垂直⼆等分線を描画
11. 2. ボロノイ図の作り⽅ • 隣接する⺟点との境界を定義 • 対象の⺟点 (⾚) と隣の⺟点との 垂直⼆等分線を描画
12. 2. ボロノイ図の作り⽅ • 領域の確定 • すべての境界線によって囲まれた 内側が、その⺟点のボロノイ領域
13. 2. ボロノイ図の作り⽅ • 他の⺟点も同様に
14. 3. ボロノイ図の発展 • 球⾯ボロノイ図 • 距離指標：⼤円距離 • 境界線：垂直⼆等分⼤円
15. 3. ボロノイ図の発展 • 線分ボロノイ図 • 距離指標：ユークリッド距離 • 境界線： • 点 vs 点：垂直⼆等分線 • 線分 vs 点：放物線 • 線分 vs 線分：⾓の⼆等分線
16. 4. 実務への応⽤ • 最近やっていること • 顧客がピンを⽴てた場所だとピックアップしずらいことがある • そこから近くて、ピックアップしやすい場所にピンをずらしたい
17. 4. 実務への応⽤ • グラフ (図じゃなくてネットワークとかの) をボロノイ分割したい 4 2 3 3 6 2 5 4 6
18. 4. 実務への応⽤ • 各⺟点から全てのノードへの距離を出す 4 2 3 3 6 2 5 4 6 X: ⻘からの距離 X: 橙からの距離 10 / 2 9 / 5 5 / 9 2 / 12 4 / 8
19. 4. 実務への応⽤ • 距離をもとに、ノードを⺟点に割り当て 4 2 3 3 6 2 5 4 6 X: ⻘からの距離 X: 橙からの距離 10 / 2 9 / 5 5 / 9 2 / 12 4 / 8
20. 4. 実務への応⽤ • 同じ領域のノードをつなぐエッジも、その⺟点に割り当て 4 2 3 3 6 2 5 4 6 X: ⻘からの距離 X: 橙からの距離 10 / 2 9 / 5 5 / 9 2 / 12 4 / 8
21. 4. 実務への応⽤ • どの⺟点にも割り当てられなかったエッジを分割 4 2 3 3 2 5 6 X: ⻘からの距離 X: 橙からの距離 10 / 2 9 / 5 5 / 9 2 / 12 4 / 8 7 / 7 2 2 2 4 6 / 6
22. • 分割されたエッジを割り当て 4. 実務への応⽤ 4 2 3 3 2 5 6 X: ⻘からの距離 X: 橙からの距離 10 / 2 9 / 5 5 / 9 2 / 12 4 / 8 7 / 7 2 2 2 4 6 / 6
23. 4. 実務への応⽤ • さらに、エッジに囲まれた領域を割り当て
24. 4. 実務への応⽤ • これの何が嬉しい？ 1. ピックアップしやすいエッジ、ポイントを⺟点としてボロノイ分割 2. 顧客がピンを打つ 3. ピンを打った場所がどの⺟点の領域か出す 4. ⺟点をピックアップ地点として推薦
25. 4. 実務への応⽤ • 実装中… https://github.com/sepa38/road-voronoi
26. 付録 A (球⾯三⾓法の余弦定理)
27. 付録 A (球⾯三⾓法の余弦定理)
28. 付録 B ハヴァーサインの公式
29. Thank you