五色定理の証明

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11. Ϧετ࠼৭ʹΑΔূ໌ ▸ ࣌ؒతʹ΍ͬͺΓ͓ؾ࣋ͪ ▸ ࣍ͷओுΛূ໌͢Δ ▸ خ͍͠ཧ༝ ▸ ͷۃେฏ໘άϥϑΛߟ͑Δͱ֎ྖҬΛؚΉશ͕ͯࡾ֯ܗͰ෼ׂ ▸ ֎ྖҬͱͷڥքʹؚ·ΕΔ3௖఺ͷ͏ͪɼ2ͭΛృΓ Λద༻Ͱ͖Δ શͯͷ಺ྖҬ͕ࡾ֯ܗͰɼ֎ྖҬͱͷڥքʹؚ·ΕΔด࿏ ͕͋ΔͱԾఆ͢Δɽ௖఺ ʹ͸ͦΕͧΕ1,2ΛృΓɼ ͷ֤௖఺ʹ͸3৭Ҏ্ͷ Ϧετɼ ͷ֤௖఺ʹ͸5৭Ҏ্ͷϦετ͕༩͑ΒΕ͍ͯΔͱ͖ɼ ͷ࠼৭ Λ֦ு͠ ͷ࠼৭͕ߏ੒Ͱ͖Δ C = v1 ⋯vk v1 v1 , v2 C G − C v1 , v2 G G ( * ) ( * )
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15. ݭΛ࣋ͭ৔߹
16. ݭΛ࣋ͨͳ͍৔߹ ▸ ͷྡ઀఺Λɼ࣌ܭճΓʹ ͱஔ͘ ▸ ͸ ͷ಺ྖҬʹؚ·Εɼ಺ྖҬ͸ࡾ֯ܗͳͷͰ ͸ύε ▸ ͦΕΛ ͱ͢Δͱ ͸ด࿏ʹͳΔ vk v1 , u1 , ⋯, um , vk−1 ui C v1 , u1 , ⋯, um , vk−1 P C′ := P ∪ (C − vk )
17. ݭΛ࣋ͨͳ͍৔߹ ▸ ͷϦετ͔ΒҟͳΔ2৭ Λબͼɼ ͷϦετ͔Β࡟আ ▸ ͷ֤௖఺ͷϦετʹ͸3৭Ҏ্࢒͍ͬͯͯԾఆΑΓ ಺෦Λ࠼৭Ͱ͖Δ ▸ ʹ͸ ͷ಺ɼ ʹృΒΕͯͳ͍ํΛృΔ ▸ 1͸ྡ઀͍ͯ͠Δ ʹృΒΕ͍ͯΔͨΊ ʹ͸Ͱ͖ͳ͔ͬͨ ▸ ʹృΒΕͨ৔߹͸ͲͪΒ΋ృΕͳ͘ͳΔՄೳੑ͕͋ΔͨΊ࡟আͨ͠ vk j, l ≠ 1 ui C′ C′ vk vk−1 j, l v1 j, l ui
18. ͓ΘΓ ▸ ݭΛ࣋ͭͱ͖࣋ͨͳ͍ͱ͖ͷͲͪΒͰ΋5-Ϧετ࠼৭Մೳ ▸ Ϧετ࠼৭ͷ΄͏͕೉͍͠ͷͰ౰વී௨ͷ5-࠼৭͕Մೳ ▸ ΍ͬͨͶ ▸ 4-Ϧετ࠼৭͸ෆՄೳͰ͋Δ͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔΒ͍͠ ▸ ؤுͬͯ൓ྫ͔ূ໌Λߟ͑ͯΈ͍ͯͩ͘͞ɼ๻͸຾͍Ͱ͢ ▸ ݭΛ࣋ͨͳ͍৔߹͋ͨΓͰϠόͦ͏
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