関数型まつり2025登壇資料「関数プログラミングと再帰」

Transcript

1. 関数プログラミングと再帰 T.T 1
2. 自己紹介 T.T（ティーツー） 株式会社ユーザベース 新卒入社して２年が経ちました 好きな言語: F#/Clojure ※ 今回のコードは全てF#で書いていきます 2
3. 今日は関数プログラミングと再帰について話します。 3
4. 本講演のゴール 再帰の基本概念を理解する 再帰の最適化手法を体験する 4
5. そもそも再帰って？ 関数内で自分自身を呼び出すことを再帰呼び出しといい、再帰呼び出しを含む関数の ことを再帰関数という。 let rec sum lst = match lst with | [] -> 0 | first :: rest -> first + sum rest 5
6. 再帰関数の作り方 ベースケース: 再起呼び出しをせずに手元にある情報のみから答えが計算できるケ ース 再帰ステップ: より小さな部分問題に対して再帰呼び出しを行う。 let rec sum lst = match lst with | [] -> 0 　　　　　　　　　　　　　　　　//　ベースケース | first :: rest -> first + sum rest　//　再帰ステップ 6
7. なぜ再帰? 再帰は関数プログラミングにおいて重要な概念。 関数プログラミングではループ構文の代わりに再帰が使われることが多い。 7
8. 手続き型プログラミングの場合 手続き型プログラミングは構文を利用する 構文は値を返さず、副作用を起こすもの。 ループ構文を使う場合、ミュータブルな値が必要になる。 構文の特徴: 値を返さない 状態を変更する // 手続き型 function factorial(n) { let result = 1; for (let i = 1; i <= n; i++) { result = result * i; } return result; } 8
9. 関数プログラミングの場合 関数プログラミングでは式を中心とした記述を行う。 式の特徴: 値を返す 副作用がない 同じ入力に対してはいつでも常に同じ結果を返す (参照透過性を持つ) 9
10. また、関数型言語では一度作ったデータは変わることがなく、不変性を持つ。 このような特徴により、副作用を伴わない関数呼び出しが可能になり、繰り返し処理 もループ構文ではなく再帰によって表現することが一般的。 let rec factorial n = match n with | 0 -> 1 | _ -> n * factorial (n - 1) 10
11. Listのmapを実装して再帰について学んでみる まずListの定義を確認する リストの定義（ 『プログラミングの基礎』より引用） 空リスト [] はリストである first が要素, rest がリストなら first :: rest もリストである。 例: [1; 2; 3] = 1 :: 2 :: 3 :: [] = 1 :: (2 :: (3 :: [])) 11
12. 引数で受け取ったリストをパターンマッチする。 let map f lst = match lst with | [] -> failwith "TODO" | first :: rest -> failwith "TODO" 12
13. 空のリストが渡された場合は、空のリストを返す let map f lst = match lst with | [] -> [] | first :: rest -> failwith "TODO" 13
14. リストが空でなかった場合は、先頭の要素をfirstとそれ以降の要素を含むリストに分割 する。 引数で受け取った関数をfirstに適用させる。 :: で f first の返り値と再帰呼出しして得た結果のリストを結合させる。 let rec map f lst = match lst with | [] -> [] | first :: rest -> (f first) :: (map f rest) 14
15. mapを実装できた！！だが問題がある この実装には問題がある。 let rec map f lst = match lst with | [] -> [] | first :: rest -> (f first) :: (map f rest) 15
16. 再帰呼び出しがされるたびに関数がコールスタックに追加され、 今のままの実装では長いリストを扱う場合は、Stack overflowが発生してしまう。 16
18. そんなときに末尾再帰 末尾再帰とは 再帰呼出しが一つだけで、その呼び出しが関数の最後の処理(末尾呼び出し)になってい る再帰のパターンのこと。 言語や処理系によるが一般的に末尾再帰はコンパイラに再帰呼び出しを関数呼び出し ではなく、goto文(戻り先を保存しない飛び越し命令)に変換させる。goto文はスタック に追加されないので、Stack overflowを防ぐことができる。 これを末尾呼び出し最適化と呼ぶ。 18
19. アキュムレータを用いて末尾再帰でmapを実装する mapの中に補助関数として再帰関数を定義し、引数でアキュムレータを受け取れるよ うにする。 空のリストを受け取った場合は、アキュムレータを返すようにする。 それ以外のリストの場合はfにfirstを適用した値をアキュムレータに累積していく。 let map f lst = let rec mapInner lst acc = match lst with | [] -> acc | first::rest -> mapInner rest ((f first) :: acc) mapInner lst [] |> List.rev 19
20. やったか?.. 先ほどと同じ要素数でmapを呼び出してもStack overflowは発生しなくなった。 20
21. 木構造の場合 このような単純な木構造があるとする type 'a Tree = | Leaf of 'a | Node of 'a Tree * 'a Tree 例: Node (Leaf 1, Node(Leaf 2, Leaf 3)) Node / \ Leaf(1) Node / 　\ Leaf(2) Leaf(3) 21
22. 木構造におけるmap リストと同じような形で末尾再帰ではないmapを書くとこうなる。 これを末尾再帰にする場合、この複数再帰呼び出しをしているとアキュムレータを使 ってもうまくいかない… let rec map f tree = match tree with | Leaf x -> f x |> Leaf | Node (left, right ) -> let leftResult = map f left let rightResult = map f right Node(leftResult, rightResult) 22
24. そんなときに継続渡しスタイル(CPS) 「次に何をするか」という関数を再帰呼び出しの引数に渡していく。 ここでいう cont は継続で「残りの計算」を表す。 これは末尾再帰になっていて、スタックには追加されない。 let map f tree = let rec mapInner tree cont = match tree with | Leaf x -> Leaf(f x) |> cont | Node (left, right) -> mapInner left (fun leftResult -> mapInner right (fun rightResult -> Node(leftResult, rightResult) |> cont)) mapInner tree id 24
25. Node (Leaf 1, Leaf 2) を例になにが起こっているのかを紐解いていく。 let map f tree = let rec mapInner tree cont = match tree with | Leaf x -> Leaf(f x) |> cont | Node (left, right) -> mapInner left (fun leftResult -> mapInner right (fun rightResult -> Node(leftResult, rightResult) |> cont)) mapInner tree id > map ((*) 2) (Node (Leaf 1, Leaf 2));; val it: int Tree = Node (Leaf 2, Leaf 4) 25
26. 初回の再帰呼出し 補助関数の引数の状態 tree: Node (Leaf 1, Leaf 2) cont: id 初回はNodeのパターンに入る。 mapInner を left とそれ以降の計算を引数に再帰呼 出しをする let map f tree = let rec mapInner tree cont = match tree with | Leaf x -> Leaf(f x) |> cont | Node (left, right) -> //このケースに入る mapInner left (fun leftResult -> mapInner right (fun rightResult -> Node(leftResult, rightResult) |> cont)) mapInner tree id 26
27. ２回目の再帰呼出し 補助関数の引数の状態 tree: Leaf 1 cont: (fun leftResult -> mapInner right (fun rightResult -> Node(leftResult, rightResult) |> id ２回目は Leaf のパターン。引数で受け取った関数 f を適用して cont を呼ぶ。 let map f tree = let rec mapInner tree cont = match tree with | Leaf x -> //このケースに入る Leaf(f x) |> cont | Node (left, right) -> mapInner left (fun leftResult -> mapInner right (fun rightResult -> Node(leftResult, rightResult) |> cont)) mapInner tree id 27
28. cont を呼び出した結果 Leaf 2 |> (fun leftResult -> mapInner right (fun rightResult -> Node(leftResult, rightResult) |> id)) mapInner right (fun rightResult -> Node(Leaf 2, rightResult) |> id) 28
29. 3回目の再帰呼び出し。 補助関数の引数の状態 tree: Leaf 2 cont: (fun rightResult -> Node(Leaf 2, rightResult) |> id) 今回も Leaf のケースに入る let map f tree = let rec mapInner tree cont = match tree with | Leaf x -> //このケースに入る Leaf(f x) |> cont | Node (left, right) -> mapInner left (fun leftResult -> mapInner right (fun rightResult -> Node(leftResult, rightResult) |> cont)) mapInner tree id 29
30. contを呼び出した結果 Leaf 4 |> (fun rightResult -> Node(Leaf 2, rightResult) |> id) Node(Leaf 2, Leaf 4) |> id Node(Leaf 2, Leaf 4) 30
31. 改めて全体像 let map f tree = let rec mapInner tree cont = match tree with | Leaf x -> Leaf(f x) |> cont | Node (left, right) -> mapInner left (fun leftResult -> mapInner right (fun rightResult -> Node(leftResult, rightResult) |> cont)) mapInner tree id 31
32. でも継続渡しスタイルが最適化されないこともある… 今回例に用いているF#では継続渡しスタイル(CPS)が末尾呼び出し最適化されるが、 末尾呼び出し最適化されない言語(JVM系の言語など)もあるのでTrampolineなど別の手 法をとる必要がある。 またスタック領域に関しては領有されることはないが、継続の関数のネストによりヒ ープ領域を領有するので、そっちが問題になるパターンも… 32
33. 再帰的な構造 今まで見てきた再帰は構造的再帰と呼ばれる。 構造的再帰は、データ構造の定義に従って再帰呼び出しを行う再帰のパターンで、 データ構造が再帰的に定義されている場合、それに対応する関数も自然に再帰的にな る。 再帰的データ構造の例 リスト 自然数 木 33
34. 一般的な再帰 一般的な再帰は、データ構造の形に直接対応していない再帰 34
35. クイックソートを例に見てみる クイックソートは与えられたリストを整列するアルゴリズム 分割統治法を用いてリストを整列する ※ 分割統治法：問題を部分問題に分割し、各々を独立に解いて、得られた解から全体の解を計算 する手法 35
37. まず再帰のベースケースを考える クイックソートにおいて空リストなら、自明に [] であることがわかる let rec quickSort lst = match lst with | [] -> [] | _ -> failwith "TODO" 37
38. 次に再帰ステップを考える 構造に従った再帰の場合、部分問題を常に first :: rest のrestということしか考え る必要はなかったが、一般の再帰の場合は部分問題を生成する必要がある。 let rec quickSort lst = match lst with | [] -> [] | first :: rest -> failwith "TODO" 38
39. 基準の要素をfirst、それより小さい要素のリストと大きい要素のリストを作り、更にそ れらに対して再帰呼出しをする let rec quickSort lst = match lst with | [] -> [] | first :: rest -> let smaller, greater = List.partition ((>=) first) let sourtedSmaller = quickSort smaller let sourtedGreater = quickSort greater failwith "TODO" 39
40. それぞれの結果を結合させる let rec quickSort lst = match lst with | [] -> [] | first :: rest -> let smaller, greater = List.partition ((>=) first) rest quickSort smaller @ [first] @ quickSort greater 40
41. クイックソートを実装できた let rec quickSort lst = match lst with | [] -> [] | first :: rest -> let smaller, greater = List.partition ((>=) first) rest quickSort smaller @ [first] @ quickSort greater 41
42. 継続渡しスタイル版 let quickSort lst = let rec inner lst cont = match lst with | [] -> cont [] | first :: rest -> let smaller, greater = List.partition ((>=) first) rest inner smaller (fun s -> inner greater (fun g -> cont (s @ [first] @ g))) inner lst id 42
43. まとめ 関数プログラミングではループ構文ではなく、再帰を利用する 再帰の最適化には言語にもよるが末尾呼び出し最適化が利用される データ構造に直接対応していない再帰も存在する 43
44. 参考 https://fsharpforfunandprofit.com/posts/computation-expressions-conts/ https://practical-scheme.net/docs/cont-j.html 浅井健一（2007） 『プログラミングの基礎』 （Computer Science Library 3） 、サイ エンス社. Stuart Halloway, Aaron Bedra（2013） 『プログラミングClojure 第2版』 、オーム社、 （原著：Stuart Halloway and Aaron Bedra, "Programming Clojure, 2nd edition", Pragmatic Bookshelf 2012、翻訳：川合史朗）. Michał Płachta（2023） 『なっとく！関数型プログラミング』 、翔泳社、 （原著： Michał Płachta, "Grokking Functional Programming", Manning Publications 2022、翻 訳/監修：株式会社クイープ）. 44