Upgrade to Pro
— share decks privately, control downloads, hide ads and more …
Speaker Deck
Features
Speaker Deck
PRO
Sign in
Sign up for free
Search
Search
Unit propagationと最大流と分枝限定法
Search
wata_orz
December 17, 2018
Research
2
2.1k
Unit propagationと最大流と分枝限定法
競プロ忘年会2018
wata_orz
December 17, 2018
Tweet
Share
More Decks by wata_orz
See All by wata_orz
サンタコンペで二度全完した話
wata_orz
7
7k
Other Decks in Research
See All in Research
RHO-1: Not All Tokens Are What You Need
sansan_randd
1
160
Adaptive fusion of multi-modal remote sensing data for optimal sub-field crop yield prediction
satai
3
230
なめらかなシステムと運用維持の終わらぬ未来 / dicomo2025_coherently_fittable_system
monochromegane
0
1.6k
学生向けアンケート<データサイエンティストについて>
datascientistsociety
PRO
0
5k
Towards a More Efficient Reasoning LLM: AIMO2 Solution Summary and Introduction to Fast-Math Models
analokmaus
2
700
IMC の細かすぎる話 2025
smly
2
500
時系列データに対する解釈可能な 決定木クラスタリング
mickey_kubo
2
840
Submeter-level land cover mapping of Japan
satai
3
180
「エージェントって何?」から「実際の開発現場で役立つ考え方やベストプラクティス」まで
mickey_kubo
0
130
[輪講] SigLIP 2: Multilingual Vision-Language Encoders with Improved Semantic Understanding, Localization, and Dense Features
nk35jk
2
740
EarthMarker: A Visual Prompting Multimodal Large Language Model for Remote Sensing
satai
3
390
データxデジタルマップで拓く ミラノ発・地域共創最前線
mapconcierge4agu
0
200
Featured
See All Featured
How to Create Impact in a Changing Tech Landscape [PerfNow 2023]
tammyeverts
53
2.9k
Gamification - CAS2011
davidbonilla
81
5.4k
A Tale of Four Properties
chriscoyier
160
23k
Embracing the Ebb and Flow
colly
86
4.8k
XXLCSS - How to scale CSS and keep your sanity
sugarenia
248
1.3M
KATA
mclloyd
31
14k
The Illustrated Children's Guide to Kubernetes
chrisshort
48
50k
Fashionably flexible responsive web design (full day workshop)
malarkey
407
66k
VelocityConf: Rendering Performance Case Studies
addyosmani
332
24k
How to train your dragon (web standard)
notwaldorf
96
6.1k
Thoughts on Productivity
jonyablonski
69
4.8k
Practical Tips for Bootstrapping Information Extraction Pipelines
honnibal
PRO
21
1.4k
Transcript
Unit propagation と 最大流 と 分枝限定法 @wata_orz 1
自己紹介 東大博士(2016) → 国立情報学研究所(NII) 助教 面白いアルゴリズムを作って遊んでいる 2 ICFPC
◎wata
以下の論文の紹介 0/1/All CSPs, Half-Integral A-Path Packing, and Linear-Time FPT Algorithms.
Yoichi Iwata, Yutaro Yamaguchi, Yuichi Yoshida. FOCS 2018 3 コンテストで出るかも!? ぜひ、実装してね
二部グラフ判定 奇数長の閉路があるか? 4
二部グラフ判定 5 奇数長の閉路があるか?
二部グラフ判定 6 奇数長の閉路があるか?
二部グラフ判定 7 奇数長の閉路があるか?
二部グラフ判定 8 奇数長の閉路があるか?
二部グラフ判定 9 Even cycle 奇数長の閉路があるか?
二部グラフ判定 10 奇数長の閉路があるか?
二部グラフ判定 11 Odd cycle! 奇数長の閉路があるか?
-閉路判定 = 1 , 2 12 1 2 の辺を通る閉路があるか?
-閉路判定 13 ∗ 1 2 = 1 , 2 の辺を通る閉路があるか?
-閉路判定 14 ∗ 1 1 2 = 1 , 2
の辺を通る閉路があるか?
-閉路判定 15 ∗ 1 1 1 2 = 1 ,
2 の辺を通る閉路があるか?
-閉路判定 16 ∗ 1 1 1 1 2 = 1
, 2 の辺を通る閉路があるか?
-閉路判定 17 ∗ 1 1 1 1 1 2 =
1 , 2 の辺を通る閉路があるか?
-閉路判定 18 ∗ 1 1 1 1 1 2 を通らない閉路
= 1 , 2 の辺を通る閉路があるか?
-閉路判定 19 ∗ 1 1 1 1 2 1 2
= 1 , 2 の辺を通る閉路があるか?
-閉路判定 20 ∗ 1 1 1 1 2 1 1
2 = 1 , 2 の辺を通る閉路があるか?
-閉路判定 21 ∗ 1 1 1 1 2 1 2
1 2 = 1 , 2 の辺を通る閉路があるか?
-閉路判定 22 ∗ 1 1 1 1 2 1 2
1 2 を通る閉路 = 1 , 2 の辺を通る閉路があるか?
Unit Propagation 一点のラベルを決めると、周りのラベルが連鎖的に 決まって行って、線形時間で矛盾が見つかる手法。 他にも… • = , 上で ⊆
が全部非連結か? • = + という形の連立方程式 • 2-SAT (線形時間にするのは少し非自明) など様々な問題が解ける 23
判定問題 判定問題 二部グラフ を通る閉路 が非連結か = + 2-SAT 24 Unit
Propagation で 時間
最適化問題 判定問題 二部グラフ を通る閉路 が非連結か = + 2-SAT 25 Unit
Propagation で 時間 最適化問題 Odd Cycle Transversal Subset Feedback Vertex Set Multiway Cut Group Feedback Vertex Set Max 2-SAT Noの場合に、出来るだけ少ない頂点(辺)を取り除いてYesにせよ 有名なNP-hard問題
最適化問題 判定問題 二部グラフ を通る閉路 が非連結か = + 2-SAT 26 Unit
Propagation で 時間 最適化問題 Odd Cycle Transversal Subset Feedback Vertex Set Multiway Cut Group Feedback Vertex Set Max 2-SAT Noの場合に、出来るだけ少ない頂点(辺)を取り除いてYesにせよ 有名なNP-hard問題 大きなギャップ
示したこと = 0 二部グラフ を通る閉路 が非連結か = + 2-SAT 27
Unit Propagation で 時間 > Odd Cycle Transversal Subset Feedback Vertex Set Multiway Cut Group Feedback Vertex Set Max 2-SAT 個頂点(辺)を取り除いてYesにせよ Unit Propagation + 最大流の一般化 + 分枝限定法 で (4) 時間 ギャップが消えた!
示したこと = 0 二部グラフ を通る閉路 が非連結か = + 2-SAT 28
Unit Propagation で 時間 > Odd Cycle Transversal Subset Feedback Vertex Set Multiway Cut Group Feedback Vertex Set Max 2-SAT 個頂点(辺)を取り除いてYesにせよ Unit Propagation + 最大流の一般化 + 分枝限定法 で (4) 時間 自然な拡張
分枝限定法 LP緩和を解いて、 1. 緩和解が を超えたら枝刈り 2. 整数解なら終了 3. 整数でない変数を選んで、0 or
1 で分岐 29 … 2 良い性質 (half-integrality, persistency) のおかげで、分岐の度に緩和解が 0.5以上増加 22 = (4 ) : LP緩和を解く時間
矛盾ウォーク 分岐等により既にラベルの決まった点集合をとする。 からの unit propagationにより、の二点(同じ場合あり) を結ぶウォーク型の矛盾が見つかる。 30 二部グラフ? 矛盾!
LP緩和 を矛盾ウォーク全体の集合とする。 minimize:→ℝ≥0 s. t. ∈() ≥ 1
(∀ ∈ ) 31 0.5 1 0.5
双対LP 矛盾ウォーク詰め込み問題 maximize:→ℝ≥0 s. t. :∈() ≤ 1
(∀ ∈ ) 32 1 0.5 0.5
LP緩和の解き方 増大路あり ⇒ フローを増大 増大路なし ⇒ 同じ大きさのカットが得られる () time (Ford–Fulkerson)
33 Max flow Min cut 双対 増大路あり ⇒ 矛盾詰め込みを増大 増大路なし ⇒ 同じ大きさのLP緩和解が得られる () time 矛盾詰め込み LP緩和 双対
増大路 34 二部グラフ? 大きさ1の詰め込み
増大路 35 矛盾判定 alternating path
増大路 36 alternating path 矛盾
増大路 37 増大路 矛盾 矛盾 XORを取る
増大路 38 大きさ2の詰め込み
増大ペア 39 大きさ1の詰め込み
40 2つの矛盾する alternating paths wheel を作成 矛盾 増大ペア
増大ペア 41 3つの重み0.5の矛盾ウォークの和 wheel
増大路その2 42 wheel
増大路その2 43 alternating path wheelを分解 wheel
増大路その2 44 大きさ2の詰め込み
主LP解の構築 最小カットの構築: 最後の増大路探索(失敗)で到達 できた点と到達出来なかった点の境目の辺を選ぶ 主LP解の構築:最後の増大路探索(失敗)で到達出 来た辺と到達出来なかった辺の境目の点を 0.5 or 1 にする
45 0.5 0.5 alternating paths
主LP解の構築 最小カットの構築: 最後の増大路探索(失敗)で到達 できた点と到達出来なかった点の境目の辺を選ぶ 主LP解の構築:最後の増大路探索(失敗)で到達出 来た辺と到達出来なかった辺の境目の点を 0.5 or 1 にする
46 1 alternating paths
主LP解の構築 最小カットの構築: 最後の増大路探索(失敗)で到達 できた点と到達出来なかった点の境目の辺を選ぶ 主LP解の構築:最後の増大路探索(失敗)で到達出 来た辺と到達出来なかった辺の境目の点を 0.5 or 1 にする
47 wheel 0.5 alternating paths
例 (Multiway Cut) 異なるラベルの振られたの点を結ぶウォークが矛盾 48
例 (Multiway Cut) 異なるラベルの振られたの点を結ぶウォークが矛盾 49 大きさ 3.5 の詰め込み
例 (Multiway Cut) 異なるラベルの振られたの点を結ぶウォークが矛盾 50 増大路探索に 失敗
例 (Multiway Cut) 異なるラベルの振られたの点を結ぶウォークが矛盾 51 大きさ 3.5 のLP緩和解 0.5 1
例 (Multiway Cut) 異なるラベルの振られたの点を結ぶウォークが矛盾 52 この頂点で分岐 0.5 1
例 (Multiway Cut) 異なるラベルの振られたの点を結ぶウォークが矛盾 53 1 大きさ 4 の整数解
まとめ = 0 二部グラフ を通る閉路 が非連結か = + 2-SAT 54
Unit Propagation で 時間 > Odd Cycle Transversal Subset Feedback Vertex Set Multiway Cut Group Feedback Vertex Set Max 2-SAT 個頂点(辺)を取り除いてYesにせよ Unit Propagation + 最大流の一般化 + 分枝限定法 で (4) 時間