素朴に計算可能性を考える / An Introduction to Computability

計算不可能な関数の具体例から計算可能性について考えてみよう、という話です。

1. ＜計算可能＞を素朴に考える 2022 年 11 月 16 日 1
2. なにをするか 計算可能でない関数を考えて，計算を試み， 「いや，やっぱり計算できないじゃん」と言う． 厳密な話はしません．なんとなく面白そうだなとか 思ってもらえると嬉しいです． 少しばかりスライドに詰め込みすぎました． 2
3. 計算可能であるとは それを計算するための具体的な計算手順があること． 例えば以下はだめ． • 無限に計算を続ける • 気合でいい感じの数を思いつく • ラマヌジャンを用意する ちゃんとした定義は， 「それを有限のステップで計算する チューリング機械が存在すること」 ． 3
4. 計算可能じゃないって？ （以下，自然数（0 含む）のみを考える． ） 「計算可能な関数」は，よく知ってるやつら． +, −, ×, π の n 桁目の値, . . . などなど． 計算の仕方を示せば「確かに計算できますね」と言えそう． じゃあ「計算可能でない」ってどういうこと？ たとえば？ ためしに “計算可能でない関数” を作ってみよう． 4
5. “計算可能でない関数” を作る 計算可能な関数は，具体的な計算方法を備えている． 計算方法を記号列で表したとしよう（例えば英語で） ． 例えば，f(x) = x + 1 の計算方法 E は E = “add one” 計算方法をアルファベット順に並べて，番号をつける． E0 , E1 , E2 , . . . これで計算可能な関数に自然数の番号がつく． f0 , f1 , f2 , . . . 5
6. “計算可能でない関数” を作る ここで新しい関数 g を（さっきの番号の付け方を用いて） g(x) = fx (x) + 1 とおいてみよう．何が起こるかな？ 6
7. g は “計算可能” か？ g が計算可能と仮定すると，g には番号が振られる． つまり，ある自然数 j について g = fj． そのような自然数 j について g(j) を考えると...? g(j) = fj (j) + 1 = g(j) + 1 =⇒ 0 = 1 はい矛盾．g は計算可能ではありえない！ 7
8. g は計算可能じゃない！ わーい！ 計算可能じゃなかった！ 8
9. g は計算可能じゃない！ わーい！ 計算可能じゃなかった！ なんかこれ 計算できそうじゃね？ 9
10. g(x) を計算してみる 自然数 x が与えられたときに，この値を求めてみよう． 1. 有限の長さの （カンマ， ピリオド， 空白を含む） アルファ 　ベット列を並べた表を作る．この表は途中まで作って， 　必要に応じて適宜継ぎ足していけば OK． a, b, c, . . . , z, aa, ab, . . . , az, ba, bb, . . . , zz, aaa, aab, . . . 2. この表の頭から順に計算手順になっていないものを 　除去して，x 番目の計算手順 fx を見つける． 10
11. g(x) を計算してみる 3. fx に x を代入して，g(x) = fx (x) + 1 が求まる． パッと見では計算できてそうだが...? アルファベットを使ったのが悪い？ 代わりに C++ のコードでやっても同じことが起こる． 11
12. 何がいけなかったか 1. 有限の長さのアルファベット列を並べる． a, b, c, . . . , z, aa, ab, . . . , az, ba, bb, . . . , zz, aaa, aab, . . . 2. 頭から順に，計算手順になっていないものを除去して 　 x 番目の計算手順 fx を見つける． 3. x 番目の計算手順 fx に x を代入して 1 を足して， 　 g(x) = fx (x) + 1 が計算できました． 12
13. 何がいけなかったか 1. 有限の長さのアルファベット列を並べる． a, b, c, . . . , z, aa, ab, . . . , az, ba, bb, . . . , zz, aaa, aab, . . . 2. 頭から順に，計算手順になっていないものを除去して 　 x 番目の計算手順 fx を見つける． 3. x 番目の計算手順 fx に x を代入して 1 を足して， 　 g(x) = fx (x) + 1 が計算できました． 13
14. 停止性問題 “計算可能である” なら，有限の手続きで答えが出る． しかし，ある計算手順が有限で終わるか機械的には 判定できない． ゆえに， 「計算可能か判定する関数」 は計算可能ではない！ （有限の手順で終わることを証明するのは簡単． 　有限な手順を具体的に示せばいい． ） 14
15. 参考文献 M. Davis. 計算の理論. 岩波書店, 1966. 神保町で叩き売られてた（400 円） ，神保町サイコー． 15