素朴に計算可能性を考える / An Introduction to Computability

計算不可能な関数の具体例から計算可能性について考えてみよう、という話です。

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1. ＜計算可能＞を素朴に考える
   2022 年 11 月 16 日
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2. なにをするか
   計算可能でない関数を考えて，計算を試み，
   「いや，やっぱり計算できないじゃん」と言う．
   厳密な話はしません．なんとなく面白そうだなとか
   思ってもらえると嬉しいです．
   少しばかりスライドに詰め込みすぎました．
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3. 計算可能であるとは
   それを計算するための具体的な計算手順があること．
   例えば以下はだめ．
   • 無限に計算を続ける
   • 気合でいい感じの数を思いつく
   • ラマヌジャンを用意する
   ちゃんとした定義は，
   「それを有限のステップで計算する
   チューリング機械が存在すること」
   ．
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4. 計算可能じゃないって？
   （以下，自然数（0 含む）のみを考える．
   ）
   「計算可能な関数」は，よく知ってるやつら．
   +, −, ×, π の n 桁目の値, . . . などなど．
   計算の仕方を示せば「確かに計算できますね」と言えそう．
   じゃあ「計算可能でない」ってどういうこと？ たとえば？
   ためしに “計算可能でない関数” を作ってみよう．
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5. “計算可能でない関数” を作る
   計算可能な関数は，具体的な計算方法を備えている．
   計算方法を記号列で表したとしよう（例えば英語で）
   ．
   例えば，f(x) = x + 1 の計算方法 E は E = “add one”
   計算方法をアルファベット順に並べて，番号をつける．
   E0
   , E1
   , E2
   , . . .
   これで計算可能な関数に自然数の番号がつく．
   f0
   , f1
   , f2
   , . . .
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6. “計算可能でない関数” を作る
   ここで新しい関数 g を（さっきの番号の付け方を用いて）
   g(x) = fx
   (x) + 1
   とおいてみよう．何が起こるかな？
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7. g は “計算可能” か？
   g が計算可能と仮定すると，g には番号が振られる．
   つまり，ある自然数 j について g = fj．
   そのような自然数 j について g(j) を考えると...?
   g(j) = fj
   (j) + 1
   = g(j) + 1
   =⇒ 0 = 1
   はい矛盾．g は計算可能ではありえない！
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8. g は計算可能じゃない！
   わーい！ 計算可能じゃなかった！
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9. g は計算可能じゃない！
   わーい！ 計算可能じゃなかった！
   なんかこれ
   計算できそうじゃね？
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10. g(x) を計算してみる
    自然数 x が与えられたときに，この値を求めてみよう．
    1. 有限の長さの
    （カンマ，
    ピリオド，
    空白を含む）
    アルファ
    　ベット列を並べた表を作る．この表は途中まで作って，
    　必要に応じて適宜継ぎ足していけば OK．
    a, b, c, . . . , z, aa, ab, . . . , az, ba, bb, . . . , zz, aaa, aab, . . .
    2. この表の頭から順に計算手順になっていないものを
    　除去して，x 番目の計算手順 fx を見つける．
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11. g(x) を計算してみる
    3. fx に x を代入して，g(x) = fx
    (x) + 1 が求まる．
    パッと見では計算できてそうだが...?
    アルファベットを使ったのが悪い？
    代わりに C++ のコードでやっても同じことが起こる．
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12. 何がいけなかったか
    1. 有限の長さのアルファベット列を並べる．
    a, b, c, . . . , z, aa, ab, . . . , az, ba, bb, . . . , zz, aaa, aab, . . .
    2. 頭から順に，計算手順になっていないものを除去して
    　 x 番目の計算手順 fx を見つける．
    3. x 番目の計算手順 fx に x を代入して 1 を足して，
    　 g(x) = fx
    (x) + 1 が計算できました．
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13. 何がいけなかったか
    1. 有限の長さのアルファベット列を並べる．
    a, b, c, . . . , z, aa, ab, . . . , az, ba, bb, . . . , zz, aaa, aab, . . .
    2. 頭から順に，計算手順になっていないものを除去して
    　 x 番目の計算手順 fx を見つける．
    3. x 番目の計算手順 fx に x を代入して 1 を足して，
    　 g(x) = fx
    (x) + 1 が計算できました．
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14. 停止性問題
    “計算可能である” なら，有限の手続きで答えが出る．
    しかし，ある計算手順が有限で終わるか機械的には
    判定できない．
    ゆえに，
    「計算可能か判定する関数」
    は計算可能ではない！
    （有限の手順で終わることを証明するのは簡単．
    　有限な手順を具体的に示せばいい．
    ）
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15. 参考文献
    M. Davis. 計算の理論. 岩波書店, 1966.
    神保町で叩き売られてた（400 円）
    ，神保町サイコー．
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