t − b a (6) と書く.a はスケール,b はシフト位置を設定. 1/ √ a はノルムを保つための定数 3 3(検算)s = (t − b)/a と置換積分すれば, ||ψa,b||2 2 = ∞ −∞ 1 a ψ t − b a ψ t − b a dt = 1 a ∞ −∞ ψ(s)ψ(s)ads = ||ψ||2 2 15 / 61
= n 1 T T 2 − T 2 f(s) exp(−jnωs)ds exp(jnωx) = 1 T T 2 − T 2 f(s) n exp[−jnω(x − s)]ds = 1 T x+ T 2 x− T 2 f(x − u) n exp(jnωu)du (u = x − s) = 1 T T 2 − T 2 f(x − u) n exp(jnωu)du (∵ f は周期 T) 3 / 59
x DN (x) = 2 sin 1 2 x 1 + 2 N n=1 cos(nx) = sin 1 2 x + 2 sin 1 2 x {cos(x) + cos(2x) + cos(3x) + ... + cos(Nx)} = sin 1 2 x + sin 1 2 − 1 x + sin 1 2 + 1 x + sin 1 2 − 2 x + sin 1 2 + 2 x + ... + sin 1 2 − N x + sin 1 2 + N x (∵ 加法定理 sin(nx) cos(mx) = 1 2 {sin(n + m)x + sin(n − m)x}) = sin 1 2 x + sin − 1 2 x + sin 3 2 x + sin − 3 2 x + ... + sin 1 2 + N x = sin 1 2 + N x よって, DN (x) = sin 1 2 + N x sin 1 2 x 6 / 59
−T 2 DN (ωx)dx = T (31) (証明)式 (30) を使うと, T 2 − T 2 DN (ωx) = T 2 − T 2 1 + 2 N n=1 cos(nωx) dx = T 2 − T 2 dx + 2 N n=1 T 2 − T 2 cos(nωx)dx = T + 2 N n=1 1 nω sin n 2π T x T 2 − T 2 ∵ ω = 2π T = T + 2 N n=1 1 nω {sin(nπ) − sin(−nπ)} = T 7 / 59
= 1 T T 2 − T 2 f(x − u)DN (ωu)du − f(x) = 1 T T 2 − T 2 f(x − u)DN (ωu)du − 1 T T 2 − T 2 DN (ωu)f(x)du (∵ 式 (31)) = 1 T T 2 − T 2 {f(x − u) − f(x)} DN (ωu)du = 1 T T 2 − T 2 f(x − u) − f(x) sin 1 2 ωu sin 1 2 + N ωu du (∵ 式 (29))(34) 9 / 59
が D の倍数 0 otherwise = 1 D D−1 k=0 exp j 2πnk D (∵ 証明は次のページ) を乗じてから,D 個おきの出力を得る操作 (y[n] := x[n]δD [n] として y[Dn] が結果) と 解釈できる.y[Dn] を離散時間フーリエ変換すると, F [y[Dn]] = n y[Dn] exp(−jnω) = n y[n] exp −j nω D = n x[n]δD [n] exp −j nω D = 1 D D−1 k=0 n x[n] exp j 2πnk D − j nω D (∵ 式 (57)) = 1 D D−1 k=0 n x[n] exp −jn ω − 2πk D = 1 D D−1 k=0 X ω − 2πk D 53 / 59