4

4

Transcript

1. 1.9 ຜົນຕ ຳລຳຕຳມທິດທຳງແລະກຼຳດຽງ ( Directional Derivative &Gradient ) ເຮົຳອຳດຈະພິຈຳລະນຳຜົນຕ ຳລຳພຳກສ່ວນທຽບກ ັບ ເປັນຜົນຕ ຳລຳໃນທິດທຳງຂອງ ແລະຜົນຕ ຳ x x ລຳພຳກສ່ວນທຽບກ ັບ ເປັນຜົນຕ ຳລຳໃນທິດທຳງ y y ຂອງ ໃນທ ່ ນ ີ້ຈະນິຍຳມຜົນຕ ຳລຳໃນທິດທຳງໃດໜ່່ືງ ເຮົຳພິຈຳລະນຳຕ ຳລຳ ແລະເມັດ   , f x y   , p x y 1.9.1 ຜົນຕ ຳລຳຕຳມທິດທຳງ Directional Derivative
2. ໃນແຜ່ນພຽງ xoy   , p x y p 0 x y  cos a    sin a    a i j ເຮົຳພິຈຳລະນຳເວັກເຕ ດັ່ງນ ີ້: a a i j     ໂດຍທ ່ ເປັນເວັກເຕ ຫົວໜ່ວຍຕຳມແກນ , , i j x y 1 a 
3. ເວັກເຕ ປະກອບກ ັບແກນນອນເປັນມູມ a  ໃຫີ້ pp a    pp    ເປັນເວັກເຕ ທ ່ ມ ຄວຳມຍຳວເທົ່ ຳ1ຫົວໜ່ວຍ ນິຍຳມ6 ໃຫີ້ f ເປັນຕ ຳລຳຂອງ2ຕົວປ່ຽນເຮົຳນິຍຳມ ຜົນຕ ຳລຳຕຳມທິດທຳງຂອງ f ໃນທິດທຳງ ດັ່ງ a       0 , , , lim a h f x h y h f x y D f x y h        ຖີ້ຳຂອບເຂດຊອກຫຳຄ່ຳໄດີ້
4. ໝຳຍເຫດ ເມ່່ືອ ດັ່ງນ ັີ້ນ 0   1 ; 0     ແລະຜົນຕ ຳລຳຕຳມທິດທຳງກ ຄ່ື ໃນທິດທຳງ x ບວກ ຜົນຕ ຳລຳຕຳມທິດທຳງຂອງf ກ ຄ່ື f x   ເຊັ່ ນດຽວກ ັນເມ່່ືອ ດັ່ງນ ັີ້ນ 2    ຜົນຕ ຳລຳຕຳມທິດທຳງຂອງf ກ ຄ່ື 0 ; 1     f y  
5. ນິຍຳມ 7 ຜົນຕ ຳລຳຕຳມທິດທຳງຂອງຕ ຳລຳສຳມ ຕົວປ່ຽນ ທິດທຳງອຳດຈະໝຳຍເຖ ງຕຳມທິດທຳງ ກ ່ມຂອງໂກຊ ນ( direction cosine) , ,    ຫຼ່ື ໂດຍທ ່ ວ່ຳ: a i j k       2 2 2 1       ເຮົຳນິຍຳມຕຳມທິດທຳງ ໃນທິດທຳງ   , , a D f x y z a       0 , , , , , , lim a h f x h y h z h f x y z D f x y z h          ຂອບເຂດຊອກຫຳຄ່ຳໄດີ້
6. ຫຼັກເກນ1.4 ຖີ້ຳ ເປັນຕ ຳລຳທ ່ ມ ກຳນຕ ່ເນ່່ືອງ ແລະມ ຜົນຕ ຳລຳພຳກສ່ວນທ ່ ມ ກຳນຕ ່ເນ່່ືອງແລະ cos sin a i j           , , , cos sin a f x y f x y D f x y x y           , f x y ຖີ້ຳ ແລະຜົນຕ ຳລຳພຳກສ່ວນຂອງf ຕ່ຳງກ ່   , , f x y z
7. ຕົວຢ່ຳງ1.42 ກ ຳນ ົດ   2 2 , 2 3 2 f x y x y x y     ຈ ົ່ງຊອກຫຳຜົນຕ ຳລຳຕຳມທິດທຳງຂອງf ໃນທິດທຳງ ແລະຫຳຄ່ຳຂອງຜົນຕ ຳລຳຢູ່ເມັດ 6      2, 1          , , , , , , , , a f f f D f x y z x y z x y z x y z x y z             ມ ກຳນຕ ່ເນ່່ືອງແລະ ເປັນເວັກ a i j k       ເວັກເຕ ຫົວໜ່ວຍດັ່ງນ ັີ້ນ :
8. ວິທ ແກີ້ ເຮົຳມ   2 2 , 2 3 2 f x y x y x y     2 3 f x x     4y+2 f y          , , , cos sin a f x y f x y D f x y x y         ຈຳກຫຼັກເກນ
9.       6 6 2, 1 4 3 cos 4 2 sin a D f               , 2 3 cos 4 2 sin a D f x y x y       ເມ່ື່ອ ຊອກຫຳ 6        , , ? a D f x y d f x y    3 1 2   ຜົນຕ ຳລຳຕຳມທິດທຳງຂອງf ໃນທິດທຳງຂອງ 6    ຢູ່ເມັດ ແມ່ນ   2, 1  3 1 2 
10. ຕົວຢ່ຳງ1.43 ກ ຳນ ົດ ຈ ົ່ງຊອກຫຳ ທ ່ ເມັດ ແລະຈ ົ່ງຊອກ ຫຳມູມ ທ ່ ເຮັດໃຫີ້ ມ ຄ່ຳຫຼຳຍທ ່ ສ ດ   2 2 , f x y x xy y      , d f x y    2, 3 d f     2, 3   ວິທ ແກີ້ ເຮົຳມ 2 f x y x     -x-2y f y      2 2 , f x y x xy y   
11.       , , , cos sin f x y f x y d f x y x y          ຈຳກຫຼັກເກນ            2, 3 2 2 3 cos 2 2 3 sin d f                    7cos 4sin     ກຳນຫຳຄ່ຳຫຼຳຍທ ່ ສ ດຂອງຕ ຳລຳຕຳມຕົວປ່ຽນ ແມ່ນ  ເຮົຳຫຳຜົນຕ ຳລຳທຽບກ ັບ    7cos 4sin k      ວຳງໃຫີ້
12.   7sin 4cos k        ໃຫີ້   0 7sin 4cos 0 k          4 7 tg   4 7 arctg          29 45 209 45         ຄ່ຳ ທ ່ ເຮັດໃຫີ້ ມ ຄ່ຳຫຼຳຍທ ່ ສ ດແມ່ນ    2, 3 d f   209 45    29 45    ຄ່ຳ ທ ່ ເຮັດໃຫີ້ ມ ຄ່ຳນີ້ອຍທ ່ ສ ດແມ່ນ   2, 3 d f    ແລະ
13. ຕົວຢ່ຳງ1.44 ຈ ົ່ງຊອກຫຳຜົນຕ ຳລຳຕຳມທິດທຳງ ຢູ່ເມັດ .   2 2 2 , , 3 2 f x y z x y z xy xz yz         1,2, 1  ຂອງ ວິທ ແກີ້ ເຮົຳມ a i j k               , , , , , , , , a f f f D f x y z x y z x y z x y z x y z                   2 3 2 2 3 2 2 x y z y x z z x y                                       1,2, 1 2 1 3 2 2 1 2 2 3 1 1 2 1 2 1 2 a D f                   1,2, 1 6 2 2 a D f         
14. 1.9.2 ກຼຳດຽງ Gradient ນິຍຳມ 8 ຖີ້ຳ ມ ຜົນຕ ຳລຳພຳກສ່ວນເຮົຳນິຍຳມ   , f x y ເວັກເຕ ກຼຳດຽງ ດັ່ງນ ີ້ ( Gradient vector)       , , , f x y f x y grad f x y i j x y       ຕ ່ໄປນ ີ້ເຮົຳຈະແນະນ ຳສັນຍຳລັກ ອ່ຳນວ່ຳ: ” del  ຫຼ່ື noble “ ຊ່່ືງເປັນຕົວກະທ ຳທຳງດີ້ຳນເວັກເຕ ( Vector differential Operator )
15. i j k x y z i j k x y z                     ຫຼ່ື ຕີ້ອງເປັນຕົວກະທ ຳໃສ່ຕ ຳລຳໃດໜ່່ືງຈ່ື່ງຈະມ ຄວຳມ  ຄວຳມໝຳຍເຮົຳອຳດຈະໃຊີ້ ແທນ f  grad f f f f f i j k x y z          
16. a ຖີ້ຳ ເປັນເວັກເຕ ຫົວໜ່ວຍໃດໜ່່ືງ a i j k       ອ ກດີ້ຳນນ່່ືງ   . a x y z D f f f f a dot f a f           ດັ່ງນ ັີ້ນ ຜົນຄູນສະກຳແລຂອງ ກ ັບ ຈະຫຳໄດີ້ຈຳກ a f  . cos a a f a f D f      ໂດຍ ເປັນມູມລະຫ່ວຳງ ກ ັບ  a f 
17. ຄ ນລັກສະນະ   1. f g f g              2. . f g f g f g        3. cf c f    ຄ ນລັກສະນະຂອງກຼຳດຽງໃຫີ້ fແລະg ເປັນຕ ຳລຳສະກຳແລ ໂດຍ C ເປັນຈ ຳນວນຄົງຄ່ຳ
18. ຕົວຢ່ຳງ1.45 3 2 ( , ) 5   f x y y x y ກ ຳນ ົດໃຫີ້ ( , ) f x y (1, 2)   f ຈ ົ່ງຊອກຫຳ ແລະ ( , )        f f f x y i j x y     3 2 3 2 5 5         y x y i y x y j x y ວິທ ແກີ້
19.   2 2 3 3 5 2     x y i x y j      (1, 2) 3 1 4 5 4       f i j 12 9    i j ດັ່ງນ ັີ້ນ
20. ຕົວຢ່ຳງ1.46 3 3 3 ( , , ) 2 4 f x y z x y z xyz     ກ ຳນ ົດໃຫີ້ ຈ ົ່ງຊອກຫຳຄ່ຳໃຫ່ຍທ ່ ສ ດຂອງ ຢູ່ຈ ດ   , , a D f x y z   1,1,2  ວິທ ແກີ້ f f f f i j k x y z                 2 2 2 3 4 6 4 3 4 x yz i y xz j z xy k               1,1,2 3 8 6 8 12 4 5 14 16 f i j k i j k            
21. ເປັນເວັກເຕ ຫົວໜ່ວຍໃນທິດທຳງຂອງ a f      2 2 5 14 16 5 14 16 477 25 14 16 i j k i j k a           ຄ່ຳໃຫ່ຍທ ່ ສ ດຂອງ ກ ່ແມ່ນ:   , , a D f x y z . a f           5 5 14 14 16 16 477      477 3 53  
22. ຕົວຢ່ຳງ1.47 ( , , ) cos x f x y z x y ze   ຂອງ ຢູ່ຈ ດ ໃນທິດທຳງ ວິທ ແກີ້ f f f f i j k x y z           ຈ ົ່ງຊອກຫຳຜົນຕ ຳລຳຕຳມທິດທຳງ 0, ,1 2        2 2 i j k     cos sin x x y ze i x yj e k     0, ,1 2 f i k           
23. ເວັກເຕ ຫົວໜ່ວຍໃນທິດທຳງຂອງ ແມ່ນ 2 2 i j k   2 2 2 2 3 4 1 4 i j k i j k a         ຜົນຕ ຳລຳຕຳມທິດທຳງ ໃນທິດທຳງ ( , , ) f x y z 2 2 i j k   ແມ່ນ . a f  2 2 4 3 3    . a f  
24. ກ ັບແຜ່ນພຽງ ເທ ງແຜ່ນພຽງ  z c xy ເສັີ້ນລະດັບທ ່ ຜ່ຳນເມັດ ມ ສົມຜົນເປັນ 0 0 ( , ) P x y ( , ) f x y ເສັີ້ນລະດັບຫຼ່ືເສັີ້ນໂຄີ້ງລະດັບຂອງຕ ຳລຳ ( , )  z f x y ຂອງຮອຍຕັດຂອງໜີ້ຳ ແມ່ນເງົຳສຳຍ(projection) ( , )  f x y c 0 0 ( , )  c f x y ໂດຍທ ່ 1.9.3 ເສັີ້ນລະດັບ (Level Curves )
26. 0 0 ( , ) f x y ເປັນເວັກເຕ ທ ່ ຕັີ້ງສຳກກ ັບເສັີ້ນໂຄີ້ງ ( , )  f x y c 0 0 ( , ) x y ທ ່ ຈ ດ
27. 0 0 ( , ) f x y ເປັນເວັກເຕ ທ ່ ຕັີ້ງສຳກກ ັບເສັີ້ນໂຄີ້ງ ( , )  f x y c 0 0 ( , ) x y ທ ່ ຈ ດ
28. ວິທ ແກີ້ 2 2 ( , ) f x y y x   ຈ ົ່ງຊອກຫຳເສັີ້ນລະດັບ (2,3) (2,3) 9 4 5 c f     ນ ັີ້ນແມ່ນ ຜ່ຳນຈ ດ ແລະແຕີ້ມກຣຳຟຂອງກຣຳດຽງຢູ່ຈ ດ (2,3) ( , ) f x y c  ເສັີ້ນລະດັບ ຜ່ຳນເມັດ (2,3) ( , ) f x y ດັ່ງນ ັີ້ນເສັີ້ນລະດັບຂອງ ທ ່ ຜ່ຳນ (2,3) 28 ຕົວຢ່ຳງ1.48
29. 2 2 5 y x   ( , ) ,       f f f x y x y ແມ່ນ   2 2 2         f y x x x x   2 2 2        f y x y y y ເນ່່ືອງຈຳກ ແລະ 29
30. ( , ) 2 ,2    f x y x y (2,3) 2(2),2(3) 4,6      f ດັ່ງນ ັີ້ນ 30
31. ໃຫີ້ ເປັນໜີ້ຳປົກລະດັບຂອງຕ ຳລຳ ( , , ) f x y z c  ( , , ) f x y z 0 0 0 ( , , ) P x y z ທ ່ ຜ່ຳນ 0 0 0 ( , , ) f x y z  ເປັນເວັກເຕ ທ ່ ຕັີ້ງສຳກກ ັບໜີ້ຳ ( , , ) f x y z c  0 0 0 ( , , ) x y z ຢູ່ເມັດ 31
32. ຂ ີ້ສັເກດ ( , , )  f x y z c ( , )  f x y c ( , ) f x y ເປັນເວັກເຕ ທ ່ ຕັີ້ງສຳກ ( , , ) f x y z ເປັນເວັກເຕ ທ ່ ຕັີ້ງສຳກກ ັບໜີ້ຳປົກ ກຣຳດຽງ ຂອງ ຕ ຳລຳສອງຕົວປ່ຽນຫຼ່ືສຳມຕົວປ່ຽນ 1. ກ ລະນ ຕ ຳລຳສອງຕົວປ່ຽນ ເປັນເວັກເຕ ທ ່ ສ່ວນປະກອບຂອງເວັກເຕ ເປັນຜົນຕ ຳ ລຳພຳກສ່ວນຂອງຕ ຳລຳ ກ ລະນ ຕ ຳລຳສຳມຕັວປ່ຽນ 32
34. 2 2 2 ( , , ) f x y z x y z    ຈ ົ່ງຊອກຫຳໜີ້ຳລະດັບຂອງຕ ຳລຳ (1,1,1) f  ຜ່ຳນເມັດ ແລະຊອກຫຳ ຢູ່ເມັດນ ີ້ 2 2 2 ( , , ) f x y z x y z c     ເນ່່ືອງຈຳກ (1,1,1) (1,1,1) 1 1 1 f c     ຢູ່ເມັດ , 3 c  ( , , ) f x y z 2 2 2 3 x y z    ດັ່ງນ ັີ້ນໜີ້ຳລະດັບຂອງ ແມ່ນ ຕົວຢ່ຳງ1.49 ວິທ ແກີ້ 34
35. ( , , ) , , 2 ,2 ,2 x y z f x y z f f f x y z    ເພຳະວ່ຳ (1,1,1) 2,2,2 f   ດັ່ງນ ັີ້ນ 35
36. 1.9.4 ຄວຳມໝຳຍທຳງດີ້ຳນເລຂຳຄະນິດຂອງ ຜົນຕ ຳລຳພຳກສ່ວນ ( , )  f x y c xy ໃຫີ້ ເປັນເສັີ້ນໂຄີ້ງເທ ງແຜ່ນພຽງ 0 0 ( , ) P x y ທ ່ ຜ່ຳນຈ ດ 0 0 ( , ) f x y ນ ັີ້ນແມ່ນ ຕັີ້ງສຳກກ ັບເສັີ້ນຕິດຂອງເສັີ້ນ P ຢູ່ເມັດ ນ ັີ້ນເອງ P ເຮົຳຕີ້ອງກຳນຫຳເສັີ້ນຕິດຂອງເສັີ້ນໂຄີ້ງ 0 0 ( , ) f x y P ເວັກເຕ ຕັີ້ງສຳກກ ັບເສັີ້ນໂຄີ້ງຢູ່ເມັດ 1.9.4.1 ເສັີ້ນຕິດກ ັບເສັີ້ນໂຄີ້ງ
37.     0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) 0     x y f x y x x f x y y y P ສົມຜົນຂອງເສັີ້ນຕິດຢູ່ເມັດ ແມ່ນ x y f (x,y)=c 0 0 = f (x ,y ) v  0 0 P(x ,y ) v 37
38. 2 2 2 4 x y   ຈ ົ່ງຊອກຫຳສົມຜົນເສັີ້ນຕິດກ ັບເສັີ້ນ ( 2,1)  ຢູ່ຈ ດ 2 2 ( , ) 4 x f x y y   ວ ທ ແກີ້ 2 2 4 2            x x x f y x ດັ່ງນ ັີ້ນ 2 2 2 4            y x f y y x ແລະ ຕົວຢ່ຳງ1.50 38
39. ( 2,1) 1    x f ( 2,1) 2   y f ( 2,1)  ສົມຜົນເສັີ້ນຕິດຢູ່ເມັດ      1 2 2 1 0 x y      2 4 x y    ແທນລົງໃນສູດ ນ ັີ້ນແມ່ນ , 39
40. 1.9.4.2 ແຜ່ນພຽງຕິດ( ແຜ່ນພຽງສ ຳພັດ ) ນິຍຳມ ແຜ່ນພຽງຕິດ (Tangent Plane) 0 0 0 ( , , ) P x y z ( , , ) f x y z c  ( ) 0 f P   ຊ່່ື່ງ ( ) f P  ແລະຕັີ້ງສຳກກ ັບ P ແຜ່ນພຽງຕິດຢູ່ເມັດ ແຜ່ນພຽງທ ່ ຜ່ຳນ P v ໃຫີ້ ເປັນເມັດເທ ງໜີ້ຳ 40
41. P ສົມຜົນຂອງແຜ່ນພຽງຕິດຢູ່ເມັດ ແມ່ນ       0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 x y z f P x x f P y y f P z z             0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 0 x y z f x y z x x f x y z y y f x y z z z       41 ສະຫຼ ບ 1.ແຜ່ນພຽງຕິດກ ັບໜີ້ຳໂຄີ້ງ ຢູ່ຈ ດ   , z f x y    0 0 0 , , x y z       0 0 0 0 0 0 0 , , x y z z f x y x x f x y y y      ມ ສົມຜົນ 2.ເສັີ້ນຕັີ້ງສຳກກ ັບໜີ້ຳໂຄີ້ງ ຢູ່ຈ ດ   , z f x y    0 0 0 , , x y z ມ ສົມຜົນ 0 0 0 1 x y x x y y z z f f      
43. ຈ ົ່ງຊອກຫຳສົມຜົນແຜ່ນພຽງທ ່ ສ ຳພັດກ ັບໜີ້ຳ 2 2 z x y   (1,1,2) ຢູ່ເມັດ 2 2 0 x y z    ຫຼ່ື ໃຫີ້ 2 2 ( , , ) f x y z x y z      2 2 2       x f x y z x x 2 2 z x y   ໜີ້ຳມ ສົມຜົນ ວິທ ແກີ້ ຕົວຢ່ຳງ1.51 43
44.   2 2 2       y f x y z y y   2 2 1        z f x y z z (1,1,2) 2(1) 2   x f (1,1,2) 2(1) 2   y f (1,1,2) 1   z f (1,1,2) P ຢູ່ເມັດ       2 1 2 1 1 2 0 x y z       (1,1,2) P ສົມຜົມແຜ່ນພຽງຕິດຢູ່ເມັດ , 44
46. ຈ ົ່ງຊອກຫຳສົມຜົນແຜ່ນພຽງຕິດແລະ ວິທ ແກີ້ ຕົວຢ່ຳງ1.52 ເສັີ້ນຕັີ້ງສຳກກ ັບໜີ້ຳໂຄີ້ງ ຢູ່ທ ່ 2 2 z x xy y    2, 1 x y             2 2 2, 1 2 2 1 1 1 f        ເຮົຳມ   2 2 , z f x y x xy y             , 2 ; 2, 1 3 , 2 ; 2, 1 4 x x y y f x y x y f f x y x y f        
47. ສົມຜົນແຜ່ນພຽງຕິດ       0 0 0 0 0 0 0 , , x y z z f x y x x f x y y y          1 3 2 4 1 z x y       ສົມຜົນເສັີ້ນຕັີ້ງສຳກ 0 0 0 1 x y x x y y z z f f       2 1 1 3 4 1 x y z       
48. 1.9.4.3 ສົມຜົນເສັີ້ນຊ່່ື ຊ່ື່ງເກ ດຈຳກກຳນຕັດກ ັນ ຂອງແຜ່ນພຽງຕິດ ໃຫີ້ c ເປັນເສັີ້ນໂຄີ້ງຊ່່ືງເກ ດຈຳກກຳນຕັດກ ັນຂອງໜີ້ຳໂຄີ້ງ ກ ັບ   , z f x y    , z g x y  ເສັີ້ນຕິດກ ັບເສັີ້ນໂຄີ້ງc ເສັີ້ນໂຄີ້ງc ຢູ່ຈ ດ p ຈະເປັນເສັີ້ນຊ່່ືທ ່ ເກ ດຈຳກກຳນຕັດ ຂອງແຜ່ນພຽງຕິດຂອງໜີ້ຳໂຄີ້ງທັງສອງຢູ່ຈ ດ p ໃຫີ້ p ມ ຕົວປະສຳນເປັນ   0 0 0 , , p x y z
49.   0 0 0 , , p x y z z x y   , z g x y    , z f x y  o (​ ຮູບ 1c )
50. ເວັກເຕ ທ ່ ຕັີ້ງສຳກກ ັບແຜ່ນພຽງຕິດກ ັບໜີ້ຳໂຄີ້ງf ຢູ່ຈ ດ p       0 0 0 0 0 0 , , , , 1 x y u f x y z i f x y z j k     ເວັກເຕ ທ ່ ຕັີ້ງສຳກກ ັບແຜ່ນພຽງຕິດກ ັບໜີ້ຳໂຄີ້ງg ຢູ່ຈ ດ p       0 0 0 0 0 0 , , , , 1 x y v g x y z i g x y z j k     ເສັີ້ນທ ່ ເກ ດຈຳກກຳນຕັດກ ັນຂອງແຜ່ນພຽງຕິດທັງສອງຈະ ຕີ້ອງຕັີ້ງສຳກກ ັບເວັກເຕ ແລະ u v ໃຫີ້ ເປັນເວັກເຕ ທ ່ ຕັີ້ງສຳກກ ັບ ແລະ w ai bj ck    u v w u v   ກຳນພົວພັນກ ັນລະຫວ່ຳງ , ແລະ u v w
51. ດັ່ງນ ັີ້ນສົມຜົນເສັີ້ນຊ່່ືທ ່ ເກ ດຈຳກກຳນຕັດກ ັນຂອງສອງແຜ່ນ ຕິດແມ່ນ: 0 0 0 x x y y z z a b c      ຈ ົ່ງຊອກຫຳສົມຜົນເສັີ້ນຕິດກ ັບເສັີ້ນໂຄີ້ງ ວິທ ແກີ້ ຕົວຢ່ຳງ1.53 ຊ່່ືງເກ ດຈຳກກຳນຕັດກ ັນຂອງໜີ້ຳໂຄີ້ງ 2 2 2 z x y   ເຮົຳມ ແລະ ແລະ ຢູ່ເມັດ 2 2 2 3 1 z x y      2,1,6   2 2 2 , z x y f x y      2 2 2 3 1 , z x y g x y    
52.     , 2 ; 2,1 4 x x f x y x f       , 4 ; 2,1 8 x x g x y x g       , 4 ; 2,1 4 y y f x y y f       , 6 ; 2,1 6 y y g x y y g     ໃຫີ້ 4 4 ; 8 6 u i j k v i j k       4 4 1 10 4 56 8 6 1 i j k w u v i j k           
53. ສົມຜົນເສັີ້ນຕິດກ ັບເສັີ້ນໂຄີ້ງທ ່ ຜ່ຳນຈ ດ   2,1,6 2 1 6 10 4 56 x y z         2 1 6 10 4 56 x y z      
54. 1.10.1 ຄ່ຳຕ ່ຳສ ດແລະຄ່ຳສູງສ ດຂອງຕ ່ຳລຳ 1.10 ຄ່ຳສູງສ ດແລະຄ່ຳຕ ່ຳສ ດຂອງຕ ຳລຳ ໃນບຳງກ ລະນ ເຮົຳຈ ຳເປັນຕີ້ອງຮູີ້ເພ່ື່ ອນ ຳໄປປະກອບ ໃນກຳນດ ຳເດ ນງຳນ ຫຼ່ື ກຳນຕັດສ ນໃຈ 54 ກຳນພິຈຳລະນຳຄ່ຳສູງສ ດແລະຄ່ຳຕ ່ຳສ ດຂອງຕ ຳລຳ ເຮັດໃຫີ້ຮູີ້ເຖ ງລັກສະນະສະເພຳະຂອງຕ ຳລຳຊ່ື່ງ
55. ເຮົຳເອ ີ້ນຄ່ຳສູງສ ດຫຼ່ືຄ່ຳຕ ່ຳສ ດວ່ຳ ຄ່ຳສ ດຂິດທ ່ ພິຈຳລະນຳມ 2 ແບບຄ່ື ໝຳຍເຫດ ຄ່ຳສ ດຂິດ(extreme value) ຄ່ຳສ ດຂິດສົມບູນເອ ີ້ນສັີ້ນໆວ່ຳ ຄ່ຳສ ດຂິດ ຄ່ຳສ ດຂິດສົມບູນ (absolute extrema) ຄ່ຳສ ດຂິດສ ຳພັດ (relative extrema) 55
56. ນິຍຳມ 3.3.1 ( , ) f x y R ( , ) a b ໃຫີ້ ນິຍຳມເທ ງບ ລິເວນ ເຊ ່ງມ ຈ ດ ລວມຢູ່ດີ້ວຍ ເປັນຄ່ຳສູງສ ດຂອງ ເທ ງ ຖີ້ຳ ( , ) f a b f R 1. ( , ) ( , )  f x y f a b ( , ) x y R ທ ກ ຄ່ຳສ ດຂິດ (ຄ່ຳສູງສ ດຫຼ່ືຄ່ຳຕ ່ຳສ ດ) ເປັນຄ່ຳຕ ່ຳສ ດຂອງ ເທ ງ ຖີ້ຳ ( , ) ( , )  f a b f x y ( , ) x y R ທ ກ 2. ( , ) f a b f R 56
57. 1. ຄ່ຳສູງສ ດສ ຳພັດ ຫຼ່ື ຄ່ຳຕ ່ຳສ ດສ ຳພັດ ( , ) z f x y  2.ຖີ້ຳປຽບ ເປັນໜີ້ຳປົກຫູີ້ມບັນດຳພູເຂົຳ ຂ ີ້ສັງເກດ ຄ່ຳສູງສ ດສ ຳພັດຈະແມ່ນລວງສູງຂອງຍອດພູເຂົຳ 57 ຕ ຳລຳອຳດມ ໄດີ້ຫຼຳຍກ່ວຳ 1 ຄ່ຳ ແຕ່ລະຍອດສ່ວນຄ່ຳຕ ່ຳສ ດສ ຳພັດແມ່ນບ່ອນຫຼ ບ ທ ່ ເລ ກຂອງຮ່ອມພູເຂົຳແຕ່ລະໜ່ວຍ.
58. 2 2 ( , ) f x y x y   ຕ ຳລຳ (0,0) 0 f   ມ ຄ່ຳຕ ່ຳສ ດສ ຳພັດ ບ ່ມ ຄ່ຳສູງສ ດສ ຳພັດ (0,0) 4 g   ມ ຄ່ຳສູງສ ດສ ຳພັດ 2 2 ( , ) 4 g x y x y    ຕ ຳລຳ ຕົວຢ່ຳງ1.54 ( , ) 6 2 3 h x y x y    ຕ ຳລຳ 58 ບ ່ມ ຄ່ຳຕ ່ຳສ ດສ ຳພັດ ບ ່ມ ຄ່ຳຕ ່ຳສ ດສ ຳພັດແລະບ ່ມ ຄ່ຳສູງສ ດສ ຳພັດ
59. ນິຍຳມ 3.3.3 ເມັດວິກິດ ( , ) a b ໃຫີ້ ເປັນຈ ດພຳຍໃນເຂດກ ຳນ ົດ ( , ) 0 x f a b  ( , ) 0 y f a b  1. ແລະ ຫຼ່ື ( , ) x f a b ( , ) y f a b 2. ຫຳຄ່ຳບ ່ໄດີ້ ຫຼ່ື ຫຳຄ່ຳບ ່ໄດີ້ ( , ) f x y ຈະເວົີ້ຳວ່ຳ ເປັນເມັດວິກິດ ( , ) a b (critical point) ຫຼ່ື ເມັດ ທ ່ ຄວນ ເອົຳ ໃຈ ໃສ່ຖີ້ຳ: 59 (critical point)
62. 2 2 ( , )   f x y x y ຈ ົ່ງຊອກຫຳເມັດວິກິດຂອງ   2 2 2        f x y y y y   2 2 2        f x y x x x ວິທ ແກີ້ 0 f x    0 f y    ຈະເຫັນວ່ຳ ແລະ ກ ່ຕ ່ເມ່່ືອ 0 x  0 y  ແລະ (0,0) ດັ່ງນ ັີ້ນ ເມັດວິກິດແມ່ນ ຕົວຢ່ຳງ1.55 62
63. ບຳງຕ ຳລຳບ ່ມ ເມັດວິກິດເລ ຍເຊັ່ນ: ( , ) 2 3 1 f x y x y    ໝຳຍເຫດ 2 2 ( , ) 4 2 f x y x xy y    ບຳງຕ ຳລຳມ ເມັດວິກິດຫຼຳຍກ່ວຳ 1 ເມັດເຊັ່ນ: 63
64. ຫຼັກເກນ ( , ) f x y ( , ) a b ຖີ້ຳ ມ ຜົນຕ ຳລຳອັນດັບສອງຕ ່ເນ່່ືອງໃນບ ລິເວນໃກີ້ໆຈ ດ ແລະຖີ້ຳ ມ ຄ່ຳສູງສ ດທຽບຖຳນ(relative maximum) ຖີ້ຳ ( , ) ( , ) 0 x y f a b f a b   1. 2 ( , ) ( , ) ( , ) 0; ( , ) 0 xx yy xy xx f a b f a b f a b f a b    ( Second Derivative Test ) 2. 64 ແລະຈ ດ ເປັນຈ ດວິກິດດັ່ງນ ັີ້ນຈະໄດີ້ວ່ຳ: ( , ) a b ( , ) f x y ມ ຄ່ຳຕ ່ຳສ ດທຽບຖຳນ(relative minimum) ຖີ້ຳ 2 ( , ) ( , ) ( , ) 0; ( , ) 0 xx yy xy xx f a b f a b f a b f a b    ( , ) f x y
65. 3. ຈ ດ ຈະເປັນຈ ດອຳນມີ້ຳ(Saddle) ຖີ້ຳ 2 ( , ) ( , ) ( , ) 0 xx yy xy f a b f a b f a b   ( , ) a b 4. ສະຫຼ ບໄດີ້ວ່ຳ ມ ຄ່ຳສູງສ ດຫຼ່ືຕ ່ຳສ ດ 2 ( , ) ( , ) ( , ) 0 xx yy xy f a b f a b f a b   ຖີ້ຳ ຈະບ ່ສຳມຳດ ( , ) f a b ສະຫຼ ບໃສ່ຕຳຕະລຳງດັ່ງລ ່ມນ ີ້ :
66.   2 ( , ) ( , ) xx xy xx yy xy a b xy yy a b f f D f f f f f    0 D  0  D 0 D  0 xx f  0  xx f ເມັດອຳນ ບ ່ໄດີ້ ຄ່ຳສູງສ ດ ຄ່ຳຕ ່ຳສ ດ ສ ຳພັດ ສ ຳພັດ 66 ມີ້ຳ ສະຫຼ ບ
67. ຈ ົ່ງຊອກຫຳເມັດວິກິດແລະຄ່ຳສ ດຂິດສ ຳພັດຂອງຕ ຳລຳ 2 2 ( , ) 4 5 10       f x y xy x y x y 2 4    x f y x 2 5    y f x y ວິທ ແກີ້ ຈ ົ່ງຊອກຫຳຈ ດວິກິດໂດຍພິຈຳລະນຳຈຳກຜົນຕ ຳ 0 x f  0 y f  ໃຫີ້ ແລະ ຕົວຢ່ຳງ1.56 67
68. 2 4   x y ນ ັີ້ນແມ່ນ (1) 2 5   x y (2) ແລະ 1, 2   x y ແກີ້ສົມຜົນ (1) ແລະ (2) ຈະໄດີ້ (1, 2) ດັ່ງນ ັີ້ນຈ ດວິກິດແມ່ນ 68
69. ທົດສອບ   2 5 2 yy f x y y         2 4 1       xy f y x y ແລະ     2 2 2 1 3    2 xx yy xy D f f f   ຈະໄດີ້ວ່ຳ   2 4 2 xx f y x x       ເນ່່ືອງຈຳກ 69
70. (1,2) 2 1 4 4 10 10 3         f (1,2) 3 0 D   2 0   xx f ຢູ່ເມັດວິກິດ ແລະ ແລະຄ່ຳຕ ່ຳສ ດສ ຳພັດແມ່ນ: f ດັ່ງນ ັີ້ນ ມ ຄ່ຳຕ ່ຳສ ດສ ຳພັດເກ ດຂ່ືນຢູ່ເມັດ (1,2) 70
71. ຈ ົ່ງກວດສອບເບ ່ງວ່ຳຕ ຳລຳ 3 2 2 2 ( , ) 3 3 3 4 f x y x xy x y          2 2 , 3 3 6 , 6 6 x y f x y x y x f x y xy y      ວິທ ແກີ້ ຈຳກເງ່່ືອນໄຂບົດເລກເຮົຳມ : ຕົວຢ່ຳງ1.57 ມ ຄ່ຳຕ ່ຳສ ດແລະສູງສ ດຢູ່ຈ ດໃດ ? 3 2 2 2 ( , ) 3 3 3 4 f x y x xy x y     
72. ຊອກຫຳຈ ດວິກິດແມ່ນ 0 y f  ໃຫີ້ ແລະ 0 x f      2 2 0 3 3 6 0 1 0 6 6 0 2 x y f x y x f xy y                       2 2 2 0 1 1 0 2 x y x y x           ຈຳກສົມຜົນ(2) 1, 0 x y    ຖີ້ຳ 1 x  ຈຳກ 2 2 2 0 x y x     2 1 0 y   1 y   
73. ຖີ້ຳ 0 y  ຈຳກ 2 2 2 0 x y x     2 2 0 x x   x 2, 0 x    ດັ່ງນ ັີ້ນຈະໄດີ້ບັນດຳຈ ດດັ່ງນ ີ້         0,0 , 2,0 , 1,1 , 1, 1  ເປັນຈ ດວິກິດໃຊີ້ Second derivative test   , f x y 6 6 6 6 6 xx yy xy f x f x f y     
74.   0,0   1,1   2,0   1, 1  6 6 xx f x   6 6 yy f x   6 xy f y  2 xx yy xy D f f f   6 0   6  0 36 0  6 6 0  0 36 0  0 0 6 36 0   0 0 6  36 0   ສະຫຼ ບໃສ່ຕຳຕະລຳງ
75. ຈຳກຕຳຕະລຳງສຳມຳດສະຫຼ ບໄດີ້ວ່ຳ: + ຢູ່ເມັດ   0,0      2 6 6 0 36 0 xx yy xy D f f f           6 6 6 0 6 6 0 xx f x        ແລະ ຢູ່ເມັດ ເຮັດ ໃຫີ້ຄ່ຳ maximum​ ແມ່ນ   0,0  ( , ) f x y          3 2 2 2 (0,0) 0 3 0 0 3 0 3 0 4 4 f      
76. + ຢູ່ເມັດ   2,0      2 6 6 0 36 0 xx yy xy D f f f         6 6 6 2 6 6 0 xx f x       ແລະ ຢູ່ເມັດ ເຮັດ ໃຫີ້ຄ່ຳ minimum​ ແມ່ນ   2,0  ( , ) f x y          3 2 2 2 (2,0) 2 3 2 0 3 2 3 0 4 8 12 4 0 f         
77. + ຢູ່ເມັດ   1,1     2 2 0 0 6 36 0 xx yy xy D f f f          6 6 6 1 6 0 xx f x      ແລະ ຢູ່ເມັດ ເປັນ ເມັດ ອຳນ ມີ້ຳ Saddle point   1,1  + ຢູ່ເມັດ   1, 1      2 2 0 0 6 36 0 xx yy xy D f f f          6 6 6 1 6 0 xx f x      ແລະ ຢູ່ເມັດ ເປັນ ເມັດ ອຳນ ມີ້ຳ Saddle point   1,1  
78. ກຳນຊອກ ຫຳ ຄ່ຳ ໃຫ່ຽສ ດ ແລະ ຄ່ຳ ນີ້ອຍ ສ ດຂ ອງຕ ຳລຳ ສອງ ຕົວ ປ່ຽນ ໃນ ເຂດ ໃດ ໜ່່ືງ ເພ່່ືອ ຊອກ ຫຳ ຄ່ຳ ໃຫ່ຽສ ດ ແລະ ຄ່ຳ ນີ້ອຍ ສ ດ ຂອງ ຕ ຳລຳ ( , ) f x y ໃນ ເຂດ D ຄວນ: ​1.ຊອກເມັດທ ່ ຄວນເອົຳໃຈໃສ່ຂອງຕ ຳລຳ ຢູ່ໃນເຂດD ( , ) f x y ​2.ຊອກຫຳຄ່ຳຂອງ ຢູ່ຕຳມເມັດທ ່ ຊອກໄດີ້ໃນຂ ີ້1 ( , ) f x y ​3.ອ ງຕຳມສົມຜົນຂອບຂອງD ຊອກເມັດທ ່ ຄວນເອົຳໃຈໃສ່ ​ຂອງ ຕຳມຂອບຂອງD ລວມທັງເມັດແຈ (ຖີ້ຳມ ) ( , ) f x y ​4.ຊອກຄ່ຳຂອງຕ ຳລຳ ທ ່ ຊອກມຳໄດີ້ໃນຂັີ້ນຕອນ3 ( , ) f x y
79. ​5. ສົມທຽບຄ່ຳຂອງຕ ຳລຳ f ທ ່ ຊອກມຳໄດີ້ໃນຂັີ້ນຕອນທ ່ 2 ​ແລະ ທ ່ 4 ຄ່ຳໃຫ່ຽສ ດທ ່ ໄດີ້ຈຳກກຳນສົມທຽບນ ີ້ແມ່ນຄ່ຳໃຫ່ຽ ​ສ ດຂອງຕ ຳລຳ f ໃນເຂດ D ແລະຄ່ຳນີ້ອຍສ ດທ ່ ໄດີ້ຈຳກ ​ກຳນສົມທຽບນ ີ້ແມ່ນຄ່ຳນີ້ອຍສ ດຂອງຕ ຳລຳ f ໃນເຂດ D ຈ ົ່ງຊອກຫຳຄ່ຳຕ ່ຳສ ດແລະຄ່ຳສູງສ ດ 2 2 ( , ) 2 3 f x y x xy y    ຕົວຢ່ຳງ1.58 ໃນບ ລິເວນຮູບສຳມແຈທ ່ ມ ຈອມ ຂອງຕ ຳລຳ       1,1 , 2,1 , 1, 2   
80. ວິທ ແກີ້ ຈຳກເງ່່ືອນໄຂບົດເລກເຮົຳມ : D x y   1,1 B    2,1 C   1, 2 A   1 y  1 x   1 y x   (1) ຊອກຫຳຈ ດວິກິດໃນບ ລິເວນ D ຈຳກ 2 2 ( , ) 2 3 f x y x xy y   
81. 2 2 0 2 2 0 x y f x y f x y          ດັ່ງນ ັີ້ນຈ ດ ວິກິດໃນເຂດ D ຫຼ່ື   0,0   0,0 O D  (2) ຊອກຫຳຄ່ຳຂອງ   0,0 ? f  ຈຳກ        2 2 (0,0) 0 2 0 0 3 0 0 f     2 2 ( , ) 2 3 f x y x xy y   
82. (3) ຊອກຫຳບັນດຳຈ ດທ ່ ນອນໃນສົມຜົນຂອບຂອງ D - ຕຳມຂອບAB : 1 , 2 1 x y      ຈຳກ 2 2 ( , ) 2 3 f x y x xy y              2 2 2 ( 1, ) 1 2 1 3 1 2 3 2 6 0 1 3 AB AB AB f y f y y y f y y y f y y y                 1 , x    ຈະໄດີ້ ຊ່່ືງນອນໃນຂີ້ຳງ AB 1 1, 3 M       
83. - ຕຳມຂອບBC : y 1 , 1 2 x     ຈຳກ 2 2 ( , ) 2 3 f x y x xy y              2 2 2 ( ,1) 2 1 3 1 2 3 2 2 0 x 1 BC BC BC f x f x x x f x x x f x x              y 1 ,   ຈະໄດີ້ ຊ່່ືງນອນໃນຂີ້ຳງ BC   1,1 N B  
84. - ຕຳມຂອບCA : y 1 , 1 2 x x      ຈຳກ 2 2 ( , ) 2 3 f x y x xy y              2 2 2 ( , 1) 2 1 3 1 6 8 3 12 8 0 2 x 3 CA CA BC f x x f x x x x x f x x x f x x                ຈະໄດີ້ ຊ່່ືງນອນໃນຂີ້ຳງ CA 2 1 , 3 3 P        1 y , 3   
85. - ເມັດຈອມ A,B,C ແມ່ນ ແລະ   , 1,1 B    2,1 C   1, 2 A   (4) ຊອກຫຳຄ່ຳຂອງເມັດທ ່ ຊອກໄດີ້ M, N, P , A, B, C ຈຳກ 2 2 ( , ) 2 3 f x y x xy y          2 2 1 1 1 ( 1, ) 1 2 1 3 17 3 3 3 f M f                                 2 2 ( 1,1) 1 2 1 1 3 1 2 f N f B f             2 2 2 1 2 2 1 1 1 ( , ) 2 3 3 3 3 3 3 3 3 f P f                                        2 2 ( 1, 2) 1 2 1 2 3 2 17 f A f                      2 2 (2,1) 2 2 2 1 3 1 11 f C f      
86. (5) ຊອກຫຳຄ່ຳໃຫ່ຽສ ດແລະນີ້ອຍສ ດຂອງf ໂດຍກຳນສົມ ທຽບຈຳກ (2) ແລະ (4) ສຳມຳດສະຫຼ ບໄດີ້ດັ່ງນ ີ້:   , f x y ມ ຄ່ຳໃຫ່ຽສ ດຢູ່ເມັດ ແລະ 1 1, 3 M          1, 2 A   ມ ຄ່ຳໃຫ່ຽສ ດເທົ່ ຳກ ັບ 17 ມ ຄ່ຳນີ້ອຍສ ດຢູ່ເມັດ   0,0 O ມ ຄ່ຳນີ້ອຍສ ດເທົ່ ຳກ ັບ 0   , f x y
87. ກຳນຊອກ ຫຳ ຄ່ຳ ສູງສ ດ ແລະ ຄ່ຳ ຕ ່ຳ ສ ດໂດຍຕົວຄູນ ລຳກຣັງຊ ( Lagrange Multipliers ) ຖີ້ຳວ່ຳ ແລະ ມ ຜົນຕ ຳລຳເພ່່ືອຊອກ ຫຳຄ່ຳສູງສ ດຫຼ່ືຄ່ຳຕ ່ຳສ ດ ຂອງ f ພຳຍໃຕີ້ເງ່ື່ອນໄຂ   , , f x y z   , , g x y z   , , 0 g x y z  ແມ່ນຫຳຄ່ຳຂອງ ແລະ , , x y z  ທ ່ ຕອບສະໜອງບັນດຳສົມຜົນ f g       , , 0 g x y z  ແລະ -ສ ຳລັບຕ ຳລຳສອງຕົວປ່ຽນແມ່ນຊອກຫຳຄ່ຳ ແລະ , x y  ທ ່ ຕອບສະໜອງບັນດຳສົມຜົນ f g       , 0 g x y  ແລະ
88. ຈ ຳນວນຈ ງ ຂີ້ຳງເທ ງມ ຊ່ື່ວ່ຳ:ຕົວຄູນ  ລຳກຣັງຊ ( Lagrange Multipliers ) -ວິທ ຕົວຄູນຂອງລຳກຣັງຊ Lagrange ທ ່ ມ ສອງເງ່ື່ອນໄຂ ເພ ່ ອຊອກຫຳຄ່ຳສູງສ ດຫຼ່ືຄ່ຳຕ ່ຳສ ດ ຂອງ f ພຳຍໃຕີ້ເງ່ື່ອນ ໄຂ ແລະ ແມ່ນຊອກ   1 , , 0 g x y z    2 , , 0 g x y z  ຫຳຄ່ຳຂອງ ແລະ ທ ່ ຕອບສະໜອງບັນດຳ , , , x y z   ສົມຜົນ 1 2 ; f g g        ແລະ   1 , , 0 g x y z    2 , , 0 g x y z 
89. ຈ ົ່ງຊອກຫຳຄ່ຳຕ ່ຳສ ດແລະຄ່ຳສູງສ ດ ( , ) 3 4 f x y x y   ຕົວຢ່ຳງ1.59 ຂອງຕ ຳລຳ ຕຳມວົງມ ົນ 2 2 1 x y   ວິທ ແກີ້ ແມ່ນຫຳຄ່ຳຂອງ ແລະ ທ ຕອບສະໜອງບັນດຳ , x y  ຈຳກໂຈດຈະໄດີ້ ( , ) 3 4 f x y x y     2 2 , 1 0 g x y x y     ສົມຜົນ f g     ວິທ ທ 1
90. 3 4 2 2 i j x i y j      ສົມທຽບສ ຳປະສິດໄດີ້: 3 2 ; 2 x y     ຈຳກສົມຜົນ ຈະໄດີ້   , 0 g x y  2 2 2 2 3 2 1 1 0 2 x y                     2 2 9 4 1 4    5 2    
91. 3 5 4 5 x y          ສ ຳລັບ ໄດີ້: 5 2   3 5 4 5 x y            ສ ຳລັບ ໄດີ້: 5 2    ເຫັນວ່ຳ ມ ຄ່ຳຕ ່ຳສ ດຢູ່ເມັດ ແມ່ນ ( , ) f x y 3 4 5 5 ( , )   5  ແລະ ມ ຄ່ຳຕ ່ຳສ ດຢູ່ເມັດ ແມ່ນ ( , ) f x y 3 4 5 5 ( , ) 5 3 4 5 5 , ( , ) 5 f  3 4 5 5 , ( , ) 5 f    
92. ແມ່ນຫຳຄ່ຳຂອງ ແລະ ທ ຕອບສະໜອງບັນດຳ , x y  ວິທ ທ 2 ສົມຜົນ       , , , , L x y f x y g x y         2 2 , , 3 4 1 L x y x y x y        -ຊອກຫຳ   , , ? L x y   -ຊອກຫຳ     3 2 4 2 3 2 0 1 4 2 0 2 x y L x x L y y                      , x y
93. -ຈຳກສົມຜົນ   2 2 , 1 0 g x y x y     2 2 2 2 3 2 1 1 0 2 x y                     2 2 9 4 1 4    5 2     ແລີ້ວແທນຄ່ຳ ໃສ່ສົມຜົນ ຈະໄດີ້:      1 & 2
94. 3 5 4 5 x y          ສ ຳລັບ ໄດີ້: 5 2   3 5 4 5 x y            ສ ຳລັບ ໄດີ້: 5 2    ເຫັນວ່ຳ ມ ຄ່ຳຕ ່ຳສ ດຢູ່ເມັດ ແມ່ນ ( , ) f x y 3 4 5 5 ( , )   5  ແລະ ມ ຄ່ຳຕ ່ຳສ ດຢູ່ເມັດ ແມ່ນ ( , ) f x y 3 4 5 5 ( , ) 5 3 4 5 5 , ( , ) 5 f  3 4 5 5 , ( , ) 5 f    
95. ແຜ່ນພຽງ ຕັດທ ່ ໄດີ້ແອນລິບຈ ົ່ງຊອກຫຳເມັດຕຳມເສັີ້ນແອນ 2 2 1 x y   ວິທ ແກີ້ ຕົວຢ່ຳງ1.60 1 x y z    ທ ່ ຢູ່ໃກີ້ແລະໄກສ ດຈຳກເມັດເຄົີ້ຳ ບັນຫຳແມ່ນຊອກ ທ ່ ຕ ຳລຳ   , , x y z   2 2 2 , , f x y z x y z    ທ ່ ຢູ່ໃກີ້ແລະໄກສ ດພຳຍໃຕີ້ ເງ່ື່ອນໄຂ: ແລະ   2 2 1 , , 1 0 g x y z x y       2 , , 1 0 g x y z x y z     
96. ແມ່ນຊອກ ແລະ ທ ່ ຕອບສະໜອງບັນດຳ , , , x y z   ສົມຜົນ ຈະໄດີ້: 1 2 f g g        ຕຳມວິທ ຂອງລຳກຣັງຊ Lagrange ກຳນແກີ້ບັນຫຳນ ີ້     2 2 2 2 2 xi yj zk xi yj i j k          ສົມທຽບສ ຳປະສິດໄດີ້:     2 2 1 2 2 1 2 2 x x x z y y x z z z                             
97.   1, 0 1, 1 z z x y                  -ສ ຳລັບ ຈຳກສົມຜົນ 0 z    2 2 1 , , 1 0 g x y z x y       2 , , 1 0 g x y z x y z          2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 x y x y y x x y                  ເອົຳ(2)ແທນ(1) ໄດີ້: 1 2 1, 0 x x  
98. ຈະໄດີ້ເມັດ ແລະ   1,0,0   0,1,0   1,0,0 1 f    2 2 2 , , f x y z x y z    ຈຳກ   0,1,0 1 f  ແລະ -ສ ຳລັບ ຈຳກສົມຜົນ x y    2 2 1 , , 1 0 g x y z x y       2 , , 1 0 g x y z x y z     
99.     2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 y x y x x z z                   ຈະໄດີ້ເມັດ ແລະ 2 2 , ,1 2 2 2            2 2 2 , , f x y z x y z    ຈຳກ ແລະ 2 2 , ,1 2 2 2            2 2 , ,1 2 4 2 2 2 2 f            2 2 , ,1 2 4 2 2 2 2 f             
100. ດັ່ງນ ັີ້ນຕຳມເສັີ້ນແອນລິບທ ່ ໃຫີ້ມຳທ ່ ຢູ່ໃກີ້ເມັດເຄົີ້ຳແມ່ນ ເມັດທ ່ ຢູ່ໄກຈຳກເມັດເຄົີ້ຳແມ່ນ ແລະ   1,0,0   0,1,0 ແລະ 2 2 , ,1 2 2 2          2 2 , ,1 2 2 2            ເປັນຄ ຳຕອບຂອງບັນຫຳ