m2

m2

Transcript

1. 1.2 ຜົນຕ ຳລຳພຳກສ່ວນຂອງຕ ຳລຳຫຼຳຍຕົວປ່ຽນ ຜົນຕ ຳລຳພຳກສ່ວນຂອງ ຄິດໄລ່ຕຳມ ຢ ່ເມັດ   , f x y x   0 0 , x y         0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , lim x h f x h y f x y f x y f x y x h                0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , lim y h f x y h f x y f x y f x y y h        ຜົນຕ ຳລຳພຳກສ່ວນຂອງ ຄິດໄລ່ຕຳມ ຢ ່ເມັດ   , f x y y   0 0 , x y ນິຍຳມ1: (partial derivative)
2. ຜົນຕ ຳລຳພຳກສ່ວນຂອງ ຄິດໄລ່ຕຳມ ຢ ່ເມັດ         0 , , , , lim x h f x h y f x y f x y f x y x h                0 , , , , lim y h f x y h f x y f x y f x y y h        ຜົນຕ ຳລຳພຳກສ່ວນຂອງ ຄິດໄລ່ຕຳມ ຢ ່ເມັດ   , f x y   , x y ນິຍຳມ2:   , f x y   , x y x y
3. ສັງເກດເຫັນວ່ຳໃນກຳນຄິດໄລ່ ແມ່ນຖືວ່ຳ ແມ່ນຕົວປ່ຽນພຽງຕົວດຽວໃນຊຸດຕ ຳລຳນ ັັ້ນ,ສ່ວນຕົວປ່ຽນອື່ນ ຖືວ່ຳເປັນຕົວຄົງຄ່ຳ.ເຊັ່ນດຽວກ ັນກ ັບໃນກຳນຄິດໄລ່ ແມ່ນ ຖືວ່ຳ ແມ່ນຕົວປ່ຽນພຽງຕົວດຽວໃນຊຸດຕ ຳລຳນ ັັ້ນ,ສ່ວນ ຕົວປ່ຽນອື່ນຖືວ່ຳເປັນຕົວຄົງຄ່ຳ. f x   x f y   y
4. ຈ ົ່ງຊອກຫຳ ແລະ ຖັ້ຳ ຕົວຢ່ຳງ 1.23 f x   f y     2 2 , 2 3 4 f x y x xy y    ວິທີແກັ້         2 2 2 2 2 3 4 2 3 4 4 3 f x xy y x x x xy y x x x x y                   ∆ ສ ຳລັບ ກຳນຊອກຫຳໄດັ້ດັ່ງນີັ້ f x  
5.         2 2 2 2 2 3 4 2 3 4 3 8 f x xy y y y x xy y y y y x y                    ∆ ສ ຳລັບ ກຳນຊອກຫຳໄດັ້ດັ່ງນີັ້ f y  
6. ຈ ົ່ງຊອກຫຳ ແລະ ຖັ້ຳ ຕົວຢ່ຳງ 1.24   1,2 f x     2 3 4 , 2 f x y x y y x      1,2 f y   ວິທີແກັ້                2 3 4 2 3 4 3 3 1,2 2 = 2 2 4 2 1 2 4 1 0 f x y y x x x x y y x x x x f xy x x f x                          
7. #ສ ຳລັບ               2 3 4 2 3 4 2 2 2 2 1,2 2 = 2 6 1 6 2 25 f x y y x y y x y y x y y y f x y y f y                             1,2 ? f y   
8. ນິຍຳມ 3 ໃຫັ້ຕ ຳລຳ   , , w f x y z      0 , , , , lim x h f x h y z f x y z w f f x x h           ກ. ຜົນຕ ຳລຳຂອງ f ທຽບໃສ່ x ກຳນຄິດໄລ່ຜົນຕ ຳລຳຕຳມ x ໃຫັ້ຖືວ່ຳ y,z ເປັນ ຈ ຳນວນຄົງຄ່ຳ ຂ. ຜົນຕ ຳລຳຂອງ f ທຽບໃສ່ y     0 , , , , lim y h f x y h z f x y z w f f y y h          
9. ຄ. ຜົນຕ ຳລຳຂອງ f ທຽບໃສ່ z     0 , , , , lim z h f x y z h f x y z w f f z z h           ກຳນຄິດໄລ່ຜົນຕ ຳລຳຕຳມ z ໃຫັ້ຖືວ່ຳ x,y ເປັນ ຈ ຳນວນຄົງຄ່ຳ ຕົວຢ່ຳງ 1.25 ໃຫັ້     3 , , 5ln x z f x y z e xyz    ຈ ົ່ງຊອກຫຳ , & x y z f f f
10. ວິທີແກັ້ • #ສ ຳລັບ   , , = ? x f x y z           3 3 3 , , = 5ln 1 3 5. 5 x z x x z x z f x y z e xyz x e x z xyz x xyz x e x               
11. • #ສ ຳລັບ   , , = ? y f x y z           3 3 , , = 5ln 1 3 5. 5 x z y x z f x y z e xyz y e x z xyz y xyz y y             
12. • #ສ ຳລັບ   , , = ? z f x y z           3 3 3 , , = 5ln 1 3 5. 5 3 x z z x z x z f x y z e xyz z e x z xyz z xyz z e z               
13. 1.3 ຄວຳມໝຳຍທຳງດັ້ຳນເລຂຳຄະນິດ (Geometric interpretation of partial derivative) ຄວຳມໝຳຍທຳງດັ້ຳນເລຂຳຄະນິດຂອງຜົນຕ ຳລຳພຳກສ່ວນ   0 0 , x f x y ຂອງ ຢ ່ເມັດ   , f x y   0 0 , x y ໂດຍທົ່ວໄປເຮົຳຂຽນສົມຜົນຂອງໜັ້ຳໃນຮ ບ   , z f x y  ດັ່ງຮ ບ1.3.a ແລະ   0 0 0 , z f x y 
14. 0 PLANE y y    0 0 , ,0 x y P    0 0 , x slope f x y y x z ( ຮ ບ1.3.a ) 0
15. ແມ່ນມ ມທີ່ ປະກອບລະຫວ່ຳງເສັັ້ນໂຄັ້ງ    0 , z f x y  ຊ່ືງເປັນສົມຜົນຂອງເສັັ້ນໂຄັ້ງ.   0 0 0 , , x y z ເມ່ືອໃຫັ້ y ຄົງຄ່ຳເທົ່ ຳກ ັບ 0 y ແຜ່ນພຽງ ຈະຕັດໜັ້ຳ ຈະໄດັ້ 0 y y    , z f x y    0 , z f x y  ກ ັບເສັັ້ນທີ່ ຂະໜຳນກ ັບແກນ ox ຢ ່ເມັດ ສົມຜົນຂອງເສັັ້ນໂຄັ້ງ ເປັນຕ ຳລຳຂອງຕົວ   0 , z f x y  ປ່ຽນ x ຕົວດຽວ
16.       0 0 0 0 0 0 0 , , , lim x h f x h y f x y tg f x y h       ແມ່ນອັດຕຳກຳນປ່ຽນແປງຂອງ ທຽບກ ັບ x ໃນ   0 , f x y ຮ ບ1.3.a ນ ັັ້ນກ ່ແມ່ນສ ຳປະສິດມ ມຂອງເສັັ້ນໂຄັ້ງ   , z f x y  ຢ ່ເມັດ ນ ັັ້ນເອງ   0 0 , P x y ເຊັ່ນດຽວກ ັນໃນກ ລະນີທ່ີ ຄົງຄ່ຳແຜ່ນພຽງ 0 x 0 x x  ຕັດໜັ້ຳ ຈະໄດັ້ເສັັ້ນໂຄັ້ງ   , z f x y    0 , z f x y        0 0 0 0 0 0 0 , , , lim y h f x y h f x y tg f x y h      
17. ແມ່ນອັດຕຳກຳນປ່ຽນແປງຂອງ ທຽບກ ັບ y ໃນ   0 , f x y ຮ ບ1.3.b ນ ັັ້ນກ ່ແມ່ນສ ຳປະສິດມ ມຂອງເສັັ້ນໂຄັ້ງ   , z f x y  ຢ ່ເມັດ ນ ັັ້ນເອງ   0 0 , P x y 0 x PLANE x  y x z   0 0 0 , , P x y z    0 0 , ,0 x y 0 ( ຮ ບ1.3.b )
18. ຕົວຢ່ຳງ 1.26 ຖັ້ຳ   2 , 3 2 3 5 f x y x xy x y      ຈ ົ່ງຊອກຫຳ   2,3 ? x f  ວິທີແກັ້ ຊອກຫຳ ໃຫັ້ y ຄົງຄ່ຳ   , x f x y         , 2 3 2 2,3 2 2 3 3 2 3 x x f x y x y f        
19. ຕົວຢ່ຳງ 1.27 ຈ ົ່ງຊອກຫຳສ ຳປະສິດມ ມຂອງເສັັ້ນໂຄັ້ງ ຢ ່ເມັດ ຖັ້ຳເສັັ້ນໂຄັ້ງນີັ້ຖືກຕັດອອກຈຳກ   1,3, 17   ໜັ້ຳປົກ ດັ້ວຍ 2 2 2 z x y   ກ. ແຜ່ນພຽງ x = -1 ຂ. ແຜ່ນພຽງ y = 3
20. ສ ຳປະສິດມ ມຂອງເສັັ້ນໂຄັ້ງຢ ່ທີ່ ເມັດ ແມ່ນ:   1,3, 17         , 4 1,3 4 3 12 y y f x y y f        ວິທີແກັ້ ກ.ຖັ້ຳຕັດດັ້ວຍແຜ່ນພຽງ x = -1 ຄ່ຳຂອງ Z ຈະຂືັ້ນຢ ່ກ ັບ y ພຽງຕົວປ່ຽນດຽວໃຫັ້   2 2 , 2 f x y x y  
21.       , 2 1,3 2 1 2 x x f x y x f       ຂ.ຖັ້ຳຕັດດັ້ວຍແຜ່ນພຽງ y = 3 ຄ່ຳຂອງ z ຈະຂືັ້ນຢ ່ກ ັບ x ພຽງຕົວປ່ຽນດຽວໃຫັ້   2 2 , 2 f x y x y   ສ ຳປະສິດມ ມຂອງເສັັ້ນໂຄັ້ງຢ ່ທີ່ ເມັດ ແມ່ນ:   1,3, 17  
22. ຕົວຢ່ຳງ 1.28 ຈ ົ່ງຊອກຫຳສົມຜົນຂອງເສັັ້ນຕິດຂອງເສັັ້ນ ໂຄັ້ງທີ່ ເກີດຈຳກກຳນຕັດໜັ້ຳປົກ xyz = 6 ດັ້ວຍແຜ່ນ   2, 3, 1   ພຽງ x = 2 ຢ ່ເມັດ ວິທີແກັ້ ສ ຳປະສິດມ ມຂອງເສັັ້ນໂຄັ້ງຢ ່ທີ່ ເມັດ ແມ່ນ: ຖັ້ຳຕັດດັ້ວຍແຜ່ນພຽງ x = 2 ຄ່ຳຂອງ Z ຈະຂືັ້ນຢ ່ກ ັບ y ພຽງຕົວປ່ຽນດຽວໃຫັ້   6 , z f x y xy     2, 3, 1     , y z f x y y  
23. ສ ຳປະສິດມ ມເສັັ້ນໂຄັ້ງຢ ່ເມັດ ແມ່ນ:   2, 3, 1   1 3 m   ສົມຜົນເສັັ້ນຕິດຢ ່ເມັດ ແມ່ນ:   2, 3, 1       0 0 z z m y y    ເມື່ອ 0 0 1 ; 1; 3 3 m z y       ຈະໄດັ້     1 1 3 3 3 3 3 3 6 0 z y z y y z            
24. 1.4 ກ ົດຕ່ອງໂສ dw w dx w dy dt x dt y dt       ກ ລະນີທີ 1 ຖັ້ຳວ່ຳ ຊື່ງ x ແລະ y   , w f x y  ເປັນຕ ຳລຳທີ່ ຂືັ້ນກ ັບ t ຈະໄດັ້ ( , , ) w f x y z  dw f dx f dy f dz dt x dt y dt z dt          ຖັ້ຳວ່ຳ ຊື່ງ , , x y z ກ ລະນີທີ 2 ເປັນຕ ຳລຳທີ່ ຂືັ້ນກ ັບ t ຈະໄດັ້ ( Chain Rule )
25. ( , ) w f x y  ( ) x x t  ( ) y y t  f x   f y   dx dt dy dt t dw f dx f dy dt x dt y dt       ຖັ້ຳ ( , ) w f x y  ເປັນຕ ຳລຳຂອງ , x y t
26. ( , , ) w f x y z  , , x y z t ( , , ) w f x y z  ( ) x x t  ( ) y y t  f x   f z   dx dt dy dt t f y   ( ) z z t  dz dt dw f dx f dy f dz dt x dt y dt z dt          ຖັ້ຳ ເປັນຕ ຳລຳຂອງ
27. dt dz ເມ່ືອກ ຳນ ົດດັ່ງນີັ້: ຈ ົ່ງຊອກຫຳ 2 2 3 2 , , 1 z x y x t y t      1. 2 4 3 , , sin t z x y xy x e y t     2. ຕົວຢ່ຳງ1.29
28. ວິທີແກັ້ 1. 2 2 3 2 , , 1 z x y x t y t      ກົດຕ່ອງໂສັ້ dz z dx z dy dt x dt y dt       2 2 3 2 2 2 ( ) ( ) ( ) (1 ) d d x y t x y t x dt y dt         
29. 2 2 2 2 2 ( ) ( ) (3 ) ( ) ( ) (2 ) x y t x y t x x y y                             2 (2 ) 0 (3 ) 0 (2 ) (2 ) x t y t         3 2 2 5 3 6 4 1 6 4 4 t t t t t t t      
30. 2 4 3 , , sin t z x y xy x e y t     2. • ສ ຳລັບ ກົດຕ່ອງໂສັ້ dz z dx z dy dt x dt y dt       4 2 3 (2 3 )( ) ( 12 )(cos ) t xy y e x xy t     2 4 2 4 ( 3 ) ( ) ( 3 ) (sin ) t d d x y xy e x y xy t x dt y dt         4 2 3 (2 sin 3sin )( ) ( 12 sin )(cos ) t t t t e t t e e e t t     2 3 (2sin cos ) 3 sin (sin 4cos ) t t t t e e t t    
31. ກ ລະນີທີ 3 ຖັ້ຳ ( , ) w f x y  w f x f y r x r y r             ເປັນຕ ຳລຳຂອງ , x y r ແລະ s ( , ), ( , ) x x r s y y r s   w f x f y s x s y s            
32. w f x f y r x r y r             ( , ) w f x y  ( , ) x x r s  ( , ) y y r s  f x   f y   x r   y r   r ຖັ້ຳ ( , ) w f x y  ເປັນຕ ຳລຳຂອງ , x y r ແລະ s
33. w f x f y s x s y s             ( , ) w f x y  ( , ) x x r s  ( , ) y y r s  f x   f y   x s   y s   s ຖັ້ຳ ( , ) w f x y  ເປັນຕ ຳລຳຂອງ , x y r ແລະ s
34. ກ ລະນີທີ 4 ( , , ) w f x y z  w f x f y f z r x r y r z r                  ເປັນຕ ຳລຳຂອງ r ແລະ s ( , ), ( , ) & ( , ) x f r s y g r s z k r s    w f x f y f z s x s y s z s                  , , x y z ຊື່ງ ຖັ້ຳ
35. ກ ລະນີທີ 5 ຖັ້ຳວ່ຳ ຊື່ງ   w f x  ( , ) x g r s  w f x r x r        w f x s x s       
36. 2 2, 2 x u v y uv    2 z x y   ຈ ົ່ງຊອກ 2 2 ? z u    ຕົວຢ່ຳງ1.30 ກ ຳນ ົດໃຫັ້ ແລະ
37. z y x z x   z y   x u   y v   y u   x v   u v u v ວິທີແກັ້ ຂຽນເປັນແຜນພຳບຕົັ້ນໄມັ້
38. z z x z y u x u y u             2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) (2 ) x y u v x y uv x u y u              (2 )(2 ) (1)(2 ) x u v   ຈຳກແຜນພຳບຕົັ້ນໄມັ້ 4 2 ux v  
39. ( , , ) z w f x u v u     ດັ່ງນ ັັ້ນ u    v v u    w x   z w u    x w v   w u   x v   x u   ຂຽນເປັນແຜນພຳບຕົັ້ນໄມັ້ເພື່ ອຫຳຜົນຕ ຳລຳ ພຳກສ່ວນອັນດັບສອງ ໃຫັ້
40. 2 2 2 2 (4 2 ) ( ) (4 2 ) z ux v u v ux v u x u y              (4 0)(2 0) 0 u u     2 8u  w w x u x u        + w   u ຈຳກແຜນພຳບຕົັ້ນໄມັ້
41. (Implicit Differentiation) 1.5 ຜົນຕ ຳລຳ ພຳກສ່ວນຂອງ ຕ ຳລຳລັບໃນ(ແຝງໃນ)
42. ຕ ຳລຳລັບໃນ ຕ ຳລຳລັບໃນມີຮ ບຮ່ຳງ ໂດຍທີ່ ວ່ຳ ( , ) 0 F x y  y ເປັນຕ ຳລຳຂອງ x ໂດຍກຳນຫຳຜົນຕ ຳລຳ ທຽບກ ັບ x ຕະລອດທັງສົມຜົນ ສຳມຳດສັ້ຳງສ ດເພ່ືອຊອກຫຳຜົນຕ ຳລຳພຳກສ່ວນຂອງ ຕ ຳລຳທີ່ ນິຍຳມໂດຍຕ ຳລຳລັບໃນໂດຍນ ຳໃຊັ້ກ ົດຕ່ອງໂສັ້ ກ ຳນ ົດດັ່ງນີັ້:
43.     F x   x y x F y x   F y  
44. 0 dy dx F F       x y ຫຼື dy dx F F x       y ດັ່ງນ ັັ້ນຈະໄດັ້ສ ດ ສ ດ x y F dy dx F F x F        y
45. ຈ ັດສົມຜົນໃຫັ້ຢ ່ໃນຮ ບຮ່ຳງ ( , ) 0 F x y  ຄື 5 2 2 4 3 5 12 0 F y x y x      x y F dy dx F   dy dx 5 2 2 4 3 5 12 y x y x    ຈ ົ່ງຊອກ ຈຳກສົມຜົນ ວິທີແກັ້ 5 2 2 4 3 5 12 y x y x    ຕົວຢ່ຳງ1.31 ຈຳກສ ດ
46. 5 2 2 4 5 2 2 4 ( ) 3 ( ) 5 ( ) (12) ( ) 3 ( ) 5 ( ) (12) y y x x x x x x y x y x y y y y                         5 2 2 4 5 2 2 4 ( 3 5 12) ( 3 5 12) y x y x x y x y x y            
47. 2 3 4 2 0 3 (2 ) 5(4 ) 0 5 3 (2 ) 0 0 y x x y x y         ດັ່ງນ ັັ້ນ 2 3 4 2 6 20 5 6 dy xy x dx y x y    
48.      F y F x   y z x z x   z y   F z   F y   F x  F x  ໃນກ ລະນີທີ່ ເປັນຕ ຳລຳສອງຕົວປ່ຽນ ( , , ) 0 F x y z  ໂດຍທີ່ Z ເປັນຕ ຳລຳຂອງ x ແລະ y ຂຽນແຜນພຳບຕົັ້ນໄມັ້ດັ່ງນີັ້
49. 0 F F z x z x         0 x z z F F x     z x z F F x     ຫຼື x z F z x F     ຈຳກແຜນພຳບ
50. x z F z x F     ແລະ y z F z y F     ຈ ົ່ງຊອກຫຳ ແລະ z x   z y   ເມ່ືອກ ຳນ ົດ 0 y x xe yz ze    z ຖັ້ຳ ເປັນຕ ຳລຳຂອງ ແລະ x y ຕົວຢ່ຳງ1.32 ສ ດ
51. 0 y x xe yz ze    ຈ ັດສົມຜົນໃຫັ້ຢ ່ໃນຮ ບຮ່ຳງ ຄື ( , , ) 0 F x y z  0 y x F xe yz ze     ຈຳກສ ດ x z F z x F     ວິທີແກັ້
52. ( ) ( ) y x y x xe yz ze x xe yz ze z           ( ) ( ) ( ) ( ) y x y x x e yz z e x x x z xe y z e z x x                  
53. ດັ່ງນ ັັ້ນ y x x z e ze x y ze       0 0 y x x e ze y ze       y z F z y F     ຈຳກສ ດ
54. ( ) ( ) y x y x xe yz ze y xe yz ze z           ( ) ( ) ( ) ( ) y x y x y x e z ze y y y z xe y z e z x x                  
55. 0 0 y x xe z y ze       y x z xe z y y ze       ດັ່ງນ ັັ້ນ