m3

m3

Transcript

1. 1.6 ການນ າໃຊ້ກ ົດຕ່ອງໂສ ( Application of Chain Rule ) ປະໂຫຽດທ ່ ສ າຄັນຂອງກ ົດຕ່ອງໂສ້ຄື ໃຊ້ໃນການຫາ ອັດຕາການປ່ຽນແປງຄ່າຂອງຕ າລາຫຼາຍຕົວປ່ຽນ ເພື່ ອຊອກຮ ້ອັດຕາການປ່ຽນແປງຂອງຕົວປ່ຽນ
2. ຕົວຢ່າງ1.33 ຈວຍກ ົມມ ລວງສ ງ30 ຊັງຕ ແມັດ ລັດສະໜ ພື້ນແທກໄດ້ 20 ຊັງຕ ແມັດ ໃນເວລາທ ່ ລວງ ສ ງກ າລັງເພ ້ມຂື້ນໃນອັດຕາ 2 ຊມ/ວິນາທ ລັດສະໜ ພື້ນກ າລັງເພ ້ມຂື້ນໃນອັດຕາ 1 ຊມ/ວິນາທ . ຈ ົ່ງຊອກຫາອັດຕາການປ່ຽນແປງຂອງບ ລິມາດຈວຍນ ັ້ນ ວິທ ແກ້ 30 h cm  20 r cm  ສ ດການຊອກຫາບ ລິມາດຈວຍ   2 1 , 3 V V r h r h    ໂດຍ V ແມ່ນບ ລິມາດຈວຍ
3. ໂດຍ V ແມ່ນບ ລິມາດຂອງຈວຍມ ຫົວໜ່ວຍ   3 cm h ແມ່ນລວງສ ງຂອງຈວຍມ ຫົວໜ່ວຍ   cm r ແມ່ນລັດສະໝ ຂອງຈວຍມ ຫົວໜ່ວຍ   cm t ແມ່ນ ເວລາ ມ ຫົວໜ່ວຍເປັນວິນາທ   s r ແລະ h ປ່ຽນແປງຕາມເວລາ t ດັ່ງນ ັ້ນ r ແລະ h ເປັນຕ າລາຂອງ t ຊ່ືງເຮັດໃຫ້ V ເປັນຕ າລາຂອງ t ດ້ວຍເຊັ່ ນກ ັນ ຈາກກ ົດຕ່ອງໂສ້ dv v dr v dh dt r dt h dt      
4. ຈາກທ ່ ກ ານ ົດໃຫ້ 1 / ; r = 20 cm 2 / ; h = 30 cm dr cm s dt dh cm s dt   2 2 1 3 3 dv dr dh rh r dt dt dt              2 3 2 1 20 30 1 20 2 3 3 2000 / 3 cm s       ດັ່ງນ ັ້ນບ ລິມາດຂອງຈວຍຈະເພ ້ມຂື້ນໃນອັດຕາ 3 2000 / 3 cm s 
5. ຕົວຢ່າງ1.34 ໃຫ້ B = 50 cm ແລະ b = 30cm ເປັນຂ້າງພື້ນໃຫ່ຽແລະນ້ອຍຂອງຮ ບຄາງໝ ຕາມລ າດັບ ລວງສ ງແທກໄດ້ h = 10cm ,ຖ້າຂ້າງພື້ນໃຫ່ຽB ກ າ ລັງລຸດລົງດ້ວຍອັດຕາ 1 ຊມ/ວິນາທ ແລະ ຂ້າງb ພັດ ຈ ົ່ງຊອກຫາອັດຕາການປ່ຽນແປງຂອງເນື້ອທ ່ ກ າລັງເພ ້ມຂື້ນດ້ວຍອັດຕາ 2 ຊມ/ວິນາທ ພ້ອມດຽວ ກ ັນນ ັ້ນລວງສ ງກ ່ເພ ້ມຂື້ນດ້ວຍອັດຕາ 3 ຊມ/ວິນາທ
6. ວິທ ແກ້ ສ ດການຊອກຫາເນື້ອທ ່ ຂອງຮ ບຄາງໝ 10 h cm  50 B cm  30 b cm  ຮ ບຄາງໝ     1 , , 2 A A B b h B b h   
7. ໃຫ້ A ແມ່ນເນື້ອທ ່ ຂອງຮ ບຄາງໝ B , b ,h ຕ່າງກ ່ເປັນຕ າລາຂອງ t ຈາກກ ົດຕ່ອງໂສ້ dA A dB A db A dh dt B dt b dt h dt          ຈາກທ ່ ກ ານ ົດໃຫ້   1 / ; B = 50 cm 2 / ; b = 30 cm 3 / ; b = 10 cm dB cm s dt db cm s dt dh cm s dt    
8.   1 1 1 2 2 2 dA dB db dh h h B b dt dt dt dt               1 1 1 10 1 10 2 50 30 3 2 2 2 5 10 120 125 / cm s           ດັ່ງນ ັ້ນເນື້ອທ່ ຂອງຮ ບຄາງໝ ເພ ້ມຂື້ນໃນອັດຕາ 125 / cm s
9. ຕົວຢ່າງ1.35 ເຮືອບ ນລ າໜ່ືງບ ນໄປລວງທິດຕາເວັນ ອອກດ້ວຍຄວາມໄວ 300 ໄມລ໌/ຊົ່ວໂມງແລະ ແລະບ ນສ ງດ້ວຍຄວາມໄວ 600 ຟຸດ/ນາທ ໃນເວລາ ເຄ່ືອງບ ນຢ ່ເໜືອພື້ນດ ນ12,000ຟຸດແລະຢ ່ທາງທິດ ຕາເວັນຕົກຂອງຜ ້ສັງເກດການ 5 ໄມລ໌. ຈ ົ່ງຊອກຫາອັດຕາການປ່ຽນແປງຂອງໄລຍະທາງລະ ຫວ່າງເຄ່ືອງບ ນແລະຜ ້ສັງເກດການໃນເວລານ ັ້ນ.
10. ວິທ ແກ້ x y s A o ໃຫ້ ເປັນຕ າແໜ່ງ o ຂອງຜ ້ສັງເກດການ A ເປັນຕ າແໜ່ງຂອງ ເຮືອບ ນ ເປັນຕ າລາຂອງ t , , x y s ແມ່ນໄລຍະຫ່າງແຕ່ເຮືອບ ນຫາຜ ້ສັງເກດການ s 2 2 s x y   ຈາກຫຼັກເກນປ ຕາກ
11. ຈາກກ ົດຕ່ອງໂສ້ ds s dx s dy dt x dt y dt       ຈາກທ ່ ກ ານ ົດໃຫ້ 600 / = 10Foot/s 300 / =-440Foot/s y=12,000 Foot ; x = 5Miles=26,400 Foot dy Foot mn dt dx Miles s dt   
12.         1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 ds dx dy x y x x y y dt dt dt       ແທນຄ່າໃສ່ກ ົດຕ່ອງໂສ້                       1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 26,400 12,000 2 26,400 440 26,400 12,000 2 12,000 10 2 2        396 / ds Foot s dt     ດັ່ງນ ັ້ນເຮືອບ ນມ ທິດທາງເຂົ້າຫາຜ ້ສັງເກດການ
13. 1.7 ຈຸນລະຄະນິດເຕັມສ່ວນແລະຄ່າໃກ້ຄຽງ ນິຍາມ ເມື່ອ ມ ການຄາດເຄື່ອນມາເປັນ   0 0 , x y   0 0 , x x y y     ຈະເຫັນໄດ້ວ່າສ່ວນປ່ຽນແປງ     0 0 0 0 , , f f x x y y f x y            0 0 0 0 , , x y f x y x f x y y         0 0 0 0 , , x y f x y dx f x y dy   (Total Differential and Approximation )
14. ສັນຍາລັກ ດ້ວຍ     0 0 0 0 , , x y f x y dx f x y dy  df ຫຼື ແລະເອ ້ນວ່າຈຸນລະຄະນິດເຕັມຂອງ ໂດຍ df f ປະມານໃນເມ່ືອ ມ ການຄາດເຄື່ອນມາເປັນ   0 0 , x y   0 0 , x x y y         0 0 0 0 , , x y dz df f x y dx f x y dy    ດັ່ງນ ັ້ນ ແລະ ນ້ອຍທ ່ ສຸດເຮົາຈະປະເມ ນ d x x   d y y   ແລະ ເຮົາສາມາດປະເມ ນສ່ວນປ່ຽນ z  z z d  
15. ຂອງ ດ້ວຍຈຸນລະຄະນິດຂອງ ເມື່ອ   f f    f df ມ ການຄາດເຄື່ື່ຶອນມາເປັນ   0 0 , x y   0 0 , x x y y     ນ ັ້ນຄື df f           0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , x y f x x y y f x y f x y x f x y y                  0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , x y f x x y y f x y x f x y y f x y       
16. ໂດຍທົ່ວໄປຖ້າ ເປັນຕ າລາຂອງສອງຕົວປ່ຽນ   , z f x y  ທ ່ ມ ຜົນຕ າລາພາກສ່ວນແລ້ວຈຸນລະຄະນິດເຕັມຂອງz ກ າ ກ ານ ົດດັ່ງນ ້ f f dz df dx dy x y        ສ າລັບຕ າລາສາມຕົວປ່ຽນ ປະຕິບັດເຊັນ   , , w f x y z  ດ່ຽວກ ັນ f f f dw df dx dy dz x y z          
17. ຕົວຢ່າງ1.36 ວິທ ແກ້ ກ ານ ົດໃຫ້ ຈ ົ່ງຊອກຫາ   , , yz f x y z xye    2,1,0 df ຈາກສ ດ       yz yz yz xye xye xye df dx dy dz x y z            2 yz yz df ye dx x xzy e dy xy dz         0 0 2 2,1,0 1. 2 2.0.1 2.1 df e dx e dy dz       2,1,0 2 2 df dx dy dz   
18. ຕົວຢ່າງ1.37 ວິທ ແກ້ ຈ ົ່ງຊອກຫາຄ່າໃກ້ຄຽງຂອງ ພິຈາລະນາ     2 2 5.98 8.01    2 2 , z f x y x y    0 0 5.98 ; x 6 ; x = -0.02 8.01 ; x 8 ; x = 0.01 x y         2 2 6,8 6 8 10 f   
19.     2 2 2 2 , , x y x f x y x y y f x y x y         2 2 2 2 6 6 6,8 10 6 8 8 8 6,8 10 6 8 x y f f       ແລະ ແລະ ຈາກນິຍາມ     0 0 0 0 , , f x x y y f x y f            5.98,8.01 6,8 f f f    ປະເມ ນຄ່າ ດ້ວຍ f      0 0 0 0 , , x y df f x y x f x y y     2 2 2 2 x y f df x y x y x y        
20.   5.98,8.01 10 0.004 9.996 f        6 8 0.02 0.01 10 10 0.004 df      ດັ່ງນ ັ້ນ     2 2 5.98 8.01 9.996  
21. ຕົວຢ່າງ1.38 ວິທ ແກ້ ກ ັບອັນນ່ືງເຮັດດວ້ຍເຫຼັກບ ່ມ ຝາາອັດ ພິຈາລະນາ ວັດແທກທາງດ້ານໃນກ່ອງມ ຂະໜາດ ຟຸດ 6 4 2   ຖ້າເຫຼັກໜາ 0.1ຟຸດ ໃຫ້ຊອກຫາບ ລິມາດຕົວຈ ງຂອງ ເຫຼັກທ ່ ໃຊ້ແລະໃຫ້ປຽບທຽບກ ັບບ ລິມາດໂດຍປະເມ ນຄ່າ ທ່ ຫາໄດ້ຈາກການໃຊ້ຈຸນລະຄະນິດເຕັມສ່ວນ. ໃຫ້ ເປັນບ ລິມາດຂອງກ ັບ V   , . V f x y z  ແລະ ເປັນລວງກ້ວາງ, ຍາວ ແລະ ສ ງ , & x y z     , , , , V f x x y y z z f x y z      
22.     6.2,4.2,2.1 6,4,2 V f f    ຈາກ , 6 , 4 , 2 V xyz x y z             6.2 4.2 2.1 6 4 2   ຟຸດ 3 6.684  f f f dV dx dy dz x y z          yzdx xzdy xydz                4 2 0.2 6 2 0.2 6 4 0.1    ຟຸດ 3 6.4 
23. ຕົວຢ່າງ1.39 ກ ັບສາກອັນນ່ືງລວງກ້ວາງແທກໄດ້ 5 ແມັດ ຍາວ 4 ສ ງ 3ແມັດ ເມື່ອວັດແທກຄວາມຜິດດ່ຽງ ບ ່ເກ ນ ຊັງຕ ແມັດ ຈ ົ່ງຊອກຫາເປ ເຊັນຄວາມຜິດດ່ຽງທ ່ 1 3 ຫຼາຍທ ່ ສຸດໃນການປະເມ ນຄ່າບ ລິມາດຂອງກ ັບສາກນ ້ ( ເປ ເຊັນຄວາມຜິດດ່ຽງໃນບ ລິມາດ ) 100 dV V   ວິທ ແກ້ ໃຫ້ ເປັນບ ລິມາດຂອງກ ັບ V V xyz  ຕ້ອງການຊອກຫາ 100 ? dV V   V V V dV dx dy dz x y z         
24. yzdx xzdy xydz    dV yzdx xzdy xydz V xyz dx dy dz x y z       ຈາກເງ່ືອນໄຂ 5 ; 4 ; 3 x m y m z m    4 1 25.10 4 dx dy dz cm m      4 25.10 dx dy dz    
25. ຈະໄດ້   4 1 1 1 25.10 5 4 3 dV V               4 4 12 15 20 25.10 60 47 235 25.10 60 120000              ດັ່ງນ ັ້ນເປ ເຊັນຄວາມຜິດດ່ຽງໃນບ ລິມາດ 100 dV V   235 235 100 0.195% 120000 1200    
26. ໃຫ້ ( , ) z f x y  ເປັນຕ າລາສອງຕົວປ່ຽນ f x   ແລະ f y   ທ ່ ສາມາດຊອກຫາຜົນຕ າລາພາກສ່ວນອັນດັບ1 ຕາມລ າດັບແລະຖ້າສາມາດຊອກຫາຜົນຕ າລາ ພາກສ່ວນໄດ້ອ ກ ເອ ້ນວ່າຜົນຕ າລາພາກສ່ວນຂັ້ນ2 ຊ່ືງລວມມ 4 ແບບດ້ວຍກ ັນ ນິຍາມ 4 1.8 ຜົນຕ າລາ ພາກສ່ວນອັນດັບສ ງ
27. 2 11 2 xx f f f f x x x                2 22 2 yy f f f f y y y                2 12 xy f f f f y x y x                 2 21 yx f f f f x y x y                
28. ຜົນຕ າລາພາກສ່ວນອັນດັບສ ງກ່ວານ ້ກ ານ ົດໄດ້ໃນ ທ ານອງດຽວກ ັນ ເຊັ່ນ: ສ່ວນ xy f ແລະ yx f ເອ ້ນວ່າຜົນຕ າລາພາກສ່ວນຂັ້ນ 2 3 2 3 2 xxx f f f x x x               3 2 zyx f f f x y z x y z                 
29. ຂ ້ສັງເກດ ສັນຍາລັກ ໃຊ້ຫາຜົນຕ າລາພາກສ່ວນລຽງລ າດັບຈາກຂວາ  ຫຼັກເກນ1 ກ ານ ົດ ເປັນຕ າລາສອງຕົວປ່ຽນຖ້າ f ມ ການຕ ່ເນ່ືອງເທ ງບ ລິເວນ f R ແລ້ວ ຢ ່ທຸກເມັດເທ ງບ ລິເວນ 2 2 f f x y y x        R ພາກສ່ວນລຽງລ າດັບຈາກຊ້າຍຫາຂວາ ໄປຫາຊ້າຍແຕ່ສັນຍາລັກຕົວຫ້ອຍ(subscript)ໃຊ້ຫາຜົນຕ າລາ
30. ຈ ົ່ງຊອກຫາ 2 2 f x   2 2 f y   ແລະ 3 2 2 ( , ) 4 3 f x y x y x y   ກ ານ ົດໃຫ້ ຈ ົ່ງສະແດງ 2 2 f f x y y x        ຕົວຢ່າງ1.40 ແລະ
31. ວິທ ແກ້ 3 2 2 ( , ) 4 3 f x y x y x y   2 2 f x     3 2 2 4 3 f x y x y x x x x                            3 2 2 4 3 x y x y x x x               ຈາກ
32.   2 3 2 2 2 4 3 f f x y x y y y y y y                              3 2 2 4 3 x y x y y y y               2 2 12 6 x y xy x         2 24 6 xy y  
33. 3 2 4 6 x x y y         2 6x    2 3 2 2 4 3 f f x y x y x y x y x y                           2 3 2 (4 ) (3 ) y y x x x y y              
34. 3 2 (4 ) (3 )(2 ) x x y x         3 2 (4 ) (6 ) x x y x x       2 12 12 x yx   ແລະ   2 3 2 2 4 3 f f x y x y y x y x y x                           3 2 2 (4 ) (3 ) x x y y y x x               #
35. 2 2 12 6 x y xy y         2 2 12 6 ( ) y x x y y x       2 12 12 x yx   # ດັ່ງນ ັ້ນ 2 2 f f x y y x       
36. ຕົວກ ານ ົດຍາໂກບຽງ Jacobian Determinant ນິຍາມ 5 ເຮົາເອ ້ນ ວ່າ Jacobian     , , u v u v F F F G G G u v    Determinant ຂອງ ແລະ   , F u v   , G u v ຈາກຂ້າງເທ ງເຮົາຈະໄດ້ ແລະ ໃຫ້ຢ ່ໃນ , , x y x u u v y v ຮ ບ Jacobian Determinant ໄດ້ດັ່ງນ ້:
37.         , , , , x v x v x u v u v F F F G G G x v u F G F F u v G G                 , , , , y v y v y u v u v F F F G G G y v u F G F F u v G G        
38.         , , , , x u x u x u v u v F F F G G G x u v F G F F u v G G               , , , , y u y u y u v u v F F F G G G y u v F G F F u v G G      
39. ຕົວຢ່າງ1.41 ກ ານ ົດການພົວພັນລະຫວ່າງ ແລະ ດັ່ງນ ້: , , x y u v 2 2 2 2 0 u uv v x y xy       ແລະ 2 2 0 uv x y    ໂດຍທ ່ ແລະ ຈ ົ່ງຊອກຫາ   , u U x y    , v V x y  ແລະ , , x y x u u v y v ວິທ ແກ້ ກ ານ ົດໃຫ້ 2 2 2 2 0 F u uv v x y xy       
40. 2 2 0 G uv x y     ແລະ 2 ; 2 2 ; 2 2 ; 2 ; x x y y u u v v F x y G x F y x G y F u v G v F u v G u              
41. 2 2 2 2 2 x v x v x u v u v F F x y u v G G x u u F F u v u v G G v u              2 2 4 2 x yu vx u u v       2 2 2 2 2 2 y v y v y u v u v F F y x v u G G y u u F F u v G G             2 2 4 2 y xu y u v u u v     
42.   2 2 2 2 2 2 x u x u x u v u v F F x y u v G G x v v F F u v G G         2 2 4 v 2 x xu yv u v       2 2 2 2 2 2 y u y u y u v u v F F y x u v G G y v v F F u v G G        2 2 4 v 2 y xu yv u v    