WS12/13 -- Basisinformationstechnologie I | 04: Grundlagen III-II

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1. Universität zu Köln. Historisch-Kulturwissenschaftliche Informationsverarbeitung Jan G. Wieners // jan.wieners@uni-koeln.de Basisinformationstechnologie I Wintersemester 2012/13 07. November 2012 – Grundlagen III-II
3.  Zahlensysteme  Dezimalsystem  (Oktalsystem)  Hexadezimalsystem  Binärsystem  Darstellung ganzer Zahlen: Vorzeichendarstellung  Zweierkomplementdarstellung  Rechnen im Binärsystem  (Fest- und Gleitpunktdarstellung)  (IEEE 754: Single- / Double Precision) Themenüberblick „Grundlagen III“
4. Zahlensysteme
5. 1 0 0 „Die Binärzahl 100 stellt die Dezimalzahl 4 dar.“ „Die Dezimalzahl 100 stellt die Dezimalzahl 100 dar.“ „Die Hexadezimalzahl 100 stellt die Dezimalzahl 256 dar.“ … Zahlensysteme
6. Dezimalsystem 10 Symbole: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Binärsystem 2 Symbole: 0, 1 Hexadezimalsystem 16 („Hexa“) Symbole: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F […] Zahlensysteme
7. Zahlensysteme: Umwandlung
8. Zur Umwandlung: Multiplikation der entsprechenden Ziffern mit den Zweierpotenzen: 10111 = 1*24 + 0*2³ + 1*2² + 1*21 + 1*20 = 1*16 + 1*4 + 1*2 + 1*1 = 23 Umwandlung Binärsystem Dezimalsystem
9.  Eine Dezimalzahl lässt sich über die Division durch 2 und Aufschreiben der Reste in eine Binärzahl umwandeln.  Beispiel: Die Zahl 7610 soll ins Binärsystem umgewandelt werden  76 / 2 = 38; Rest 0  38 / 2 = 19; Rest 0  19 / 2 = 9; Rest 1  9 / 2 = 4; Rest 1  4 / 2 = 2; Rest 0  2 / 2 = 1; Rest 0  1 / 2 = 0; Rest 1 Umwandlung DezimalBinärsystem 1 0 0 1 1 0 0
10. Zahlendarstellung
11. Wie ℤ darstellen?  Möglichkeit I: MSB (Most Significant Bit, d.h.: erstes Bit) zur Kennzeichnung verwenden  MSB == 0, dann positive Zahl  MSB == 1, dann negative Zahl  …Probleme? Binärdarstellung ganzer Zahlen 0000 = +0 1000 = -0 0001 = +1 1001 = -1 0010 = +2 1010 = -2 0011 = +3 1011 = -3 0100 = +4 1100 = -4 0101 = +5 1101 = -5 0110 = +6 1110 = -6 0111 = +7 1111 = -7
12. Probleme!  0 zweimal codiert  Rechnen verkompliziert Binärdarstellung ganzer Zahlen 0000 = +0 1000 = -0 0001 = +1 1001 = -1 0010 = +2 1010 = -2 0011 = +3 1011 = -3 0100 = +4 1100 = -4 0101 = +5 1101 = -5 0110 = +6 1110 = -6 0111 = +7 1111 = -7
13. Zweierkomplementdarstellung -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1000 = -8 1100 = -4 0000 = 0 0100 = 4 1001 = -7 1101 = -3 0001 = 1 0101 = 5 1010 = -6 1110 = -2 0010 = 2 0110 = 6 1011 = -5 1111 = -1 0011 = 3 0111 = 7 Darstellbarer Zahlenbereich: -2N-1 bis 2N-1-1 8 7 6 5 4 3 2 1 0
14. Umwandlung 610 in -610 :  Schritt 0: Binärdarstellung bilden: 0110  Schritt I: Einerkomplement bilden, d.h. Negation aller Bits  1001  Schritt II: Addition von 1  Additionsregeln! Zweierkomplement: Umrechnung
15. Additionsregeln  0 + 0 = 0  0 + 1 = 1  1 + 0 = 1  1 + 1 = 0 mit 1 Übertrag  1 0  1 + 1 + Übertrag = 1 + Übertrag  1 + 1 + Übertrag + Übertrag = 1+1+1+1 (4x1) Rechnen im Binärsystem: Addition
16. Umwandlung 610 in -610 :  Schritt 0: Binärdarstellung bilden: 0110  Schritt I: Einerkomplement bilden, d.h. Negation aller Bits  1001  Schritt II: Addition von 1  1001 + 1 = 1010  1010 ist die Entsprechung von -610 im Binärsystem (unter Verwendung der Zweierkomplementdarstellung) Zweierkomplement: Umrechnung 1000 = -8 1100 = -4 0000 = 0 0100 = 4 1001 = -7 1101 = -3 0001 = 1 0101 = 5 1010 = -6 1110 = -2 0010 = 2 0110 = 6 1011 = -5 1111 = -1 0011 = 3 0111 = 7
17.  Wenn MSB == 1: Auffüllen mit 0 auf nächst größeres Nibble (wg. Wertebereich)  Welche Binärzahl (Stichw. Zweierkomplement) entspricht der Dezimalzahl -15?  Welche Binärzahl entspricht der Dezimalzahl -45?  Welche Binärzahl entspricht der Dezimalzahl -17? Übungsaufgaben Zweierkomplement
18. 15 10 = 1111 2  Auf nächsthöheres Nibble auffüllen: 1111 = 0000 1111  Einerkomplement bilden: 1111 0000  Zweierkomplement bilden, d.h. 1 addieren: 1111 0000 + 1 --------------- 1111 0001  -15 10 = 1111 0001 2 Übungsaufgaben Zweierkomplement
19.  -115 10 = ? 2  -19 10 = ? 2  -79 10 = ? 2  -13 10 = ? 2  -9 10 = ? 2 Übungsaufgaben Zweierkomplement
20. Rechnen im Binärsystem
21. Subtraktion = Addition der zu subtrahierenden Zahl: 13 - 15 = 13 + (-15) = -2 Im Binärsystem: 510 - 710 = 510 +(- 710 ) 0101  510 + 1001  Zweierkomplementdarst. von 710 ------ 1110  Führendes Bit == 1: Negative Zahl Da negative Zahl: Wieder umwandeln, um Betrag zu bestimmen: Einerkomplement von 1110 = 0001 Zweierkomplement von 1110 = 0010 = (-)210 Subtraktion: Addition von Zweierkomplementzahlen
22. Berechnen Sie:  13-5 13/2=6, Rest 1 5/2=2, Rest 1 6/2 =3, Rest 0 2/2=1, Rest 0 3/2 =1, Rest 1 1/2=0, Rest 1 1/2 =0, Rest 1 13 = 0000 1101 5 = 101 = 0000 0101 Einerkomplement: 1111 1010 Zweierkomplement:1111 1011 0000 1101 +1111 1011 ---------------- 10000 1000 Zahl ist positiv (MSB==0)  Die führende 1, die aus der Addition ad infinitum resultiert, überschreitet den Wertebereich und wird gestrichen 13-5=1000=8 Übungsaufgaben
23. Berechnen Sie im Binärsystem unter Verwendung des Zweierkomplements:  -7 + 11  12 - 11  3 - 12  127 - 50 Übungsaufgaben (Aufgabe 5)
24. Berechnen Sie:  -7+11  =11+(-7) 11/2=5, Rest 1 7/2=3, Rest 1 5/2 =2, Rest 1 3/2=1, Rest 1 2/2 =1, Rest 0 1/2=0, Rest 1 1/2 =0, Rest 1 11=0000 1011 7=111=0000 0111 Einerkomplement: 1111 1000 Zweierkomplement: 1111 1001 0000 1011 +1111 1001 ---------------- 10000 0100 0100  Zahl ist positiv (MSB==0), also Ergebnis = 0100 = 4 Übungsaufgaben
25. Berechnen Sie:  12-11 12/2=6, Rest 0 6/2 =3, Rest 0 3/2 =1, Rest 1 1/2 =0, Rest 1 12=1100 11=0000 1011 Einerkomplement: 1111 0100 Zweierkomplement: 1111 0101 0000 1100 +1111 0101 ----------------- 10000 0001  Zahl ist positiv (MSB==0), also Ergebnis = 0001 = 1 Übungsaufgaben
26. Berechnen Sie:  3-12  =3+(-12) 3/2=1, Rest 1 12/2=6, Rest 0 1/2 =0, Rest 1 6/2=3, Rest 0 3/2=1, Rest 1 1/2=0, Rest 1 3=0011 12=0000 1100 Einerkomplement: 1111 00 11 Zweierkomplement: 1111 0100 0000 0011 +1111 0100 --------------- 1111 0111 Einerkomplement: 0000 1000; Zweierkomplement: 1001 3-12=1001=-9 Übungsaufgaben
27. Berechnen Sie:  127-50  =127+(-50) 127=0111 1111 50=0011 0010 Einerkomplement: 1100 1101 Zweierkomplement: 1100 1110 0111 1111 +1100 1110 ---------------- 10100 1101  Zahl ist positiv (MSB==0), also Ergebnis = 0100 1101 = 77 Übungsaufgaben
28. Multiplikation im Binärsystem
29. Bei jeder 1 auf der rechten Seite (von links nach rechts): Vollständige Zahl der linken Seite notieren. Bei jeder 0: Nullen notieren. Beispiel: (47)10 * (17)10 = (101111)2 * (10001)2 101111* 10001 101111 00000 00000 00000 101111 --------------------- 1100011111 Rechnen im Binärsystem: Multiplikation
30. Berechnen Sie im Binärsystem:  17 * 3  23 * 15  4 * 7 Übungsaufgaben Multiplikation
31. 17*3 = ?  10001*11 10001 10001 --------- 110011 = 51 Übungsaufgaben Multiplikation
32. 23*15 = ?  10111*1111 10111 10111 10111 10111 --------------- 101011001 = 345 Übungsaufgaben Multiplikation
33. 4*7 = ?  100*111 100 100 100 --------- 11100=28 Übungsaufgaben Multiplikation
34. … Berechnen Sie im Binärsystem:  7 * 3 + 15  3 * 5 - 7  2 * 9 - 23
35. Zahlensysteme  Hexadezimal-  Dezimal-  Binärsystem Umwandlung vom  Dezimal- ins Binärsystem  Binärsystem ins Dezimalsystem  Dezimal- ins Hexadezimalsystem  Hexadezimal- ins Dezimalsystem Vorzeichenlose Zahlen Binärsystem: Darstellung ganzer Zahlen, d.h. negativer Zahlen  Zweierkomplementdarstellung Rechnen im Binärsystem  Addition  Subtraktion (Addition der negativen Zahl)  Multiplikation  Division Wer sich dafür interessiert: Reelle Zahlen  IEEE 754 Geschafft…
36. Kurzer Überblick: Rechner-/Computerentwicklung  Moore  Leibniz  Babbage  Turing  Weizenbaum  von Neumann   Universalrechner: von Neumann Rechnerarchitektur Rechnerhardware:  Mainboard  CPU und Cache-Speicher  Systembus  BIOS und Bootvorgang  Arbeitsspeicher  North- und Southbridge  PCI-Bus  AGP / PCI-Express, IDE (ATA / ATAPI), S-ATA (Serial ATA), USB Nächste Woche: „Rechnertechnologie I“
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38. Aufgabe 1 Welcher Zahlenbereich der natürlichen Zahlen lässt sich mit einer Bitfolge der Länge N=13 (unsigned, vorzeichenlos) darstellen? Nennen Sie bitte auch die kleinste und die größte darstellbare Zahl. Aufgabe 2 Wandeln Sie die Dezimalzahl 375 in eine Binärzahl um. Prüfen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie die Binärzahl anschließend wieder zurück konvertieren. Hausaufgaben
39. Aufgabe 3 Berechnen Sie im Binärsystem (ggf. unter Verwendung des Zweierkomplementes): 17 + 73 26 + 3 42 - 47 127 - 50 54 * 23 5 * 2 + 7 3 * 9 + 11 Aufgabe 4 Beschreiben Sie zwei Möglichkeiten zur Darstellung ganzer Zahlen und stellen sie (-23)10 mit beiden Möglichkeiten als Binärzahl dar. Welche Vorteile oder Nachteile haben die Möglichkeiten jeweils? Hausaufgaben