O Evolucionismo Resolvendo Problemas de Otimização

Como a teoria da evolução das espécies pode ser aplicada à resolução de problemas de otimização?

Apresentação realizada durante a XVI Semana Nacional de Ciência e Tecnologia - III Semana do Cérebro do Museu da UFPA.

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1. O Evolucionismo Resolvendo Problemas de Otimização III Semana do Cérebro Filipe Saraiva Filipe Saraiva | UFPA | 1 / 66
2. Conteúdo WHOAMI Problemas de Otimização Problema do Caixeiro Viajante Problema da Mochila Evolucionismo Algoritmos Genéticos Etapas dos Algoritmos Genéticos Pseudocódigo Vídeo Conclusões Filipe Saraiva | UFPA | 2 / 66
3. Conteúdo WHOAMI Problemas de Otimização Problema do Caixeiro Viajante Problema da Mochila Evolucionismo Algoritmos Genéticos Etapas dos Algoritmos Genéticos Pseudocódigo Vídeo Conclusões Filipe Saraiva | UFPA | 3 / 66
4. WHOAMI Filipe Saraiva • Dr. & Me. Engenharia Elétrica (USP), Bel. Ciência da Computação (UFPI) • FACOMP & PPGCC - ICEN/UFPA • Membro do LAAI • Pesquisador de Inteligência Computacional Aplicada • Disciplinas de Fundamentos da Computação e Matemática Computacional • Desenvolvedor de Software Livre Filipe Saraiva | UFPA | 4 / 66
5. Conteúdo WHOAMI Problemas de Otimização Problema do Caixeiro Viajante Problema da Mochila Evolucionismo Algoritmos Genéticos Etapas dos Algoritmos Genéticos Pseudocódigo Vídeo Conclusões Filipe Saraiva | UFPA | 5 / 66
6. Problemas de Otimização Problemas de Otimização são problemas matemáticos onde há um conjunto de variáveis que devem ter seus valores ajustados de forma que, submetidas a um conjunto de restrições, consigam atingir o maior (ou o menor) valor possível de uma dada função. Filipe Saraiva | UFPA | 6 / 66
7. Problema da Manufatura Uma manufatura produz mesas e bancos, sendo capaz de vender toda a sua produção no período. O único recurso restrito é a mão de obra, cuja produtividade, juntamente com os lucros, são: • Mesa: R$ 20 de lucro, necessita-se de 3 homens/hora na montagem e 4 homens/hora no acabamento; • Banco: R$ 24 de lucro, necessita-se de 6 homens/hora na montagem e 2 homens/hora no acabamento; No total, a manufatura dispõe de 60 homens/hora para trabalhar com montagem e 32 homens/hora para trabalhar com acabamento. Filipe Saraiva | UFPA | 7 / 66
8. Problema da Manufatura Max Z = 20x1 + 24x2 Suj. a:        3x1 + 6x2 ≤ 60 4x1 + 2x2 ≤ 32 xi ≥ 0, ∀i = 1, 2 Filipe Saraiva | UFPA | 8 / 66
9. Problemas de Otimização Encontrar os valores das Variáveis de Decisão de forma que elas cumpram o Conjunto de Restrições e consigam otimizar a Função Objetivo ao melhor valor possível. Filipe Saraiva | UFPA | 9 / 66
10. Exemplos Problemas de Otimização são encontrados nos mais diversos setores econômicos: • Construção; • Transportes; • Nutrição; • Logística; • Programação da produção; • ... Filipe Saraiva | UFPA | 10 / 66
11. Otimização Combinatória Ao contrário de outros tipos de problemas de otimização, na otimização combinatória não há funções matemáticas relacionadas com os valores que as variáveis de decisão podem assumir. Na otimização linear o que temos é a combinação dos próprios elementos entre si. Filipe Saraiva | UFPA | 11 / 66
12. Otimização Combinatória Otimização Linear: “quais quantidades de itens cabem na mochila de forma a maximizar seu valor?” vs Otimização Combinatória: “quais itens cabem na mochila de forma a maximizar seu valor?” Filipe Saraiva | UFPA | 12 / 66
13. Conteúdo WHOAMI Problemas de Otimização Problema do Caixeiro Viajante Problema da Mochila Evolucionismo Algoritmos Genéticos Etapas dos Algoritmos Genéticos Pseudocódigo Vídeo Conclusões Filipe Saraiva | UFPA | 13 / 66
14. Problema do Caixeiro Viajante Um dos Problemas de Otimização Combinatória mais conhecidos e desenvolvidos na literatura é o Problema do Caixeiro Viajante. Filipe Saraiva | UFPA | 14 / 66
15. Problema do Caixeiro Viajante Enunciado A descrição do problema é a seguinte: “Dado um conjunto de cidades e um conjunto de estradas que ligam essas cidades, sair de alguma delas e visitar todas as demais, apenas uma vez, e voltar à cidade inicial, no menor caminho possível”. Filipe Saraiva | UFPA | 15 / 66
16. Problema do Caixeiro Viajante Instância do Problema do Caixeiro Viajante Filipe Saraiva | UFPA | 16 / 66
17. Problema do Caixeiro Viajante Matematicamente, é possível modelar as cidades e as estradas como um grafo, fazendo com que o problema passe a ser encontrar o ciclo hamiltoniano mínimo. Não há um algoritmo polinomial conhecido para resolver esse problema. Portanto, para obtermos a solução ótima, é necessário listar todas as soluções possíveis. O número de soluções possíveis é (n − 1)!/2, onde n é o número de cidades. Filipe Saraiva | UFPA | 17 / 66
18. Problema do Caixeiro Viajante Se seu computador conseguir computar 1 milhão de ciclos hamiltonianos por segundo: Tamanho de n Função Custo 9 10 11 12 13 14 15 20 (n − 1)!/2 Instantâneo 0,33s 4s 40s 9min 2h 1 dia 1mi anos Filipe Saraiva | UFPA | 18 / 66
19. Problema do Caixeiro Viajante Aplicações Algumas aplicações possíveis do Problema do Caixeiro Viajante: • Problemas de logística; • Entrega de suprimentos; • Planejamento de rotas; • Planejamento e construção de estradas; • ... Filipe Saraiva | UFPA | 19 / 66
20. Conteúdo WHOAMI Problemas de Otimização Problema do Caixeiro Viajante Problema da Mochila Evolucionismo Algoritmos Genéticos Etapas dos Algoritmos Genéticos Pseudocódigo Vídeo Conclusões Filipe Saraiva | UFPA | 20 / 66
21. Problema da Mochila O Problema da Mochila é um problema de fácil compreensão e de ampla aplicação em problemas do mundo real. Filipe Saraiva | UFPA | 21 / 66
22. Problema da Mochila Enunciado Dado um conjunto de itens com seus respectivos pesos e valores, e uma mochila com capacidade máxima, quais itens devem ser carregados na mochila de forma a termos o maior valor possível? Filipe Saraiva | UFPA | 22 / 66
23. Problema da Mochila Instância do Problema da Mochila Filipe Saraiva | UFPA | 23 / 66
24. Problema da Mochila O Problema da Mochila pode ser encontrado em diversos subtipos. O enunciado apresentado diz respeito ao Problema da Mochila 0-1 onde os itens podem apenas estar ou não estar na solução. No Problema da Mochila Fracionada os itens podem ser alocados como frações de um todo, o que torna o problema linear. Em outros tipos, é possível ter mais de um item do mesmo tipo na mochila. Filipe Saraiva | UFPA | 24 / 66
25. Problema da Mochila Para o Problema da Mochila, o número de combinações possíveis é dado pela seguinte função matemática: 2n Filipe Saraiva | UFPA | 25 / 66
26. Problema da Mochila Modelo Matemático Dado o conjunto de itens i e seus respectivos pesos ci e valores vi , e uma variável binária xi para representar se um dado item está (1) ou não (0) na mochila, e a capacidade máxima da mochila dada por p, a modelagem matemática do problema é dada por: Max Z = vi xi Suj. a: ci xi ≤ p Filipe Saraiva | UFPA | 26 / 66
27. Problema da Mochila Aplicações Algumas aplicações possíveis do Problema da Mochila: • Investimento de capital; • Carregamento de veículos; • Orçamento; • Resolução de alguns algoritmos de criptografia; • ... Filipe Saraiva | UFPA | 27 / 66
28. Prêmio do Millenium Clay Mathematical Institutte - Millenium Prize (U$ 1mi) Filipe Saraiva | UFPA | 28 / 66
29. Conteúdo WHOAMI Problemas de Otimização Problema do Caixeiro Viajante Problema da Mochila Evolucionismo Algoritmos Genéticos Etapas dos Algoritmos Genéticos Pseudocódigo Vídeo Conclusões Filipe Saraiva | UFPA | 29 / 66
30. Evolucionismo Filipe Saraiva | UFPA | 30 / 66
31. Evolucionismo - Darwin Filipe Saraiva | UFPA | 31 / 66
32. Evolucionismo - Mendel Filipe Saraiva | UFPA | 32 / 66
33. Conteúdo WHOAMI Problemas de Otimização Problema do Caixeiro Viajante Problema da Mochila Evolucionismo Algoritmos Genéticos Etapas dos Algoritmos Genéticos Pseudocódigo Vídeo Conclusões Filipe Saraiva | UFPA | 33 / 66
34. Algoritmos Genéticos Algoritmos Genéticos foi desenvolvido por Jonh Holland no início dos anos 70, como um método de resolução de problemas de otimização baseado na dinâmica evolutiva das espécies. Filipe Saraiva | UFPA | 34 / 66
35. Algoritmos Genéticos Com inspiração no conhecimento sobre genética e evolução observados já naquela época (em especial, Darwin e Mendel), os GAs trabalham sobre um conjunto de soluções que terão partes combinadas ou modificadas, realizando a busca no espaço de soluções. Espera-se que essa busca conduza o GA a boas soluções a medida que as iterações vão acontecendo. Filipe Saraiva | UFPA | 35 / 66
36. Algoritmos Genéticos Por ser baseado nos processos da evolução natural, o GA utiliza sobremaneira o linguajar da biologia evolutiva para nomear funções computacionais realizadas pelo método. A saber: • Indivíduo: uma solução (ou representação de uma solução) do problema trabalhado; • População: conjunto de indivíduos (soluções) do problema; • Geração: iteração de formação de novas populações do problema; Filipe Saraiva | UFPA | 36 / 66
37. Algoritmos Genéticos Por ser baseado nos processos da evolução natural, o GA utiliza sobremaneira o linguajar da biologia evolutiva para nomear funções computacionais realizadas pelo método. A saber: • Seleção: processo onde 2 ou mais indivíduos são selecionados para gerar novos indivíduos combinados destes; • Cruzamento (Crossover): forma pela qual 2 ou mais indivíduos são combinados entre si, gerando novos indivíduos; • Mutação: alteração aleatória onde algum componente do indivíduo tem seu valor modificado. Filipe Saraiva | UFPA | 37 / 66
38. Algoritmos Genéticos Podemos elencar as seguintes características para os GAs: • Algoritmo populacional; • Utiliza “operadores genéticos” (seleção, cruzamento e mutação) para realizar a busca; • A cada iteração (geração) uma nova população é formada da geração anterior. Filipe Saraiva | UFPA | 38 / 66
39. Conteúdo WHOAMI Problemas de Otimização Problema do Caixeiro Viajante Problema da Mochila Evolucionismo Algoritmos Genéticos Etapas dos Algoritmos Genéticos Pseudocódigo Vídeo Conclusões Filipe Saraiva | UFPA | 39 / 66
40. Etapas do Algoritmo Genético As principais etapas do GA são as seguintes: • Codificação dos indivíduos; • Geração da população inicial; • Seleção; • Cruzamento; • Mutação; • Geração da Nova População; • Critério de parada. Filipe Saraiva | UFPA | 40 / 66
41. Codificação dos Indivíduos A maneira como um indivíduo é codificado no GA é de grande importância para o método pois a partir dele a busca é realizada e operadores de cruzamento ou mutação podem ser implementados de formas diferentes. Filipe Saraiva | UFPA | 41 / 66
42. Codificação dos Indivíduos Por exemplo, para o Problema do Caixeiro Viajante poderíamos utilizar uma codificação inteira, onde cada valor representa o vértice do grafo que será visitado, na sequência. 4 5 3 1 2 No exemplo, os vértices visitados serão na ordem 4, 5, 3, 1 e 2. Filipe Saraiva | UFPA | 42 / 66
43. Codificação dos Indivíduos Já para um problema binário, como o Problema da Mochila 0-1, uma codificação binária é suficiente para representar uma solução. 0 1 0 0 1 No exemplo, a solução contém apenas os itens 2 e 5 na mochila. Filipe Saraiva | UFPA | 43 / 66
44. Geração da População Inicial O GA trabalha simultaneamente com um conjunto de soluções que chamamos população. No geral, no início do método essa população é gerada de forma aleatória. É possível também utilizar conhecimento da instância do problema ou heurísticas para gerar essa população. O tamanho da população é uma característica que o projetista do GA deve definir a priori. Se for muito grande, potencialmente haverá maior diversidade mas também haverá maior custo computacional. Uma população pequena terá menos diversidade, mas tornará o método mais rápido. Filipe Saraiva | UFPA | 44 / 66
45. Seleção Cada indivíduo do GA tem um valor correspondente na função objetivo do método. Assim, é possível listá-los dos melhores para os piores em relação ao desempenho na função objetivo. O operador de seleção realiza a seleção de um ou mais indivíduos para terem seus genes misturados e assim criarem novos indivíduos. Filipe Saraiva | UFPA | 45 / 66
46. Seleção Na seleção, indivíduos com melhor desempenho tem mais chances de serem selecionados. A ideia é que melhores indivíduos (“mais aptos”) tem mais chances de passarem seus genes para as próximas gerações. Há diversos operadores de seleção, dentre eles os mais conhecidos são a roleta e o torneio. Filipe Saraiva | UFPA | 46 / 66
47. Seleção – Roleta Na roleta, indivíduos com melhor função objetivo tem proporcionalmente mais chances de serem selecionados. Nesse método, soma-se os valores das funções objetivo de toda a população e sorteia-se um número aleatório até esse valor somado. Cada indivíduo ocupa um espaço na roleta proporcional à sua função objetivo. O indivíduo que estiver ocupando a fatia do valor sorteado terá sido o selecionado nessa etapa. Filipe Saraiva | UFPA | 47 / 66
48. Seleção – Torneio No método torneio, são realizadas 2 etapas de seleções. Na primeira, todos os indivíduos tem a mesma chance de serem selecionados, portanto seleciona-se um subconjunto do conjunto total de indivíduos. Em seguida, do subconjunto seleciona-se apenas os melhores, de forma gulosa. Filipe Saraiva | UFPA | 48 / 66
49. Seleção O número de indivíduos que serão selecionados depende da maneira como os operadores genéticos são implementados. No geral, é comum que apenas 2 indivíduos sejam selecionados. Filipe Saraiva | UFPA | 49 / 66
50. Cruzamento O operador de cruzamento combina partes dos genes dos indivíduos previamente selecionados para criar novos indivíduos para a geração seguinte. Há vários tipos de operadores de cruzamento, que dependem também da codificação utilizada. Veremos alguns utilizados na codificação binária. Filipe Saraiva | UFPA | 50 / 66
51. Cruzamento Fazendo os indivíduos selecionados serem: P1: 0 1 0 0 1 P2: 1 0 1 1 1 Cruzamento de 1 ponto No cruzamento de 1 ponto temos um corte nos indivíduos selecionados gerando combinações entre os genes da esquerda do primeiro indivíduo com os da direita do segundo, e vice-versa. Para o exemplo: P1: 0 1 | 0 0 1 F1: 0 1 1 1 1 P2: 1 0 | 1 1 1 F2: 1 0 0 0 1 Filipe Saraiva | UFPA | 51 / 66
52. Cruzamento Cruzamento de subcromossomo No cruzamento de subcromossomo tem-se dois cortes nos indivíduos e o subcromossomo (subconjunto de genes) entre esses dois cortes é trocado entre os dois indivíduos pais. Para o exemplo: P1: 0 | 1 0 0 | 1 F1: 0 0 1 1 1 P2: 1 | 0 1 1 | 1 F2: 1 1 0 0 1 Filipe Saraiva | UFPA | 52 / 66
53. Cruzamento Cruzamento Máscara No cruzamento de máscara, cria-se aleatoriamente uma lista de 0 e 1 do tamanho do indivíduo e gera-se novos indivíduos pegando o valor do gene do indivíduo 1 se o valor gerado na máscara foi 0, do indivíduo 2 se o valor gerado foi 1, e o contrário para o segundo indivíduo. Para o exemplo: Máscara: 0 0 1 0 1 P1: 0 1 0 0 1 F1: 0 1 1 0 1 P2: 1 0 1 1 1 F2: 1 0 0 1 1 Filipe Saraiva | UFPA | 53 / 66
54. Mutação O operador de Mutação injeta diversidade na busca realizada pelo Algoritmo Genético. Utilizando uma porcentagem baixa, o operador altera os genes dos cromossomos para algum valor possível. No geral a mutação age sobre indivíduos gerados após o cruzamento. Utilizando uma taxa baixa (um valor comum é de 2% a 5%), o algoritmo percorre o cromossomo gene-a-gene e, caso um valor gerado aleatoriamente fique abaixo da taxa de mutação, o gene em análise é modificado. Filipe Saraiva | UFPA | 54 / 66
55. Mutação Por exemplo, dado o cromossomo abaixo que foi sorteado para mutação, alteram-se os genes 1 e 3 para novos valores possíveis das variáveis de decisão. F1: 0 1 1 0 1 F1: 1 0 0 1 1 Filipe Saraiva | UFPA | 55 / 66
56. Geração da Nova População Após a aplicação dos operadores genéticos, novos indivíduos vão sendo formados. Nessa etapa o GA deve formar uma nova população, o que marca a passagem de Geração no método. Em geral é gerado um número de indivíduos igual ao tamanho da população, que substitui a anterior e dá prosseguimento à execução do método. Filipe Saraiva | UFPA | 56 / 66
57. Geração da Nova População É possível fazer algumas concessões na geração da nova população para direcionar a busca realizada pelo método. A mais comum é a chamada Elitismo, que é a presença automática do melhor indivíduo da geração anterior na geração posterior. Isso garante que a melhor solução encontrada sempre estará presente no GA. Filipe Saraiva | UFPA | 57 / 66
58. Critério de Parada O critério de parada mais utilizado para o GA é quando o número de gerações atinge um valor máximo estabelecido. Outro critério de parada muito utilizado é quando o GA executa um certo número de gerações sem melhoria na melhor solução encontrada. Filipe Saraiva | UFPA | 58 / 66
59. Conteúdo WHOAMI Problemas de Otimização Problema do Caixeiro Viajante Problema da Mochila Evolucionismo Algoritmos Genéticos Etapas dos Algoritmos Genéticos Pseudocódigo Vídeo Conclusões Filipe Saraiva | UFPA | 59 / 66
60. Pseudocódigo Os principais parâmetros do Algoritmo Genético que precisam ser decididos durante o projeto do algoritmo são: • O tamanho da população; • O número de Gerações; • O operador de Seleção; • O valor da taxa de Cruzamento e qual será o Cruzamento; • O valor da taxa de Mutação e como será implementada; • Se o GA terá Elitismo ou não; • Critério de parada. A seguir temos o pseudocódigo para o Algoritmo Genético. Filipe Saraiva | UFPA | 60 / 66
61. Pseudocódigo Gera População Inicial repita repita Executa Seleção Executa Cruzamento se Número aleatório for menor que Taxa de Mutação então Executa Mutação fim se até Gerar nova População Atualiza número de Gerações até Atingir critério de parada Filipe Saraiva | UFPA | 61 / 66
62. Conteúdo WHOAMI Problemas de Otimização Problema do Caixeiro Viajante Problema da Mochila Evolucionismo Algoritmos Genéticos Etapas dos Algoritmos Genéticos Pseudocódigo Vídeo Conclusões Filipe Saraiva | UFPA | 62 / 66
63. Vídeo https://www.youtube.com/watch?v=94p5NUogClM Filipe Saraiva | UFPA | 63 / 66
64. Conteúdo WHOAMI Problemas de Otimização Problema do Caixeiro Viajante Problema da Mochila Evolucionismo Algoritmos Genéticos Etapas dos Algoritmos Genéticos Pseudocódigo Vídeo Conclusões Filipe Saraiva | UFPA | 64 / 66
65. Conclusões • Há problemas de otimização muito complexos que não conseguimos resolver de maneira exata; • Para esses problemas, técnicas de inteligência computacional como os Algoritmos Genéticos são empregados para encontrar boas soluções, aceitáveis, ao problema; • Baseados na dinâmica evolutiva das espécies, os Algoritmos Genéticos são importantes ferramentas para problemas de otimização mas também para aprendizado. Filipe Saraiva | UFPA | 65 / 66
66. O Evolucionismo Resolvendo Problemas de Otimização III Semana do Cérebro Filipe Saraiva Filipe Saraiva | UFPA | 66 / 66