平成26年度卒業研究中間発表会第一回目

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1. 卒業研究の目標と計画 環論:導入 環論:準同型写像 卒業研究中間報告会第一回目 テーマ:代数学の工学への応用 梶浦　大起 旭川工業高等専門学校制御情報工学科 July 18, 2014 1 / 16 卒業研究中間報告会第一回目, テーマ:代数学の工学への応用
2. 卒業研究の目標と計画 環論:導入 環論:準同型写像 卒業研究の目標と計画 卒業研究の目標 現在広く用いられている E-mail などの通信では，外乱によって文章 が正しく送られなくなることがある．正しく送られているかどうかを 判断するための技術について，純粋数学の観点から俯瞰する． 2 / 16 卒業研究中間報告会第一回目, テーマ:代数学の工学への応用
3. 卒業研究の目標と計画 環論:導入 環論:準同型写像 卒業研究の目標と計画 卒業研究の目標 現在広く用いられている E-mail などの通信では，外乱によって文章 が正しく送られなくなることがある．正しく送られているかどうかを 判断するための技術について，純粋数学の観点から俯瞰する． 卒業研究の計画 当面は，俯瞰するための道具を揃えることにする．そのための基本的 な知識として基本的な代数構造である環について勉強していく． 2 / 16 卒業研究中間報告会第一回目, テーマ:代数学の工学への応用
4. 卒業研究の目標と計画 環論:導入 環論:準同型写像 環とは 環とは 次の公理 (規則) を満たす和 + と積 ∗ が定義される集合 R． つまり，たし算，ひき算，かけ算が入っている様な集合 R である． 環の公理 和 + 積 ∗ 計算出来る a + b ∈ R a ∗ b ∈ R 結合法則 (a + b) + c = a + (b + c ) (a ∗ b ) ∗ c = a ∗ (b ∗ c ) 単位元がある 0R + a = a + 0R = a 1R ∗ a = a ∗ 1R = a 逆元がある a + (−a) = (−a) + a = 0R 交換法則 a + b = b + a 分配法則 a ∗ (b + c ) = a ∗ b + a ∗ c a,b,c ,0R ,1R ,−a はそれぞれ R の要素である．0R ,1R は特にそれぞれ 零元，単位元と呼ばれる． 3 / 16 卒業研究中間報告会第一回目, テーマ:代数学の工学への応用
5. 卒業研究の目標と計画 環論:導入 環論:準同型写像 環の例 1 整数の全体 整数の和と積を定めると 0 が零元，1 が単位元になる． 4 / 16 卒業研究中間報告会第一回目, テーマ:代数学の工学への応用
6. 卒業研究の目標と計画 環論:導入 環論:準同型写像 環の例 1 整数の全体 整数の和と積を定めると 0 が零元，1 が単位元になる． 補足 1 自然数の全体 は，環にならない． 例)5 − 6 = −1 となって，自然数ではなくなるため． 4 / 16 卒業研究中間報告会第一回目, テーマ:代数学の工学への応用
7. 卒業研究の目標と計画 環論:導入 環論:準同型写像 環の例 1 整数の全体 整数の和と積を定めると 0 が零元，1 が単位元になる． 補足 1 自然数の全体 は，環にならない． 例)5 − 6 = −1 となって，自然数ではなくなるため． 補足 2 実数の全体 は，環になる． 4 / 16 卒業研究中間報告会第一回目, テーマ:代数学の工学への応用
8. 卒業研究の目標と計画 環論:導入 環論:準同型写像 環の例 2 n 次正方行列の全体 n 次行列の和と積を考えると，零行列が零元，単位行列が単位元にな るような環となる． 5 / 16 卒業研究中間報告会第一回目, テーマ:代数学の工学への応用
9. 卒業研究の目標と計画 環論:導入 環論:準同型写像 環の例 2 n 次正方行列の全体 n 次行列の和と積を考えると，零行列が零元，単位行列が単位元にな るような環となる． 環の公理 和 + 積 ∗ 計算出来る a + b ∈ R a ∗ b ∈ R 結合法則 (a + b) + c = a + (b + c ) (a ∗ b ) ∗ c = a ∗ (b ∗ c ) 単位元がある 0R + a = a + 0R = a 1R ∗ a = a ∗ 1R = a 逆元がある a + (−a) = (−a) + a = 0R 交換法則 a + b = b + a 分配法則 a ∗ (b + c ) = a ∗ b + a ∗ c 空白部分が成り立たない有名な例である． 5 / 16 卒業研究中間報告会第一回目, テーマ:代数学の工学への応用
10. 卒業研究の目標と計画 環論:導入 環論:準同型写像 環の持つ強みその 1 環の定義は，具体的な対象 (整数，行列など) に依存しない． 6 / 16 卒業研究中間報告会第一回目, テーマ:代数学の工学への応用
11. 卒業研究の目標と計画 環論:導入 環論:準同型写像 環の持つ強みその 1 環の定義は，具体的な対象 (整数，行列など) に依存しない． 具体的対象の難しさに惑わされない！ 6 / 16 卒業研究中間報告会第一回目, テーマ:代数学の工学への応用
12. 卒業研究の目標と計画 環論:導入 環論:準同型写像 環の様々な性質 1 0R ,1R は一意的である． 2 任意の a に対する −a も一意的である． 7 / 16 卒業研究中間報告会第一回目, テーマ:代数学の工学への応用
13. 卒業研究の目標と計画 環論:導入 環論:準同型写像 環の様々な性質 1 0R ,1R は一意的である． 2 任意の a に対する −a も一意的である． 3 a ∗ 0R = 0R 7 / 16 卒業研究中間報告会第一回目, テーマ:代数学の工学への応用
14. 卒業研究の目標と計画 環論:導入 環論:準同型写像 環の様々な性質 1 0R ,1R は一意的である． 2 任意の a に対する −a も一意的である． 3 a ∗ 0R = 0R 4 a + a = a ⇐⇒ a = 0R 7 / 16 卒業研究中間報告会第一回目, テーマ:代数学の工学への応用
15. 卒業研究の目標と計画 環論:導入 環論:準同型写像 環の様々な性質 1 0R ,1R は一意的である． 2 任意の a に対する −a も一意的である． 3 a ∗ 0R = 0R 4 a + a = a ⇐⇒ a = 0R 5 (−a) ∗ b = a ∗ (−b ) = −(a ∗ b ) 6 (−1R ) ∗ (−1R ) = 1R この様な事実はすべて，環であればすべて満たしている． 7 / 16 卒業研究中間報告会第一回目, テーマ:代数学の工学への応用
16. 卒業研究の目標と計画 環論:導入 環論:準同型写像 解きづらいものを解きやすく変化させる． 問題 解くのが難しいモノを解きやすくするにはどうしたら良いだろ うか？ 8 / 16 卒業研究中間報告会第一回目, テーマ:代数学の工学への応用
17. 卒業研究の目標と計画 環論:導入 環論:準同型写像 解きづらいものを解きやすく変化させる． 問題 解くのが難しいモノを解きやすくするにはどうしたら良いだろ うか？ 数学では 解きづらいモノを解きやすい様に変換することが多い． 8 / 16 卒業研究中間報告会第一回目, テーマ:代数学の工学への応用
18. 卒業研究の目標と計画 環論:導入 環論:準同型写像 解きづらいものを解きやすく変化させる． 問題 解くのが難しいモノを解きやすくするにはどうしたら良いだろ うか？ 数学では 解きづらいモノを解きやすい様に変換することが多い． たとえば， 8 / 16 卒業研究中間報告会第一回目, テーマ:代数学の工学への応用
19. 卒業研究の目標と計画 環論:導入 環論:準同型写像 解きづらいものを解きやすく変化させる． 問題 解くのが難しいモノを解きやすくするにはどうしたら良いだろ うか？ 数学では 解きづらいモノを解きやすい様に変換することが多い． たとえば， ラプラス変換 8 / 16 卒業研究中間報告会第一回目, テーマ:代数学の工学への応用
20. 卒業研究の目標と計画 環論:導入 環論:準同型写像 ラプラス変換の例 問題 3 階の微分方程式， y + 6y + 11y + 6y = K . を y (0) = y (0) = y (0) = y (0) = 0 の条件の下で解くことを考える． 9 / 16 卒業研究中間報告会第一回目, テーマ:代数学の工学への応用
21. 卒業研究の目標と計画 環論:導入 環論:準同型写像 ラプラス変換の例 問題 3 階の微分方程式， y + 6y + 11y + 6y = K . を y (0) = y (0) = y (0) = y (0) = 0 の条件の下で解くことを考える． これは，y をラプラス変換したものを Y とおけば， Y = K s(s + 1)(s + 2)(s + 3) . 9 / 16 卒業研究中間報告会第一回目, テーマ:代数学の工学への応用
22. 卒業研究の目標と計画 環論:導入 環論:準同型写像 ラプラス変換のイメージ 10 / 16 卒業研究中間報告会第一回目, テーマ:代数学の工学への応用
23. 卒業研究の目標と計画 環論:導入 環論:準同型写像 ラプラス変換のイメージ 10 / 16 卒業研究中間報告会第一回目, テーマ:代数学の工学への応用
24. 卒業研究の目標と計画 環論:導入 環論:準同型写像 ラプラス変換のイメージ 10 / 16 卒業研究中間報告会第一回目, テーマ:代数学の工学への応用
25. 卒業研究の目標と計画 環論:導入 環論:準同型写像 ラプラス変換のイメージ 難しい微分方程式 ラプラス変換 − −−−−−−− → 簡単な代数方程式 10 / 16 卒業研究中間報告会第一回目, テーマ:代数学の工学への応用
26. 卒業研究の目標と計画 環論:導入 環論:準同型写像 準同型写像 いまの発想を利用して，ある環から別の環への写像を考えたい． 11 / 16 卒業研究中間報告会第一回目, テーマ:代数学の工学への応用
27. 卒業研究の目標と計画 環論:導入 環論:準同型写像 準同型写像 いまの発想を利用して，ある環から別の環への写像を考えたい． 準同型写像と呼ばれる写像を考える． 11 / 16 卒業研究中間報告会第一回目, テーマ:代数学の工学への応用
28. 卒業研究の目標と計画 環論:導入 環論:準同型写像 準同型写像の定義 準同型写像 ϕ の定義 環 R から環 S へと写す写像 ϕ について 1 ϕ(a + b ) = ϕ(a)+ ϕ(b ) 2 ϕ(a ∗ b) = ϕ(a) ∗ ϕ(b ) 3 ϕ(1R ) = 1S となる ϕ を準同型写像と言う (ここで，a と b は任意の R の要素で あり，1R は R の単位元，1S は S の単位元である)． 12 / 16 卒業研究中間報告会第一回目, テーマ:代数学の工学への応用
29. 卒業研究の目標と計画 環論:導入 環論:準同型写像 準同型写像のイメージ イメージ 計算と変換の順序で結果が変わらない． 13 / 16 卒業研究中間報告会第一回目, テーマ:代数学の工学への応用
30. 卒業研究の目標と計画 環論:導入 環論:準同型写像 準同型写像のイメージ イメージ 計算と変換の順序で結果が変わらない． 計算しづらい環を計算しやすい環に写して楽に計算出来る！ 13 / 16 卒業研究中間報告会第一回目, テーマ:代数学の工学への応用
31. 卒業研究の目標と計画 環論:導入 環論:準同型写像 具体例 複素数の全体 −→ 2 次正方行列の全体 複素数 z = a + b i について，f (z) = a −b b a と定めると，f は準 同型写像となる． 14 / 16 卒業研究中間報告会第一回目, テーマ:代数学の工学への応用
32. 卒業研究の目標と計画 環論:導入 環論:準同型写像 同型写像 具体例では 1 任意の複素数 z からそれにあう正方行列を求める．⇐= 出来る． 15 / 16 卒業研究中間報告会第一回目, テーマ:代数学の工学への応用
33. 卒業研究の目標と計画 環論:導入 環論:準同型写像 同型写像 具体例では 1 任意の複素数 z からそれにあう正方行列を求める．⇐= 出来る． 2 任意の正方行列から，それにあう複素数 z を求める． 15 / 16 卒業研究中間報告会第一回目, テーマ:代数学の工学への応用
34. 卒業研究の目標と計画 環論:導入 環論:準同型写像 同型写像 具体例では 1 任意の複素数 z からそれにあう正方行列を求める．⇐= 出来る． 2 任意の正方行列から，それにあう複素数 z を求める．⇐= 出来ない！ 15 / 16 卒業研究中間報告会第一回目, テーマ:代数学の工学への応用
35. 卒業研究の目標と計画 環論:導入 環論:準同型写像 同型写像 具体例では 1 任意の複素数 z からそれにあう正方行列を求める．⇐= 出来る． 2 任意の正方行列から，それにあう複素数 z を求める．⇐= 出来ない！ 任意の正方行列ではなく， a −b b a となる行列に制限すると？ 準同型写像と逆の変換が出来る！ 15 / 16 卒業研究中間報告会第一回目, テーマ:代数学の工学への応用
36. 卒業研究の目標と計画 環論:導入 環論:準同型写像 同型写像 具体例では 1 任意の複素数 z からそれにあう正方行列を求める．⇐= 出来る． 2 任意の正方行列から，それにあう複素数 z を求める．⇐= 出来ない！ 任意の正方行列ではなく， a −b b a となる行列に制限すると？ 準同型写像と逆の変換が出来る！ 同型写像 準同型写像が逆の変換が出来るとき，特に同型写像と呼ぶ． 15 / 16 卒業研究中間報告会第一回目, テーマ:代数学の工学への応用
37. 卒業研究の目標と計画 環論:導入 環論:準同型写像 おわりに 今回の成果 卒業研究の目標を達成するための基本的な道具としての環と準同型 写像が定義出来，それらに関わる様々な性質を示せた． 16 / 16 卒業研究中間報告会第一回目, テーマ:代数学の工学への応用
38. 卒業研究の目標と計画 環論:導入 環論:準同型写像 おわりに 今回の成果 卒業研究の目標を達成するための基本的な道具としての環と準同型 写像が定義出来，それらに関わる様々な性質を示せた． 次回以降の目標 更なる道具の用意と，それを利用した目標の達成を行う． 16 / 16 卒業研究中間報告会第一回目, テーマ:代数学の工学への応用