RでGARCHモデル - TokyoR #21

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1. RでGARCHモデル TokyoR #21 2012/03/10 @horihorio
2. 2012/03/10 RでGARCHモデル 自己紹介 自己紹介 • Twitter ID: @horihorio • お仕事： データマイニング・コンサルタント （重要なこと：会社は非金融業） ただ何故か、金融機関の与信リスク管理・ 分析を、4年少々やってたりする • R使用歴： 半年もない、とか。前回発表（Tokyo.R#18: 「Rで学 ぶ 現代ポートフォリオ理論入門」 ）以降、程度 2
3. 3 ◇ ◇ 全体構成 全体構成 ◇ ◇ 1. Executive Summary 2. 理論編 1. ARIMAモデル 2. GARCHモデル 3. 実践編 1. TOPIXとは？ 2. モデル作成 3. モデル検証 2012/03/10 RでGARCHモデル
4. 4 1. Executive Summary (1/5) 1. Executive Summary (1/5) 時系列モデルの目的：過去の値から将来を当てたい • ARIMAモデルの場合 ここで は「独立かつ同一の分布に従う(i.i.d)」とする※ （※ホントは平均ゼロ、分散有限も必要。正確な定義はP.15を参照） AR （自己回帰） MA （移動平均） I （和分） 誤差項 2012/03/10 RでGARCHモデル
5. 0 500 1000 1500 -5 0 5 Time Error 5 1. Executive Summary (2/5) 1. Executive Summary (2/5) が「独立かつ同一の分布に従う(i.i.d.)」ならば 誤差項は、こうなるはず set.seed(1) plot(rnorm(1500, 0, 1), type="l", xlab="Time", ylab="Error", ylim = c(-9,9)) 2012/03/10 RでGARCHモデル
6. Time Error 0 500 1000 1500 -0.10 0.00 0.10 6 1. Executive Summary (3/5) 1. Executive Summary (3/5) ただ、東証TOPIXにARIMAモデルをはめると 誤差項って均一なの？ （モデルの詳細は後述） 時系列構造? 2012/03/10 RでGARCHモデル ジャンプなら この程度
7. 7 1. Executive Summary (4/5) 1. Executive Summary (4/5) 少々、分散に時系列構造を導入してみる 時系列データが、 に従っているとするとき、 GARCH(p,q)モデル を導入 分散 １ 分散の 時系列 2乗誤差の 時系列 2012/03/10 RでGARCHモデル
8. 8 1. Executive Summary (5/5) 1. Executive Summary (5/5) やっぱり、TOPIXの分散って荒れているのね… 2012/03/10 RでGARCHモデル -0.10 0.10 0.01 0.05 0 500 1000 1500 Time 東日本 大震災 Lehman破綻等々 Paribasショック、 SubPrimeで色々 収 益 率 収 益 率 の
9. 9 ◇ ◇ 全体構成 全体構成 ◇ ◇ 1. Executive Summary 2. 理論編 1. ARIMAモデル 2. GARCHモデル 3. 実践編 1. TOPIXとは？ 2. モデル作成 3. モデル検証 2012/03/10 RでGARCHモデル
10. 10 過去の Tokyo.R. で触れられた資料 http://lab.sakaue.info/wiki.cgi/JapanR2010?page=%CA%D9%B6%AF%B2%F1 %C8%AF%C9%BD%C6%E2%CD%C6%B0%EC%CD%F7#p15 2.1. ARIMA 2.1. ARIMAモデル モデル ARIMAでないが 関連して 2012/03/10 RでGARCHモデル
11. ARIMA (Box-Jenkins) モデル AR （自己回帰） MA （移動平均） I （和分） • AR(Auto Regression)：自己回帰 → 過去の自分の値 • I(Integrated)：和分 → 時系列データの階差をとる • MA(Moving Average)：移動平均 → 現在および過去の誤差項の線型結合 時系列ARIMAモデルは、以下3要素からなる 2.1. ARIMA 2.1. ARIMAモデル モデル 2012/03/10 RでGARCHモデル 11
12. AR(Auto Regression)：自己回帰モデルとは、ある時点の値は、 過去の自分自身により説明されると考えるモデル。以下２つ の要素からなる： • 自己回帰係数（影響倍率、定常ならば偏相関係数）と、 • 次数（影響期間） AR(p)モデル： 定数項 自己回帰 係数 誤差項 （独立なWhite Noiseに従う） 次数 （何期前まで 考えるか） 1期前の 自分 2期前の 自分 p期前の 自分 2.1. ARIMA 2.1. ARIMAモデル モデル 2012/03/10 RでGARCHモデル 12
13. MA(Moving Average)：移動平均モデルとは、現在値と、過去 の誤差項の線形結合により表される関数 MA(q)モデル： MAモデルの意味って何よ？ • 定常時系列ならば、AR(∞) = MA(t) • つまり、「小さいAR項×沢山」が、MA項少々で済む 【イメージ】 0.8 MA(1) = 0.001 AR(101) + 0.0002 AR(102) + … 当期の誤差 1期前の 誤差 2期前の 誤差 q期前の 誤差 2.1. ARIMA 2.1. ARIMAモデル モデル 2012/03/10 RでGARCHモデル 13
14. I(Integrated) ：和分とは、階差数列に対応する概念。 時系列モデルは、平均や自己共分散が一定（定常時系列） でないと扱えない。非定常→定常 の変換に使ったりする 現系列 階差数列 に対し の一般項を求め のARMAモデルを推定し 2.1. ARIMA 2.1. ARIMAモデル モデル 2012/03/10 RでGARCHモデル 数列では 時系列では 14
15. ここで は、以下を満たす（分散均一性）： ARIMAモデル 15 AR + I + MA → ARIMAモデル が完成 AR （自己回帰） MA （移動平均） I （和分） 誤差項 2012/03/10 RでGARCHモデル 2.1. ARIMA 2.1. ARIMAモデル モデル
16. 16 ◇ ◇ 全体構成 全体構成 ◇ ◇ 1. Executive Summary 2. 理論編 1. ARIMAモデル 2. GARCHモデル 3. 実践編 1. TOPIXとは？ 2. モデル作成 3. モデル検証 2012/03/10 RでGARCHモデル
17. 17 2.2. GARCH 2.2. GARCHモデル モデル ARIMAモデルが弱い例 • 金融市場：概して、荒れた翌日の値動きは活発 • 2ch：祭りが起きた後は、暫く高アクセスが続く？ つまり、 • 突発的な変動と、その後の「荒れ」が続き、 誤差項が「独立かつ同一の分布」でない と弱い 対策 • 分散にも時系列構造を導入 2012/03/10 RでGARCHモデル GARCHモデル ※GARCH: Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity
18. 18 2.2. GARCH 2.2. GARCHモデル モデル 【参考】周期変動ならば、Seasonal ARIMAが素直 例： は4半期データ（周期4）とする。 ここで、4期前との差分 を考える。 そして、 と でARIMAモデルを構築して掛け算。 Rでの使用例 2012/03/10 RでGARCHモデル arima(UKgas, order=c(2,1,2), seasonal=list(order=c(1,1,3), period=4 )
19. 時系列データが、 に従っているとするとき、 ただし、 、 、 、 、 、 19 GARCH(p,q)モデルの式 分散 １ 分散の 時系列 2乗誤差の 時系列 2012/03/10 RでGARCHモデル 2.2. GARCH 2.2. GARCHモデル モデル 防止が目的
20. 時系列データが、 に従っているとするとき、 ただし、 、 、 、 、 20 【参考】2乗誤差のみ考える、ARCH(q)モデルもある。 要は、GARCHモデルで としたもの。 2012/03/10 RでGARCHモデル 2.2. GARCH 2.2. GARCHモデル モデル ※ARCH: AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity 分散 １ 2乗誤差の 時系列
21. 【答え】 • 正規分布以外では、GARCHアルゴリズムの最尤推 定量は間違っている • ただ、標本数が大だと、最尤法の一致性ならOK • よって、実際の分布は正規分布でないが、正規分 布のGARCH推定量でいいや、と割り切る？ • ただ、最尤推定量や、（尤度を用いる）AIC等の情報 量基準は、全て「擬似的な値」、なのは留意 21 【参考】もっともな懸念で… データが常に正規分布ではない。最後の分散の誤差が になる訳ないのでは？ 2012/03/10 RでGARCHモデル 2.2. GARCH 2.2. GARCHモデル モデル
22. 改良例 EGARCH(p,q)モデル 22 GARCHモデルへのケチ： 制約ナシだと となるのは、何かと不自由 2012/03/10 RでGARCHモデル 2.2. GARCH 2.2. GARCHモデル モデル 係数の制約：ナシ！
23. 【嬉しいこと】 • 左辺は対数なので、右辺が負でも対応可能 • 負になる変数でも、モデルに投入可能 【嬉しくないこと】 • Rではどうやって扱うの？が不明… • CRANで egarch::egarch は発見したが、何か大丈 夫？ってな香りがしたので自粛。Predictがダメ。 （だし、時間がなかった。） • （緩募）egarchは大丈夫か否か、他にRでEGARCHモ デルを適用出来る方法、等々 23 EGARCHモデルって 2012/03/10 RでGARCHモデル 2.2. GARCH 2.2. GARCHモデル モデル
24. • GJR(p,q)モデル • Absolute Residual モデル • 他に、Non-Linear GARCH, Quadratic GARCH, Threshold GARCH 等があり 24 その他、GARCHの拡張例 2012/03/10 RでGARCHモデル 2.2. GARCH 2.2. GARCHモデル モデル 負ならば1となるダミー
25. 25 ◇ ◇ 全体構成 全体構成 ◇ ◇ 1. Executive Summary 2. 理論編 1. ARIMAモデル 2. GARCHモデル 3. 実践編 1. TOPIXとは？ 2. モデル作成 3. モデル検証 2012/03/10 RでGARCHモデル
26. 26 3.0. 3.0. 以下のアウトライン 以下のアウトライン 東証TOPIX（後述）の、対前日比リターンに 1. ARIMAモデル （季節調整なし） 2. ARMAモデル + GARCHモデル を当てはめ、比較してゆく。 モデル構築期間： 2006/1/4～2012/1/31 （N=1489） モデル検証期間： 2012/2/1～2012/3/10 （N=28） 2012/03/10 RでGARCHモデル
27. 27 東証1部全体の時価総額を指標化した値 野村證券・証券用語解説集より 東京証券取引所が日々計算し発表している株価指数で、 東証第1部の毎日の時価総額（全上場株をある日の終値 で評価したものの合計額）を基準日の時価総額で割って 算出される。 1968(昭和43)年1月4日の時価総額を100として計算して おり、日経平均株価とならんで、重要な指数の1つとなっ ている。 引用元：http://www.nomura.co.jp/terms/japan/to/topix.html 3.1. TOPIX 3.1. TOPIXとは？ とは？ 2012/03/10 RでGARCHモデル
28. 28 データの取得方法 3.1. TOPIX 3.1. TOPIXとは？ とは？ • 例によって、 RFinanceYJ library("RFinanceYJ") topix.close <- as.ts( quoteStockTsData('998405.t’ , since='2006-01-01', date.end='2011-12-31' )$close) # コッソリ、日次リターンに変換 topix.return <- (topix.close/lag(topix.close)) - 1 2012/03/10 RでGARCHモデル
29. Time TOPIX 0 500 1000 1500 600 1000 1400 1800 29 データの雰囲気（2006/1/4～2012/1/31） 3.1. TOPIX 3.1. TOPIXとは？ とは？ 東日本 大震災 Lehman破綻、 MUFGのMorgan Stanley出資 等 Paribasショック、 SubPrimeで色々 2012/03/10 RでGARCHモデル
30. Time TOPIX 0 500 1000 1500 -0.10 0.00 0.10 30 TOPIXを（当日÷前日で）日次リターンに修正 3.1. TOPIX 3.1. TOPIXとは？ とは？ 東日本 大震災 Lehman破綻、 MUFGのMorgan Stanley出資 等 Paribasショック、 SubPrimeで色々 2012/03/10 RでGARCHモデル ※対数リターンでないの？といじめないで…
31. 31 ◇ ◇ 全体構成 全体構成 ◇ ◇ 1. Executive Summary 2. 理論編 1. ARIMAモデル 2. GARCHモデル 3. 実践編 1. TOPIXとは？ 2. モデル作成 3. モデル検証 2012/03/10 RでGARCHモデル
32. 32 【0/2】単位根検定 趣旨： このデータは、 Random Walk（乱数列）でないよね？ （Random Walk列でも、何かそれっぽいモデルが出来得る。 けど、そのモデルって一体何よ？ てな議論になるので…） やり方： 「Random Walkではない」の仮説検定 • Phillips-Perron検定 [stats::PP.test] • Augmented Dickey-Fuller検定 [tseries::adf.test] 3.2. 3.2. モデル作成 モデル作成 2012/03/10 RでGARCHモデル 詳細は こちらを
33. 33 確認してみる(PP.testを使用) よって、安心してリターン系列はいじれる。 3.2. 3.2. モデル作成 モデル作成 > PP.test(topix.close) # TOPIX現系列 Phillips-Perron Unit Root Test data: topix.close Dickey-Fuller = -1.9303, Truncation lag parameter = 7, p-value = 0.6078 > PP.test(topix.return) # TOPIXリターン系列 Phillips-Perron Unit Root Test data: topix.return Dickey-Fuller = -39.3825, Truncation lag parameter = 7, p-value = 0.01 2012/03/10 RでGARCHモデル Random Walkの 可能性61% Random Walkの 可能性1%
34. 34 【1/2】（季節調整なし）ARIMAモデル 参考：Tokyo.R#17 @teramonagi さん資料 （ただ、問題があるのだが…。次のスライドで） 最適次数は、ARIMA = (4,0,4) 3.2. 3.2. モデル作成 モデル作成 library("snow") hosts <- rep("localhost", 2) cl <- makeCluster(hosts, type=“SOCK”); clusterExport(cl, "topix.return") clusterCall(cl, topix.arima <- apply(expand.grid(1:5,1,0:5) , 1 , function(x) { try( arima(topix.return, order = x ) , TRUE) } ) ) stopCluster(cl) opt.topix.arima <- Reduce(function(x,y) if(x$aic < y$aic){x} else{y}, topix.arima) 2012/03/10 RでGARCHモデル
35. 35 【参考】前ページの問題：係数が収束しない場合 ARIMA = (3,1,5) は、一部係数が無限大に飛ぶ arima(topix.return,order = c(3,1,5), fixed=c(0,NA,NA,0,0,NA,NA,NA)) で無限大の項を除去できるが、当然AICの値は変わる 3.2. 3.2. モデル作成 モデル作成 2012/03/10 RでGARCHモデル 係数は∞
36. 36 【2/2】の前に fGarch::garchFit で最適次数の探索法 ループでコマンドを生成・実行し、listに投入、してみた。 （問題：(1) 係数発散時の問題 (２)エラー処理が未対応） 最適次数は、GARCH (1,1) 3.2. 3.2. モデル作成 モデル作成 #書式: garchFit( ~ garch(P, Q), data = topix.return, trace = FALSE ) topix.garch <- as.list(NULL) i <- 1; for (P in 1:5){ for (Q in 0:5){ topix.garch[[i]] <- try( eval( parse( text = paste("garchFit( ~ garch(", P ,", ", Q , "), data = topix.return, trace = FALSE )" ) )), silent = TRUE) i <- i + 1 } } opt.topix.garch <- Reduce(function(x,y) if(x@fit$ics[1] < y@fit$ics[1]){x} else{y}, topix.garch) 2012/03/10 RでGARCHモデル
37. 37 【参考】先のコードが汚い、Rらしくない、 とは思った、が改良は実力不足につき断念。 どうも、素直ではない書き方？をしないとダメっぽい。 上記例：[R] fGarch: how to use garchFit() in loop? https://stat.ethz.ch/pipermail/r-help/2010-August/249276.html 3.2. 3.2. モデル作成 モデル作成 2012/03/10 RでGARCHモデル library(fGarch) spec <- garchSpec(model = list(alpha = 0.1, beta = c(0.4, 0.4))) Xt <- garchSim(spec, n = 100) x <- list() for(q in 1:3){ print(q) x[q] <- list(garchFit(substitute(~garch(1,beta), list(beta =q)) , data = Xt, trace = FALSE)) }
38. 38 【2/2】ARMAモデル + GARCHモデル データは だと仮定して、 • （条件付き）平均値はARMAにて • （条件付き）分散はGARCHにて推定 ただ、これも係数発散問題が発生した… （最後は怪しい手作業の）探索結果は、ARMA(5, 5) + GARCH(1, 1) 3.2. 3.2. モデル作成 モデル作成 #書式: garchFit( ~ arma(p, q) + garch(P, Q) , data = topix.return, trace = FALSE ) やったソース：先のGARCHモデル のノリで、もっと醜悪にしたもの… 実行には3・4時間くらいかかった、気がする。 2012/03/10 RでGARCHモデル
39. 39 ◇ ◇ 全体構成 全体構成 ◇ ◇ 1. Executive Summary 2. 理論編 1. ARIMAモデル 2. GARCHモデル 3. 実践編 1. TOPIXとは？ 2. モデル作成 3. モデル検証 2012/03/10 RでGARCHモデル
40. 40 最初にお詫び 以降のモデル検証は、 • 前節でのエラーが取り切れていない • だからか？GARCHモデルの検証結果が怪しい • （あと時間不足で）モデルの予測まで未到達 です。何卒、ご了承下さい…。 3.3. 3.3. モデル検証 モデル検証 2012/03/10 RでGARCHモデル
41. 41 【1/2】ARIMAモデルの場合 stats::tsdiag で残差を見てゆく。 • 使用例： （※ gof.lagは、最下段：残差の自己相関 の検定時のラグ数） • 出力例は、次のページで。 結果：とりあえず、問題なさそうな。 3.3. 3.3. モデル検証 モデル検証 2012/03/10 RでGARCHモデル tsdiag(opt.topix.arima, gof.lag=10 )
42. 42 2012/03/10 RでGARCHモデル Standardized Residuals Time 0 500 1000 1500 -8 0 5 10 15 20 25 30 0.0 Lag ACF ACF of Residuals 2 4 6 8 10 0.0 p values for Ljung-Box statistic lag p value 3.3. 3.3. モデル検証 モデル検証 正規化残差 自己相関 飛び出てなければ 定常過程 残差の自己 相関がゼロで ある確率
43. 43 【2/2】ARMA + GARCHモデルの場合 見たい事： • 基準化された残差 はゼロなの？ • 基準化された残差 は正規分布なの？ を仮定して 但し、 、 3.3. 3.3. モデル検証 モデル検証 2012/03/10 RでGARCHモデル 再掲： GARCHモデル
44. 44 【2/2】GARCHモデルの場合 3.3. 3.3. モデル検証 モデル検証 2012/03/10 RでGARCHモデル 収束がどうも怪しい 左：残差の平均 右：平均値の標準誤差 平均ゼロで無い！orz 正規分布テストもダメ 尖度・歪度を見た （要Package: e1071）
45. 45 ARIMAとGARCHモデルの比較 やりたかったこと（その１） • GARCHモデルで、 は の不偏推定量なのか？ 具体的には、 誤差項 の回帰式を考える。 もし不偏推定量ならば、 係数が になるハズ。 3.3. 3.3. モデル検証 モデル検証 2012/03/10 RでGARCHモデル
46. 46 ARIMAとGARCHモデルの比較 やりたかったこと（その２） • GARCHモデルを導入すると、ARIMAモデルより「美味し い」のか？の検証 • 但し、ある指標で決まる話ではない。予測するものは、 ARIMAモデル：出力は時系列の値 GARCHモデル：出力は分散の値 と異なるため。 • 考えていた観点の例： • ARIMAでの予測標準誤差を、GARCHの値と比較 • （特に荒れたときの）過去時点での予測値を比較 3.3. 3.3. モデル検証 モデル検証 2012/03/10 RでGARCHモデル
47. 47 まとめ まとめ • 時系列モデルとは、過去の値から将来の値を予測するモ デルで、代表的なものにARIMAモデルがある。 • ARIMAモデルは、残差の分散が均一なのを仮定。よって、 突発的な変動があると弱い • GARCHモデルは、残差に時系列構造を導入することで、突 発的な変動にも対応しようとするモデル 2012/03/10 RでGARCHモデル 今後の課題 今後の課題 • モデルの係数が発散する場合の対応（参考：P35） • （↑ に関連し）ホントは、係数推定前にエラー検知したい
48. 48 最近買った本（参考文献４）を眺めていて 観測時系列データ： は、必ずしも等時間間隔で取得できるとは限らない。 そこで、連続時間の確率過程を↓と表記 ここで、 は標準ウィナー過程であり、 は平均ゼロ、分散 に従う。 おまけ おまけ 2012/03/10 RでGARCHモデル 間隔が開くと、分散が大
49. 49 （平均回帰する）具体的なモデルの一例： • Ornstein-Uhlenbeck過程（OU過程） （ のときにErgotic（何かに確率収束する）） • Vasicek過程 （ のときにErgotic） おまけ おまけ 2012/03/10 RでGARCHモデル
50. 50 何でこんな話をしたのか？ 「月曜日にマーケットは動く（月曜日効果）」と聞くので。 • 理由の例：金曜→月曜だけ間隔が広く、情報が多く入るから 試しに：各曜日のTOPIXのリターンの標準偏差を計算 おまけ おまけ 2012/03/10 RでGARCHモデル library(RFinanceYJ); library(xts) # データを取得し、xtsに変換 topix.raw <- quoteStockTsData('998405.t‘ , since=‘2006-01-04’, date.end=‘2012-01-31’ ) topix.xts <- as.xts( read.zoo(topix.raw)) # 曜日毎の日次リターン・標準偏差の集計。1件目はNULLなので除外 tapply( ( (topix.xts[,4]-lag(topix.xts[,4]))-1 )[-1,] , weekdays(index(topix.xts[-1,])) , sd)
51. 51 その結果： • 真面目に考える方法例：以下回帰式を推定。各曜日のダミーを 立て、各係数の有意確率と符号で判断 （多重共線性防止のため、月曜日ダミーは入れていない） おまけの蛇足 おまけの蛇足 2012/03/10 RでGARCHモデル 曜日 標準偏差 月曜日 18.45 火曜日 17.82 水曜日 17.75 木曜日 17.90 金曜日 17.71 月曜日の値が 一番大きい
52. 52 参考文献 参考文献 1. 渡部敏明 『ボラティリティ変動モデル』 朝倉書店 2000年 2. 岡田昌史（代表） 『Rパッケージガイドブック』 東京書籍 2011年 ⇒ 特に高柳氏のRmetricsのところを参照 3. P. Teetor（著）大橋・木下（訳）『Rクックブック』 オライリー・ジャパン 2011年 4. 西山陽一 『ISMシリーズ：進化する統計数理1 マルチンゲー ル理論による統計解析』 近代科学社 2011年 2012/03/10 RでGARCHモデル