Cotas sobre la Dilatación de Beta-Skelleton

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1. Dilatación de los grafos β-Skeleton Diva Martínez Universidad de los Andes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | Contenido 1 ⃝ Motivación 2 ⃝ Preliminares 3 ⃝ Sobre la Dilatación 4 ⃝ Resultados Dilatación de los grafos β-Skeleton 2/22
3. Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | Grafos de proximidad Grafos de proximidad Dado un conjunto de puntos V, para u, v ∈ V (u, v) ∈ E si se cumple cierta condición cuyo parámetro es d(u, v) Dilatación de los grafos β-Skeleton 4/22
5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | Grafos de proximidad Grafos de proximidad Dado un conjunto de puntos V, para u, v ∈ V (u, v) ∈ E si se cumple cierta condición cuyo parámetro es d(u, v) La condición determina el tipo de grafo Dilatación de los grafos β-Skeleton 4/22
6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | Grafos de proximidad Grafos de proximidad Dado un conjunto de puntos V, para u, v ∈ V (u, v) ∈ E si se cumple cierta condición cuyo parámetro es d(u, v) La condición determina el tipo de grafo Reconstrucción de curvas Dilatación de los grafos β-Skeleton 4/22
7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | Grafos de proximidad Grafos de proximidad Dado un conjunto de puntos V, para u, v ∈ V (u, v) ∈ E si se cumple cierta condición cuyo parámetro es d(u, v) La condición determina el tipo de grafo Reconstrucción de curvas Optimización de caminos Dilatación de los grafos β-Skeleton 4/22
8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | Grafos de proximidad Grafos de proximidad Dado un conjunto de puntos V, para u, v ∈ V (u, v) ∈ E si se cumple cierta condición cuyo parámetro es d(u, v) La condición determina el tipo de grafo Reconstrucción de curvas Optimización de caminos Cuantificación de la importancia de un nodo Dilatación de los grafos β-Skeleton 4/22
9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | Grafos de proximidad - Ejemplos Dilatación de los grafos β-Skeleton 5/22
10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | Grafos de proximidad - Ejemplos Dilatación de los grafos β-Skeleton 5/22
11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | Dilatación de un Grafo (Intuición) Pregunta ¿Qué tanto puede llegar a desviarse un camino entre u y v de la línea recta? Dilatación de los grafos β-Skeleton 6/22
12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | Dilatación de un Grafo (Intuición) Pregunta ¿Qué tanto puede llegar a desviarse un camino entre u y v de la línea recta? Importancia: Caminos óptimos <-> Baja dilatación Dilatación de los grafos β-Skeleton 6/22
13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | Dilatación de un Grafo (Intuición) Pregunta ¿Qué tanto puede llegar a desviarse un camino entre u y v de la línea recta? Importancia: Caminos óptimos <-> Baja dilatación Según el grafo se puede tener o no dilatación acotada Dilatación de los grafos β-Skeleton 6/22
14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | Dilatación de un Grafo (Intuición) Pregunta ¿Qué tanto puede llegar a desviarse un camino entre u y v de la línea recta? Importancia: Caminos óptimos <-> Baja dilatación Según el grafo se puede tener o no dilatación acotada Dilatación de los grafos β-Skeleton 6/22
15. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | β-Skeletons Definición: β-Skeleton Dados u, v ∈ V, la arista (u, v) hace parte del grafo sii { ¬∃c ∈ V ∣ ∡ucv > arcsin(β−1) β > 1 ¬∃c ∈ V ∣ ∡ucv > π − arcsin(β) β ≤ 1 Dilatación de los grafos β-Skeleton 8/22
17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | β-Skeletons Una definición equivalente Definición: β-Skeleton Dados u, v ∈ V, definimos A1,2 ∶= círculo con radio d(u,v)⋅β 2 que tiene a u y v en su borde B1,2 ∶= círculo con radio d(u,v) 2β que tiene a u y v en su borde Entonces (u, v) ∈ E sii { A1 ∪ A2 no tiene otros puntos de V β > 1 B1 ∩ B2 no tiene otros puntos de V β ≤ 1 Dilatación de los grafos β-Skeleton 9/22
18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | β-Skeletons Dilatación de los grafos β-Skeleton 10/22
19. Sobre la Dilatación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | Dilatación - Definición Pregunta ¿Qué tanto puede llegar a desviarse un camino entre a y b de la línea recta? Dilatación de los grafos β-Skeleton 12/22
21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | Dilatación - Definición Pregunta ¿Qué tanto puede llegar a desviarse un camino entre a y b de la línea recta? Definición: Dilatación de G=(V,E) Si P(u, v) el camino mínimo entre u y v, denotamos π(P(u, v)) su dis- tancia recorrida δ ∶= m ́ ax (u,v)∈E π(P(u, v)) d(u, v) Dilatación de los grafos β-Skeleton 12/22
22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | Dilatación - Cotas Dos propiedades:(1) Propiedad del Diamante Existe un ángulo α tal que para toda arista (u, v), uno de los triángulos isóscelesces con base (u, v) y ángulo α es vacio: Dilatación de los grafos β-Skeleton 13/22
23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | Dilatación - Cotas Dos propiedades:(1) Propiedad del Diamante Existe un ángulo α tal que para toda arista (u, v), uno de los triángulos isóscelesces con base (u, v) y ángulo α es vacio: Dilatación de los grafos β-Skeleton 13/22
24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | Dilatación - Cotas Dos propiedades:(2) Propiedad del ’Buen’ Polígono Hay una cota d para la dilatación entre puntos visibles de una misma cara del grafo Dilatación de los grafos β-Skeleton 14/22
25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | Dilatación - Cotas Dos propiedades:(2) Propiedad del ’Buen’ Polígono Hay una cota d para la dilatación entre puntos visibles de una misma cara del grafo Dilatación de los grafos β-Skeleton 14/22
26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | Dilatación - Cotas Si se cumplen ambas propiedades, la dilatación estará acotada Dilatación de los grafos β-Skeleton 15/22
27. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | Dilatación - Cotas Si se cumplen ambas propiedades, la dilatación estará acotada Lo que se pensaba Los β-Skeletons son definidos de una manera similar a la propiedad del diamante, por tanto Dilatación de los grafos β-Skeleton 15/22
28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | Dilatación - Cotas Si se cumplen ambas propiedades, la dilatación estará acotada Lo que se pensaba Los β-Skeletons son definidos de una manera similar a la propiedad del diamante, por tanto se esperaba que su dilatación estuviera acotada Dilatación de los grafos β-Skeleton 15/22
29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | Dilatación - Cotas Si se cumplen ambas propiedades, la dilatación estará acotada Lo que se pensaba Los β-Skeletons son definidos de una manera similar a la propiedad del diamante, por tanto se esperaba que su dilatación estuviera acotada Lo que se encontró No lo está Dilatación de los grafos β-Skeleton 15/22
30. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | Construcción fractal Construcción Construiremos una Curva fractal de manera recursiva de modo que el β-Skeleton de sus vertices sea la misma curva Dilatación de los grafos β-Skeleton 17/22
32. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | Construcción fractal Construcción Construiremos una Curva fractal de manera recursiva de modo que el β-Skeleton de sus vertices sea la misma curva P(θ, 1) Dilatación de los grafos β-Skeleton 17/22
33. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | Construcción fractal Construcción Construiremos una Curva fractal de manera recursiva de modo que el β-Skeleton de sus vertices sea la misma curva P(θ, 1) P(θ, 2) Dilatación de los grafos β-Skeleton 17/22
34. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | Construcción fractal Construcción Construiremos una Curva fractal de manera recursiva de modo que el β-Skeleton de sus vertices sea la misma curva P(θ, 1) P(θ, 2) P(θ, 3) Dilatación de los grafos β-Skeleton 17/22
35. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | Construcción fractal ¿Para qué? Dilatación de los grafos β-Skeleton 18/22
36. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | Construcción fractal ¿Para qué? En cada iteración la longitud de la curva aumenta. Dilatación de los grafos β-Skeleton 18/22
37. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | Construcción fractal ¿Para qué? En cada iteración la longitud de la curva aumenta. Luego la dilatación tambien. Dilatación de los grafos β-Skeleton 18/22
38. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | Construcción fractal ¿Para qué? En cada iteración la longitud de la curva aumenta. Luego la dilatación tambien. La dilatación de los β-skeletons es no acotada Dilatación de los grafos β-Skeleton 18/22
39. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | Algunos lemas Dilatación de los grafos β-Skeleton 19/22
40. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | Algunos lemas Lema 0: Si ℓk (θ) es la longitud de P(θ, k) entonces ℓk (θ) = ℓk 1 (θ) Dilatación de los grafos β-Skeleton 19/22
41. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | Algunos lemas Lema 0: Si ℓk (θ) es la longitud de P(θ, k) entonces ℓk (θ) = ℓk 1 (θ) Lema 1: P(θ, k) está contenido en un diamante de angulo θ Dilatación de los grafos β-Skeleton 19/22
42. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | Algunos lemas Lema 0: Si ℓk (θ) es la longitud de P(θ, k) entonces ℓk (θ) = ℓk 1 (θ) Lema 1: P(θ, k) está contenido en un diamante de angulo θ Lema 2: Si θ < (π − arcsin β)/2, P(θ, k) es su propio β-skeleton Dilatación de los grafos β-Skeleton 19/22
43. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | Algunos lemas Lema 1: P(θ, k) está contenido en un diamante de angulo θ Dilatación de los grafos β-Skeleton 20/22
44. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | Algunos lemas Lema 1: P(θ, k) está contenido en un diamante de angulo θ Dilatación de los grafos β-Skeleton 20/22
45. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | El teorema Teorema: Para todo β > 0, existe c > 0 tal que los β-skeletons de n puntos tienen dilatación Ω(nc) Dilatación de los grafos β-Skeleton 21/22
46. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación Preliminares Sobre la Dilatación Resultados | Referencias Agrawal, Manindra, Neeraj Kayal, and Nitin Saxena. “PRIMES Is in P.” Annals of Mathematics 160, no. 2 (September 1, 2004): 781–93. doi:10.4007/annals.2004.160.781. Arora, Sanjeev, and Boaz Barak. Computational Complexity: A Modern Approach. 1 edition. Cambridge ; New York: Cambridge University Press, 2009. Bornemann, Folkmar. “PRIMES Is in P: A Breakthrough for‘ Everyman.’” NOTICES-AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY 50, no. 5 (2003): 545–53. Gathen, Joachim von zur, and Jürgen Gerhard. Modern Computer Algebra. 3 edition. Cambridge University Press, 2013. Dilatación de los grafos β-Skeleton 22/22