Votación con Jerarquías desde la Teoría de Juegos

Breve explicación introductoria a cómo el uso del valor de Shapley genera jerarquías en votaciones con una serie de propiedades deseables

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1. RankingProblemasa CooperativeGame DivaMartínezLaverde UniversidaddelosAndes Nov27,2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. MotivaciónyBackground . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | Motivación Pregunta ¿Qué es el Ranking Problem? Ranking Problem as a Cooperative Game 3/22
4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | Motivación Pregunta ¿Qué es el Ranking Problem? Cómo organizar elementos de un conjunto dadas preferencias Ranking Problem as a Cooperative Game 3/22
5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | Motivación Pregunta ¿Qué es el Ranking Problem? Cómo organizar elementos de un conjunto dadas preferencias Votaciones: Cómo escoger Ranking Problem as a Cooperative Game 3/22
6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | Background Votaciones Ranking Problem as a Cooperative Game 4/22
7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | Background Votaciones Hay muchas formas de votación: Ranking Problem as a Cooperative Game 4/22
8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | Background Votaciones Hay muchas formas de votación: ▶ Voto por mayoría simple Ranking Problem as a Cooperative Game 4/22
9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | Background Votaciones Hay muchas formas de votación: ▶ Voto por mayoría simple ▶ Voto de aprovación Ranking Problem as a Cooperative Game 4/22
10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | Background Votaciones Hay muchas formas de votación: ▶ Voto por mayoría simple ▶ Voto de aprovación ▶ Voto de valuación Ranking Problem as a Cooperative Game 4/22
11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | Background Votaciones Hay muchas formas de votación: ▶ Voto por mayoría simple ▶ Voto de aprovación ▶ Voto de valuación ▶ EleccionesJerarquizadas Ranking Problem as a Cooperative Game 4/22
12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | Background Votaciones Hay muchas formas de votación: ▶ Voto por mayoría simple ▶ Voto de aprovación ▶ Voto de valuación ▶ EleccionesJerarquizadas Ranking Problem as a Cooperative Game 4/22
13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | Background Votaciones Hay muchas formas de votación: ▶ Voto por mayoría simple ▶ Voto de aprovación ▶ Voto de valuación ▶ EleccionesJerarquizadas Idea: Modelar Elecciones Jerarquizadas como un juego cooperativo Ranking Problem as a Cooperative Game 4/22
14. ElprocedimientodeJerarquización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El problema Definiciones Propiedades Definicióndelproblema Definición: Elproblema Dados n ⩾ 2 votantes P, m ⩾ 2 candidatos A Cada votante con (posiblemente) más de una papeleta Ranking Problem as a Cooperative Game 6/22
16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El problema Definiciones Propiedades Definicióndelproblema Definición: Elproblema Dados n ⩾ 2 votantes P, m ⩾ 2 candidatos A Cada votante con (posiblemente) más de una papeleta Cada votante define sobre A un orden lineal Ranking Problem as a Cooperative Game 6/22
17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El problema Definiciones Propiedades Definicióndelproblema Definición: Elproblema Dados n ⩾ 2 votantes P, m ⩾ 2 candidatos A Cada votante con (posiblemente) más de una papeleta Cada votante define sobre A un orden lineal ProcesodeJerarquización: ¿Cómo elegir al ganador? Ranking Problem as a Cooperative Game 6/22
18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El problema Definiciones Propiedades Definicióndelproblema Definición: Elproblema Dados n ⩾ 2 votantes P, m ⩾ 2 candidatos A Cada votante con (posiblemente) más de una papeleta Cada votante define sobre A un orden lineal ProcesodeJerarquización: ¿Cómo elegir al ganador? Idea: Definir un proceso de Jerarquización/ Conteo de Votos para definir al ganador Ranking Problem as a Cooperative Game 6/22
19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El problema Definiciones Propiedades Algunasdefiniciones: Perfildepreferencia Definición: Perfildepreferencia Una función f : σ(A) −→ {0 . . . n} tal que ∑ x∈σ(A) f(x) = n Ranking Problem as a Cooperative Game 7/22
20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El problema Definiciones Propiedades Algunasdefiniciones: Perfildepreferencia Unejemplo Dados n = 45 votantes and m = 5 candidatos 5 5 8 3 7 2 7 8 a a b c c c d e c d e a a b c b b e d b e a e a e c a e b d b d d b c d d e a c Ranking Problem as a Cooperative Game 8/22
21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El problema Definiciones Propiedades Algunasdefiniciones: Matrizdetorneo Definición: Matrizdetorneo Dado un perfil de preferencia. Ranking Problem as a Cooperative Game 9/22
22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El problema Definiciones Propiedades Algunasdefiniciones: Matrizdetorneo Definición: Matrizdetorneo Dado un perfil de preferencia. hij := Papeletas en las que i supera a j Ranking Problem as a Cooperative Game 9/22
23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El problema Definiciones Propiedades Algunasdefiniciones: Matrizdetorneo Unejemplo Dados n = 45 votantes and m = 5 candidatos 5 5 8 3 7 2 7 8 a a b c c c d e c d e a a b c b b e d b e a e a e c a e b d b d d b c d d e a c a b c d e a 20 26 30 22 b 25 16 33 18 c 19 29 17 24 d 15 12 28 14 e 23 17 21 31 Ranking Problem as a Cooperative Game 10/22
24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El problema Definiciones Propiedades Propiedadesdeseadas Queremos que el proceso de Jerarquización cumpla algunas propiedades: Ranking Problem as a Cooperative Game 11/22
25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El problema Definiciones Propiedades Propiedadesdeseadas Queremos que el proceso de Jerarquización cumpla algunas propiedades: Ranking Problem as a Cooperative Game 11/22
26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El problema Definiciones Propiedades Propiedadesdeseadas Queremos que el proceso de Jerarquización cumpla algunas propiedades: ▶ Unanimidad Ranking Problem as a Cooperative Game 11/22
27. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El problema Definiciones Propiedades Propiedadesdeseadas Queremos que el proceso de Jerarquización cumpla algunas propiedades: ▶ Unanimidad Si cada votante prefiere a x sobre j,la jerarquía final tiene esta misma preferencia. Ranking Problem as a Cooperative Game 11/22
28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El problema Definiciones Propiedades Propiedadesdeseadas Queremos que el proceso de Jerarquización cumpla algunas propiedades: ▶ Unanimidad Si cada votante prefiere a x sobre j,la jerarquía final tiene esta misma preferencia. ▶ PropiedaddeCondorcet Ranking Problem as a Cooperative Game 11/22
29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El problema Definiciones Propiedades Propiedadesdeseadas Queremos que el proceso de Jerarquización cumpla algunas propiedades: ▶ Unanimidad Si cada votante prefiere a x sobre j,la jerarquía final tiene esta misma preferencia. ▶ PropiedaddeCondorcet Si un candidato i gana cualquier otro (par a par) será primero en la jerarquía final. Ranking Problem as a Cooperative Game 11/22
30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El problema Definiciones Propiedades Propiedadesdeseadas Queremos que el proceso de Jerarquización cumpla algunas propiedades: ▶ Unanimidad Si cada votante prefiere a x sobre j,la jerarquía final tiene esta misma preferencia. ▶ PropiedaddeCondorcet Si un candidato i gana cualquier otro (par a par) será primero en la jerarquía final. ∀j ∈ A \ {i} hij > n 2 Ranking Problem as a Cooperative Game 11/22
31. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El problema Definiciones Propiedades Propiedadesdeseadas Queremos que el proceso de Jerarquización cumpla algunas propiedades: ▶ Unanimidad Si cada votante prefiere a x sobre j,la jerarquía final tiene esta misma preferencia. ▶ PropiedaddeCondorcet Si un candidato i gana cualquier otro (par a par) será primero en la jerarquía final. ∀j ∈ A \ {i} hij > n 2 Este candidato se llama GanadordeCondorcet Ranking Problem as a Cooperative Game 11/22
32. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El problema Definiciones Propiedades Propiedadesdeseadas Queremos que el proceso de Jerarquización cumpla algunas propiedades: ▶ Unanimidad Si cada votante prefiere a x sobre j,la jerarquía final tiene esta misma preferencia. ▶ PropiedaddeCondorcet Si un candidato i gana cualquier otro (par a par) será primero en la jerarquía final. ∀j ∈ A \ {i} hij > n 2 Este candidato se llama GanadordeCondorcet ▶ Monotonicidad Ranking Problem as a Cooperative Game 11/22
33. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El problema Definiciones Propiedades Propiedadesdeseadas Queremos que el proceso de Jerarquización cumpla algunas propiedades: ▶ Unanimidad Si cada votante prefiere a x sobre j,la jerarquía final tiene esta misma preferencia. ▶ PropiedaddeCondorcet Si un candidato i gana cualquier otro (par a par) será primero en la jerarquía final. ∀j ∈ A \ {i} hij > n 2 Este candidato se llama GanadordeCondorcet ▶ Monotonicidad Si un votante aumenta la preferencia del candidato i, su nivel final no decrece. Ranking Problem as a Cooperative Game 11/22
34. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El problema Definiciones Propiedades Otraspropiedades Definimos algunas propiedades útiles Ranking Problem as a Cooperative Game 12/22
35. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El problema Definiciones Propiedades Otraspropiedades Definimos algunas propiedades útiles Ranking Problem as a Cooperative Game 12/22
36. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El problema Definiciones Propiedades Otraspropiedades Definimos algunas propiedades útiles ▶ PropiedaddeCondorcet(Fuerte) Ranking Problem as a Cooperative Game 12/22
37. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El problema Definiciones Propiedades Otraspropiedades Definimos algunas propiedades útiles ▶ PropiedaddeCondorcet(Fuerte) Definimos w(x) := candidatos a los que x gana (par a par), l(x) := contra los que pierde. Si Ranking Problem as a Cooperative Game 12/22
38. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El problema Definiciones Propiedades Otraspropiedades Definimos algunas propiedades útiles ▶ PropiedaddeCondorcet(Fuerte) Definimos w(x) := candidatos a los que x gana (par a par), l(x) := contra los que pierde. Si w(y) ⊆ w(x), l(x) ⊆ l(y) hxy > n 2 , Ranking Problem as a Cooperative Game 12/22
39. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El problema Definiciones Propiedades Otraspropiedades Definimos algunas propiedades útiles ▶ PropiedaddeCondorcet(Fuerte) Definimos w(x) := candidatos a los que x gana (par a par), l(x) := contra los que pierde. Si w(y) ⊆ w(x), l(x) ⊆ l(y) hxy > n 2 , Entonces x no queda más abajo que y en la jerarquía Ranking Problem as a Cooperative Game 12/22
40. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El problema Definiciones Propiedades Otraspropiedades Definimos algunas propiedades útiles ▶ PropiedaddeCondorcet(Fuerte) Definimos w(x) := candidatos a los que x gana (par a par), l(x) := contra los que pierde. Si w(y) ⊆ w(x), l(x) ⊆ l(y) hxy > n 2 , Entonces x no queda más abajo que y en la jerarquía ▶ Mayoría Ranking Problem as a Cooperative Game 12/22
41. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El problema Definiciones Propiedades Otraspropiedades Definimos algunas propiedades útiles ▶ PropiedaddeCondorcet(Fuerte) Definimos w(x) := candidatos a los que x gana (par a par), l(x) := contra los que pierde. Si w(y) ⊆ w(x), l(x) ⊆ l(y) hxy > n 2 , Entonces x no queda más abajo que y en la jerarquía ▶ Mayoría Dada un permutación σ de candidatos, se pueden agregar papeletas de modo que σ sea la jerarquía final. Ranking Problem as a Cooperative Game 12/22
42. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El problema Definiciones Propiedades Otraspropiedades Teorema: PropiedaddeCondorcet =⇒ PropiedaddeMayoría Agregamos el número de papeletas originales +1 Ranking Problem as a Cooperative Game 13/22
43. Funcióncaracterística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El Teorema Funcióncaracterísticacomoelvalordeljuego Definiremos la función característica v como sigue: Ranking Problem as a Cooperative Game 15/22
45. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El Teorema Funcióncaracterísticacomoelvalordeljuego Definiremos la función característica v como sigue: ▶ Coalición K vs Coalición A \ K Ranking Problem as a Cooperative Game 15/22
46. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El Teorema Funcióncaracterísticacomoelvalordeljuego Definiremos la función característica v como sigue: ▶ Coalición K vs Coalición A \ K ▶ K propone a i y A \ K propone a j Ranking Problem as a Cooperative Game 15/22
47. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El Teorema Funcióncaracterísticacomoelvalordeljuego Definiremos la función característica v como sigue: ▶ Coalición K vs Coalición A \ K ▶ K propone a i y A \ K propone a j ▶ La utilidad es H(i, j) = I(hij − n 2) Ranking Problem as a Cooperative Game 15/22
48. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El Teorema Funcióncaracterísticacomoelvalordeljuego Definiremos la función característica v como sigue: ▶ Coalición K vs Coalición A \ K ▶ K propone a i y A \ K propone a j ▶ La utilidad es H(i, j) = I(hij − n 2) Ranking Problem as a Cooperative Game 15/22
49. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El Teorema Funcióncaracterísticacomoelvalordeljuego Definiremos la función característica v como sigue: ▶ Coalición K vs Coalición A \ K ▶ K propone a i y A \ K propone a j ▶ La utilidad es H(i, j) = I(hij − n 2) ▶ Este juego tiene un equilibrio en estrategiasmixtas (Nash) Ranking Problem as a Cooperative Game 15/22
50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El Teorema Funcióncaracterísticacomoelvalordeljuego Definiremos la función característica v como sigue: ▶ Coalición K vs Coalición A \ K ▶ K propone a i y A \ K propone a j ▶ La utilidad es H(i, j) = I(hij − n 2) ▶ Este juego tiene un equilibrio en estrategiasmixtas (Nash) ▶ Definimos v(K) := El valor del juego bajo la estrategia de equilibrio Ranking Problem as a Cooperative Game 15/22
51. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El Teorema Funcióncaracterísticacomoelvalordeljuego Unejemplo Dados n = 45 votantes and m = 5 candidatos, pongamos a jugar la Coalición ac vs bde Ranking Problem as a Cooperative Game 16/22
52. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El Teorema Funcióncaracterísticacomoelvalordeljuego Unejemplo Dados n = 45 votantes and m = 5 candidatos, pongamos a jugar la Coalición ac vs bde a b c d e a 20 26 30 22 b 25 16 33 18 c 19 29 17 24 d 15 12 28 14 e 23 17 21 31 Ranking Problem as a Cooperative Game 16/22
53. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El Teorema Funcióncaracterísticacomoelvalordeljuego Unejemplo Dados n = 45 votantes and m = 5 candidatos, pongamos a jugar la Coalición ac vs bde a b c d e a 20 26 30 22 b 25 16 33 18 c 19 29 17 24 d 15 12 28 14 e 23 17 21 31 b d e a 0 1 0 c 1 0 1 Ranking Problem as a Cooperative Game 16/22
54. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El Teorema Funcióncaracterísticacomoelvalordeljuego Unejemplo Dados n = 45 votantes and m = 5 candidatos, pongamos a jugar la Coalición ac vs bde a b c d e a 20 26 30 22 b 25 16 33 18 c 19 29 17 24 d 15 12 28 14 e 23 17 21 31 b d e a 0 1 0 c 1 0 1 Bajo estrategias mixtas su valor es 0.5 Ranking Problem as a Cooperative Game 16/22
55. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El Teorema Funcióncaracterísticacomoelvalordeljuego Unejemplo Dados n = 45 votantes and m = 5 candidatos, pongamos a jugar la Coalición ac vs bde a b c d e a 20 26 30 22 b 25 16 33 18 c 19 29 17 24 d 15 12 28 14 e 23 17 21 31 b d e a 0 1 0 c 1 0 1 Bajo estrategias mixtas su valor es 0.5 v(ac) = v(bde) = 0.5 Ranking Problem as a Cooperative Game 16/22
56. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El Teorema ElTeorema Teorema: La función característica v es nonegativa y monótona. Ranking Problem as a Cooperative Game 17/22
57. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El Teorema ElTeorema Teorema: La función característica v es nonegativa y monótona. Jerarquía basada en el ValordeShapley cumple las propiedades de: Ranking Problem as a Cooperative Game 17/22
58. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El Teorema ElTeorema Teorema: La función característica v es nonegativa y monótona. Jerarquía basada en el ValordeShapley cumple las propiedades de: ▶ Unanimidad Ranking Problem as a Cooperative Game 17/22
59. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El Teorema ElTeorema Teorema: La función característica v es nonegativa y monótona. Jerarquía basada en el ValordeShapley cumple las propiedades de: ▶ Unanimidad ▶ Monotonicidad Ranking Problem as a Cooperative Game 17/22
60. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El Teorema ElTeorema Teorema: La función característica v es nonegativa y monótona. Jerarquía basada en el ValordeShapley cumple las propiedades de: ▶ Unanimidad ▶ Monotonicidad ▶ Mayoría Ranking Problem as a Cooperative Game 17/22
61. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El Teorema ElTeorema Teorema: La función característica v es nonegativa y monótona. Jerarquía basada en el ValordeShapley cumple las propiedades de: ▶ Unanimidad ▶ Monotonicidad ▶ Mayoría ▶ Propiedad de Condorcet Ranking Problem as a Cooperative Game 17/22
62. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El Teorema ElTeorema Teorema: La función característica v es nonegativa y monótona. Jerarquía basada en el ValordeShapley cumple las propiedades de: ▶ Unanimidad ▶ Monotonicidad ▶ Mayoría ▶ Propiedad de Condorcet ▶ Propiedad fuerte de Condorcet Ranking Problem as a Cooperative Game 17/22
63. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El Teorema Lademostración ▶ Nonegatividad y Monotonía Ranking Problem as a Cooperative Game 18/22
64. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El Teorema Lademostración ▶ Nonegatividad y Monotonía ▶ Monotonía Ranking Problem as a Cooperative Game 18/22
65. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El Teorema Lademostración ▶ Nonegatividad y Monotonía ▶ Monotonía Ranking Problem as a Cooperative Game 18/22
66. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El Teorema Lademostración ▶ Nonegatividad y Monotonía ▶ Monotonía Supongamos que x es preferido a y por todos Ranking Problem as a Cooperative Game 18/22
67. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El Teorema Lademostración ▶ Nonegatividad y Monotonía ▶ Monotonía Supongamos que x es preferido a y por todos Debemos verificar para S ∈ A \ {x, y} v(y ∪ S) ⩽ v(x ∪ S) Ranking Problem as a Cooperative Game 18/22
68. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El Teorema Lademostración ▶ Nonegatividad y Monotonía ▶ Monotonía Supongamos que x es preferido a y por todos Debemos verificar para S ∈ A \ {x, y} v(y ∪ S) ⩽ v(x ∪ S) ∀i hix < hiy ∀j hyj < hxj Ranking Problem as a Cooperative Game 18/22
69. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El Teorema Lademostración ▶ Nonegatividad y Monotonía ▶ Monotonía Supongamos que x es preferido a y por todos Debemos verificar para S ∈ A \ {x, y} v(y ∪ S) ⩽ v(x ∪ S) ∀i hix < hiy ∀j hyj < hxj ∀i H(i, x) < H(i, y) ∀j H(y, j) < H(x, j) Ranking Problem as a Cooperative Game 18/22
70. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | El Teorema Lademostración ▶ Nonegatividad y Monotonía ▶ Monotonía Supongamos que x es preferido a y por todos Debemos verificar para S ∈ A \ {x, y} v(y ∪ S) ⩽ v(x ∪ S) ∀i hix < hiy ∀j hyj < hxj ∀i H(i, x) < H(i, y) ∀j H(y, j) < H(x, j) La matriz del juego y ∪ S verá menor en cada entrada a x ∪ S Ranking Problem as a Cooperative Game 18/22
71. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | Conclusiones ▶ El método cumple las propiedades deseadas Ranking Problem as a Cooperative Game 20/22
73. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | Conclusiones ▶ El método cumple las propiedades deseadas ▶ Comparado a otros métodos muestra mejores resultados Ranking Problem as a Cooperative Game 20/22
74. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | Conclusiones ▶ El método cumple las propiedades deseadas ▶ Comparado a otros métodos muestra mejores resultados ▶ Puede ser refinado si se consideran como utilidad el números de votos y se trabaja en estrategias puras Ranking Problem as a Cooperative Game 20/22
75. Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivación y Background El procedimiento de Jerarquización Función característica Conclusiones Referencias | Referencias Kondratev, Mazalov “The Ranking Problem of Alternatives as a Cooperative Game”. Institute of Applied Mathematical Research. arXiv:1511.04437v1 Ranking Problem as a Cooperative Game 22/22