How hard is Minesweepers?

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1. ¿Qué tan difícil es Buscaminas? Diva Martínez Christian Poveda Universidad de los Andes 19 de noviembre de 2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Contenido 1 ⃝ Introducción 2 ⃝ Preliminares 3 ⃝ Buscaminas es NP-Completo Operadores Conectores El Algoritmo La reducción es polinomial 4 ⃝ Buscaminas es #P-Completo 5 ⃝ Haciendo Buscaminas más fácil ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 2/37
3. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | El juego ¿Qué es Buscaminas? ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 4/37
5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | El juego ¿Qué es Buscaminas? ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 4/37
6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | El juego en el mundo de la Complejidad Pregunta ¿Qué es Buscaminas en Complejidad Computacional? ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 5/37
7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | El juego en el mundo de la Complejidad Pregunta ¿Qué es Buscaminas en Complejidad Computacional? El juego genera varias aproximaciones: ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 5/37
8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | El juego en el mundo de la Complejidad Pregunta ¿Qué es Buscaminas en Complejidad Computacional? El juego genera varias aproximaciones: Problema de Decisión ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 5/37
9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | El juego en el mundo de la Complejidad Pregunta ¿Qué es Buscaminas en Complejidad Computacional? El juego genera varias aproximaciones: Problema de Decisión Problema de Conteo ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 5/37
10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | El juego en el mundo de la Complejidad Pregunta ¿Qué es Buscaminas en Complejidad Computacional? El juego genera varias aproximaciones: Problema de Decisión Problema de Conteo Problema de Inferencia ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 5/37
11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | El juego en el mundo de la Complejidad Pregunta ¿Qué es Buscaminas en Complejidad Computacional? El juego genera varias aproximaciones: Problema de Decisión Problema de Conteo Problema de Inferencia Otros cuantos más ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 5/37
12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | El juego en el mundo de la Complejidad Pregunta ¿Qué es Buscaminas en Complejidad Computacional? El juego genera varias aproximaciones: Problema de Decisión Problema de Conteo Problema de Inferencia Otros cuantos más Trataremos las dos primeras y mencionaremos algunos resultados referentes a las demás. ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 5/37
13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Motivación Pregunta ¿Por qué es interesante? ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 6/37
14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Motivación Pregunta ¿Por qué es interesante? Es una muy buena ilustración de dos problemas abiertos en Teoría de Complejidad ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 6/37
15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Motivación Pregunta ¿Por qué es interesante? Es una muy buena ilustración de dos problemas abiertos en Teoría de Complejidad NP = P? ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 6/37
16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Motivación Pregunta ¿Por qué es interesante? Es una muy buena ilustración de dos problemas abiertos en Teoría de Complejidad NP = P? NP = co-NP? ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 6/37
17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Motivación Pregunta ¿Por qué es interesante? Es una muy buena ilustración de dos problemas abiertos en Teoría de Complejidad NP = P? NP = co-NP? como veremos más adelante. ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 6/37
18. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Los problemas Definición: MCP Minesweeper Consistency Problem MCP = {⟨T⟩ | T es un tablero de Buscaminas consistente} Es decir, existe un patrón de minas que lo reproduce ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 8/37
20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Los problemas Definición: MCP Minesweeper Consistency Problem MCP = {⟨T⟩ | T es un tablero de Buscaminas consistente} Es decir, existe un patrón de minas que lo reproduce Definición: #MCP Solutions to MCP Si T es una instancia de MCP f(T) = |{a | a es un patrón de minas que reproduce a T}| Un problema de #MCP tiene como instancia un tablero T y como retorno f(T) ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 8/37
21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Una nueva clase de complejidad Definición: #P El conjunto de problemas de conteo de caminos de aceptación de má- quinas no-deterministas ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 9/37
22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Una nueva clase de complejidad Definición: #P El conjunto de problemas de conteo de caminos de aceptación de má- quinas no-deterministas Definición: #P-Completo Un problema de función F es #P-Completo si: F ∈#P es #P-Hard. ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 9/37
23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Una nueva clase de complejidad Definición: #P El conjunto de problemas de conteo de caminos de aceptación de má- quinas no-deterministas Definición: #P-Completo Un problema de función F es #P-Completo si: F ∈#P es #P-Hard. Es decir, para cualquier problema de conteo de caminos de aceptación, este puede ser reducido a F en tiempo polinomial ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 9/37
24. Buscaminas es NP-Completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Op Estrategia ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 11/37
26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Op Estrategia Estrategia Reducir Circuit-SAT a MCP Circuit-SAT ≤p MCP ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 11/37
27. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Op Estrategia Estrategia Reducir Circuit-SAT a MCP Circuit-SAT ≤p MCP La reducción consiste en: Para cada operador, diseñar un tablero que lo emule ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 11/37
28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Op Estrategia Estrategia Reducir Circuit-SAT a MCP Circuit-SAT ≤p MCP La reducción consiste en: Para cada operador, diseñar un tablero que lo emule Diseñar conectores para unir los operadores ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 11/37
29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Op Estrategia Estrategia Reducir Circuit-SAT a MCP Circuit-SAT ≤p MCP La reducción consiste en: Para cada operador, diseñar un tablero que lo emule Diseñar conectores para unir los operadores Finalmente, verificar que la construcción es polinomial ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 11/37
30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Op Los operadores: El operador unario NOT ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 12/37
31. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Op Los operadores: El operador binario OR ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 13/37
32. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Op Los operadores: El operador binario AND ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 14/37
33. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Op Los conectores: Cable recto ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 15/37
34. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Op Los conectores: Terminación de un cable ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 16/37
35. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Op Los conectores: Divisor ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 17/37
36. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Op Los conectores: Codo/ Cable doblado ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 18/37
37. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Op Los conectores: Superposición de cables ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 19/37
38. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Op Reducción ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 20/37
39. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Op Reducción Reducción Por cada operador crear su tablero correspondiente (cuyo tamaño es constante). ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 20/37
40. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Op Reducción Reducción Por cada operador crear su tablero correspondiente (cuyo tamaño es constante). El diseño de cada operador garantiza que se puede unir con cualquier otra pieza “ensamblando”. ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 20/37
41. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Op Reducción Reducción Por cada operador crear su tablero correspondiente (cuyo tamaño es constante). El diseño de cada operador garantiza que se puede unir con cualquier otra pieza “ensamblando”. De ser necesario, utilizar conectores. ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 20/37
42. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Op Reducción Reducción Por cada operador crear su tablero correspondiente (cuyo tamaño es constante). El diseño de cada operador garantiza que se puede unir con cualquier otra pieza “ensamblando”. De ser necesario, utilizar conectores. Completar el tablero con 0s. ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 20/37
43. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Op ¿Es polinomial? Operador -> subtablero: tiempo y tamaño constante ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 21/37
44. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Op ¿Es polinomial? Operador -> subtablero: tiempo y tamaño constante Tablero completo: tiene de lado como máximo la suma de los tamaños de los tableros de cada operador. ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 21/37
45. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Op ¿Es polinomial? Operador -> subtablero: tiempo y tamaño constante Tablero completo: tiene de lado como máximo la suma de los tamaños de los tableros de cada operador. Tablero completo: tiene tamaño polinomial en el tamaño de la entrada ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 21/37
46. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Op ¿Es polinomial? Operador -> subtablero: tiempo y tamaño constante Tablero completo: tiene de lado como máximo la suma de los tamaños de los tableros de cada operador. Tablero completo: tiene tamaño polinomial en el tamaño de la entrada Tablero completo: Se construye en tiempo polinomial ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 21/37
47. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Op ¿Es polinomial? Operador -> subtablero: tiempo y tamaño constante Tablero completo: tiene de lado como máximo la suma de los tamaños de los tableros de cada operador. Tablero completo: tiene tamaño polinomial en el tamaño de la entrada Tablero completo: Se construye en tiempo polinomial El algoritmo es polinomial ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 21/37
48. Buscaminas es #P-Completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Estrategia ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 23/37
50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Estrategia Estrategia Reducir #Circuit-SAT a #MCP #Circuit-SAT ≤p #MCP ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 23/37
51. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Estrategia Estrategia Reducir #Circuit-SAT a #MCP #Circuit-SAT ≤p #MCP La reducción consiste en: Construir el mismo tablero para un circuito booleano ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 23/37
52. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Estrategia Estrategia Reducir #Circuit-SAT a #MCP #Circuit-SAT ≤p #MCP La reducción consiste en: Construir el mismo tablero para un circuito booleano El número de asignaciones consistentes del tablero es igual al número de asignaciones consistentes para las entradas del circuito ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 23/37
53. Haciendo Buscaminas más fácil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Estrategia En vez de celdas... ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 25/37
55. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Estrategia Pensar en grafos ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 26/37
56. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Un nuevo problema Qué tanto hay que simplificar un grafo para que: ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 27/37
57. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Un nuevo problema Qué tanto hay que simplificar un grafo para que: El problema de consistencia esté en P ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 27/37
58. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Un nuevo problema Qué tanto hay que simplificar un grafo para que: El problema de consistencia esté en P Contar asignaciones consistentes esté en P ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 27/37
59. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Solución En ambos casos, un árbol es suficiente ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 28/37
60. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Un nuevo lenguaje Definición: TMCP Tree Minesweeper Consistency Problem TMCP = {⟨T⟩ | T es un árbol de Buscaminas consistente} Es decir, existe un patrón de minas que lo reproduce ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 29/37
61. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Un nuevo lenguaje Definición: TMCP Tree Minesweeper Consistency Problem TMCP = {⟨T⟩ | T es un árbol de Buscaminas consistente} Es decir, existe un patrón de minas que lo reproduce Definición: #TMCP Dado un árbol de Buscaminas T, retornar el número de patrones de minas que lo reproducen ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 29/37
62. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Un nuevo lenguaje Definición: TMCP Tree Minesweeper Consistency Problem TMCP = {⟨T⟩ | T es un árbol de Buscaminas consistente} Es decir, existe un patrón de minas que lo reproduce Definición: #TMCP Dado un árbol de Buscaminas T, retornar el número de patrones de minas que lo reproducen Definición: #TMCPk Dado un árbol de Buscaminas T, retornar el número de patrones con k minas que lo reproducen ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 29/37
63. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Ahora todo es polinomial Teorema TMCP se puede resolver en tiempo polinomial Demostración: Utilizar... ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 30/37
64. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Ahora todo es polinomial Teorema TMCP se puede resolver en tiempo polinomial Demostración: Utilizar... Teorema #TMCP se puede computar en tiempo polinomial Demostración: Utilizar... ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 30/37
65. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Ahora todo es polinomial Teorema TMCP se puede resolver en tiempo polinomial Demostración: Utilizar... Teorema #TMCP se puede computar en tiempo polinomial Demostración: Utilizar... Teorema #TMCPk se puede computar en tiempo polinomial ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 30/37
66. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Ahora todo es polinomial Teorema TMCP se puede resolver en tiempo polinomial Demostración: Utilizar... Teorema #TMCP se puede computar en tiempo polinomial Demostración: Utilizar... Teorema #TMCPk se puede computar en tiempo polinomial Demostración... ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 30/37
67. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Probando que #TMCP k está en P La idea: ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 31/37
68. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Probando que #TMCP k está en P La idea: Para un árbol T = (V, E) definir P(T) como P(T) = |V| ∑ k=1 ak(T)xk ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 31/37
69. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Probando que #TMCP k está en P La idea: Para un árbol T = (V, E) definir P(T) como P(T) = |V| ∑ k=1 ak(T)xk Donde ak(T) es el resultado de #TMCPk para T ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 31/37
70. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Probando que #TMCP k está en P La idea: Para un árbol T = (V, E) definir P(T) como P(T) = |V| ∑ k=1 ak(T)xk Donde ak(T) es el resultado de #TMCPk para T Queremos ver: P(T) se puede calcular en tiempo polinomial. ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 31/37
71. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Probando que #TMCP k está en P La idea: Para un árbol T = (V, E) definir P(T) como P(T) = |V| ∑ k=1 ak(T)xk Donde ak(T) es el resultado de #TMCPk para T Queremos ver: P(T) se puede calcular en tiempo polinomial. Sub-idea: Calcular P(T) recursivamente. ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 31/37
72. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Probando que #TMCP k está en P Notación: si v es un nodo de T T(v) = sub árbol con raíz v P(v) = P(T(v)) si τ es un símbolo en N ∪ {□, ?, ∗} definir P τ (T) como el polinomio del árbol donde se reemplazó la etiqueta de la raíz por τ. Definir P −(T) como el polinomio del árbol donde se le restó 1 a la etiqueta de la raíz. ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 32/37
73. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Probando que #TMCP k está en P Demostración: si v es una hoja label(v) P(v) P −(v) P□(v) P ∗(v) □ 1 1 1 0 ∗ x x 0 x ? 1 + x 1 + x 1 x 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 2, 3, . . . 0 0 0 0 Cuadro: Polinomios para una hoja ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 33/37
74. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Probando que #TMCP k está en P Si v es la raíz de T y su etiqueta es □ P (T) = ∏ c∈C(v) P (c) Si v es la raíz de T y su etiqueta es ∗ P (T) = ∏ c∈C(v) x · P − (c) ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 34/37
75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Probando que #TMCP k está en P ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 35/37
76. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Probando que #TMCP k está en P Si v es la raíz de T y su etiqueta es ? P (T) = P□ (T) + P ∗ (T) Si v es la raíz de T y su etiqueta es m ∈ N P (T) = ∑ S⊆C(v) ( ∏ c∈S P ∗ (c) · ∏ c/ ∈S P□ (c) ) Con |S| = m ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 36/37
77. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Probando que #TMCP k está en P ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 37/37
78. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Preliminares Buscaminas es NP-Completo Buscaminas es #P-Completo Haciendo Buscaminas más fácil | Gathen, Joachim von zur, y Jürgen Gerhard. Modern Computer Algebra. Tercera edición. Cambridge University Press, 2013. Golan, Shahar. “Minesweeper on Graphs.” Applied Mathematics and Computation 217, no. 14 ( 15 de marzo 2011): 6616–23. doi:10.1016/j.amc.2011.01.046. Kaye, Richard. “Minesweeper Is NP-Complete.” The Mathematical Intelligencer 22, no. 2 (marzo de 2000): 9–15. doi:10.1007/BF03025367. Kaye, Richard. “Some Minesweeper Configurations.“ Boletim Sociedade Portuguesea de Mathemática, número especial (2007) pp 181-189. ISSN 0872-3672. Nakov, Preslav. “Minesweeper,# Minesweeper,” 2003. Papadimitriou, Christos. Computational Complexity. Primera edición. Pearson, 1993. Valiant, Leslie. “The Complexity of Computing the Permanent.” Theoretical Computer Science 8, no. 2 ( 1 de enero de 1979): 189–201. doi:10.1016/0304-3975(79)90044-6. ¿Qué tan difícil es Buscaminas? 37/37