Logika a meze matematického poznání

Povídání o logice a katedře logiky FF UK na dni otevřených dveří 2016.

Transcript

1. Logika Department of Logic FF UK Jonathan Verner
2. Studium logiky na FF UK Department of Logic FF UK Jonathan Verner
3. Obor Logika na FF Department of Logic FF UK Přijímací řízení Deadline 29. 2. 2016 Požadavky Středoškolská matematika Přijímací zkouška Přijímací zkouška na obor Logika je jednokolová, ústní. Uchazeč dostane předem několik otázek, z nichž si zvolí dvě, které si samostatně připraví. Jakmile si je připraví, předstoupí před komisi, která s ním otázky probere. logika.ff.cuni.cz/prijimaci-rizeni-bakalarske-studium
4. Obor Logika na FF Department of Logic FF UK Příklad otázky Rozhodněte, zda platí. Své rozhoduntí zdůvodněte. ▶ Podíl dvou racionálních čísel je vždy racionální číslo ▶ Součin dvou iracionálních čísel je vždy iracionální číslo. ▶ Součet dvou iracionálních čísel je vždy iracionální číslo ▶ Je-li x2 iracionální číslo, pak x je iracionální číslo. ▶ Mezi každými dvěma racionálními čísly existuje iracionální číslo
5. Obor Logika na FF Department of Logic FF UK Povinné přednášky Společný základ 1. Filosofie 2. Cizí jazyk 3. Tělocvik
6. Obor Logika na FF Department of Logic FF UK Povinné přednášky Společný základ 1. Filosofie 2. Cizí jazyk 3. Tělocvik Oborové přednášky v prvním ročníku bakaláře 1. Klasická matematická logika 2. Úvod do matematiky 3. Úvod do programování 4. Analytická filozofie 5. Úvodní seminář matematické lingvistiky
7. Obor Logika na FF Department of Logic FF UK Vybrané další přednášky 1. Modální logiky, Neklasické logiky, Obecné teorie logických systémů
8. Obor Logika na FF Department of Logic FF UK Vybrané další přednášky 1. Modální logiky, Neklasické logiky, Obecné teorie logických systémů 2. Teorie množin, Topologie, Forcing
9. Obor Logika na FF Department of Logic FF UK Vybrané další přednášky 1. Modální logiky, Neklasické logiky, Obecné teorie logických systémů 2. Teorie množin, Topologie, Forcing 3. Formální jazyky a automaty, Teorie důkazů, Vyčíslitelnost, Umělá inteligence
10. Obor Logika na FF Department of Logic FF UK Vybrané další přednášky 1. Modální logiky, Neklasické logiky, Obecné teorie logických systémů 2. Teorie množin, Topologie, Forcing 3. Formální jazyky a automaty, Teorie důkazů, Vyčíslitelnost, Umělá inteligence 4. Filozofie logiky, Dějiny logiky
11. Obor Logika na FF Department of Logic FF UK Vybrané další přednášky 1. Modální logiky, Neklasické logiky, Obecné teorie logických systémů 2. Teorie množin, Topologie, Forcing 3. Formální jazyky a automaty, Teorie důkazů, Vyčíslitelnost, Umělá inteligence 4. Filozofie logiky, Dějiny logiky www.ff.cuni.cz/studium/studijni-obory-plany/ studijni-plany/
12. Obor Logika na FF Department of Logic FF UK Další informace Otázky http://logika.ff.cuni.cz
13. Logika a meze matematického poznání Department of Logic FF UK Jonathan Verner
14. Otázky Department of Logic FF UK Co mají následující otázky společného? I. Je možné dokázat, že se dvě rovnoběžky neprotnou? (problém pátého postulátu)
15. Otázky Department of Logic FF UK Co mají následující otázky společného? I. Je možné dokázat, že se dvě rovnoběžky neprotnou? (problém pátého postulátu) II. Kolik je různě velkých množin reálných čísel? (hypotéza kontinua)
16. Otázky Department of Logic FF UK Co mají následující otázky společného? I. Je možné dokázat, že se dvě rovnoběžky neprotnou? (problém pátého postulátu) II. Kolik je různě velkých množin reálných čísel? (hypotéza kontinua) III. Je možné nalézt axiomy pro matematiku? (Hilbertův program)
17. Eukleidovy základy Department of Logic FF UK Problém pátého postulátu
18. Eukleidovská geometrie Department of Logic FF UK Problém pátého postulátu I. Libovolné dva (různé) body lze spojit právě jednou úsečkou.
19. Eukleidovská geometrie Department of Logic FF UK Problém pátého postulátu I. Libovolné dva (různé) body lze spojit právě jednou úsečkou. II. Danou úsečku lze na obě strany libovolně prodloužit.
20. Eukleidovská geometrie Department of Logic FF UK Problém pátého postulátu I. Libovolné dva (různé) body lze spojit právě jednou úsečkou. II. Danou úsečku lze na obě strany libovolně prodloužit. III. Jsou-li dány dva (různé) body s a a, lze sestrojit kružnici se středem v s, na které leží bod a.
21. Eukleidovská geometrie Department of Logic FF UK Problém pátého postulátu I. Libovolné dva (různé) body lze spojit právě jednou úsečkou. II. Danou úsečku lze na obě strany libovolně prodloužit. III. Jsou-li dány dva (různé) body s a a, lze sestrojit kružnici se středem v s, na které leží bod a. IV. Všechny pravé úhly jsou si rovny.
22. Eukleidovská geometrie Department of Logic FF UK Problém pátého postulátu I. Libovolné dva (různé) body lze spojit právě jednou úsečkou. II. Danou úsečku lze na obě strany libovolně prodloužit. III. Jsou-li dány dva (různé) body s a a, lze sestrojit kružnici se středem v s, na které leží bod a. IV. Všechny pravé úhly jsou si rovny. V. Jestliže úsečka protíná dvě jiné úsečky tak, že na jedné straně je součet přilehlých úhlů menší než dva pravé, pak lze úsečky na této straně prodloužit tak, aby se protly.
23. Lobačevský, Bolyai, Gauss Department of Logic FF UK Problém pátého postulátu
24. Lobačevský, Bolyai, Gauss Department of Logic FF UK Problém pátého postulátu
25. Lobačevský, Bolyai, Gauss Department of Logic FF UK Problém pátého postulátu
26. Zakřivený prostor Department of Logic FF UK Problém pátého postulátu
27. Klein-Beltramiho model Department of Logic FF UK Problém pátého postulátu
28. Hypotéza kontinua Department of Logic FF UK
29. Hypotéza kontinua Department of Logic FF UK
30. Hypotéza kontinua Department of Logic FF UK
31. Georg Cantor Department of Logic FF UK Hypotéza kontinua Věta. Existuje transcendentní číslo (t.j. takové, které není řešením žádné rovnice s racionálními koeficienty).
32. Georg Cantor Department of Logic FF UK Hypotéza kontinua Věta. Existuje transcendentní číslo (t.j. takové, které není řešením žádné rovnice s racionálními koeficienty). Definice. Dvě množiny A, B reálných čísel jsou “stejně velké”, pokud je lze “spárovat”, t.j. existuje prostá funkce f : R → R taková, že f[A] = B.
33. Diagonální argument Department of Logic FF UK Hypotéza kontinua 1 0.71826. . . 2 0.64710. . . 3 0.33333. . . 4 0.11111. . . 5 0.99283. . . . . .
34. Diagonální argument Department of Logic FF UK Hypotéza kontinua 1 0.71826. . . 2 0.64710. . . 3 0.33333. . . 4 0.11111. . . 5 0.99283. . . . . . 0.6
35. Diagonální argument Department of Logic FF UK Hypotéza kontinua 1 0.71826. . . 2 0.64710. . . 3 0.33333. . . 4 0.11111. . . 5 0.99283. . . . . . 0.63
36. Diagonální argument Department of Logic FF UK Hypotéza kontinua 1 0.71826. . . 2 0.64710. . . 3 0.33333. . . 4 0.11111. . . 5 0.99283. . . . . . 0.632
37. Diagonální argument Department of Logic FF UK Hypotéza kontinua 1 0.71826. . . 2 0.64710. . . 3 0.33333. . . 4 0.11111. . . 5 0.99283. . . . . . 0.6320
38. Diagonální argument Department of Logic FF UK Hypotéza kontinua 1 0.71826. . . 2 0.64710. . . 3 0.33333. . . 4 0.11111. . . 5 0.99280. . . . . . 0.63209
39. Hypotéza kontinua Department of Logic FF UK Hypotéza kontinua. Jsou pouze dvě různě velké (nekonečné) podmnožiny reálných čísel.
40. Hypotéza kontinua Department of Logic FF UK Hypotéza kontinua. Jsou pouze dvě různě velké (nekonečné) podmnožiny reálných čísel. 1878 formulovaná Cantorem
41. Hypotéza kontinua Department of Logic FF UK Hypotéza kontinua. Jsou pouze dvě různě velké (nekonečné) podmnožiny reálných čísel. 1878 formulovaná Cantorem 1900 první na seznamu Hilbertových problémů pro 20. století
42. Hypotéza kontinua Department of Logic FF UK Hypotéza kontinua. Jsou pouze dvě různě velké (nekonečné) podmnožiny reálných čísel. 1878 formulovaná Cantorem 1900 první na seznamu Hilbertových problémů pro 20. století 1929 Alexandrov nedokázal CH
43. Hypotéza kontinua Department of Logic FF UK Hypotéza kontinua. Jsou pouze dvě různě velké (nekonečné) podmnožiny reálných čísel. 1878 formulovaná Cantorem 1900 první na seznamu Hilbertových problémů pro 20. století 1929 Alexandrov nedokázal CH 1935 K. Gödel ukázal, že “není možné vyvrátit”
44. Hypotéza kontinua Department of Logic FF UK Hypotéza kontinua. Jsou pouze dvě různě velké (nekonečné) podmnožiny reálných čísel. 1878 formulovaná Cantorem 1900 první na seznamu Hilbertových problémů pro 20. století 1929 Alexandrov nedokázal CH 1935 K. Gödel ukázal, že “není možné vyvrátit” 1963 P. Cohen ukázal, že “není možné dokázat”
45. Russelův Paradox Department of Logic FF UK Axiomy pro matematiku Uvažujme množinu A, která sestává z jiných množin a to právě těch, které sami sebe neobsahují (formálně A = {X : X ̸∈ X}
46. Hilbertův program Department of Logic FF UK Axiomy pro matematiku Hilbertův program Nalézt konečný, úplný systém axiomů pro matematiku a ukázat, že jsou konzistentní.
47. Pravidla správného uvažování Department of Logic FF UK Axiomy pro matematiku
48. Pravidla správného uvažování Department of Logic FF UK Axiomy pro matematiku
49. Pravidla správného uvažování Department of Logic FF UK Axiomy pro matematiku
50. Formální (výroková) logika Department of Logic FF UK Axiomy pro matematiku φ → (ψ → φ)
51. Formální (výroková) logika Department of Logic FF UK Axiomy pro matematiku φ → (ψ → φ) [ φ → (ψ → χ) ] → [ (φ → ψ) → (φ → χ) ] [ ¬φ → ¬ψ ] → [ (¬φ → ψ) → φ ] φ ∧ ψ → φ, φ ∧ ψ → ψ φ → (ψ → φ ∧ ψ) φ → φ ∨ ψ, ψ → φ ∨ ψ [ φ → χ ] → [ (ψ → χ) → (φ ∨ ψ → χ) ]
52. Meze formální metody Department of Logic FF UK Axiomy pro matematiku
53. Geometrie zachráněná Department of Logic FF UK Axiomy pro matematiku
54. Co nevíme o číslech Department of Logic FF UK (a nikdy vědět nebudeme) Goodsteinova věta
55. Co nevíme o číslech Department of Logic FF UK (a nikdy vědět nebudeme) Goodsteinova věta Diofantické rovnice
56. Co nevíme o číslech Department of Logic FF UK (a nikdy vědět nebudeme) Goodsteinova věta Diofantické rovnice Hypotéza kontinua
57. Co nevíme o číslech Department of Logic FF UK (a možná to vědět budeme) Prvočíselná dvojčata
58. Co nevíme o číslech Department of Logic FF UK (a možná to vědět budeme) Prvočíselná dvojčata Riemannova Hypotéza
59. logika.ff.cuni.cz Department of Logic FF UK Jonathan Verner