「強化学習」輪読会#04資料_Chapter4前半

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1. 強化学習 輪読会 #04 Chapter 4 モデルフリー型の強化学習 （前半） @lazurite_ml

2. 自己紹介 @lazurite_ml • JTC勤務 • 興味：データ分析、機械学習、Python • 強化学習初心者

3. Chapter 4 モデルフリー型の強化学習  4.1 データにもとづく意思決定  4.2 価値関数の推定 

   4.3 方策と行動価値関数の学習  4.4*収束性  4.5 アクター・クリティック法

4. Chapter 4 モデルフリー型の強化学習  4.1 データにもとづく意思決定  4.2 価値関数の推定 

   4.3 方策と行動価値関数の学習  4.4*収束性  4.5 アクター・クリティック法

5. 4.1 データにもとづく意思決定 #1 • 意思決定の問題設定 • バッチ学習 ： すべてのデータから方策を学習 •

   オンライン学習 ： データを収集しながら逐次的に学習 • データとは、 エージェントと環境が相互作用した履歴を記録したもの 単一の意思決定系列（4.1式）の場合と、複数系列の場合 ℎ ≜ 0 , 0 , 0 , . . . , −1 , −1 , −1 , (4.1)

6. 4.1 データにもとづく意思決定 #2  状態 で行動 を実行 →報酬 と次状態 ′

   の組 , , , ′ が系列の最小構成 (=標本, 経験データ, 経験とも)  最小構成の系列が N 個ある場合は、 ℎ 1 (1), … , ℎ 1 () = 0 (1), 0 (1), 0 (1), 1 (1) , … , 0 (), 0 (), 0 (), 1 () となり、このような経験データの集合を履歴データと呼ぶ （再掲） ℎ ≜ 0 , 0 , 0 , . . . , −1 , −1 , −1 , (4.1)

7. Chapter 4 モデルフリー型の強化学習  4.1 データにもとづく意思決定  4.2 価値関数の推定 

   4.3 方策と行動価値関数の学習  4.4*収束性  4.5 アクター・クリティック法

8. 4.2 価値関数の推定  4.2.1 ベルマン作用素の標本近似  4.2.2 バッチ学習の場合  4.2.3

   オンライン学習の場合  4.2.3.1 TD法  4.2.3.2 TD(λ)法：エリジビリティ・トレースを用いたTD法

9. 4.2 価値関数の推定 #1  方策 に従い行動選択する場合の期待リターン（価値関数） p.29 をデータから推定する  未知：状態遷移確率、報酬関数の環境情報

    既知：状態数、行動数  価値関数の推定器は、価値関数と同じ自由度を持つ関数 を用いることを想定

10. 4.2 価値関数の推定 #2  履歴データ からのもっとも素朴な 価値関数の推定方法 →モンテカルロ推定：  実績リターン

     ハイパーパラメータ （ に近い時間ステップ のリターン を除外するため）  のリターンは （偏りのある推定）

11. 4.2 価値関数の推定 #3  モンテカルロ推定（再掲）：  実績リターン（再掲）：  特に割引率 が1に近い場合：

    リターンを正確に計算するには →・ を十分に大きくする → を十分に小さくする（ から離したい） →標本数が少なくなる（一般に推定の効率はよくない） →ベルマン作用素にもとづくアプローチへ

12. 4.2 価値関数の推定  4.2.1 ベルマン作用素の標本近似  4.2.2 バッチ学習の場合  4.2.3

    オンライン学習の場合  4.2.3.1 TD法  4.2.3.2 TD(λ)法：エリジビリティ・トレースを用いたTD法

13.  に従い収集した履歴データ からベルマン期待作用素 を標本近似する  は確率変数 の実現値に対応  、 、

    など表記は様々 4.2.1 ベルマン作用素の標本近似 #1

14.  p.43式(2.7) の方策のベルマン期待作用素 は関数 に対して と書けるので… 4.2.1 ベルマン作用素の標本近似 #2

15.  の直接的な近似アプローチとして、以下のように 標本近似することが考えられる ここで を近似ベルマン期待作用素（近似ベルマン作用素）と 呼ぶ 4.2.1 ベルマン作用素の標本近似 #3

16.  がモデルべ―ス型でのベルマン作用素と実質同じであること を確認する  行動 について周辺化した報酬関数 を 最小二乗法で推定 or 最尤推定すれば、任意の

    について が求まり、（周辺化）状態遷移確率 を 多項分布を用いて最尤推定すれば、次の遷移確率を得る 4.2.1 ベルマン作用素の標本近似 #4

17.  と を用いて式(4.4)の近似ベルマン作用素 は と書けるので、 はモデルベース型のアプローチで最尤推定したベルマン作用 素と同一であるとわかる  また は縮小性などのベルマン期待作用素の性質をもつ

    4.2.1 ベルマン作用素の標本近似 #5

18. 4.2.1 ベルマン作用素の標本近似 #6  マルコフ決定過程 がエルゴード性（既約的かつ非周期的 である, p.32）を満たすとする 各状態への滞在確率の極限は初期状態に依存せず非ゼロ

19.  よって近似ベルマン作用素 は極限 で初期状態 に依存せず、 となり、ベルマン期待作用素 に収束（式(4.3)） 4.2.1 ベルマン作用素の標本近似 #7

20. 4.2.1 ベルマン作用素の標本近似 #8  また、Tが有限の場合でも の条件付き期待値は と一致

21. 4.2 価値関数の推定  4.2.1 ベルマン作用素の標本近似  4.2.2 バッチ学習の場合  4.2.3

    オンライン学習の場合  4.2.3.1 TD法  4.2.3.2 TD(λ)法：エリジビリティ・トレースを用いたTD法

22. 4.2.2 バッチ学習の場合 #1  ある方策 に従い行動し収集した履歴データ がすでにあり、 そのデータから の価値関数 を推定するバッチ学習の

    場合を考える (2.30)の近似として ベルマン期待作用素 の代わりに式(4.4)の近似作用素 を用いて のように を更新すればよい  ベルマン作用素の縮小性の補題2.5 b.(p.51)より、式(4.9)を繰り 返し実施することで、 は唯一の不動点 に単調に収束

23. 4.2.2 バッチ学習の場合 #2  式(4.10)は式(2.10)のベルマン方程式の標本近似に対応  式(4.9)の操作を繰り返さなくても、 方策反復法(アルゴリズム2.2)での方策評価の場合のように 連立方程式を解くことで解析的に を求めることも可能

     履歴データ の系列長 の極限 のとき 式(4.7)より は真の に収束するので 推定価値関数 は真の価値関数 に一致

24. 4.2 価値関数の推定  4.2.1 ベルマン作用素の標本近似  4.2.2 バッチ学習の場合  4.2.3

    オンライン学習の場合  4.2.3.1 TD法  4.2.3.2 TD(λ)法：エリジビリティ・トレースを用いたTD法

25. 4.2.3.1 TD法 #1  データが逐次的に追加され、それに従い推定価値関数 を 逐次的に更新するオンライン学習問題を考える  (4.9)をそのままオンライン学習に適用 すると、推定価値関数を

    のように更新することが考えられる  しかし、  履歴データをすべて記憶しておく必要  すべての状態 それぞれに対して を計算する必要 があるため計算量が大きく、効率的ではない

26. 4.2.3.1 TD法 #2  簡略化して現時間ステップ の観測 , , +1 のみを用いて

    を微小に更新すれば となり、履歴データを記憶する必要がなくなる  は学習率（ステップサイズ）というハイパーパラメータ や十分小さい定数などを用いる ※収束性を保証するにはロビンス・モンローの条件 を満たす必要がある（詳細は4.4節*）

27. 4.2.3.1 TD法 #3  更新式(4.12)の収束性について 時間ステップ： 状態： 報酬： ≔ ,

    次状態：+1 ~ ∙ | , の状況にいるとして、(4.12)の は確率変数 その期待値は、 となって真のベルマン期待作用素 による演算と一致 （式(4.8)p.90参照）

28. 4.2.3.1 TD法 #4  真のベルマン期待作用素との誤差を と定義すれば、 その期待値 はゼロ 報酬が有界 なので明らかに

     誤差 を用いて更新式(4.12)を書き直せば となり、真の を用いた更新則 にノイズ が乗っているものと解釈できる 確率的近似、特にロビンス・モンローのアルゴリズムとして有名

29. 4.2.3.1 TD法 #5  更新式(4.12)は による動的計画法（式(2.30)）の確率的近似 に対応  学習率 がロビンス・モンローの条件を満たしていれば、

    極限 で は を満たす不動点に収束  ベルマン方程式の一意性（命題2.4, p.50）より、上式を満たす は唯一 なので、 が真の価値関数 に収束

30. 4.2.3.1 TD法 #6  更新式(4.12)を書き換えると、 ここで は の更新量であり、  は

    + 1と の異なる時間ステップでの の予測価値の差異 と解釈できる → ：時間的差分誤差もしくはTD誤差 式(4.15)による価値関数の学習法：TD法 TD誤差を利用する学習法の総称：TD学習

31. 4.2.3.1 TD法 #7 (4.16) (4.15)

32. 4.2 価値関数の推定  4.2.1 ベルマン作用素の標本近似  4.2.2 バッチ学習の場合  4.2.3

    オンライン学習の場合  4.2.3.1 TD法  4.2.3.2 TD(λ)法：エリジビリティ・トレースを用いたTD法

33. 4.2.3.2 TD(λ)法：エリジビリティ・トレースを用いたTD法 #1  TD法を一般化したものがTD()法  = 0のときはTD法と同一とみなせる（TD(0)法）  のTD誤差

    は、 + 1時点での の予測価値 を 目的変数とした場合の の予測誤差と解釈できる  一般化して、 を からのステップ切断リターンと呼ぶ このときのTD誤差は

34. 4.2.3.2 TD(λ)法：エリジビリティ・トレースを用いたTD法 #2  さらに一般化 →目的変数：複数ステップ の の平均値 ステップ数の増加に従って重み係数を指数減衰させるハイパー パラメータ

    を導入すると、重み付き平均は このときのTD誤差 は前方観測的なTD()誤差と呼ばれる （λは0.4~0.8くらいが実験的によいと示されている）

35. 4.2.3.2 TD(λ)法：エリジビリティ・トレースを用いたTD法 #3

36. 4.2.3.2 TD(λ)法：エリジビリティ・トレースを用いたTD法 #4  を書き換えて として推定価値関数 を更新する方法 ＝前方観測的なTD()アプローチ ...ただし の計算に大きな時間遅れが発生し

    オンライン学習に不適 → を時間的に分解、確定している部分のみを用いて 価値関数を更新するアプローチが提案されている （後方観測的アプローチ） p.93

37. 4.2.3.2 TD(λ)法：エリジビリティ・トレースを用いたTD法 #5  推定価値関数 が固定（学習率 がゼロor非常に小さい）とき から、

38. 4.2.3.2 TD(λ)法：エリジビリティ・トレースを用いたTD法 #5  これを時間分解すると となり、時間ステップ時点で第１項は計算可能

39. 4.2.3.2 TD(λ)法：エリジビリティ・トレースを用いたTD法 #6  各状態についてのトータルの更新量を考える  時間ステップまでに状態に訪問した時間ステップの 集合：  状態の時間ステップまでのTD()誤差の和

    を に分解して

40. 4.2.3.2 TD(λ)法：エリジビリティ・トレースを用いたTD法 #7  なので、 を導入すれば、 ：後方観測的なTD()誤差（ をどの程度過去まで伝播させるか） ：エリジビリティ・トレース（状態に直近にどれほど滞在したか）

41. 4.2.3.2 TD(λ)法：エリジビリティ・トレースを用いたTD法 #8  ハイパーパラメータ はエリジビリティ減衰率

42. 4.2.3.2 TD(λ)法：エリジビリティ・トレースを用いたTD法 #9

43. 4.2.3.2 TD(λ)法：エリジビリティ・トレースを用いたTD法 #10  より、前方観測的なTD()アプローチ の近似として、 これが後方観測的なTD()アプローチ

44. 4.2.3.2 TD(λ)法：エリジビリティ・トレースを用いたTD法 #11  前方観測的なTD()誤差 と 後方観測的なTD()誤差 の時間平均は一致（ 固定）

45. 4.2.3.2 TD(λ)法：エリジビリティ・トレースを用いたTD法 #12  TD()法の実装  エリジビリティ・トレースは の定義から と初期化して、各時間ステップで と

    を更新すれば、 は と一致

46. 4.2.3.2 TD(λ)法：エリジビリティ・トレースを用いたTD法 #13

47. Chapter 4 前半終了 お疲れさまでした！