distances diff´ erentes avec un ensemble de n points du plan. Question difficile. Grosse d´ ependance ` a l’ensemble de points de d´ epart. Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
distinctes entre deux points pour un ensemble de n points distincts. Exemple Voici quelques exemples de calcul de g(n) n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 g(n) 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
g(n) nα. Rappelons que un vn s’il existe une constante C > 0 et un entier N tels que ∀n ≥ N, un ≥ Cvn. Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
pour chaque centre, n − 2 ≤ 2c1c2. Ainsi, c1 ≥ n−2 2 ou c2 ≥ n−2 2 donc il y a au moins n−2 2 distances diff´ erentes. En conclusion, g(n) √ n. Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
n points A1, . . . , An et tra¸ cons les cercles de centre A1 passant par A2, . . . , An. Coupons la figure en deux avec une droite passant par A1. D’apr` es le principe des tiroirs, l’une de ces deux moiti´ es contient au moins n−1 2 points. On ne consid` ere d´ esormais que cette moiti´ e. Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
distinctes est sup´ erieur ou ´ egal ` a c. Il y a au moins un demi-cercle qui contient n−1 2c points. Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
distinctes est sup´ erieur ou ´ egal ` a c. Il y a au moins un demi-cercle qui contient n−1 2c points. Ceux-ci d´ efinissent au moins n−1 2c − 1 distances distinctes. Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
n points A1, . . . , An et une distance entre deux de ces points. Notons N le nombre de paires de points s´ epar´ es par la distance . Alors, N = n i=1 n j=1 1Ai Aj = = n i=1 1. n j=1 1Ai Aj = Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
n points A1, . . . , An et une distance entre deux de ces points. Notons N le nombre de paires de points s´ epar´ es par la distance . Alors, N = n i=1 n j=1 1Ai Aj = = n i=1 1. n j=1 1Ai Aj = ≤ n i=1 12 n i=1 n j=1 1Ai Aj = 2 (Cauchy-Schwarz) Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
n points A1, . . . , An et une distance entre deux de ces points. Notons N le nombre de paires de points s´ epar´ es par la distance . Alors, N = n i=1 n j=1 1Ai Aj = = n i=1 1. n j=1 1Ai Aj = ≤ n i=1 12 n i=1 n j=1 1Ai Aj = 2 (Cauchy-Schwarz) = √ n n i=1 n j=1 n k=1 1Ai Aj = 1Ai Ak = Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
distance de Aj et de Ak si j = k n j=1 n k=1 k=j n i=1 1Ai Aj = 1Ai Ak = ≤ n j=1 n k=1 k=j 2 ≤ 2(n2 − n). Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
distance de Aj et de Ak si j = k n j=1 n k=1 k=j n i=1 1Ai Aj = 1Ai Ak = ≤ n j=1 n k=1 k=j 2 ≤ 2(n2 − n). Par ailleurs, n j=1 n k=1 k=j n i=1 1Ai Aj = 1Ai Ak = = n j=1 n i=1 1Ai Aj = ≤ n2. Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
≤ √ 3n3. En notant D l’ensemble des distances distinctes obtenues, n(n − 1) 2 = ∈D N ≤ |D| √ 3n3. Ainsi, g(n) ≥ n(n−1) 2 √ 3n3 et donc g(n) √ n. Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
n points A1, . . . , An tels que la distance minimale soit atteinte entre A1 et A2. La droite (A1A2) s´ epare ce nuage de points en deux parties dont l’une contient au moins n−2 2 points. Dor´ enavant, on se limite ` a ces points. Construisons les demi-couronnes successives centr´ ees sur le milieu de [A1A2] de largeur A1A2 qui recouvrent les points. Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
moins l’un de ces ensembles contient n−2 6 points. On se limite dor´ enavant ` a ces points. Remarquons que des points appartenant ` a des demi-couronnes dis- tinctes (parmi celles qui restent) ne peuvent ˆ etre ` a la mˆ eme distance de A1 (respectivement A2). Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
on obtient que les ni points de la demi-couronne i d´ efinissent au moins √ ni distances distinctes ` a A1 ou A2. Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
on obtient que les ni points de la demi-couronne i d´ efinissent au moins √ ni distances distinctes ` a A1 ou A2. Ainsi, le nombre d(n) de distances distinctes pour cette configuration est sup´ erieur ou ´ egal ` a (la somme porte sur les demi-couronnes choisies) i √ ni . Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
on obtient que les ni points de la demi-couronne i d´ efinissent au moins √ ni distances distinctes ` a A1 ou A2. Ainsi, le nombre d(n) de distances distinctes pour cette configuration est sup´ erieur ou ´ egal ` a (la somme porte sur les demi-couronnes choisies) i √ ni . D’o` u n − 2 6 ≤ i ni ≤ √ max ni . i √ ni ≤ d(n) √ max ni . Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
moiti´ e de cette couronne contenant la majorit´ e des points (soit au moins 1 2 max ni ). Soit enfin P un point d’ordonn´ ee minimale dans cette zone. Un rapide calcul montre que si Q et R sont ´ equidistants de P dans cette demi-couronne alors QR < 2A1A2. Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
moiti´ e de cette couronne contenant la majorit´ e des points (soit au moins 1 2 max ni ). Soit enfin P un point d’ordonn´ ee minimale dans cette zone. Un rapide calcul montre que si Q et R sont ´ equidistants de P dans cette demi-couronne alors QR < 2A1A2. P Q R Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
zone ` a la mˆ eme distance de P, ce qui nous donne donc au moins 1 2 (1 2 max ni −1) distances diff´ erentes. D’o` u, max ni ≤ 4d(n) + 2. Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
zone ` a la mˆ eme distance de P, ce qui nous donne donc au moins 1 2 (1 2 max ni −1) distances diff´ erentes. D’o` u, max ni ≤ 4d(n) + 2. En reportant dans l’in´ egalit´ e n − 2 6 ≤ d(n) √ max ni , on obtient d(n)3 2 n, soit d(n) n2 3 . En conclusion, g(n) n2 3 . Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
est un couple (S, A) o` u S est l’ensemble des sommets et A est l’ensemble des arˆ etes non orient´ ees. Le nombre de croisements d’un graphe est le nombre minimal de croisements entre deux arˆ etes dans un dessin du graphe ; si le nombre de croisements est nul, le graphe est dit planaire. Pour un graphe planaire, les faces sont les parties du plan d´ elimit´ ees par un dessin sans croisement du graphe. Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
sommets, a arˆ etes et f faces. Alors, 3f ≤ 2a. Preuve Une face est d´ elimit´ ee par au moins 3 arˆ etes et une arˆ ete est le cˆ ot´ e de deux faces. Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
sommets, a arˆ etes et f faces. Alors, a ≤ 3s − 6. Preuve Il suffit de combiner les deux r´ esultats pr´ ec´ edents. s − 2 = a − f ≤ 1 3 a. Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
et a arˆ etes. Alors, le nombre de croisements c v´ erifie c ≥ a − 3s + 6. Preuve En retirant les (au plus) c arˆ etes qui forment des croisements, on obtient un graphe planaire ` a s sommets et a − c arˆ etes donc a − c ≤ 3s − 6. Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
et a arˆ etes tel que a > 4s. Alors, le nombre de croisements c v´ erifie c ≥ a3 64s2 . Preuve Construisons un graphe al´ eatoire (S , A ) en choisissant chaque som- met ind´ ependamment des autres avec probabilit´ e p puis en ne gar- dant que les arˆ etes dont les sommets ont ´ et´ e choisis. Notons s , a et c les variables al´ eatoires ´ egales au nombre de sommets, d’arˆ etes, de croisements de ce graphe. Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
a l’esp´ erance, E(c ) ≥ E(a ) − 3E(s ). Par construction, E(s ) = ps E(a ) = p2a E(c ) ≤ p4c D’o` u c ≥ pa−3s p3 et donc, pour p = 4s a , c ≥ a3 64s2 . Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
croisements ` a certains multi- graphes. Proposition Soit (S, A) un multigraphe avec s sommets, a arˆ etes, c croisements et tel qu’il y ait au plus M arˆ etes entre deux sommets quelconques. Alors, c a3 Ms2 . Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
un ensemble P de n points A1, . . . , An d´ efinissant d distances et consid´ erons le multigraphe dont les sommets sont ces points, les arˆ etes sont les arcs des cercles centr´ es sur un point de P, passant par au moins 3 points de P et d´ elimit´ es par deux points de P. Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
n(n − 1) − 2nd arˆ etes. Le nombre de croisements est inf´ erieur ` a 2(nd)2. Il y a au plus M = 2d arˆ etes entre deux sommets. Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
n(n − 1) − 2nd arˆ etes. Le nombre de croisements est inf´ erieur ` a 2(nd)2. Il y a au plus M = 2d arˆ etes entre deux sommets. L’in´ egalit´ e sur le nombre de croisements d’un multigraphe donne (nd)2 c a3 Ms2 n6 2dn2 , donc d n2 3 . Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
n points et D un ensemble de m droites. Le nombre d’incidences est l’entier I = card{(A, D), A ∈ P, D ∈ D, A ∈ D}. Comment majorer correctement I en fonction de n et m ? Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
points de P et les arˆ etes sont les portions des droites de D joignant deux sommets. Pour ce graphe, s = n, a = I − m. si a < 4s, I ≤ m + 4n. sinon, m2 ≥ c ≥ (I − m)3 64n2 donc I ≤ (64n2m2)1 3 + m (nm)2 3 + m. Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
par les points (k, 0) avec k ∈ [[1, N2]] et de pente dans [[1, N]] m = 2N3, n = N3, n + m + (nm)2 3 ∼ cN4, Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
par les points (k, 0) avec k ∈ [[1, N2]] et de pente dans [[1, N]] m = 2N3, n = N3, n + m + (nm)2 3 ∼ cN4, I = N4. Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
erons un ensemble P de n points A1, . . . , An et consid´ erons le multigraphe dont les sommets sont ces points, les arˆ etes sont initialement les arcs des cercles centr´ es sur un point de P, passant par au moins 3 de P et d´ elimit´ es par deux points de P, Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
erons un ensemble P de n points A1, . . . , An et consid´ erons le multigraphe dont les sommets sont ces points, les arˆ etes sont initialement les arcs des cercles centr´ es sur un point de P, passant par au moins 3 de P et d´ elimit´ es par deux points de P, on a enlev´ e les arˆ etes entre deux sommets connect´ es au moins k fois (avec k un entier fix´ e de l’ordre de √ n). Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
sommets pour avoir un meilleur minorant dans l’in´ egalit´ e du nombre de croisements. On doit estimer le nombre d’arˆ etes restantes donc le nombre d’arˆ etes enlev´ ees. Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
sommets pour avoir un meilleur minorant dans l’in´ egalit´ e du nombre de croisements. On doit estimer le nombre d’arˆ etes restantes donc le nombre d’arˆ etes enlev´ ees. On remarque qu’il y a k arˆ etes entre deux sommets A et B ∈ P si la m´ ediatrice de [AB] contient k points de P. Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
sommets pour avoir un meilleur minorant dans l’in´ egalit´ e du nombre de croisements. On doit estimer le nombre d’arˆ etes restantes donc le nombre d’arˆ etes enlev´ ees. On remarque qu’il y a k arˆ etes entre deux sommets A et B ∈ P si la m´ ediatrice de [AB] contient k points de P. On est ramen´ e ` a un probl` eme d’incidence d’ordre k avec l’ensemble des droites m´ ediatrices et l’ensemble des points de P. Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
sommets pour avoir un meilleur minorant dans l’in´ egalit´ e du nombre de croisements. On doit estimer le nombre d’arˆ etes restantes donc le nombre d’arˆ etes enlev´ ees. On remarque qu’il y a k arˆ etes entre deux sommets A et B ∈ P si la m´ ediatrice de [AB] contient k points de P. On est ramen´ e ` a un probl` eme d’incidence d’ordre k avec l’ensemble des droites m´ ediatrices et l’ensemble des points de P. On applique l’in´ egalit´ e sur le nombre de croisements ` a ce multigraphe. Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
The American Mathematical Monthly, 53 :248-250, 1946. P. Erd¨ os. On some metric and combinatorial geometric problems. Discrete Mathematics, 60 :147-153, 1986. L. Moser. On the different distances determined by n points. The American Mathematical Monthly, 59 :85-91, 1952. L. Sz´ ekely. Crossing numbers and hard Erd¨ os problems in discrete geometry. Combinatorics, Probability and Computing, 11 :1-10, 1993. L. Guth, N. H. Katz. On the Erd¨ os distinct distance problem on the plane. ArXiV 2010. J. Garibaldi, A. Iosevich, S. Senger. The Erd¨ os Distance Problem. Student Mathematical Library, AMS. 2010. Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
a choisi d’ˆ etre d´ elib´ er´ ement flou sur la no- tion de dessin de graphe (les arˆ etes sont-elles des segments ou des courbes) et ce flou entraˆ ıne une incertitude sur le nombre de croise- ments ; dans le cas o` u l’on impose que les arˆ etes sont des segments le nombre de croisements du graphe complet ` a 16 sommets est 603 et non 588. Roger Mansuy Le probl` eme des distances d’Erd¨ os
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