diffusion model, part 3.6, probability flow ODE

岡野原さんの「拡散モデル データ生成技術の数理」3.6章 確率フローODE

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1. 確率フロー ODE 拡散モデル データ生成技術の数理 3.6章 三澤遼 1
2. Outline 1. 確率フロー ODE とは 2. 確率フロー ODE と SDE の周辺尤度が一致することの証明 3. 確率フロー ODE の尤度計算 4. シグナルとノイズで表される確率フロー ODE 2
3. 任意の SDE は ODE に変換可能 伊藤型の確率微分方程式 : Wiener 過程 これは決定的な過程である ODE に変換することができる 確率フロー ODE とは 3
4. 1. 順過程，逆過程ともに同じ方程式に従って決定的に遷移 SDE では拡散過程と逆拡散過程が異なる方程式に従っていた SDE では確率的に遷移していた 2. データ分布と事前分布が 1 対 1 対応 決定的な過程であるため 3. 確率的要素が少なく少量ステップで収束 一方，SDE に加えられるノイズと MCMC 法は離散化誤差を改善 確率フロー ODE にノイズを加えることで品質改善できる SDE との比較 4
5. 伊藤過程における Focker-Planck 方程式 確率分布 の従う方程式（Stratonovich 積では別の形を取る） 1 次元の場合 次元の場合 として， 確率フロー ODE と SDE の周辺尤度が一致することの証明 5
6. より と思い（伊藤ルール）， の1次以下だけ残すと （伊藤公式） 一方， なので 蛇足: Focker-Planck 方程式（1次元）の導出 6
7. 任意の について成立するので， 多次元の Focker-Planck 方程式も同様． 蛇足: Focker-Planck 方程式（1次元）の導出 7
8. 右辺第2項を で括り，整理すれば良い． 確率フロー ODE と SDE の周辺尤度が一致することの証明 8
9. よって，右辺は となる．括弧の中身が になっている． が に依存しない場合は右辺第2項は消える． 確率フロー ODE と SDE の周辺尤度が一致することの証明 9
10. の場合， 尤度は， と計算される (Chen et al., 2018)． 確率フロー ODE の尤度計算 10
11. 定理 (Instantaneous Change of Variables) 常微分方程式 に従う確率変数の確率分布について が成立．両辺を で積分すると所望の式が得られる． 注意: 定理では確率変数の時間変化を追跡 Focker-Plank 方程式: 固定位置での確率分布 Focker-Planck 方程式では，右辺の 依存性が消えず計算が困難． -> で置き換え依存性消去．代償として 次元の ODE に帰着．  結果は等価． 確率フロー ODE の尤度計算: Instantaneous Change of Variable 11
12. 両辺を で割って定理を得る． 以下の ODE に帰着． を追跡するために状態が 次元増加． 確率フロー ODE の尤度計算: 定理の証明 12
13. は Skilling-Hutchinson 推定で効率的に計算できる 行列 を陽に計算して対角和を求めるのは非効率． 例えば，標準基底 との積 により の 番目の列が得られる． 回繰り返し を計算（非効率）． Skilling (1989) と Hutchinson (1989) は同時期に対角和の推定量を提案． 確率変数 が を満たすとする．このとき が条件から容易に従う． を条件を満たす確率変数とすると，Skilling-Hutchinson 推定量は 確率フロー ODE の尤度計算: Skilling-Hutchinson 推定 13
14. は不偏推定量．つまり 確率変数には Rademacher ベクトルや正規分布上のベクトルが用いられる． Hutchinson のトレース推定量: ガウストレース推定量: 本ケースでは は誤差逆伝播法により，ヤコビアンを陽に表さず効率的に 計算可能 (VJP: Vector-Jacobian Products) 確率フロー ODE の尤度計算: Skilling-Hutchinson 推定 14
15. SBM や DDPM の確率フロー ODE 確率フロー ODE は として だったので 微積分学の基本定理から シグナルとノイズで表される確率フロー ODE 15
16. 分散発散型 SDE（SBM など）では， なので， シグナルとノイズで表される確率フロー ODE 16
17. 参考文献 1. 岡野原大輔，拡散モデル データ生成技術の数理． 2. 沙川貴大，上田正仁，量子測定と量子制御． 3. Sebastian Nowozin, Thoughts on Trace Estimation in Deep Learning. 参考文献 17