圏論はどこが面白いの？

すごくなりたいがくせいLT Vol.14のための資料です

Transcript

1. 圏論はどこが面白いの？ Natsu Ozawa
2. 自己紹介 • Computer Science @ エジンバラ大学（ＵＫ） • ９月から渡英！
3. 今はまっているもの 圏論（Category Theory）
4. 今はまっているもの
5. カリー＝ハワード同型対応
6. 圏論の目的 構造と構造の関係を抽象化する！
7. 圏論の目的 数学 論理学 情報学 哲学 圏論
8. 圏の定義 圏（category）Cとは、以下の組 • 対象（object） 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐, … • 射（morphism） 𝑓𝑓: a → b, g: b → c, … a b c f g
9. 圏のルール（1） • 射の合成（composition） 𝑔𝑔 ∘ 𝑓𝑓: 𝑎𝑎 → 𝑐𝑐 a b c f g 𝒈𝒈 ∘ 𝒇𝒇
10. 圏のルール（2） • 結合律（associativity） (ℎ ∘ 𝑔𝑔) ∘ 𝑓𝑓 = ℎ ∘ (𝑔𝑔 ∘ 𝑓𝑓) a b c f g 𝒈𝒈 ∘ 𝒇𝒇 d h 𝒉𝒉 ∘ 𝒈𝒈 𝒉𝒉 ∘ 𝒈𝒈 ∘ 𝒇𝒇
11. 圏のルール（3） • 恒等射（identity） 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑎𝑎 : 𝑎𝑎 → 𝑎𝑎, 𝑓𝑓 ∘ 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑎𝑎 = 𝑓𝑓 = 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑏𝑏 ∘ 𝑓𝑓 a b f 𝒊𝒊𝒊𝒊𝒂𝒂 𝒊𝒊𝒊𝒊𝒃𝒃
12. 圏の例（1） 集合全体の圏：Sets • 対象＝集合 0,1 , 1 , ∅, ℝ, … • 射＝写像 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 + 1, 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 2 ℝ ℝ {0,1} f g
13. 圏の例（2） プログラミング言語の型全体の圏：Types • 対象＝型 Bool, Int, Float, … • 射＝関数 f x = x + 1, g x = isOdd x Float Float Bool f g
14. 他の抽象的構造との比較 • 群、位相空間なども物事を一般化した構造 • 圏はもっと包括的 • 例：群は圏でもある • 対象：適当に１つ定める、射：台集合の要素、合成：二項演算 • 例：群全体の圏も存在する • 対象：群、射：群の準同型、合成：準同型の合成 • 圏論では抽象的構造間の関係を取り扱う（後述）
15. 関手の定義 • 構造を維持する圏と圏の対応 圏Cから圏Dへの関手 （functor）𝐹𝐹: 𝐶𝐶 → 𝐷𝐷は • Cの各対象をDの対象に対応 • Cの各射をDの射に対応 a b f 𝒊𝒊𝒊𝒊𝒂𝒂 𝒊𝒊𝒊𝒊𝒃𝒃 a’ b’ f’ 𝒊𝒊𝒊𝒊𝒂𝒂𝒂 𝒊𝒊𝒊𝒊𝒃𝒃𝒃 C D
16. 関手のルール • 𝐹𝐹(𝑓𝑓: 𝑎𝑎 → 𝑏𝑏)はF a → F(b) • 𝐹𝐹 𝑔𝑔 ∘ 𝑓𝑓 = 𝐹𝐹(𝑔𝑔) ∘ 𝐹𝐹(𝑓𝑓) • 𝐹𝐹 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑎𝑎 = 𝑖𝑖𝑖𝑖𝐹𝐹(𝑎𝑎) 準同型みたい！！ a b f 𝒊𝒊𝒊𝒊𝒂𝒂 𝒊𝒊𝒊𝒊𝒃𝒃 a’ b’ f’ 𝒊𝒊𝒊𝒊𝒂𝒂𝒂 𝒊𝒊𝒊𝒊𝒃𝒃𝒃 C D
17. 積の概念の一般化 a, bの積とは • 𝑎𝑎, 𝑏𝑏への射を持つ対象であり、 • 𝑎𝑎, 𝑏𝑏への射を持つ全ての対象cに 対して • 𝑝𝑝𝑝𝑝𝐴𝐴 ∘ 𝑚𝑚 = 𝑓𝑓, 𝑝𝑝𝑝𝑝𝐵𝐵 ∘ 𝑚𝑚 = 𝑔𝑔を満たす • 射m: 𝑐𝑐 → 𝑎𝑎 × 𝑏𝑏が一つだけ存在す る a c b f 𝒑𝒑𝒑𝒑𝑩𝑩 𝒂𝒂 × 𝒃𝒃 𝒑𝒑𝒑𝒑𝑨𝑨 g m
18. 積の例 Setsでは直積 TypesではPair/tuple a c b f snd (a, b) fst g m
19. SetsとTypesの同型対応 Sets Types {0,1} Bool 𝕫𝕫 Int 𝐴𝐴 × 𝐵𝐵 (A, B) ∅ HaskellのVoid {1} (), Javaのvoid 写像 関数 … … Sets Types
20. まとめ • 圏論は構造を抽象化して、それらの関係を表す言語 • 特に、積などの概念を一般化することができる • 関手が規定される、２つの関係なさそうな構造が似ている！と 示せるところが面白い
21. 圏論を学ぼう！ • Category Theory for Programmersは日本語に翻訳されてるらしい （友達曰く） • 他にも難しい本なら沢山あるよ
22. ボーナス • 集合論にはラッセルのパラドックスにより無限という概念に限 りがあった • 集合全体の集合は作ることができるのか？つまり、集合はそれ自体を 要素として含むことができるのか？ • 受け入れると矛盾に繋がる • 圏論は無限という概念の拡張がしやすい • （小さい）圏全体の圏：Cat • 対象：圏、射：関手 • 関手圏 • 対象：関手、射：自然変換 • 続く
23. ありがとうございました