中心極限定理

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1. 0
   中心極限定理
   2023-07-07 第51回NearMe技術勉強会
   Futo Ueno
   

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2. 1
   Introduction
   ● 中心極限定理は、統計学において極めて重要である
   ● 中身は意外と難しい
   ● 定理を完全に理解し、必要になったときに安心して使えるようにする
   

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3. 2
   定理の主張
   中心極限定理 ([倉田, 星野]「入門統計解析」より引用)
   

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4. 3
   定理の主張
   中心極限定理
   このままでも実用上は特に困らないが・・・
   

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5. 4
   定理の主張 (気になる点①)
   中心極限定理
   このままでも実用上は特に困らないが・・・
   ・「ある分布」が「ある分布」に近づくとは？
   

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6. 5
   分布収束
   定義
   

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7. 6
   分布収束
   定義
   ※ 確率密度関数を使うのはどうか？
   

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8. 7
   分布収束
   定義
   ※ 確率密度関数を使うのはどうか？ → 存在しない場合がある
   

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9. 8
   定理の主張 (気になる点①)
   中心極限定理
   このままでも実用上は特に困らないが・・・
   ・「ある分布」が「ある分布」に近づくとは？ → done
   

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10. 9
    定理の主張 (気になる点②)
    中心極限定理
    このままでも実用上は特に困らないが・・・
    ・「ある分布」が「ある分布」に近づくとは？ → done
    ・収束先がnに依存しているようにみえるのが少々気持ち悪い
    

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11. 10
    修正(直観)
    

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12. 11
    修正(直観)
    n大
    

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13. 12
    修正(直観)
    n大
    スライド
    

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14. 13
    修正(直観)
    n大
    スライド
    √n 倍
    

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15. 14
    修正(式)
    

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16. 15
    定理の主張
    中心極限定理
    中心極限定理 (厳密ver.)
    

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17. 16
    定理の主張
    中心極限定理
    中心極限定理 (厳密ver.)
    ？
    

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18. 17
    中心極限定理の証明
    

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19. 18
    準備1 : 特性関数
    定義
    

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20. 19
    準備1 : 特性関数
    定義
    (cf.) モーメント母関数
    

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21. 20
    準備1 : 特性関数の例
    

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22. 21
    準備1 : 特性関数の例
    (ほぼ)ガウス関数→
    

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23. 22
    準備2 : 特性関数の性質
    

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24. 23
    準備2 : 特性関数の性質
    分布関数と特性関数が1対1対応！！！
    

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25. 24
    準備2 : 特性関数の性質
    分布関数と特性関数が1対1対応！！！
    (→ 分布関数を考えたくないときに特性関数に逃げることが可能)
    

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26. 25
    準備3 : Lévyの連続性定理
    

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27. 26
    準備3 : Lévyの連続性定理
    対応 対応
    

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28. 27
    準備3 : Lévyの連続性定理
    連続？
    

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29. 28
    準備3 : Lévyの連続性定理
    連続？
    

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30. 29
    準備3 : Lévyの連続性定理
    連続？
    

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31. 30
    準備3 : Lévyの連続性定理
    連続？
    ※イメージ
    

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32. 31
    証明の方針
    

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33. 32
    証明の方針
    対応
    

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34. 33
    証明の方針
    対応
    

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35. 34
    証明の方針
    対応 対応(?)
    

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36. 35
    証明の方針
    Lévyの連続性定理
    対応 対応(?)
    

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37. 36
    証明の方針
    Lévyの連続性定理
    対応 対応(?)
    

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38. 37
    証明
    (cf.)
    

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39. 38
    証明
    

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40. 39
    証明
    

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41. 40
    証明
    (cf.)
    

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42. 41
    証明
    (cf.)
    

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43. 42
    準備1 : 特性関数の例(再掲)
    (ほぼ)ガウス関数→
    

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44. 43
    証明
    (cf.)
    

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45. 44
    証明
    (cf.)
    

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46. 45
    証明の方針(再掲)
    対応 対応(?)
    

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47. 46
    証明の方針(再掲)
    対応 対応(?) → 対応！
    

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48. 47
    証明の方針(再掲)
    Lévyの連続性定理
    対応 対応(?) → 対応！
    

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49. 48
    証明の方針(再掲)
    Lévyの連続性定理
    対応 対応(?) → 対応！
    

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50. 49
    証明の方針(再掲)
    Lévyの連続性定理
    対応 対応(?) → 対応！
    

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51. 50
    参考文献
    ・佐藤坦：「はじめての確率論 測度から確率へ」. 共立出版, 1994.
    ・倉田博史, 星野崇弘：「入門統計解析」. 新世社, 2009.
    

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52. 51
    Thank you
    

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