TFHEのための多項式乗算入門

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1. TFHEのための 多項式乗算入門 松岡 航太郎 @nimdanaoto
2. 自己紹介 •京都大学工学部 電気電子工学科３回生 •理論担当
3. なぜ多項式乗算？ •TFHEにおいて最も重い処理 •数学的に様々な最適化が可能 •アーキテクチャにも強く依存
4. 多項式乗算 •今回は整数係数多項式に限る • 3 + 1 ∗ 2 + 3 = 62 + 11 + 3 •31 ∗ 23 = 713
5. 筆算 •(2) 3 + 1 × 2 + 3 9 + 3 62 + 2 62 + 11 + 3
6. フーリエ変換による高速化 •フーリエ変換の畳み込み定理 ∗ = ℱ−1(ℱ ⋅ ℱ ) •FFT(高速フーリエ変換) ( )
7. = ෍ =0 −1 () = ෍ =0 −1 − 2 −1 () = 1 ෍ =0 −1 ()() 2 = 0,1, … − 1
8. −1 ⋅ = 1 ෍ =0 −1 ෍ =0 −1 ෍ =0 −1 − 2 ෍ =0 −1 − 2 2 = ෍ =0 −1 ෍ =0 − + ෍ =+1 −1 −+ ∵ ෍ =0 −1 − 2 = ቊ ≡ 0 0 ℎ
9. もっと頭のいい解決法 •負巡回もあれば並列に •2N一つではなくN二つ •虚数部にもデータを詰めたい
11. TFHEが独自FFTを使う理由 （しかもアセンブラ) •FFTWは複素数の配列 •メモリアクセス局所性は有利 •実数と虚数部を別に •並び替えなくてよい
12. 倍精度の限界 •log2 ( |∞ |∞ ) < 53 •収まるように設計する必要
13. GPUの場合は？ •倍精度演算機は一般に貧弱 •単精度の32分の1とか •INT32は単精度と同等
14. NTT(数論変換) •ある法P(素数)の下で考える •原始N乗根が存在する •211−1 = 1024 ≡ 1 11 •これは円周群に同型
15. どんなPが良い？ •cuFHEでは = 264 − 232 + 1 •剰余がとりやすい •7−1 ≡ 1 •7 5 192 (−1) ≡ 2
16. 最後に •(多項式)乗算は奥が深い • ≤数万ならToom-Cook •やれば動くし速くなる