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多様体入門セミナー#1 準備

多様体入門セミナー#1 準備

松本幸夫「多様体の基礎」の第1章。
位相空間論をメインに。

Ryota Suzuki / ぬぬき

November 06, 2018
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Transcript

  1. 1 1
    多様 体 入門 セミナー 第 1回
    多様 体 の
    基礎
    7
    第 1

    準備


    世の中 の ミス マッチ を なくす

    後援 SCE
    Uty き
    @ nunuki
    _

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  2. 自己 紹介
    ぬ ぬき 鑼
    @nunuki.t
    nunuk.im
    専門 分野
    大学 i
    物理 ( 物性

    量子 統計

    数値 計算)
    現在 :
    機械 学習 (主 に Bayes
    )

    信号 処理
    2018.11 ~


    E 中央研究所 souty

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  3. SCE
    Uty で は
    .
    世の中 の
    }
    ミスマッチ を なくすため に 力 を 貸し て くれる

    エンジニア
    を 募集 し て い ます


    リサーチャー
    SEUty を 利用 L て いただける 企業 様 を 探し
    て い ます

    View full-size slide

  4. 松本 幸夫

    多様 体 の
    基礎

    通称

    ラノベ 多様 体

    本 セミナー は

    ラノベ の アニメ 化

    を 目指し ます

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  5. ラノベ 原作 アニメ 第 1話 と いえ ば -_-

    ① 世界 観 の も

    ② メイン ヒロイン の 登

    多様 体
    ちゃん
    の 登場 は 次回 です

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  6. 時 は 20 世紀 -.-

    View full-size slide

  7. 20 世紀 の 数学 者 にとって
    .
    数学 と は


    合金

    _
    構造 の 学問 で あっ た

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  8. 集合 と は


    含む


    含ま ない が 定義 さ れ た モ 1
    .
    」 」
    5 EN.IE 日


    ER
    自然 数 の
    集合 有理数 の
    集合 実数 の
    集合
    .

    集合 は


    含む


    含まない

    だけ
    _
    で 決まる


    全て の 要素 が 等しい 集合 は

    同じ もの


    個数 や 順番 は 関係 ない 。
    .

    集合 の 集合

    も OK
    .
    ⇒ 集合 族 と 呼ぶ

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  9. 集合 に は 次 の よう な 操作 が 許さ れる


    (有限 個 の
    ) 要素 から
    .
    集合を つくる に は

    7

    集合 の べき 集合 (部分集合 全体 の集合
    ) を とる
    P ( に て

    3 3) = 1 0









    12.33

    {1.33/{1.2/3}}
    • ( 無限 を 含む 任意 個 の
    ) 集合 の 和集合 ・
    共通 部分 を とる

    Ni
    =
    に 1

    い 哘

    ft =

    が 、

    EX )

    ある集合 A から

    ある 条件 t を みたす 要素 を 取り出し て き た部分集合 を 作る

    { x
    EA
    l 4 川

    { n N ln mod 2 = 1 }

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  10. 構造 と は
    集合 の
    要素
    の 間 に 定義 さ れ た

    何らかの 関係
    E t E E
    1 + 1 二 2 たく た
    the
    First T
    つ は EN に対して
    .
    NGE R に対して
    .
    定まる

    f にいる ) EN を 返す 関数 命題 g にいる )
    ( True l False を 返す 関数)

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  11. 20 世紀 の
    数学 者 集団 ブルバキ に よれ ば
    .
    代表 的 な 構造 概念 に は

    次 の
    もの が ある


    代 委久木冓 造
    _
    要素 の
    組 に
    .
    別 の 要素 を 対応 さ せる 構造
    1+1=2

    が mod p = 1
    • 順序 木冓 造

    要素 の
    大小 など の 関係 性 の
    構造
    たく た

    No く
    i

    位相 構造

    要素 の
    収束 や

    連続 性 の
    構造

    品 が いい ⇒ 本日 の
    主役
    .

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  12. 多様
    体 と は

    局所 的 に は
    ユークリッド 空間
    と みなせる 位相 空間

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  13. ① 位相 空間
    位相 構造 が 定義 さ れ た 集合

    ○ ユークリッド 空間 ( m
    次元 数 空間 ) が

    みんな が よく 知っ て いる 空間

    m 個 の
    実数 の 座標 で 表される 点 に

    -.-

    弘 ) 全体 の 集合

    実数 から 引き継い


    様々 な 構造 を 「
    持っ て いる

    Inc
    .
    位相 構造
    w
    1
    が は

    位相 空間 の 具体 例 の 1つ

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  14. 多様 体 ユークリッド 空間
    ( m 次元 数 空間 )

    で○
    邰 を 取っ て くる と
    _
    ( 局所 座標 系 ) た
    よく わからない 空間 よく 知っ て いる 空間
    .

    位相 構造 ・
    位相 構造

    t
    • 距離 構造

    代数 構造 ( ベクトル 空間

    )

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  15. ここ で オープニング

    View full-size slide

  16. 第 1
    章 準備
    S 1 多様 体 と は
    .
    ← これ まで 話し た 内容
    § 2 m 次元 数 空間
    ) 具体 例
    § 4 (前半) 連続 写像 が


    門 位相 空間 論
    § 5 位相 空間

    _
    _ _
    _ 。 _ _ 。 一 一
    一 。
    ・ ・ ・ ・ ・ ・
    一 。
    _ _ 。 _ _
    _ _
    _ _ _ _ _
    o - 一
    、 _


    _ 、

    § 3 ベクトル 空間
    所 (後半) cr 級 写像
    } 時間 の
    許す 限り
    ,

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  17. § 2 m
    次元 数 空間

    Def 2.IM 次元 数 空間 が
    m を 1 以上 の
    自然 数 と する
    .
    m
    個 の 実数 を 並べ た 組 は
    、 、
    つい

    -.-

    xm )
    の 全体 から なる 集合 を m 次元 数 空間 が と よぶ
    -11
    で は R と 同一 視 さ れる i
    数 直線
    .
    1
    ' '


    l1
    で は 2 次元 平面 の
    ル、

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  18. Def 2

    I が の 距離

    Rl 上 の 2 点
    北 =


    .
    . . .
    .
    an } と
    y = は
    、 .
    . . 、


    m
    } の 距離 と は
    .
    d ( N

    H ) = ( か が t.it にいる が
    という 実数 の こと で ある

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  19. prop 2

    1
    ( 距離 の 3 性質 )
    (i) d は

    お ) Z 0 が

    d は

    の ) = O と なる の は
    .
    みな の とき に 限る

    (ii) d に は1
    ) =
    d は

    北 ) ( 対称 性 )
    (iii) d は

    お) t
    d は

    を ) 2 d は

    を )
    に角 不等式 )
    proof.li
    ) H ) 略
    (iii) は コーシー

    シュワルツ の 不等式 から 導か れる
    .

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  20. (iii)

    水 - y =
    G



    、 、


    が なり

    N = E が に iyii で いる ) と する

    この とき
    .
    d に は 1
    ) =
    d ( o.lu
    )

    d は

    区 ) =
    d (
    0



    d ( e ) =
    d M D で ある

    (d ( 北 は1
    ) td



    _
    d ( が

    =
    (d ( 0.nu ) td (O.O) に d ( N

    =
    d ( 0

    が td ( 0

    が _
    d ( N


    +2
    d (
    OM
    d ( ON )
    =
    嵒 ( uit が 一
    ( いが ) +2 ( u.it ui Tii )

    2 ( dietary
    t mu +
    -_-
    ① ②

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  21. ここ で


    _ =
    Git 、
    tui ) ( が 一
    t
    が -
    ( uw -
    min ) 2
    Z 0 ( コーシー シュワルツ の 不等式 )
    だ から
    .

    1
    2

    よって

    ( da

    お td は

    が _
    d は


    = 2
    (の +20 ) Z 2
    ( 1
    1-1201
    ) Z 0

    ※ コーシー ・
    シュワルツ の 不等式 は

    2 次 関数 ※ ( いっ
    いが の
    判別 式 が 0 以上 で ある こと
    から 導か れる

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  22. ユークリッド 距離
    値 線 距離 "
    d には 1
    ) = G は

    ) て
    t -.-
    t
    Gwyn ) 2

    距離 の 3 性質 l i ) ~
    ( iii ) を 満たす こと を 示し た

    以降 で は
    .
    離 の
    性質 と して この 3 性質 のみ を 用いる 。
    つまり
    .
    逆 に
    距離 の
    3 性質 を みたす 関数 d ( の は1
    ) で あれ ば

    どんな 関数

    距離 と して も 以降 の
    議論 に 本質 的 違い は ない

    例 ) d '
    ( か は1
    ) =
    l つ いる

    1 + -_-
    +1 am -
    ymt
    d "


    y ) =
    ma x
    { に いる

    1



    1 が ない }

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  23. この よう に


    距離 の 3 性質 を みたす 関数 d は

    別」
    が 定義 さ れ た 集合 を 距離 空間 と 呼ぶ

    つまり
    .
    1


    直線 距離 "
    d には 1
    ) の 組 は

    距離 空間 の 具体 例 の 1つ で ある

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  24. ⑧ が の 位相
    が の
    距離 d ( 北 は1
    ) を 用い て

    開 集合 ・
    閉 集合 や

    点列 の 収束

    連続 写像 など

    位相 に関する 概念 を 導入 する

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  25. Def 2

    五 E -
    近傍
    AE が

    E を 正 の
    実数 と
    する

    A の
    が における

    E -
    近傍 Ne ( a
    : R "
    ) と は
    .
    a から の 距離 が E 未満 で ある 点 の 集合 で ある

    Na (
    miR
    ) =
    に ERM l
    d は

    a ) く E }

    E

    M ( a

    A )

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  26. Def 2
    .
    IV が の 開 集合
    _
    が の 部分 集合 で が 開 集合 で ある と は

    U に 含ま れる 任意 の
    点 a EV について

    ある E 70 を 十分 小さく とる と

    N
    q
    ( a ; が ) CV と なる こと で ある



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  27. 例 : O =
    Nr ( a ; が ) は 1
    が の 開 集合 で ある

    Proof 任意

    で EU に つい て
    .
    Nr ( a ; 1 1
    で ) の 定義 より
    .
    d は

    a ) く r
    .
    つまり

    8
    -
    da

    a ) > 0 で ある

    0 く とく r _
    da

    a ) と なる E を とる

    ( 例えば

    E =

    _
    物 的
    この とき

    (三角 不等式 より)
    r
    で Nr ( いが )
    Nada ; 刖 C で

    pa
    aai

    まで に da.ae)
    で ある


    に に

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  28. Prop 2.2 開 集合 の
    基本性質

    (i) が はが の
    開 集合 で ある
    .
    空 集合 0 もが の 開 集合 で ある

    (ii) 有限 個 の
    が の 開 集合




    Uた の
    共通 部分 V

    non -.-
    1 Th は

    1
    が の 開 集合 で ある

    (iii) 任意 個 (有限 又は 無限 ) の 開 集合 化が
    a の
    和 集合 Yii はが の 開 集合 で ある

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  29. Proof
    .
    (i) 0 =
    R "
    について

    任意

    点 た EV を とる と

    任意 の 970 に つい て

    Ne は ; が) CV で ある

    V =
    0 に つい て
    .
    NE で なる 04 は 存在 し ない

    ゆえに 命題 は 真 で ある

    (ii) Tintin 、 、 .
    n Ver =
    ( せ
    n た ) n た ) n ) で た
    だから

    2 つ の 開 集合 の
    共通 部分 が
    開 集合 で ある こと を 示せ ば の 。
    いま Ui

    た を R "
    の 開集合 と する

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  30. ただ

    へた に 含ま れる 任意 の
    点 HEV について

    ひ、

    02 はが の 開 集合 で ある から
    .
    正 の
    実数 E
    、 .


    7 0 が 存在 し
    .
    Nq

    は : が ) c で

    Na ( に ! Rり C た で ある

    いま

    E 二
    min 仏

    9

    } と する と
    .
    Ne ( 水 ; が ) C Ui か つ
    .
    Ne ( つ 4:11
    マツ C 0
    2
    で ある から
    .
    Ne ( a ; 1
    が ) C U

    ヘ で

    二 V が 成り立つ

    よって

    では が の
    開 集合 で ある


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  31. (III) た 気 項 と する

    和集合 の
    定義 佖 ) より
    任意 の 拙 EV に対して
    .
    ある
    が EA が 存在 し


    E 項 で ある

    だが
    はが の 開 集合 で ある から
    .
    ある E 7 0 が 存在 し
    .
    Ne に4 ; が ) C ひで で ある

    したがって

    Na ( で ; 1
    が ) C だ が
    CV と なる ため
    V は 1
    が の 開 集合 で ある

    h
    Cento
    (刈 e に
    に1
    樾 が 吁

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  32. これ まで に


    距離 d は

    列 を 用い て
    .
    11
    で の
    開集合を 定義 し た


    が の 開 集合 が

    開集合の 基本性質1 i ) で州 ) を みたす こと を 示し た

    実は

    基本 性質 いい が を みたす 開集合 が 定義 さ れた 集合



    位相 空間 と 呼ぶ

    つまり

    1
    が は 位相 空間 の
    具体 例 の
    1つ で ある

    一般 の
    位相 空間 は
    .
    § 5 で 扱う

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  33. ⑤ 点列 の
    収束

    Def 2.TT が の 点列 の 収束
    Rm の 点列 は 䏣 =
    せ い


    -
    )


    極限 点 A に 収束 する と は

    任意 の a の E -
    極限 Nda

    1
    が) に対して
    _
    じゅうぶん 大きな no を 選べ ば
    .
    n Zno なる 弧 が 全て 弘
    ENda.IM と なる こと を 言う

    は) f が a に 収束 する こと を
    .
    Mg 弘 = と 書く

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  34. せ、 私
    雚 a



    ei n 23 なら ば
    _

    m
    EN、
    (
    a.IR
    )
    i

    a n 2 5 なら ば
    .
    an
    E No


    ( a

    1
    が )
    nz
    114514 なら ば

    ENo.oooooia.IM
    E を どんなに 小さく とっ て も
    n を 大きく すれ ば 弘 が Na ( いが) に 含ま れる

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  35. Def 2
    .
    VI が の 閉 集合
    が の 部分 集合 C が 1
    が の 閉 集合 で ある と は

    C の 要素 のみ から なる 任意 の
    点列 は 沼 が

    1
    が で 収束 する とき
    _
    その 極限 点 a も C に含ま れる
    こと で ある


    極限 を 取る

    という 操作 に対して 「
    閉じ て いる

    集合

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  36. Prop 2.3 閉 集合 の
    基本 性質
    (i) が はが の 閉 集合 で ある

    空 集合 も が の
    閉 集合 で ある

    (ii) 有限 個 の が の
    閉 集合 G

    ih の
    和 集合 GU -.-
    U Ck はが の 閉 集合 で ある

    (ii) 任意 個 (有限 または 無限 ) の が の 閉集合 { 的 が
    共通 部分 Ain はが の 閉 集合 で ある

    prop 2
    .
    2 ( 開 集合 の
    基本 性質 ) の

    和 集合



    共通部分」

    入れ替わっ た 形 を L て いる

    これ は 次 の
    prop 2.4 の 事実 に よる

    証明 は

    prop 2.4 と

    ド・モルガン の 法則 ( 公理) から ただちに 導か れる

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  37. prop 2.4 開 集合と 閉 集合 の 関係

    で かが の 開 集合 ⇒ 補集合 が一
    で は 1
    が の
    閉 集合

    C が
    1
    が 閉 集合 ⇒ 補集合 が、
    いが の
    開 集合

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  38. Proof .
    開 の 補 ⇒ 閉
    .
    で を 1 1
    で の 開 集合 と し

    C =
    が -0 と する

    仏 胎 を

    C の 要素 から なる 点列 と し
    _
    l品 弘 =
    GE が と する

    a ¢ c と し て 矛盾 を 導く
    .
    a ¢C の とき

    EU で ある

    V は 開集合 で ある から

    に、 弘 = より

    ある no が 存在 し て
    .
    NEO で ある

    これ は

    { 弘
    ぽ が C の 要素 のみ から なる こと に 反する

    よって
    .
    Pan} で は 収束 する なら は その 極限 点 は C に 族 する

    したがって

    C は 閉 集合 で ある

    i 載 c

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  39. • 閉 の 補 の 開
    C を R "
    の 閉集合と し

    た が -
    C と する

    U が 開 集合 で ない と して 矛盾 を 導く
    .
    で は 開 で は ない ため

    ある a EU が 存在 し
    .
    任意 の 970 に で て
    r
    Ne ( ai が ) 4 で で ある

    すなわち
    .
    n = 1

    2 i について
    _
    E 二
    え と する と

    an EN

    ( いが ) なる

    ¢ で が 存在 する

    点列 化け 点 を考える と
    妙 は }で は A に 収束 する が

    弘和 (つまり

    弘 EC ) な
    ので 閉 集合 の
    定義 により

    極限 点 は AEC で ある が これ は AEV に 反する 國
    N) 部分 で (可算 ) 選択 公理 を 使っ て いる

    選択 公理 を 使わ ない 証明 は 可能 ?

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  40. 開 集合 ・
    閉 集合 の

    .

    半径 r の m
    次元 円板 ( m 次元 球体 ) は 閉 集合
    DM =
    化 が
    1
    d は

    a ) Er }

    半径 r の m
    次元 開 円板 は 開 集合
    .
    が =


    1
    da.cn ) は } =
    Nr ( a ; 1
    が )
    r

    r

    a
    a

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  41. § 4 連続 写像 と C 「 級 写像
    .
    後回し に し ます


    が 上 の
    連続 写像 を


    点列 の
    収束 による 方法

    E -
    0 論法
    で 定義 し ます


    2 つ の 定義 が 同値 で ある こと を 示し ます


    連続 関数 を 用い て

    同相 写像 を 定義 し ます

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  42. ひ、 V を それぞれ RM

    1
    が の 開 集合 と する

    Def 4

    I 点列 による 連続 写像 の
    定義
    写像 f : O → V が 点 a で 連続 で ある と は

    で 内 の 任意 の
    点列
    に 哨 について

    に、
    て た こと なら ば

    fgfan ) =
    f ( a )
    が 成り立っ こと で ある

    a
    f ( a )


    f f い

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  43. Def 4.IE -0 論法 による 連続 性 の 定義
    写像 f : 0 → V が 点 a で 連続 で ある と は

    Ha ) の 任意 の
    E 近傍 Ne ( Ha ) i
    が ) に 対して

    d > 0 を じゅうぶん 小さく 選べ ば

    以下 が 成り立つ こと
    HNdaiAIICNa.IT
    ) ; 1
    が )
    KEN d ( a ; が ) なる 74 に つい て
    .
    f ( み ) を 集め た 集合

    これ は つまり
    .

    任意 の 970 に つい て
    .
    D 0 が 存在 し

    1 1
    がAIKO なら は 1 1
    1で ) -
    f ( KE

    という こと

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  44. s. -0 論法 による 連続 写像 の
    定義
    .TT


    ○ !

    _扤 坳
    -
    E を どんなに 小さく し て も

    d を 小さく とれ ば

    1 1
    Ha ) -
    f ( 洲 が E より も 小さく なる

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  45. POP
    Def 4

    I と Def 4

    五 の 連続 写像 の
    定義 は 同値 で ある 。
    4

    I 4 た
    点列 の 収束 Ed 論法

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  46. Proof

    (
    Def 4

    I ⇒ Def 4


    ) 対偶 を 示す

    f が

    Def 4

    立 の
    意味 で
    _
    A で 連続 で ない と する

    すなわち

    ある E が 存在 し

    任意 の
    0>0 に つい て

    l 1 つ 4-0110 なる 水 が 存在 し

    1 1
    f ( 北 ) -
    f ( a ) l 1
    2 E で ある

    * ,
    d 二
    も に つい て
    .
    この よう な 北 を が n
    と する

    つまり .hn -011 くま かつ

    1 1
    Ha ) -
    fa 州 こと で ある

    この とき fpfn = a だ が

    g 弘 も A で ある から
    _
    Def 4

    I の
    意味 で も

    f は 連続 で ない

    は) (可算) 選択 公理 を 用いる

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  47. ( Def 4

    I ⇒ Def 4

    I )
    f が

    Def 4
    .
    五 の 意味 で 連続 で ある と する

    任意 の 点列 例
    阿 が ftp. 仏 = a で ある と する

    Def 4 た より

    Ha ) の 任意 の E 近 適 Nq ( Ha ) ; R " ) について

    ある d > 0 が 存在 し

    f ( No ( a ; がり CM ( fa ) ; が) で ある

    min = a より

    ある no が 存在 し

    nzn

    なら ば .ae/Vd0iR )
    で ある 。
    よって

    MZ n

    ⇒ f ( が ) ENE ( Ha ) ; 1
    が)

    すなわち

    Hafan ) =
    f ( 1
    9 ) と なる

    よって
    .
    Def 4
    .
    I の 意味 で も f が 連続
    で ある こと
    が 示さ れ た


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  48. ⑧ 連続 写像 の
    性質


    写像 f :
    だっ だ が

    全て の 点 EV で
    .
    連続
    で ある とき

    f を 連続 写像 と いう


    f : o → V と

    gi V → W が 連続 なら ば

    合成 写像 g of :
    で → W

    Got ) に は 䞨 》
    も 連続 で ある 。
    ( これ は

    点列 の
    収束 による 定義 4

    I から 直ちに わかる )

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  49. ⑧ 同相 写像
    f : U -
    ) V が


    単射 ( 1 対 1
    ) で ある と は
    .
    f ( 北 ) =
    f ( y ) ⇒ a 二 y と なる こと


    全射 (上 へ の
    写像 ) で ある と は

    f ( ひ ) = V と なる こと

    全 単射 ( 1 対 1 対応 ) で ある と は

    全 射 かつ 単射 で ある こと
    .

    f が 全 単射 で ある とき

    逆 写像 f '
    i
    V 一
    心 が 存在 する

    fa は 1
    ま f '
    は1
    に で

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  50. Def 4

    巫 同相 写像
    写像 f : V → V が

    次 の 条件 い か を みたす とき

    f は 同相 写像 で ある と いう

    (1) f は 全 単射
    (2) f : 0 い V t.fi VN も ともに 連続
    で と V の 相 に 同相 写像 f : U -
    心 が 存在
    する とき

    Vt V は 位相 同形 で ある と いう

    でも V
    ドーナツ と コーヒー カップ が 同じ という アレ

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  51. 例 ) 平面 R の 任意 の 単純 ( 自身 と 交わら ない ) 閉曲線 の
    内部 V は

    2 次元 開 円板 が と
    位相 同形
    .
    ( リーマン の 写像 定理 )


    で が

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  52. ① 写像 の 座標 表示

    写像 f :
    U - ) V に つい て
    .
    f は ) EVC が で ある から

    f は ) =
    ( f

    ( の

    .
    、 、

    fn ( か ) と 書ける

    nne
    で → R
    ( 座標 表示 )
    演習 問題 4.1
    f :
    で → v が 連続
    ⑦ f の 座標 表示 f.in.tn が 全て 連続

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  53. Proof 、
    連続 の 定義 に は と
    0 論法 による 定義 Def 4 区 を 用いる

    を) 任意 の
    AEV と 任意 の E 70 に つい て
    .
    f の 連続 性 より

    ある 0>0 が 存在 し て
    .
    1 1
    硎 く d ⇒ 脈 ) 拗 KE

    いま

    11 た
    (つ 4 ) -
    Ha ) 11 E 脈 の t.la ) 114-+11た 咐 で 卵 州 に 姚 が
    で ある から

    11
    た ( oa ) -
    fi ( a ) 11
    < E

    (も) f

    i.tn が 連続 で ある こと から
    .
    任意 の
    と に つい て
    .
    d

    . _ 、

    I > 0 が 存在 し て

    M -
    MK di
    ⇒脈 の 一
    た 甽 くも
    E min { di

    On} と する と

    1
    は AIKO の とき

    Ha ) -
    和 州 =
    d 脈 咐

    緋 州 瓜 が 瓜 卵 く d ( が -.-
    +1 が =
    E
    よって f は 連続 で ある


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  54. § 5 位相 空間
    解 譫


    謭 0
    邰 を 取っ て くる と
    _
    ( 局所 座標 系 ) た
    よく わからない 空間 よく 知っ て いる 空間

    位相 構造 ⇐ 驫
    ※・
    位相

    構造

    ここ から
    ・ 距離 構造
    ( 一般 論 )

    代数 構造 ( ベクトル 空間 )

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  55. ① 位相 空間 の ご利益
    の 例
    何 が うれしい の ?

    これ まで

    1 1
    で 上 で

    距離 d (つ は 1
    ) を 使っ て

    E -
    近傍 Nq ( a ; 1
    が ) を 定義 し

    点列 の 収束 や

    連続 写像 など

    限り なく 近づける

    という 概念 に 定義を 与え て き た


    位相
    ( 開 集合系 ) を 用いる と

    距離 の
    概念
    を 用い ず に


    限り なく 近づける

    が 定義 できる

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  56. 限り なく 近づける 」
    の イメージ
    .
    距離 による 位相 の 導入 開 集合 系 による 位相 の 導入
    i
    .



    鼷 で
    JG 7 (
    2
    つ(


    x


    どんな E を 考え て も
    _
    どんな 開 集合 で を考え て も

    n を 大きく し て いく と

    いつか は

    n を 大きく し て いく と

    いつか は

    A と の
    距離 が E より 小さく なる

    で の 内側 に なる


    どんな 開 集合 が ある か

    を 決め て おけ ば

    距離 を 使わ ず に

    限り なく 近づける

    という 概念 を 導入 できる

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  57. Def 5

    I 位相 空間
    .
    集合 X と

    X の 部分 集合 から なる 集合 0 が
    以下 の 3 条件 1 1
    ) ~
    か を みたす とき

    (I) XEO かつ

    0 EO
    (2) で

    いひ

    EO なら ば GO.in Vk EO
    (3) 任意 の 集合族 に権八 について .VE 0 ( かい ) なら ば fii EO
    この とき

    0 を X の
    位相 ( topology ) と 呼び

    2 つ
    組 ( X

    0 ) を 位相 空間 (topological Space) と 呼ぶ

    空間 = 集合 +
    構造

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  58. 例 1 )
    が の
    f距離 を使っ て
    定義 した) 開 集合 全体 を O 川
    と する

    O い
    が 位相 の 条件 ( 1 ) で 3 ) を みたす こと は

    すでに 示し た
    ( prop 2

    2 )
    し た が って
    .
    ( 1


    O 川 は 位相空間 の 一
    例 で ある

    ユークリッド 空間
    m
    次元 数 空間 は 位相 空間 の 一


    で )
    を 1
    が の
    自然 な 位相 と 呼ぶ

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  59. 例 2 )
    1 つ の 集合 に は 異なる 位相 を 入れる "
    こと が できる

    数 直線 R に
    .
    通常 の
    位相 0 "
    と は
    異なる 位相 を 入れ て みる

    AER に対して

    Va =
    GEN x > a
    } と する

    集合 族 O を 0 =
    {Vitae

    が 1 0

    M
    と する と

    E は 位相 の 条件 し 1
    ) ~
    か を みたす

    R

    0 ) は



    で ) と は 別 の
    位相 空間 で ある

    Va

    1
    a
    R

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  60. 例 3 )
    V を が の
    ( 自然 な 位相 における ) 開集合 と する

    1
    が の 開集合 VE O ( m ) の
    うち

    V に 含ま れる もの の
    集合 を
    _
    Or と する

    すなわち

    Or =
    { VE O 川 ocv }
    と する と
    _
    ( V

    Or ) は 位相 空間 で ある 。
    G を

    V の
    自然 な 位相 と 呼ぶ

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  61. ⑧ 位相 空間 の 間 の 連続 写像
    これ まで に
    .
    R "
    における 連続 写像 の 概念 を


    点列 の 収束 による 方法 (Def 4
    -
    I )

    E -8 論法 ( Def 4 日 )
    によって 定義 し た

    ここ で は

    さらに

    一般 の 位相 空間 における 連続 写像
    を 定義 する

    た が

    が において は Def 4

    I

    4 日 の
    R "
    における 連続 の 概念 と 一致 する こと を 示す

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  62. • 逆 像 ( 引き戻し )
    写像 f i × → Y による

    Y の
    部分 集合 VCY の 逆 像 f '
    ( V ) と は
    .
    f ( か EV と なる が EX 全体 の
    集合 で ある

    すなわち
    .
    5 '
    ( V ) =
    HEX lf ( の ) EV }
    ※ 逆 写像 f "
    が 存在 しなく て も

    逆 像 は いっ で も 存在 する

    逆 写像 f '
    が 存在 する なら ば

    逆 像 は

    f '

    像 と一致 する

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  63. 逆 像
    Y

    _
    ftp. 逆 写像 ( 逆 関数 ) が
    . _ 、 . 、 、 、 、 、 . . .
    .
    . . 、 . 、 . . 、 、 .
    存在 し なく て も
    .
    :

    :

    逆 像 (集合 ) は
    1 1 X 存在 する

    Hv )

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  64. Def 5

    二 連続 写像
    ( x

    0 ) と
    (Y

    0 ) を 位相 空間 と する

    写像 f : × → Y が 連続 写像 で ある と は

    Y の
    任意 の 開 集合 で について

    V の 逆 像 ド ( じ ) が メ の 開 集合 で ある こと を いう

    X Y
    -
    of
    f
    Gr
    -
    で も 開集合 V が 開 集合 なら
    .

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  65. prop 5

    1

    が において

    2 つ の 連続 写像 の
    概念

    距離
    d 呦 ) を 用い た 定義 ( Def 4

    I

    4

    I )
    • 開 集合 系を 用い た 定義 ( Def

    5

    I )


    一致 する
    o
    ~ ここ は すでに 示し た

    証明 の方針 4

    I 4


    点 列 の 収束 E -0 論法
    l
    Osli 癰

    /
    ② * 教科書と 違う 経路 で 示す

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  66. Proof 、
    ( Def 5 五 ⇒ Def 4

    I )
    cef


    Def 5 は の
    意味 で 連続 で ある とき

    HS

    た 邶
    〇 で
    任意 の a EX と

    任意 の 点 列伝 }で CX について


    弘 = a なら ば
    、 ng
    fan ) =
    Ha ) を 示す

    抑 を含む 任意 の
    開 集合 VCY に つい て
    .
    Def 5 は より

    5'10 ) CX は 開 集合 で ある

    また

    AE が (で ) で ある

    したがって .

    と 弘 = A が ある Mo が 存在 し

    nz.no なら ば

    弘 E ドル ) で ある 。
    すなわち
    .
    MZ no なら ば
    .
    f ( 弘 ) EU で あるから gf ( 弘 ) =
    Ha )

    示さ れ た

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  67. ② ( Def 4

    I ⇒ Def 5
    _
    II)
    の い
    f が E -
    d 論法 の
    意味 で

    連続 で ある とする

    で Y を 任意 の
    開 集合 と する

    w
    G
    〇 : で 佻 "
    ド ( 0 ) CX の
    任意 の 点 a Ef だ ) に つい て
    .
    Ha ) EU で あり

    で は 開 集合 で ある から

    で に 含まれる fa ) の
    E -
    近傍 Nq ( Ha ) ; 1
    が) くじ が 存在 する

    f は E 一
    8 論法 の
    意味 で 連続 だ から

    ある 0>0 が 存在 し

    f ( Ndai 刖 ) CN q
    ( Ha ) ; が ) CU
    すなわち
    .
    No ( a : が ) C f "
    ( ひ )
    よって

    任意 の 点 AE ド ( で ) について

    で に含まれる A の 0 -
    近傍 が
    存在 する ため

    f ' ( じ ) は 開 集合で ある


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  68. ⑧ 連続 写像 の
    合成
    一般 の
    位相 空間 x

    Y

    Z に つい て
    .
    f : × → Y と g : Y い
    Z が 連続 なら ば

    合成 写像 g of ! X → Z も 連続 で ある

    Ot

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  69. Q 同相 写像
    .
    l
    が の とき と 同様 に

    同相 写像 と 位相 同形 を定義 する

    Def 5

    巫 同相 写像
    .
    写像 f : X → Y が

    次 の 条件 い か を みたす とき

    f は 同相 写像 で ある と いう

    (1) f は 全 単射
    (2) f : XN t.fi Y で も ともに 連続
    Def 4 四 で は

    X

    4 が 1


    肌 の 開集合 に 限っ て い

    の に対し 呬 で は

    X

    Y が 一般 の 位相 空間 に なっ た だけ

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  70. 位相 空間 ( x

    0 )

    ( Y

    0 ) の 間 に
    同相 写像 f が 存在 する とき

    X と Y は 位相 同形 で ある と いう

    X = Y
    .
    X と Y の 開 集合 は

    f によって
    一対一 に 対応 し て いる

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  71. Q 部分 空間
    .
    位相 空間 (X

    0 ) の 部分 集合 A について

    VOA
    =
    { 01 A |
    VE O } と する と
    .
    .
    A
    (AOA ) は 位相 空間 と なる

    re
    '
    s
    ( 証明 は ほぼ 自明 )
    on A
    Def 5

    IV
    ( A

    0 A
    ) を

    X の 部分 空間 と よび
    OA を

    X の 位相 から 導か れ た

    A の 相対 位相 と よぶ

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  72. Q 積 空間
    2 つ の
    位相 空間 ( x

    0 )

    ( Y

    0 '
    ) が ある とき
    .
    直積 集合 × x Y =

    甽 ax

    HEY }


    位相 を 入れる

    VEO.VE O '
    について

    VXV の
    形 の 集合 と

    この 形 の 集合 の
    任意 個 (無限 も OK ) の
    和 集合 から なる 集合 を
    Oxxy と 書く
    .
    Def 5

    V
    (× x
    Y

    0
    × ×
    y
    ) を 積 空間 .de を 積 位相 と よぶ

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  73. P「 OP

    ( M

    0
    が 、
    ) は 位相 空間 で ある
    。 とばす

    Proof

    0
    x × y =
    { 晶が で 1
    PE O
    ×
    × a } と 書ける

    (vii) GO.iq の とき
    UNE
    Oxxy が わかる

    ( に 仏門
    (1) 0 E Ox

    0 EG より

    4=0/0 E Oxxy
    X E Ox

    YEOY より XXYEG.is

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  74. (2) で



    た E Oxxy の とき

    Ri

    1
    た が 存在 し て
    .
    Oi =
    UTT
    Pi
    E
    O
    ×
    X OY
    ( Vir
    ) ER
    o. minor =
    ftp.i ) m 鼺 ばい)
    ここ で
    .
    一般 に
    .
    YA ) AB = 気 (An B ) だ から

    ai.Y.iitiiiwnrku.im
    )
    また

    一般 に ( AXB) へ

    D ) =
    ( AAC ) x
    ( BAD ) だ から
    .
    二、





    .net
    ) ×



    EO
    が 、
    E Ox E OY 0
    x
    の 元 と Oy の 元 の
    直積 の 和 で 表さ れる

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  75. (3) { Vitae a に つい て
    .
    Ua E Oxxy の
    とき

    Tba が 存在 し て

    項 -
    -
    Un
    I
    RE O
    ×
    x
    Oy
    (viii) ER
    領 に 点 が

    .ie 、
    演算
    生態
    と a の 元 の
    直積 の 和 で
    表さ れる
    .

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  76. ⑨ 位相 の
    強弱

    位相 =
    開 集合 の
    集まり ( 開集合 族 )
    開 集合 が 相対 的 に 多い =
    強い 位相
    開 集合 が 相対 的 に 少ない 二 弱い 位相
    ( x

    0 )

    (パリ に つい て
    _
    O C O
    '
    O O '
    弱い 強い
    X X

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  77. • 最強 の 位相 :
    離散 位相

    全て の 部分 集合 が 開集合
    O =
    P ( X )
    • 全て の 点 が バラバラ に 存在 し て いる イメージ

    ・ 最弱 の 位相 i 密着 位相 ( 自明な 位相 )
    • 0 と X だけ が 開 集合

    0={0/11}

    全て の 点 が くっつい て

    バラバラ に でき ない
    イメージ

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  78. @ 商 位相


    Y と

    位相 空間 ( x

    0 ) と

    集合
    写像 f : X → Y が ある とき

    f が 連続 と なる よう に
    Y に なるべく 強い 位相 を 入れる

    f
    位相 空間 × ただ の 集合 Y t 新た に
    位相 を 入れる

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  79. st

    _
    Y の 開 集合 が
    -_-

    O 多 すぎる と
    .
    対応する
    f だ )
    ○ -.- X の
    開 集合 が
    Hnsg
    存在 し ない

    x
    f Y
    位相 空間 集合 多 すぎ ず

    だが なるべく 多く

    Of =
    に CY げに) EO }
    Def 5


    ( Y

    G ) を 商 空間

    G を 商 位相 と よぶ

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  80. 脚 5.2
    ( Y

    G ) は 位相 空間 で ある

    ( 位相 の 条件 C 1
    ) や ) を みたす

    )
    (I)
    YEG
    かつ

    0
    EG
    (2) で



    T.GG
    なら ば じ

    の - . r
    7 Vk
    EG
    (3) 化放出 について

    ka.VE
    Of
    なら ば 見

    項 E
    Of
    Proof

    (1 ) f '
    ( 0 ) =
    EO より

    4 E
    Off
    '
    け ) =
    XEO より

    YE Of

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  81. (2) Uii

    V
    た E Of と する

    この とき

    f ) EO
    .
    ( Of の
    定義)
    また 0 は 位相 の
    条件 (2 ) を みたす ので
    .
    Hui ) べ げ ( ONE
    Of
    "
    ( Uin _
    n Ver ) =
    に EX l
    Ha ) E Ui 1 -
    Nhg
    =
    { NEX If Ga) EUT



    fa ) E Oh }
    =
    に EX 1
    fa ) EU } べ の 化 Exlf 的 EUN
    =
    f に

    ) の 一
    f '
    ( ve ) EO

    よって
    .
    V

    A -
    MULE Of で ある

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  82. (3) 集合 族 { Oiha に つい て
    .
    UI
    E Of
    と する

    この とき
    .
    f '
    ( Vn ) EO で ある

    ( G の 定義 )
    また

    0 は 位相 の
    性質 ( 3 ) を みたす ので
    .
    U f '
    (
    ODE O
    入り
    ほ、 ド ( Yin
    ) =
    仙川 枷
    EY 、、

    =
    HEX
    Hell

    fa ) EUY
    =
    Ya HEX lf は ) GUY
    =
    品 げに が EO
    よって
    .
    気 で

    EG で ある


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  83. Q ハウスドルフ 空間

    これ まで は

    一般 の
    位相 空間 の 性質 を 扱っ て き た

    扱い やすい 位相 空間 だけ を考える ため

    もう少し だけ 条件 を を
    厳しく
    する

    Def 5.VE
    次 の 条件 (ハウスドルフ の
    公理 ) を みたす
    位相 空間 を

    ハウスドルフ 空間 と
    呼ぶ
    :
    X の
    異なる 2 点 が y1
    について

    北 は 1
    を それぞれ 含む 開 集合 V 心 が 存在 し

    lrn
    で = で ある

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  84. ハウスドルフ 空間

    T.ir X
    i

    t.l.se
    i i y i

    、 _
    .
    i

    -.-

    ハウスドルフ 空間 で は

    収束 先 は 1つ に 決まる

    1
    節 弘 で かつ だが仏 =
    や の とき
    _
    A =
    B

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  85. Proof

    背理法 に よる

    1
    品 弘 = a かつ 品仙 や かつ .at B と 仮定
    .
    いま X は ハウスドルフ 空間 だ から

    開集合 0 心 が 存在 し

    a GO.BE V.VN =
    .
    min = a より

    Tea

    n Z で ⇒ 弘 EV

    だが仏 = B より


    ns.nznb ⇒ 弘 E
    T.no
    =
    maxfna.nl ) と すれ ば

    nzn

    なる n について

    In EO かつ an EV

    これ は

    UN = と 矛盾 する 毎

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  86. ⑤ 閉 集合
    -
    Def 5


    位相 空間 X の 部分 集合 C が

    閉集合 で ある と は
    .
    C の 補 集合 X -
    C が 開 で ある こと を いう

    prop 5

    3
    .
    閉 集合 の
    基本 性質
    (i) 0

    X 自身 は 閉

    証明 は

    (II) Gii C
    た が 閉 で ある とき GU -
    U Ch は 閉 ド・モルガン の
    (川 1
    aa
    において

    各 G が 閉 で ある とき

    AG は 閉
    法則 鯯

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  87. prop 5

    4
    .
    f : × → Y が 連続 写像
    < =
    〉 Y の
    任意 の
    閉集合 で について

    射 ( ひ ) が X で 閉
    .ge 開

    なら

    連続 の
    定義
    そのもの
    .
    pot .
    閉集合 が

    開 集合 の 裏返し
    (互いに 補集合) で ある こと を 用いれ ば
    明らか 岡

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  88. prop
    5.5
    f : X → Y が 同相 写像
    ⇒ x 任意 の
    閉集合 で について

    f ( U ) が Y で 閉
    pot .
    閉集合 が

    開 集合 の 裏返し ( ry

    同相 写像 は
    .
    全て の
    開集合 と
    閉 集合 を 一対一 に 対応 させる

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  89. 演習 問題 5.1
    位相 空間 X

    部分 空間 A CX
    .




    が鬱
    "
    部分 位相 の
    定義 より

    G =
    { An VIVE O ×
    }
    いま

    任意 の で EG について

    で ( で ) = 任
    圳 で は ) EUJ 二
    { NEA は }
    =
    AN EOA よって
    .
    で は 連続

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  90. 演習 問題 5.5


    X

    Z :
    位相 空間
    .
    xfy.fi
    が Y

    全射

    連続
    g
    h

    Y :
    f の
    適 空間
    .
    Z

    g i × → z

    h : Y → z
    ,
    g =
    hof
    この とき h が 連続 も g が 連続
    Proof

    ⇒ は

    明らか

    (
    がん
    が 連続 かっ
    .
    f が 連続 ⇒ g で が 連続

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  91. に) G を 連続 と する

    任意 の UE Oz に つい て
    .
    Nf )で
    ( 0 ) =
    PEX l
    h ( f は DEG
    =
    { つ4 EX 1
    f ( 北 ) E だ ( U ) }
    =
    fl ( だに ) )
    h of = g だ から

    ダ ( U ) =
    ド ( だい )
    ここ で

    G は 連続 だ から

    お ( ひ ) E Ox

    つまり

    ft ( びに ) ) E Ox

    また

    商 位相 の 点 義 より
    .VE
    Oy
    #
    f "
    ( V ) E Ox
    よって

    ドル
    ) EG と なり

    h は 連続 で ある


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