多様体入門セミナー#1 準備

松本幸夫「多様体の基礎」の第１章。
位相空間論をメインに。

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1. 1 1 多様 体 入門 セミナー 第 1回 多様 体 の 基礎 7 第 1 章 準備 水 ぬ 世の中 の ミス マッチ を なくす ぬ 後援 SCE Uty き @ nunuki _
2. 自己 紹介 ぬ ぬき 鑼 @nunuki.t nunuk.im 専門 分野 大学 i 物理 ( 物性 、 量子 統計 、 数値 計算) 現在 : 機械 学習 (主 に Bayes ) 、 信号 処理 2018.11 ~ 豳 䌴 E 中央研究所 souty
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4. 松本 幸夫 「 多様 体 の 基礎 」 通称 「 ラノベ 多様 体 」 本 セミナー は 「 ラノベ の アニメ 化 」 を 目指し ます 。
5. ラノベ 原作 アニメ 第 1話 と いえ ば -_- 。 ① 世界 観 の も 第 ② メイン ヒロイン の 登 長 多様 体 ちゃん の 登場 は 次回 です 。
6. 時 は 20 世紀 -.-
7. 20 世紀 の 数学 者 にとって . 数学 と は 、 、 合金 と _ 構造 の 学問 で あっ た 。
8. 集合 と は 、 「 含む 、 「 含ま ない が 定義 さ れ た モ 1 . 」 」 5 EN.IE 日 、 元 ER 自然 数 の 集合 有理数 の 集合 実数 の 集合 . • 集合 は 、 「 含む 」 「 含まない 」 だけ _ で 決まる 。 ・ 全て の 要素 が 等しい 集合 は 、 同じ もの 。 ・ 個数 や 順番 は 関係 ない 。 . 「 集合 の 集合 」 も OK . ⇒ 集合 族 と 呼ぶ 。
9. • 集合 に は 次 の よう な 操作 が 許さ れる 。 • (有限 個 の ) 要素 から . 集合を つくる に は 、 7 • 集合 の べき 集合 (部分集合 全体 の集合 ) を とる P ( に て 、 3 3) = 1 0 、 川 、 何 、 何 、 川 、 12.33 、 {1.33/{1.2/3}} • ( 無限 を 含む 任意 個 の ) 集合 の 和集合 ・ 共通 部分 を とる 。 Ni = に 1 で い 哘 、 ft = 川 が 、 北 EX ) • ある集合 A から 、 ある 条件 t を みたす 要素 を 取り出し て き た部分集合 を 作る 。 { x EA l 4 川 、 { n N ln mod 2 = 1 }
10. 構造 と は 集合 の 要素 の 間 に 定義 さ れ た 、 何らかの 関係 E t E E 1 + 1 二 2 たく た the First T つ は EN に対して . NGE R に対して . 定まる 。 f にいる ) EN を 返す 関数 命題 g にいる ) ( True l False を 返す 関数)
11. 20 世紀 の 数学 者 集団 ブルバキ に よれ ば . 代表 的 な 構造 概念 に は 、 次 の もの が ある 。 • 代 委久木冓 造 _ 要素 の 組 に . 別 の 要素 を 対応 さ せる 構造 1+1=2 、 が mod p = 1 • 順序 木冓 造 、 要素 の 大小 など の 関係 性 の 構造 たく た 、 No く i • 位相 構造 、 要素 の 収束 や 、 連続 性 の 構造 い 品 が いい ⇒ 本日 の 主役 .
12. 多様 体 と は 、 局所 的 に は ユークリッド 空間 と みなせる 位相 空間
13. ① 位相 空間 位相 構造 が 定義 さ れ た 集合 、 ◦ ユークリッド 空間 ( m 次元 数 空間 ) が • みんな が よく 知っ て いる 空間 ・ m 個 の 実数 の 座標 で 表される 点 に 、 -.- 、 弘 ) 全体 の 集合 • 実数 から 引き継い だ 、 様々 な 構造 を 「 持っ て いる 。 Inc . 位相 構造 w 1 が は 、 位相 空間 の 具体 例 の 1つ 。
14. 多様 体 ユークリッド 空間 ( m 次元 数 空間 ) で で◦ 邰 を 取っ て くる と _ ( 局所 座標 系 ) た よく わからない 空間 よく 知っ て いる 空間 . • 位相 構造 ・ 位相 構造 、 t • 距離 構造 • 代数 構造 ( ベクトル 空間 も )
15. ここ で オープニング →
16. 第 1 章 準備 S 1 多様 体 と は . ← これ まで 話し た 内容 § 2 m 次元 数 空間 ) 具体 例 § 4 (前半) 連続 写像 が 箔 鱲 門 位相 空間 論 § 5 位相 空間 。 _ _ _ _ 。 _ _ 。 一 一 一 。 ・ ・ ・ ・ ・ ・ 一 。 _ _ 。 _ _ _ _ _ _ _ _ _ o - 一 、 _ 、 一 _ 、 、 § 3 ベクトル 空間 所 (後半) cr 級 写像 } 時間 の 許す 限り ,
17. § 2 m 次元 数 空間 、 Def 2.IM 次元 数 空間 が m を 1 以上 の 自然 数 と する . m 個 の 実数 を 並べ た 組 は 、 、 つい 、 -.- 、 xm ) の 全体 から なる 集合 を m 次元 数 空間 が と よぶ -11 で は R と 同一 視 さ れる i 数 直線 . 1 ' ' に 。 l1 で は 2 次元 平面 の ル、
18. Def 2 、 I が の 距離 、 Rl 上 の 2 点 北 = に 、 . . . . . an } と y = は 、 . . . 、 、 な m } の 距離 と は . d ( N 、 H ) = ( か が t.it にいる が という 実数 の こと で ある 。
19. prop 2 、 1 ( 距離 の 3 性質 ) (i) d は 、 お ) Z 0 が 、 d は 、 の ) = O と なる の は . みな の とき に 限る 。 (ii) d に は1 ) = d は 、 北 ) ( 対称 性 ) (iii) d は 、 お) t d は 、 を ) 2 d は 、 を ) に角 不等式 ) proof.li ) H ) 略 (iii) は コーシー 。 シュワルツ の 不等式 から 導か れる .
20. (iii) に 水 - y = G 、 ー る 、 、 一 、 が なり 、 N = E が に iyii で いる ) と する 。 この とき . d に は 1 ) = d ( o.lu ) 、 d は 、 区 ) = d ( 0 、 川 、 d ( e ) = d M D で ある 。 (d ( 北 は1 ) td は 、 が _ d ( が が = (d ( 0.nu ) td (O.O) に d ( N が = d ( 0 、 が td ( 0 、 が _ d ( N 、 が +2 d ( OM d ( ON ) = 嵒 ( uit が 一 ( いが ) +2 ( u.it ui Tii ) 二 2 ( dietary t mu + -_- ① ②
21. ここ で 、 あ _ = Git 、 tui ) ( が 一 t が - ( uw - min ) 2 Z 0 ( コーシー シュワルツ の 不等式 ) だ から . は 1 2 同 よって 。 ( da 、 お td は 、 が _ d は 、 が = 2 (の +20 ) Z 2 ( 1 1-1201 ) Z 0 曲 ※ コーシー ・ シュワルツ の 不等式 は 、 2 次 関数 ※ ( いっ いが の 判別 式 が 0 以上 で ある こと から 導か れる 。
22. ユークリッド 距離 値 線 距離 " d には 1 ) = G は 、 ) て t -.- t Gwyn ) 2 が 距離 の 3 性質 l i ) ~ ( iii ) を 満たす こと を 示し た 。 以降 で は . 離 の 性質 と して この 3 性質 のみ を 用いる 。 つまり . 逆 に 距離 の 3 性質 を みたす 関数 d ( の は1 ) で あれ ば 、 どんな 関数 で 距離 と して も 以降 の 議論 に 本質 的 違い は ない 。 例 ) d ' ( か は1 ) = l つ いる 、 1 + -_- +1 am - ymt d " は 、 y ) = ma x { に いる 、 1 、 一 、 1 が ない }
23. この よう に 、 「 距離 の 3 性質 を みたす 関数 d は 、 別」 が 定義 さ れ た 集合 を 距離 空間 と 呼ぶ 。 つまり . 1 が で 直線 距離 " d には 1 ) の 組 は 、 距離 空間 の 具体 例 の 1つ で ある 。
24. ⑧ が の 位相 が の 距離 d ( 北 は1 ) を 用い て 、 開 集合 ・ 閉 集合 や 、 点列 の 収束 、 連続 写像 など 、 位相 に関する 概念 を 導入 する 。
25. Def 2 、 五 E - 近傍 AE が 、 E を 正 の 実数 と する 。 A の が における 、 E - 近傍 Ne ( a : R " ) と は . a から の 距離 が E 未満 で ある 点 の 集合 で ある 。 Na ( miR ) = に ERM l d は 、 a ) く E } が E 幾 M ( a 、 A )
26. Def 2 . IV が の 開 集合 _ が の 部分 集合 で が 開 集合 で ある と は 、 U に 含ま れる 任意 の 点 a EV について 、 ある E 70 を 十分 小さく とる と 。 N q ( a ; が ) CV と なる こと で ある 。 で 縫
27. 例 : O = Nr ( a ; が ) は 1 が の 開 集合 で ある 。 Proof 任意 の で EU に つい て . Nr ( a ; 1 1 で ) の 定義 より . d は 、 a ) く r . つまり 、 8 - da 、 a ) > 0 で ある 。 0 く とく r _ da 、 a ) と なる E を とる 。 ( 例えば 、 E = に _ 物 的 この とき 、 (三角 不等式 より) r で Nr ( いが ) Nada ; 刖 C で 齲 pa aai 漐 まで に da.ae) で ある 。 囿 に に 的
28. Prop 2.2 開 集合 の 基本性質 、 (i) が はが の 開 集合 で ある . 空 集合 0 もが の 開 集合 で ある 。 (ii) 有限 個 の が の 開 集合 で 、 一 、 Uた の 共通 部分 V 、 non -.- 1 Th は 、 1 が の 開 集合 で ある 。 (iii) 任意 個 (有限 又は 無限 ) の 開 集合 化が a の 和 集合 Yii はが の 開 集合 で ある 。
29. Proof . (i) 0 = R " について 、 任意 の 点 た EV を とる と 、 任意 の 970 に つい て 。 Ne は ; が) CV で ある 。 V = 0 に つい て . NE で なる 04 は 存在 し ない 。 ゆえに 命題 は 真 で ある 。 (ii) Tintin 、 、 . n Ver = ( せ n た ) n た ) n ) で た だから 。 2 つ の 開 集合 の 共通 部分 が 開 集合 で ある こと を 示せ ば の 。 いま Ui 、 た を R " の 開集合 と する 。
30. ただ 、 へた に 含ま れる 任意 の 点 HEV について 、 ひ、 、 02 はが の 開 集合 で ある から . 正 の 実数 E 、 . と 、 7 0 が 存在 し . Nq 、 は : が ) c で 、 Na ( に ! Rり C た で ある 。 いま 、 E 二 min 仏 、 9 て } と する と . Ne ( 水 ; が ) C Ui か つ . Ne ( つ 4:11 マツ C 0 2 で ある から . Ne ( a ; 1 が ) C U 、 ヘ で 、 二 V が 成り立つ 。 よって 、 では が の 開 集合 で ある 。 た
31. (III) た 気 項 と する 。 和集合 の 定義 佖 ) より 任意 の 拙 EV に対して . ある が EA が 存在 し 、 が E 項 で ある 。 だが はが の 開 集合 で ある から . ある E 7 0 が 存在 し . Ne に4 ; が ) C ひで で ある 。 したがって 、 Na ( で ; 1 が ) C だ が CV と なる ため V は 1 が の 開 集合 で ある 。 h Cento (刈 e に に1 樾 が 吁
32. これ まで に 、 • 距離 d は 、 列 を 用い て . 11 で の 開集合を 定義 し た 。 • が の 開 集合 が 、 開集合の 基本性質1 i ) で州 ) を みたす こと を 示し た 。 実は 、 基本 性質 いい が を みたす 開集合 が 定義 さ れた 集合 」 を 、 位相 空間 と 呼ぶ 、 つまり 、 1 が は 位相 空間 の 具体 例 の 1つ で ある 。 一般 の 位相 空間 は . § 5 で 扱う 。
33. ⑤ 点列 の 収束 、 Def 2.TT が の 点列 の 収束 Rm の 点列 は 䏣 = せ い た 、 - ) が 、 極限 点 A に 収束 する と は 、 任意 の a の E - 極限 Nda 、 1 が) に対して _ じゅうぶん 大きな no を 選べ ば . n Zno なる 弧 が 全て 弘 ENda.IM と なる こと を 言う 。 は) f が a に 収束 する こと を . Mg 弘 = と 書く 。
34. せ、 私 雚 a が • ・ ei n 23 なら ば _ 讋 m EN、 ( a.IR ) i 黛 a n 2 5 なら ば . an E No 、 、 ( a 、 1 が ) nz 114514 なら ば が ENo.oooooia.IM E を どんなに 小さく とっ て も n を 大きく すれ ば 弘 が Na ( いが) に 含ま れる 。
35. Def 2 . VI が の 閉 集合 が の 部分 集合 C が 1 が の 閉 集合 で ある と は 、 C の 要素 のみ から なる 任意 の 点列 は 沼 が 、 1 が で 収束 する とき _ その 極限 点 a も C に含ま れる こと で ある 。 「 極限 を 取る 」 という 操作 に対して 「 閉じ て いる 」 集合
36. Prop 2.3 閉 集合 の 基本 性質 (i) が はが の 閉 集合 で ある 。 空 集合 も が の 閉 集合 で ある 。 (ii) 有限 個 の が の 閉 集合 G 、 ih の 和 集合 GU -.- U Ck はが の 閉 集合 で ある 。 (ii) 任意 個 (有限 または 無限 ) の が の 閉集合 { 的 が 共通 部分 Ain はが の 閉 集合 で ある 。 prop 2 . 2 ( 開 集合 の 基本 性質 ) の 「 和 集合 」 と 「 共通部分」 が 入れ替わっ た 形 を L て いる 。 これ は 次 の prop 2.4 の 事実 に よる 。 証明 は 、 prop 2.4 と 、 ド・モルガン の 法則 ( 公理) から ただちに 導か れる 。
37. prop 2.4 開 集合と 閉 集合 の 関係 • で かが の 開 集合 ⇒ 補集合 が一 で は 1 が の 閉 集合 • C が 1 が 閉 集合 ⇒ 補集合 が、 いが の 開 集合
38. Proof . 開 の 補 ⇒ 閉 . で を 1 1 で の 開 集合 と し 、 C = が -0 と する 。 仏 胎 を 、 C の 要素 から なる 点列 と し _ l品 弘 = GE が と する 。 a ¢ c と し て 矛盾 を 導く . a ¢C の とき 、 EU で ある 。 V は 開集合 で ある から 、 に、 弘 = より 、 ある no が 存在 し て . NEO で ある 。 これ は 、 { 弘 ぽ が C の 要素 のみ から なる こと に 反する 。 よって . Pan} で は 収束 する なら は その 極限 点 は C に 族 する 。 したがって 、 C は 閉 集合 で ある 。 i 載 c
39. • 閉 の 補 の 開 C を R " の 閉集合と し 、 た が - C と する 。 U が 開 集合 で ない と して 矛盾 を 導く . で は 開 で は ない ため 、 ある a EU が 存在 し . 任意 の 970 に で て r Ne ( ai が ) 4 で で ある 。 すなわち . n = 1 、 2 i について _ E 二 え と する と 、 an EN 」 ( いが ) なる 弘 ¢ で が 存在 する 。 点列 化け 点 を考える と 妙 は }で は A に 収束 する が 、 弘和 (つまり 、 弘 EC ) な ので 閉 集合 の 定義 により 。 極限 点 は AEC で ある が これ は AEV に 反する 國 N) 部分 で (可算 ) 選択 公理 を 使っ て いる 。 選択 公理 を 使わ ない 証明 は 可能 ?
40. 開 集合 ・ 閉 集合 の 例 . • 半径 r の m 次元 円板 ( m 次元 球体 ) は 閉 集合 DM = 化 が 1 d は 、 a ) Er } • 半径 r の m 次元 開 円板 は 開 集合 . が = 化 が 1 da.cn ) は } = Nr ( a ; 1 が ) r が r が a a
41. § 4 連続 写像 と C 「 級 写像 . 後回し に し ます 。 • が 上 の 連続 写像 を 、 ・ 点列 の 収束 による 方法 ・ E - 0 論法 で 定義 し ます 。 • 2 つ の 定義 が 同値 で ある こと を 示し ます 。 • 連続 関数 を 用い て 、 同相 写像 を 定義 し ます 。
42. ひ、 V を それぞれ RM 、 1 が の 開 集合 と する 。 Def 4 、 I 点列 による 連続 写像 の 定義 写像 f : O → V が 点 a で 連続 で ある と は 、 で 内 の 任意 の 点列 に 哨 について 。 に、 て た こと なら ば 、 fgfan ) = f ( a ) が 成り立っ こと で ある 。 a f ( a ) で 齠 f f い
43. Def 4.IE -0 論法 による 連続 性 の 定義 写像 f : 0 → V が 点 a で 連続 で ある と は 、 Ha ) の 任意 の E 近傍 Ne ( Ha ) i が ) に 対して 。 d > 0 を じゅうぶん 小さく 選べ ば 、 以下 が 成り立つ こと HNdaiAIICNa.IT ) ; 1 が ) KEN d ( a ; が ) なる 74 に つい て . f ( み ) を 集め た 集合 、 これ は つまり . 「 任意 の 970 に つい て . D 0 が 存在 し 、 1 1 がAIKO なら は 1 1 1で ) - f ( KE 」 という こと 。
44. s. -0 論法 による 連続 写像 の 定義 .TT 䛷 で ◦ ! 秒 _扤 坳 - E を どんなに 小さく し て も 、 d を 小さく とれ ば 、 1 1 Ha ) - f ( 洲 が E より も 小さく なる 。
45. POP Def 4 、 I と Def 4 、 五 の 連続 写像 の 定義 は 同値 で ある 。 4 、 I 4 た 点列 の 収束 Ed 論法
46. Proof 、 ( Def 4 、 I ⇒ Def 4 、 五 ) 対偶 を 示す 。 f が 、 Def 4 、 立 の 意味 で _ A で 連続 で ない と する 。 すなわち 、 ある E が 存在 し 、 任意 の 0>0 に つい て 。 l 1 つ 4-0110 なる 水 が 存在 し 、 1 1 f ( 北 ) - f ( a ) l 1 2 E で ある 。 * , d 二 も に つい て . この よう な 北 を が n と する 。 つまり .hn -011 くま かつ 、 1 1 Ha ) - fa 州 こと で ある 。 この とき fpfn = a だ が 、 g 弘 も A で ある から _ Def 4 、 I の 意味 で も 、 f は 連続 で ない 。 は) (可算) 選択 公理 を 用いる 。
47. ( Def 4 、 I ⇒ Def 4 、 I ) f が 、 Def 4 . 五 の 意味 で 連続 で ある と する 。 任意 の 点列 例 阿 が ftp. 仏 = a で ある と する 。 Def 4 た より 、 Ha ) の 任意 の E 近 適 Nq ( Ha ) ; R " ) について 、 ある d > 0 が 存在 し 、 f ( No ( a ; がり CM ( fa ) ; が) で ある 。 min = a より 、 ある no が 存在 し 、 nzn 。 なら ば .ae/Vd0iR ) で ある 。 よって 、 MZ n 。 ⇒ f ( が ) ENE ( Ha ) ; 1 が) 、 すなわち 。 Hafan ) = f ( 1 9 ) と なる 。 よって . Def 4 . I の 意味 で も f が 連続 で ある こと が 示さ れ た 。 国
48. ⑧ 連続 写像 の 性質 。 • 写像 f : だっ だ が 、 全て の 点 EV で . 連続 で ある とき 、 f を 連続 写像 と いう 。 • f : o → V と 、 gi V → W が 連続 なら ば 、 合成 写像 g of : で → W 、 Got ) に は 䞨 》 も 連続 で ある 。 ( これ は 、 点列 の 収束 による 定義 4 。 I から 直ちに わかる )
49. ⑧ 同相 写像 f : U - ) V が 、 • 単射 ( 1 対 1 ) で ある と は . f ( 北 ) = f ( y ) ⇒ a 二 y と なる こと 。 • 全射 (上 へ の 写像 ) で ある と は 、 f ( ひ ) = V と なる こと • 全 単射 ( 1 対 1 対応 ) で ある と は 、 全 射 かつ 単射 で ある こと . • f が 全 単射 で ある とき 、 逆 写像 f ' i V 一 心 が 存在 する 。 fa は 1 ま f ' は1 に で
50. Def 4 、 巫 同相 写像 写像 f : V → V が 、 次 の 条件 い か を みたす とき 、 f は 同相 写像 で ある と いう 。 (1) f は 全 単射 (2) f : 0 い V t.fi VN も ともに 連続 で と V の 相 に 同相 写像 f : U - 心 が 存在 する とき 、 Vt V は 位相 同形 で ある と いう 。 でも V ドーナツ と コーヒー カップ が 同じ という アレ 。
51. 例 ) 平面 R の 任意 の 単純 ( 自身 と 交わら ない ) 閉曲線 の 内部 V は 、 2 次元 開 円板 が と 位相 同形 . ( リーマン の 写像 定理 ) ◦ で で が
52. ① 写像 の 座標 表示 、 写像 f : U - ) V に つい て . f は ) EVC が で ある から 、 f は ) = ( f 、 ( の 、 . 、 、 、 fn ( か ) と 書ける 。 nne で → R ( 座標 表示 ) 演習 問題 4.1 f : で → v が 連続 ⑦ f の 座標 表示 f.in.tn が 全て 連続
53. Proof 、 連続 の 定義 に は と 0 論法 による 定義 Def 4 区 を 用いる 、 を) 任意 の AEV と 任意 の E 70 に つい て . f の 連続 性 より 、 ある 0>0 が 存在 し て . 1 1 硎 く d ⇒ 脈 ) 拗 KE 。 いま 、 11 た (つ 4 ) - Ha ) 11 E 脈 の t.la ) 114-+11た 咐 で 卵 州 に 姚 が で ある から 、 11 た ( oa ) - fi ( a ) 11 < E 。 (も) f 、 i.tn が 連続 で ある こと から . 任意 の と に つい て . d 、 . _ 、 、 I > 0 が 存在 し て 、 M - MK di ⇒脈 の 一 た 甽 くも E min { di 、 On} と する と 。 1 は AIKO の とき 、 Ha ) - 和 州 = d 脈 咐 、 緋 州 瓜 が 瓜 卵 く d ( が -.- +1 が = E よって f は 連続 で ある 。 国
54. § 5 位相 空間 解 譫 で 驛 謭 0 邰 を 取っ て くる と _ ( 局所 座標 系 ) た よく わからない 空間 よく 知っ て いる 空間 ・ 位相 構造 ⇐ 驫 ※・ 位相 十 構造 、 ここ から ・ 距離 構造 ( 一般 論 ) ・ 代数 構造 ( ベクトル 空間 )
55. ① 位相 空間 の ご利益 の 例 何 が うれしい の ? • これ まで 、 1 1 で 上 で 、 距離 d (つ は 1 ) を 使っ て 、 E - 近傍 Nq ( a ; 1 が ) を 定義 し 。 点列 の 収束 や 、 連続 写像 など 「 限り なく 近づける 」 という 概念 に 定義を 与え て き た 。 • 位相 ( 開 集合系 ) を 用いる と 一 距離 の 概念 を 用い ず に 、 「 限り なく 近づける 」 が 定義 できる 。
56. 「 限り なく 近づける 」 の イメージ . 距離 による 位相 の 導入 開 集合 系 による 位相 の 導入 i . ・ 。 。 鼷 で JG 7 ( 2 つ( 、 ・ x 、 ・ どんな E を 考え て も _ どんな 開 集合 で を考え て も 、 n を 大きく し て いく と 、 いつか は 、 n を 大きく し て いく と 、 いつか は 、 A と の 距離 が E より 小さく なる 。 で の 内側 に なる 。 「 どんな 開 集合 が ある か 」 を 決め て おけ ば 、 距離 を 使わ ず に 「 限り なく 近づける 」 という 概念 を 導入 できる 。
57. Def 5 、 I 位相 空間 . 集合 X と 、 X の 部分 集合 から なる 集合 0 が 以下 の 3 条件 1 1 ) ~ か を みたす とき 、 (I) XEO かつ 、 0 EO (2) で 、 いひ た EO なら ば GO.in Vk EO (3) 任意 の 集合族 に権八 について .VE 0 ( かい ) なら ば fii EO この とき 、 0 を X の 位相 ( topology ) と 呼び 、 2 つ 組 ( X 、 0 ) を 位相 空間 (topological Space) と 呼ぶ が 空間 = 集合 + 構造
58. 例 1 ) が の f距離 を使っ て 定義 した) 開 集合 全体 を O 川 と する 。 O い が 位相 の 条件 ( 1 ) で 3 ) を みたす こと は 、 すでに 示し た ( prop 2 、 2 ) し た が って . ( 1 が 、 O 川 は 位相空間 の 一 例 で ある 。 ユークリッド 空間 m 次元 数 空間 は 位相 空間 の 一 例 、 で ) を 1 が の 自然 な 位相 と 呼ぶ 、
59. 例 2 ) 1 つ の 集合 に は 異なる 位相 を 入れる " こと が できる 。 数 直線 R に . 通常 の 位相 0 " と は 異なる 位相 を 入れ て みる 。 AER に対して 、 Va = GEN x > a } と する 。 集合 族 O を 0 = {Vitae 、 が 1 0 、 M と する と 。 E は 位相 の 条件 し 1 ) ~ か を みたす 。 R 、 0 ) は 、 他 、 で ) と は 別 の 位相 空間 で ある 。 Va 。 1 a R
60. 例 3 ) V を が の ( 自然 な 位相 における ) 開集合 と する 。 1 が の 開集合 VE O ( m ) の うち 、 V に 含ま れる もの の 集合 を _ Or と する 。 すなわち 、 Or = { VE O 川 ocv } と する と _ ( V 、 Or ) は 位相 空間 で ある 。 G を 、 V の 自然 な 位相 と 呼ぶ
61. ⑧ 位相 空間 の 間 の 連続 写像 これ まで に . R " における 連続 写像 の 概念 を 、 • 点列 の 収束 による 方法 (Def 4 - I ) • E -8 論法 ( Def 4 日 ) によって 定義 し た 。 ここ で は 、 さらに ・ 一般 の 位相 空間 における 連続 写像 を 定義 する 。 た が 、 が において は Def 4 、 I 、 4 日 の R " における 連続 の 概念 と 一致 する こと を 示す 。
62. • 逆 像 ( 引き戻し ) 写像 f i × → Y による 、 Y の 部分 集合 VCY の 逆 像 f ' ( V ) と は . f ( か EV と なる が EX 全体 の 集合 で ある 。 すなわち . 5 ' ( V ) = HEX lf ( の ) EV } ※ 逆 写像 f " が 存在 しなく て も 、 逆 像 は いっ で も 存在 する 。 逆 写像 f ' が 存在 する なら ば 、 逆 像 は 、 f ' の 像 と一致 する 。
63. 逆 像 Y 紲 _ ftp. 逆 写像 ( 逆 関数 ) が . _ 、 . 、 、 、 、 、 . . . . . . 、 . 、 . . 、 、 . 存在 し なく て も . : 嚙 : 癱 逆 像 (集合 ) は 1 1 X 存在 する 。 Hv )
64. Def 5 、 二 連続 写像 ( x 、 0 ) と (Y 、 0 ) を 位相 空間 と する 。 写像 f : × → Y が 連続 写像 で ある と は 、 Y の 任意 の 開 集合 で について 、 V の 逆 像 ド ( じ ) が メ の 開 集合 で ある こと を いう 。 X Y - of f Gr - で も 開集合 V が 開 集合 なら .
65. prop 5 、 1 、 が において 、 2 つ の 連続 写像 の 概念 • 距離 d 呦 ) を 用い た 定義 ( Def 4 、 I 、 4 、 I ) • 開 集合 系を 用い た 定義 ( Def 、 5 、 I ) は 、 一致 する o ~ ここ は すでに 示し た 。 証明 の方針 4 、 I 4 、 二 点 列 の 収束 E -0 論法 l Osli 癰 薜 / ② * 教科書と 違う 経路 で 示す 、
66. Proof 、 ( Def 5 五 ⇒ Def 4 、 I ) cef が 、 Def 5 は の 意味 で 連続 で ある とき 、 HS 氐 た 邶 〇 で 任意 の a EX と 、 任意 の 点 列伝 }で CX について 、 您 弘 = a なら ば 、 ng fan ) = Ha ) を 示す 。 抑 を含む 任意 の 開 集合 VCY に つい て . Def 5 は より 、 5'10 ) CX は 開 集合 で ある 。 また 、 AE が (で ) で ある 。 したがって . な と 弘 = A が ある Mo が 存在 し 、 nz.no なら ば 、 弘 E ドル ) で ある 。 すなわち . MZ no なら ば . f ( 弘 ) EU で あるから gf ( 弘 ) = Ha ) が 示さ れ た 。
67. ② ( Def 4 、 I ⇒ Def 5 _ II) の い f が E - d 論法 の 意味 で 、 連続 で ある とする 。 で Y を 任意 の 開 集合 と する 。 w G 〇 : で 佻 " ド ( 0 ) CX の 任意 の 点 a Ef だ ) に つい て . Ha ) EU で あり 、 で は 開 集合 で ある から 、 で に 含まれる fa ) の E - 近傍 Nq ( Ha ) ; 1 が) くじ が 存在 する 。 f は E 一 8 論法 の 意味 で 連続 だ から 、 ある 0>0 が 存在 し 、 f ( Ndai 刖 ) CN q ( Ha ) ; が ) CU すなわち . No ( a : が ) C f " ( ひ ) よって 、 任意 の 点 AE ド ( で ) について 、 で に含まれる A の 0 - 近傍 が 存在 する ため 、 f ' ( じ ) は 開 集合で ある 。 国
68. ⑧ 連続 写像 の 合成 一般 の 位相 空間 x 、 Y 、 Z に つい て . f : × → Y と g : Y い Z が 連続 なら ば 、 合成 写像 g of ! X → Z も 連続 で ある 。 Ot
69. Q 同相 写像 . l が の とき と 同様 に 、 同相 写像 と 位相 同形 を定義 する 。 Def 5 、 巫 同相 写像 . 写像 f : X → Y が 、 次 の 条件 い か を みたす とき 、 f は 同相 写像 で ある と いう 。 (1) f は 全 単射 (2) f : XN t.fi Y で も ともに 連続 Def 4 四 で は 、 X 、 4 が 1 が 、 肌 の 開集合 に 限っ て い た の に対し 呬 で は 、 X 、 Y が 一般 の 位相 空間 に なっ た だけ 、
70. 位相 空間 ( x 、 0 ) 、 ( Y 、 0 ) の 間 に 同相 写像 f が 存在 する とき 、 X と Y は 位相 同形 で ある と いう 。 X = Y . X と Y の 開 集合 は 、 f によって 一対一 に 対応 し て いる 。
71. Q 部分 空間 . 位相 空間 (X 、 0 ) の 部分 集合 A について 。 VOA = { 01 A | VE O } と する と . . A (AOA ) は 位相 空間 と なる 。 re ' s ( 証明 は ほぼ 自明 ) on A Def 5 、 IV ( A 、 0 A ) を 、 X の 部分 空間 と よび OA を 、 X の 位相 から 導か れ た 。 A の 相対 位相 と よぶ 。
72. Q 積 空間 2 つ の 位相 空間 ( x 、 0 ) 、 ( Y 、 0 ' ) が ある とき . 直積 集合 × x Y = 他 甽 ax 、 HEY } に 、 位相 を 入れる 。 VEO.VE O ' について 、 VXV の 形 の 集合 と 、 この 形 の 集合 の 任意 個 (無限 も OK ) の 和 集合 から なる 集合 を Oxxy と 書く . Def 5 、 V (× x Y 、 0 × × y ) を 積 空間 .de を 積 位相 と よぶ
73. P「 OP 、 ( M 、 0 が 、 ) は 位相 空間 で ある 。 とばす 。 Proof 、 0 x × y = { 晶が で 1 PE O × × a } と 書ける 。 (vii) GO.iq の とき UNE Oxxy が わかる 。 ( に 仏門 (1) 0 E Ox 、 0 EG より 、 4=0/0 E Oxxy X E Ox 、 YEOY より XXYEG.is
74. (2) で 、 ッ で た E Oxxy の とき 、 Ri 、 1 た が 存在 し て . Oi = UTT Pi E O × X OY ( Vir ) ER o. minor = ftp.i ) m 鼺 ばい) ここ で . 一般 に . YA ) AB = 気 (An B ) だ から 。 ai.Y.iitiiiwnrku.im ) また 、 一般 に ( AXB) へ と D ) = ( AAC ) x ( BAD ) だ から . 二、 晶 印 癱 ※ が .net ) × は の 過 EO が 、 E Ox E OY 0 x の 元 と Oy の 元 の 直積 の 和 で 表さ れる 。
75. (3) { Vitae a に つい て . Ua E Oxxy の とき 、 Tba が 存在 し て 一 項 - - Un I RE O × x Oy (viii) ER 領 に 点 が 、 .ie 、 演算 生態 と a の 元 の 直積 の 和 で 表さ れる .
76. ⑨ 位相 の 強弱 、 位相 = 開 集合 の 集まり ( 開集合 族 ) 開 集合 が 相対 的 に 多い = 強い 位相 開 集合 が 相対 的 に 少ない 二 弱い 位相 ( x 、 0 ) 、 (パリ に つい て _ O C O ' O O ' 弱い 強い X X
77. • 最強 の 位相 : 離散 位相 • 全て の 部分 集合 が 開集合 O = P ( X ) • 全て の 点 が バラバラ に 存在 し て いる イメージ 、 ・ 最弱 の 位相 i 密着 位相 ( 自明な 位相 ) • 0 と X だけ が 開 集合 、 0={0/11} • 全て の 点 が くっつい て 、 バラバラ に でき ない イメージ
78. @ 商 位相 ・ 䪫 Y と 、 位相 空間 ( x 、 0 ) と 、 集合 写像 f : X → Y が ある とき 、 f が 連続 と なる よう に Y に なるべく 強い 位相 を 入れる 。 f 位相 空間 × ただ の 集合 Y t 新た に 位相 を 入れる 。
79. st で _ Y の 開 集合 が -_- で O 多 すぎる と . 対応する f だ ) ◦ -.- X の 開 集合 が Hnsg 存在 し ない 。 x f Y 位相 空間 集合 多 すぎ ず 。 だが なるべく 多く 。 Of = に CY げに) EO } Def 5 、 た ( Y 、 G ) を 商 空間 、 G を 商 位相 と よぶ
80. 脚 5.2 ( Y 、 G ) は 位相 空間 で ある 。 ( 位相 の 条件 C 1 ) や ) を みたす 。 ) (I) YEG かつ 、 0 EG (2) で 、 一 、 T.GG なら ば じ 、 の - . r 7 Vk EG (3) 化放出 について 、 ka.VE Of なら ば 見 、 項 E Of Proof 、 (1 ) f ' ( 0 ) = EO より 、 4 E Off ' け ) = XEO より 。 YE Of
81. (2) Uii 、 V た E Of と する 。 この とき 、 f ) EO . ( Of の 定義) また 0 は 位相 の 条件 (2 ) を みたす ので . Hui ) べ げ ( ONE Of " ( Uin _ n Ver ) = に EX l Ha ) E Ui 1 - Nhg = { NEX If Ga) EUT 、 一 、 fa ) E Oh } = に EX 1 fa ) EU } べ の 化 Exlf 的 EUN = f に 、 ) の 一 f ' ( ve ) EO 。 よって . V 、 A - MULE Of で ある 。
82. (3) 集合 族 { Oiha に つい て . UI E Of と する 。 この とき . f ' ( Vn ) EO で ある 。 ( G の 定義 ) また 、 0 は 位相 の 性質 ( 3 ) を みたす ので . U f ' ( ODE O 入り ほ、 ド ( Yin ) = 仙川 枷 EY 、、 垳 = HEX Hell 、 fa ) EUY = Ya HEX lf は ) GUY = 品 げに が EO よって . 気 で 入 EG で ある 。 岡
83. Q ハウスドルフ 空間 。 これ まで は 、 一般 の 位相 空間 の 性質 を 扱っ て き た 。 扱い やすい 位相 空間 だけ を考える ため 、 もう少し だけ 条件 を を 厳しく する 。 Def 5.VE 次 の 条件 (ハウスドルフ の 公理 ) を みたす 位相 空間 を 、 ハウスドルフ 空間 と 呼ぶ : X の 異なる 2 点 が y1 について 、 北 は 1 を それぞれ 含む 開 集合 V 心 が 存在 し 、 lrn で = で ある 。
84. ハウスドルフ 空間 。 T.ir X i ・ t.l.se i i y i 、 、 _ . i 、 -.- • ハウスドルフ 空間 で は 、 収束 先 は 1つ に 決まる 。 1 節 弘 で かつ だが仏 = や の とき _ A = B
85. Proof 、 背理法 に よる 。 1 品 弘 = a かつ 品仙 や かつ .at B と 仮定 . いま X は ハウスドルフ 空間 だ から 、 開集合 0 心 が 存在 し 、 a GO.BE V.VN = . min = a より 、 Tea 、 n Z で ⇒ 弘 EV 。 だが仏 = B より 、 ヨ ns.nznb ⇒ 弘 E T.no = maxfna.nl ) と すれ ば 、 nzn 。 なる n について 、 In EO かつ an EV 、 これ は 、 UN = と 矛盾 する 毎
86. ⑤ 閉 集合 - Def 5 、 酒 位相 空間 X の 部分 集合 C が 、 閉集合 で ある と は . C の 補 集合 X - C が 開 で ある こと を いう 。 prop 5 、 3 . 閉 集合 の 基本 性質 (i) 0 、 X 自身 は 閉 、 証明 は 、 (II) Gii C た が 閉 で ある とき GU - U Ch は 閉 ド・モルガン の (川 1 aa において 、 各 G が 閉 で ある とき 、 AG は 閉 法則 鯯
87. prop 5 、 4 . f : × → Y が 連続 写像 < = 〉 Y の 任意 の 閉集合 で について 、 射 ( ひ ) が X で 閉 .ge 開 」 なら 。 連続 の 定義 そのもの . pot . 閉集合 が 、 開 集合 の 裏返し (互いに 補集合) で ある こと を 用いれ ば 明らか 岡
88. prop 5.5 f : X → Y が 同相 写像 ⇒ x 任意 の 閉集合 で について 、 f ( U ) が Y で 閉 pot . 閉集合 が 、 開 集合 の 裏返し ( ry 、 同相 写像 は . 全て の 開集合 と 閉 集合 を 一対一 に 対応 させる 。
89. 演習 問題 5.1 位相 空間 X 、 部分 空間 A CX . 戀 欝 蟲 鱥 が鬱 " 部分 位相 の 定義 より 、 G = { An VIVE O × } いま 、 任意 の で EG について 、 で ( で ) = 任 圳 で は ) EUJ 二 { NEA は } = AN EOA よって . で は 連続
90. 演習 問題 5.5 。 • X 、 Z : 位相 空間 . xfy.fi が Y 、 全射 、 連続 g h ・ Y : f の 適 空間 . Z • g i × → z 、 h : Y → z , g = hof この とき h が 連続 も g が 連続 Proof 、 ⇒ は 、 明らか 。 ( がん が 連続 かっ . f が 連続 ⇒ g で が 連続
91. に) G を 連続 と する 。 任意 の UE Oz に つい て . Nf )で ( 0 ) = PEX l h ( f は DEG = { つ4 EX 1 f ( 北 ) E だ ( U ) } = fl ( だに ) ) h of = g だ から 、 ダ ( U ) = ド ( だい ) ここ で 、 G は 連続 だ から 、 お ( ひ ) E Ox 、 つまり 、 ft ( びに ) ) E Ox 、 また 、 商 位相 の 点 義 より .VE Oy # f " ( V ) E Ox よって 。 ドル ) EG と なり 、 h は 連続 で ある 。 用