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1. Interpolação unidimensional por partes e splines Prof. Paulo R. G. Bordoni UFRJ
2. Iniciamos revendo o exemplo do fenômeno de Runge, no qual o erro cresceu assustadoramente com o grau. O erro disparou nos extremos!
3. DIVIDIR PARA CONQUISTAR! Troquem um gigante por muitos anões! E aí Mestres, como faremos para matar esse leão?
4. A ideia é muito simples: 1. Dividimos o intervalo [, ] em vários subintervalos. 2. Em cada sub-intervalo usamos uma polinomial de grau baixo. Dividir para conquistar é um mantra da computação.
5. Troquei o gigante por 5 anões. Melhorou muito nos extremos, mas piorou um pouco no centro. Poucos anões!
6. Sim, quanto mais anões, melhor:
7. Foi uma das primeiras lições que aprendemos na MatPlotLib. Lembro-me perfeitamente!
8. Com mais de 50 pontos as curvas ficam suaves.
9. Passaremos a analisar uma classe de espaços vetoriais importantíssima em teoria de aproximação.
10. Um desses espaços é o ℒ( , ). ℒ , é o subespaço de , constituído pelas funções que são lineares em cada sub-intervalo de uma partição [, ] = { = 0 < 1 < ⋯ < = } do intervalo [, ].
11. Veja a cara de uma função do espaço ℒ(9 0,2 ) no qual 9 0,2 = {0. , 0.25, 0.5, 0.75, 1. , 1.25, 1.5, 1.75, 2. }
12. O programa que produziu esse gráfico. Em vermelho a função da scipy.interpolate que gera a interpoladora. Já, já vamos estudá-la.
13. Todo espaco vetorial tem, ao menos, uma base. Mostre-nos uma base do ℒ( , ), Mestra. Ah, minha filha, uma delas é uma coleção de chapéus de bruxa!
14. Chapeus de bruxa, Mestra? Amei! Sim Loirinha. A base canônica de ℒ( , ) é a coleção ℋ = {ℎ0 , ℎ1 , … , ℎ } constituída pelas N+1 “hat functions” que o Filósofo vai te mostrar na próxima transparência.
15. ℎ3 3 1 As funções chapéu, “hat functions”, formam uma base para esse espaço.
16. 3 1 4 3 4 Nesta figura mostro uma combinação linear de duas delas: = 3 ℎ3 + 4 ℎ4
17. ℎ3 3 1 Veremos adiante que o método dos elementos finitos explora essa característica. O aspecto fundamental da “hat function” ℎ3 é que ela é nula fora dos dois subintervalos que possuem o ponto 3 .
18. Você sabe porque o chamei aqui, Mr. Charlie Chaplin? Sei sim, Mestre. Para mostrar meu chapéu coco!
19. Eu explico, Surfista. Chapéus de bruxa são pontudos, mas chapéus coco são arredondados – como parábolas. E dá para explicar porque, Mr. Chaplin?
20. Faremos interpolações quadráticas por partes em subintervalos sucessivos definidos por ternas de pontos de uma partição [, ] = { = 0 < 1 < ⋯ < = } de , .
21. O programa que faz o gráfico das interpoladoras quadráticas.
22. Anotaremos o espaço de funções quadráticas por partes por ( , ). , e’ o subespaço de , constituído pelas funções que são quadráticas em cada sub-intervalo de uma partição [, ] = { = 0 < 1 < ⋯ < = } do intervalo [, ].
23. Saquei Mestre! As funções básicas agora serão como chapéus coco. 2 2 1 1
24. Observem a grande melhoria na aproximação por polinomiais quadráticas por partes com relação à brincadeira de trocar um gigante por vários anões. Incrível, é a mesma função do leão!
25. O programa da interpolação quadrática por partes. Ele é uma pequena modificação do anterior.
26. A continuação do programa.
27. Vamos começar com a interpolação polinomial por partes de Lagrange e de Hermite.
28. Mestres, vamos ver o que há mais na scipy.interpolate!
29. Assinalei outros dois métodos disponibilizados pela scipy.interpolate:
30. Um deles.
31. E o outro: a classe PiecewisePolynomial.
32. p() q() 2 2 3 1 Na interpolação polinomial por partes, de Lagrange, a única exigência é a continuidade da interpolação. No gráfico: 2 = 2 = (2 ).
33. p() q() 2 2 3 1 Observem que, no extremo comum, (2 , 2 ), a “colagem” entre p e q não é suave. Matematicamente (2 ) ≠ (2 ). Ondas abruptas, mas surfistas com curvas suaves...
34. p() q() 2 2 3 1 A imposição da condição 2 = 2 suaviza a colagem, pois obriga a coincidência das retas tangentes. A interpolação polinomial por partes, de Hermite, exige, em cada ponto, a igualdade tanto do valor da função, como do valor da derivada da função. O dobro de condições.
35. Para efetuar a interpolação de com o método ( ) o parâmetro é um array unidimensional com tamanho n, o número de pontos da partição do − . Já o parâmetro é um array bidimensional, com tamanho n x k, com ≥ 2. Para interpolar uma função f, o parâmetro será constituído por n pares , . Entretanto poderiam ser dois valores quaisquer.
36. A interpolação de Hermite. O programa a seguir sorteia 7 pontos e 7 direções tangentes e constrói a interpoladora.
37. O parâmetro “orders” é mandatário com relação à condição de tangência. Sim, basta conferir os graus e os gráficos das polinomiais em cada sub-intervalo.
38. O programa que traçou o gráfico da transparência anterior .
39. = = 3 O default = é uma polinomial de grau 3 em cada sub-intervalo.
40. Repetindo, quando não especificamos o parâmetro orders, ele assume o valor 3. Em outras palavras, as polinomiais são de grau 3 em cada sub-intervalo.
41. O programa que traça o gráfico da função e da interpoladora, com = 3.
42. É só usar = 0. A interpoladora constante por partes usando a função ( ) do pacote interpolate da SciPy.
43. Agora usando = 1 temos a interpolação linear por partes.
44. Com = 2 temos interpolação quadrática em cada sub-intervalo. Neste caso a tangência só ocorre no extremo direito de cada subintervalo.
45. A interpolação de Hermite Especificando o parâmetro = 3 ou deixando = .
46. p() q() 2 2 3 1 A imposição da condição ′′ 2 = ′′ 2 obriga a mesma curvatura local para as duas curvas p e q que possuem o ponto (2 , 2 ) em comum. A curvatura local é o inverso do raio da circunferência osculadora – procure um livro de computação gráfica para mais detalhes. Observação
47. Para usar = 4 precisamos fornecer também as derivadas 2ªs. A polinomial, sua derivada e sua derivada 2ª são iguais em cada nó.
48. Observe que agora são 3n condições para n pontos. Neste exemplo 12.
49. Agora vamos examinar outro tipo de interpolação polinomial por partes, conhecido como “splines”.
50. p() q() 2 2 3 1 Observem que, no extremo comum, (2 , 2 ), a “colagem” entre p e q não é suave. Matematicamente temos ′(2 ) ≠ ′(2 ). Na interpolação polinomial por partes, de Lagrange, a única exigência é a continuidade na "colagem” das interpoladoras p e q. No gráfico: 2 = 2 = (2 ).
51. p() q() 2 2 3 1 A imposição da condição ′ 2 = ′ 2 suaviza a colagem, pois obriga a coincidência das retas tangentes. Já vimos que a interpolação por partes, de Hermite, exige, em cada ponto, a igualdade tanto do valor da função, como do valor da derivada da função. O dobro de condições.
52. p() q() 2 2 3 1 A imposição da condição ′′ 2 = ′′ 2 obriga a mesma curvatura local para as duas curvas. Nessa interpolação por partes de Hermite, são necessárias 3n informações para interpolar n pontos.
53. A interpolação polinomial spline, é obtida “forçando a barra”. Uma régua “spline”, muito usada antigamente (antes da computação gráfica) por desenhistas, projetistas e arquitetos para traçar curvas suaves.
54. Já explico. Suponha que pretendemos interpolar uma função ∶ , → ℝ usando uma spline () constituída por polinomiais quadráticas em cada subintervalo em cada um dos 4 subintervalos definidos pela partição = 0 < 1 < 2 < 3 < 4 = () 1 2 0 3 4 Como assim?
55. 1 2 0 3 4 2 1 3 4 Assim, nossa spline () será constituída por 4 polinomiais de grau 2: 1 = 0 + 1 + 2 2, 2 = 0 + 1 + 2 2, 3 = 0 + 1 + 2 2, 4 = 0 + 1 + 2 2. Ao todo 4 × 3 = 12 coeficientes a determinar.
56. () 1 2 0 3 4 1 2 0 3 4 Para aliviar a notação, vou escrever (0 ) = 0 , (1 ) = 1 , (2 ) = 2 , (3 ) = 3 , (4 ) = 4 , como mostro na figura.
57. Como queremos que spline () interpole a função f, teremos 8 condições (8 equações lineares) para as 12 incógnitas. Nelas já estão incluídas 3 condições de continuidade da spline () nos nós internos 1 2 0 3 4 1 2 3 4 1 2 0 3 4 1 0 = 0 1 1 = 1 2 1 = 2 2 2 = 2 , 3 2 = 2 , 3 3 = 3 , 4 3 = 3 , 4 4 = 4 . 8 equações
58. 1 2 3 4 E a continuidade para as derivadas da interpoladora nos nós internos fornece outras três. 1 2 0 3 4 1 ′ (1 ) = 2 ′ (1 ) 2 ′ (2 ) = 3 ′ (2 ) 3 ′ (3 ) = 4 ′ (3 )
59. Ao todo temos 11 condições para determinar as 12 incógnitas 0 , 1 , 2 , 0 , 1 , 2 , 0 , 1 , 2 , 0 , 1 , 2 . Falta uma condição, que pode ser escolhida impondo uma condição sobre o valor da derivada da última polinomial 4 () no ponto 4 = . Por exemplo, 4 ′′ 4 = 0.
60. Então é só resolver o sistema linear para obter a spline interpoladora.
61. Seja () uma função definida num intervalo [, ]. Uma função () é um spline de grau p, com nós nos pontos = 0 , < 1 , < ⋯ < = , quando satisfaz as condições: • Em cada subintervalo , +1 é uma polinomial de grau p, • () é de classe −1 , . () é um spline interpolante quando, além dessas duas condições, satisfaz também: • = , = 0,1, ⋯ , . A definição geral de “spline”. Acabamos de detalhar a construção de um spline quadrático.:
62. Uma “spline” cúbica interpolante: É uma função : [, ] → ℝ, de classe 2[, ] que, restrita a cada subintervalo , +1 , = 1,2, ⋯ , é uma polinomial de grau 3. De forma mais explícita, ela satisfaz: 1) = () para ∈ . +1 , k = 1,2, ⋯ , 2) = , = 1,2, ⋯ , 3) = +1 , = 1,2, ⋯ , − 1 4) ′ = ′+1 , = 1,2, ⋯ , − 1 5) ′′ = ′′+1 , = 1,2, ⋯ , − 1
63. O classe interp1d ...
64. O parâmetro kind permite escolhermos interpolação constante, linear, quadrática e cúbica por partes.
65. O resto dos parâmetros. Observem a indicação de outro método, mais recente.
66. Duas polinomiais do 2º grau (5 pontos).
67. Note que com 3 polinomiais do 2º grau (7 pontos), já temos uma aproximação razoável.
68. Com 5 polinomiais do 2º grau (9 pontos), a aproximação já é muito boa.
69. Esse é o código do programa. Marquei em vermelho as linhas de código envolvidas na definição da polinomial quadrática por partes.
70. Usando 2 polinomiais cúbicas, verificamos que o erro já é muito pequeno. O código é muito parecido.
71. Usando 3 polinomiais cúbicas, já não distinguimos, visualmente, a função da interpoladora por partes!
72. Agora vamos usar a classe dos splines da scipy.
73. Mais detalhes, que usaremos agora!
74. Esta função retorna a representação tck da spline cúbica (default).
75. Esta função avalia a spline representada por tck no array x.
76. Os gráficos da função = 2 e da spline cúbica passando por pontos escolhidos.
77. O programa. Marquei em vermelho as linhas de código envolvidas na definição e na avaliação da spline.
78. O parâmetro der da função splev( ) permite mostrar a derivada 1ª ou 2ª da spline interpolante.
79. O código do programa. Observe as chamadas a splev( )
80. A spline cúbica paramétrica, para curvas definidas parametricamente no plano x-y, p/ex.
81. A interpolação da borboleta com uma spline cúbica paramétrica.
82. Vejam, são necessários mais pontos para melhorar a precisão:
83. Este é o programa que interpola a borboleta.
84. Para interpolar a espiral de Arquimedes, basta mudar a definição da curva paramétrica!
85. Com 20 pontos a interpolação com a spline paramétrica já está boa:
86. Tchau! Até a próxima.