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1. Integração numérica e o (, ) Prof. Paulo R. G. Bordoni UFRJ
2. Vamos iniciar este conjunto de transparências tratando da integração numérica.
3. Surfistas e Loirinhas: A integração numérica é uma aplicação da interpolação por partes! A integração numérica é um tópico tradicional em Cálculo Numérico.
4. Assinalei Integração no sumário do “Tutorial” da SciPy.
5. Também assinalei Integração no sumário da “Reference”.
6. As informações no “Tutorial”, para uma visão geral.
7. A lista dos métodos de integração numérica na “Reference”.
8. Vamos começar pela regra trapezoidal composta..
9. 0 1 0 E na trapezoidal composta usamos vários trapézios. Na regra trapezoidal (simples), aproximamos a função f a integrar por uma reta – uma polinomial interpoladora p do 1º grau e integramos a p (calculando a área do trapézio). 1
10. A trapezoidal na referência. Vejam o programa do Surfista após as imagens.
11. A regra trapezoidal composta. Os dados são os abaixo.
12. Repeti tudo, mas para = 10.
13. E tornei a repetir tudo, para = 20.
14. Os valores aproximados de = ׬ −/4 /2 cos foram ቐ 5 = 1.67539 … 10 = 1.69920 … 20 = 1.70513 … Tornei a repetir para = 30, obtendo 30 = 1.706229 … Assim consigo garantir 3 casa decimais corretas após a vírgula.
15. Bem Mestre, pensei no algoritmo iterativo abaixo: Uma pergunta que se coloca é: Como garantir a precisão na aproximação? 1. Entro com a precisão , e um limite superior de iterações, . 2. Escolho ∈ ℕ, calculo e guardo como . 3. Em seguida repito: 1. Incremento o valor de . 2. Calculo um novo . 3. E a diferença ∆= − . Até que ∆< ou > . 4. Informo o resultado obtido no item 3.
16. Uma execução do programa, com os dados e resultados à frente.
17. Com esses dados não foi possível obter a precisão desejada:
18. O programa para meu algoritmo. Marquei o loop para atingir (ou não) a precisão.
19. A parte final do programa.
20. A cumtrapz() permite obter a primitiva = න
21. A primitiva ∶ , → ℝ, definida para ∈ [, ] por = න 2 cos . Usamos os 96 subintervalos da partição de [− 3 , 4 ] que fornecem a precisão de ε = 5.× 10−7 obtida no exemplo anterior.
22. Calcularemos primeiramente = න −2 2 −2 com os dados abaixo. Em seguida obteremos a primitiva dessa função.
23. É conhecido na literatura que não é possível obter de forma algébrica a primitiva: = න −∞ 2 . Isto é possível numericamente e é a curva em vermelho abaixo.
24. O programa que calcula numericamente a primitiva e gera seu gráfico.
25. 0 1 0 Na regra de Simpson (simples) aproximaremos a função f a integrar efetuando interpolação por uma polinomial p do 2º grau (uma parábola) e integraremos a p. Acabamos de conferir que na regra trapezoidal (simples), aproximamos a função f a integrar por uma reta – uma polinomial p do 1º grau e integramos a p (calculando a área do trapézio). 1
26. 0 = 0 = 0 2 + 0 + 1 = 1 = 1 2 + 1 + 2 = 2 = 2 2 + 2 + 0 1 2 0 1 2 f Uma parábola genérica possui equação = 2 + + . Naturalmente, a parábola que passa pelos pontos de coordenadas 0 , 0 , 1 , 1 , 2 , 2 é a solução do sistema linear abaixo:
27. Na forma matricial esse sistema fica 0 2 0 1 1 2 1 1 2 2 2 1 = 0 1 2 . Ele é conhecido como sistema de Vandermonde e tem solução única quando 0 , 1 , 2 são pontos distintos. As matrizes de Vandermonde são mal condicionadas. Aumentar o número de pontos (grau da interpoladora) só piora o condicionamento.
28. Eis aqui a função cond( ) da NumPy.
29. O número de condicionamento de uma matriz é definido como: = ∙ −1 O programa a seguir mostra como calcular () usando a numpy.linalg.
30. O programa:
31. Um resultado para uma matriz 6x6. Observem como o número de condicionamento é enorme!
32. Sim, pois para definir parábolas precisamos de 3 pontos. No total uma quantidade ímpar de pontos. A regra de Simpson composta segue a mesma ideia da trapezoidal composta – repetição da simples. A diferença é que, então, precisaremos repetir para pares de sub intervalos.
33. Marquei as soluções para um total par de pontos.
34. O código do 1º programa do Mestre só muda onde marquei. Bem mais eficiente que a trapezoidal! Lá foram usados 46 pontos e aqui só 19. A função, o intervalo e a precisão são os mesmos.
35. Passaremos agora a estudar um dos tópicos mais importantes da Álgebra Linear e da Análise Numérica. Os espaços ℒ2(, ).
36. Os elementos do espaço (vetorial) ℒ2(, ), são as funções de quadrado integrável. Em outras palavras, ℒ2 , = { : , → ℝ | ׬ 2 ∈ ℝ }. Para enfatizar os aspecto fundamentais: a 2 é integrável e ׬ 2 é um número real.
37. Vamos romper com a ideia de vetor-flechinha. Mergulhar profundamente no mundo das ideias!
38. O conceito abstrato de espaço vetorial.
39. Definiremos uma função ∙ ∶ ℒ2 , ⟶ 0, +∞ ⟼ 2 pela expressão 2 = ׬ ()2 .
40. Para um vetor ∈ ℝ, = 0 1 ⋮ temos 2 = σ =1 2 Trata-se de uma extensão muito natural da 2 dos espaços ℝ para os espaços de funções. Pensem comigo: Para uma função ∈ ℒ2(, ) ∈ [, ] ↦ temos 2 = ׬ 2 . Soma discreta de n parcelas Soma contínua de , parcelas
41. 3 n 1 x1 2 x2 x3 xn Soma discreta de n parcelas x b f(x) a Soma contínua de , parcelas Repetindo, é uma passagem do discreto ao contínuo! A contrapartida gráfica é a seguinte:
42. Essa função ∙ 2 : ∈ ℒ2(, ) ⟶ ℝ é uma norma em ℒ2(, ). É a extensão natural da ideia de tamanho para funções. Para provar essa afirmação do Mestre, precisamos garantir que para , ∈ ℒ2(, ) e α ∈ ℝ: 1. 2 ≥ 0, 2. 2 = 0 ⇒ = 0, 3. 2 = ∙ 2 - o fator de escala, 4. + 2 ≤ 2 + 2 - a desigualdade triangular.
43. Todas essas afirmações são decorrência imediata das propriedades da integral. Só a desigualdade triangular que dá mais trabalho. Para a desigualdade triangular precisaremos antes da desigualdade de Cauchy- Scharwz.
44. Agora passarei a explicar como é possível calcular o ângulo entre vetores de um espaço vetorial abstrato.
45. Definir ângulo entre duas funções ? Acho esquisito! Como faremos isto? Again, with abstraction my dear Blonde, with abstraction!
46. Definiremos também a função ∙ , ∙ ∶ ℒ2 , × ℒ2 , ⟶ ℝ , ⟼ , pela expressão , = ׬ .
47. Ela estende o conceito de produto interno , de vetores , ∈ ℝ para funções. O argumento é o mesmo: Para vetores , ∈ ℝ, = 0 1 ⋮ , = 0 1 ⋮ , temos , = σ =1 Para funções , ∈ ℒ2(, ) ቋ ∈ [, ] ↦ ∈ [, ] ↦ temos , = ׬ () . Soma discreta de n parcelas Soma contínua de , parcelas
48. O Mestre está afirmando que a função , de duas variáveis , ∈ ℒ2(, ) × ℒ2(, ), calculável através da expressão , = ׬ define um produto interno em ℒ2(, ).
49. Sim Filósofo, e para provar a afirmação do Mestre, basta provar que: Para , , ℎ ∈ ℒ2(. ) e ∈ ℝ valem: 1. , ≥ 0, 2. , = 0 ⇒ = 0, 3. , = , , 4. , = , , 5. + , ℎ = , ℎ + , ℎ . Todas elas seguem diretamente das propriedades da integral.
50. Sherlock, precisamos antes garantir que , = න está bem definida para , ∈ ℒ2(, ). Bem, isto é uma decorrência imediata da desigualdade de Cauchy-Schwartz, , ≤ 2 2 , que provaremos a seguir.
51. Sejam , ∈ ℒ2(, ) e : ℝ → ℝ a função ↦ − , − . Temos que F é uma polinomial do 2º grau em : = − , − = 2 22 − 2 , + 2 2. Ao mesmo tempo, = − 2 2 ≥ 0. Portanto o discriminante ∆ da fórmula de Baskhara para calcular os zeros de () satisfaz ∆ = (2 , )2 − 4 2 2 2 2 ≤ 0. Desta é imediato que | , | ≤ 2 2 .
52. Muito boa pergunta Loirinha! Que vantagens teremos com isso? Mestres vocês acabaram de definir conceitos altamente abstratos de norma e produto interno para funções. O que pretendem com isso?
53. A vingança demorou, mas chegou! A grande vantagem é que: Vocês poderão transportar para mundo das ideias (Platão), toda a intuição (Aristóteles) que temos nos espaços euclidianos ℝ.
54. Por exemplo, transportaremos para o o ℒ2(. ), nosso conceito usual de tamanho através da ∙ 2 e os conceitos de ângulo entre vetores e de ortogonalidade através do ∙ ,∙ .
55. Surfista, então quando calculamos ׬ 0 1 para duas funções f e g conhecidas, o número obtido corresponde ao produto interno delas em ℒ2(0,1) ? Sim Loirinha! Vou fazer um programa para calcular , = ׬
56. Meu programa calcula , = ׬ − pela regra de Simpson composta.
57. A precisão é de 8 casas decimais, e mostro os gráficos de f, g e de , como área.
58. Para = , = o produto interno é , = 2
59. Para = , = cos() o produto interno é , = 0. Como a função produto f g é uma função ímpar, eu nem precisava ter usado seu programa, Surfista.
60. Meu programa também calcula 2 = , = න − ()2 . Para = () obtive 2 2 = , = , i.é, 2 = .
61. Fiz o cálculo para = sen(2) e também obtive 2 = . Será um resultado geral?
62. Acho que sim, pois para ℎ() = 3 , também vale ℎ 2 = .
63. Vocês dois acabaram de mostrar que 2 = 2 = ℎ 2 = para ൞ = = (2) ℎ = (3) . De fato Loirinha, é um resultado geral.
64. , = න − () = ቊ 0 ≠ = , = න − () = ቊ 0 ≠ = , = න − () = 0, ∀, ∈ ℕ 1 2 3 As funções • () para = 0,1,2, … e • () para = 1,2, … são funções de ℒ2[−, ] e satisfazem: (∗) Para = = 0, troque por 2. Os resultados que vocês obtiveram podem ser generalizados para:
65. Surfista, para provar a afirmação da Mestra, utilize as identidades trigonométricas • + = cos + sen (), • cos + = cos cos − (). E também que o produto de funções pares e ímpares obedece as regras correspondentes para números pares e ímpares .
66. Vamos explorar o fato que podemos usar a intuição geométrica dos espaços euclidianos ℝ2 e ℝ3 para os espaços ℒ2(, ).
67. A primeira delas é a ideia de ortogonalidade. Lembre-se Loirinha, que dois vetores , ∈ ℝ2 são ortogonais quando , = 0. Quando, além de serem ortogonais, = 1 e = 1, dizemos que eles são ortonormais.
68. Da mesma forma, duas funções , ∈ ℒ2 , são ortogonais quando , = න = 0. E ortonormais quando, além disso, = ׬ 2 = 1 e = ׬ 2 = 1.
69. Estou achando essas ideias incríveis Loirinha. Funções ortogonais e ortonormais! Eu também Surfista e a Mestra mostrou, a pouco, que as funções ൞ 0 = 1 = , = 1,2, … = , = 1,2, … são todas ortogonais!
70. 1 2 Outra ideia a ser copiada é a de base canônica de ℝ2. O par de vetores 1 = 1 0 , 2 = 0 1 é ortonormal. Sim, e eu mostrei que as funções 0 = 1 2 = 1 , = 1,2, … = 1 , = 1,2, … constituem conjunto ortonormal de ℒ2 , .
71. Na verdade dizemos que = 0 , , , = 1,2, … é um conjunto ortonormal completo em ℒ2 , . Esta é a extensão da ideia de base em ℝ para ℒ2 , . Aliás esta é uma afirmação bem mais forte e difícil de provar.
72. Trocando em miúdos, Mestres, posso entender que o conjunto de funções = 0 , , , = 1,2, … é a base canônica de ℒ2 , ? Pode sim, Surfista. Para efeitos operacionais a ideia de base está presente em , apesar de envolver conceitos de convergência.
73. Uma outra ideia a copiar dos espaços euclidianos ℝ para ℒ2 , , que envolve o produto interno, é a de projeção ortogonal de um vetor u em um vetor unitário e.
74. A projeção de u em e é o vetor p dado por = , . Note Surfista, que = | , |. • Quando o ângulo entre u e e é agudo (0 < α < /2) o sinal de , é positivo. • Quando esse ângulo e é obtuso ( Τ 2 < α < ), o sinal de , é negativo.
75. Físicos e engenheiros costumam dizer que, quando e é um vetor unitário, o produto interno , quantifica a dose de e que o vetor v possui.
76. Muito bem pensado, Surfista, mas bebidas alcoólicas estão proibidas no curso! Em outras palavras, ∙ , é um aparelho medidor de doses de e – um dosador de e.
77. Portanto, para descobrir a dose de oscilação, na frequência 3, de uma ∈ ℒ2(−, ), basta calcular , 3 = 1 ׬ − 3 .
78. Jean-Baptiste Joseph Fourier Nasceu: 21/03/1768 Morreu: 16/05/1830 Dada ∈ ℒ2(−, ), os números 0 , , , = 1, … , , obtidos das integrais 0 = Τ , 1 2 , = , , = , , são chamados de coeficientes de Fourier da f. E o conjunto 0 , , , = 1,2, … é o espectro da f.
79. Iniciamos aqui nosso estudo das séries de Fourier.
80. Surfista, bebidas alcoólicas continuam proibidas no curso! Se eu pensar numa função ∈ ℒ2(−, ) como um cocktail, o espectro de f é a medida dos componentes do cocktail.
81. Como 1º exemplo a função : ℝ → ℝ periódica, definida para ∈ , = [−1,1] por = 3 3 − 1 ( + 1)/2, com período = − = 2. Ela é quase um seno.
82. O espectro de = 3 3 1 − (1 + )/2 só tem senos porque ela é uma função ímpar. Observem a dominância do 1º termo (pq. é quase um seno).
83. A aproximação de Fourier dessa é rápida porque ela se repete continuamente entre períodos, além de ser quase um seno.
84. O óbvio, quando = (), apenas para conferir!
85. Como 2º exemplo a função : ℝ → ℝ periódica, definida para ∈ , = [−1,3) por = ൝ 1 − 2 em [−1,1) 2 − 4 + 3 em [1, 3) , com período = − = 4. Ela é quase um coseno.
86. O espectro de = ൝ 1 − 2 em [−1,1) 2 − 4 + 3 em [1, 3) só tem cosenos porque ela é uma função par. Observem a dominância do 1º termo (pq. é quase um coseno)
87. A aproximação de Fourier desta outra também é rápida porque ela se repete continuamente entre períodos, além de ser quase um coseno.
88. Como 3º exemplo a função : ℝ → ℝ periódica, definida para ∈ , = [−1,1] por = ||com período = − = 2.
89. O espectro de = || Como ela é uma função par seu espectro só tem cossenos.
90. A aproximação de também é rápida, devido à sua continuidade. Entretanto é mais lenta nos pontos onde ′ é descontínua (as quinas de ).
91. Como 4º exemplo a função : ℝ → ℝ periódica, definida para ∈ , = [−1,1] por = /2, com período = − = 2. Essa função, conhecida como “dente de serra”, é descontínua entre cada período.
92. O espectro dela é constituído por doses alternadas = 1 − ׬ sen − , = 1,2, … que decaem (em módulo) mais lentamente com a frequência k.
93. Duas observações são pertinentes: • A lentidão na convergência, causada pela descontinuidade da (compare as aproximações com 7 e 21 termos). • As oscilações da aproximação de Fourier, nas vizinhanças dos pontos de descontinuidade, conhecidos na literatura como fenômeno de Gibbs.
94. O fenômeno de Gibbs é causado, essencialmente, pela tentativa de aproximar uma função descontínua por uma sequência de funções contínuas. O valor da aproximação de Fourier no ponto de descontinuidade é o valor médio do salto.
95. Como 5º exemplo a função : ℝ → ℝ periódica, definida para ∈ , = [−1,2) por = ൝ (2 − 2 + 3)/4 em [−1,1) em [1, 2) , com período = − = 3.
96. Esta não é par nem ímpar. Além de se repetir descontinuamente possui uma descontinuidade no interior de , = [−1,2).
97. Observem a lentidão na convergência da aproximação de Fourier, o fenômeno de Gibbs nas descontinuidades e a convergência (da aproximação) ao valor médio da neles.
98. O processo de obtenção do espectro da é chamado de análise de Fourier. A partir do espectro de uma função podemos reconstruí-la; é a síntese de Fourier, mais referida como série de Fourier de f.
99. 1 2 = [1 , 2 ] Em ℒ2(, ) o subespaço gerado pelos vetores ortonormais 0 , , , = 1,2, … , tem dimensão 2 + 1. Também aqui usamos a notação = 0 , , , k = 1, … N Em ℝ3, o subespaço gerado por dois vetores 1 , 2 é um plano passando pela origem. Ele é indicado por = 1 , 2 . Vamos assumir que eles são ortonormais.
100. Combinações lineares como 1 1 + 2 2 sempre estarão no subespaço gerado por 1 , 2 , = 1 , 2 Analogamente, combinações lineares do tipo 0 0 + σ=1 [ + () ] sempre estarão no subespaço = 0 , , , k = 1, … N .
101. u v Da mesma forma, dada uma função ∈ ℒ2(, ) quando, na combinação linear = 0 0 + ෍ =1 [ + ()] ∈ = = 0 , , , = 1, … os números 0 , , são os coeficientes de Fourier 0 , , da f, temos que = (). Dado um vetor ∉ = 1 , 2 , quando na combinação linear = 1 1 + 2 2 temos 1 = , 1 e 2 = , 2 temos que = .
102. É que no espaço euclidiano ℝ3, o vetor de um plano mais próximo de um vetor ∉ é a sua projeção ortogonal em , . v = (v) Mas que vantagem Loirinha leva, nessa ideia?
103. = (f) f Da mesma forma, = = 0 0 + σ=1 [ + ] é a melhor aproximação para uma função ∈ ℒ2(, ) em = [ 0 , , , k = 1, … N ]. Lembrem-se: 0 = , 0 , = , e = ,
104. Um exemplo de uma função nem par nem ímpar.
105. Um outro exemplo de uma função nem par nem ímpar.
106. A integração de Romberg quando é dada a expressão da função.
107. Continuação:
108. Um exemplo:
109. Tchau! Até a próxima aula.
110. A definição de integral (de Riemman) é um belíssimo exemplo do poder dos conceitos de supremo e ínfimo. Vamos entender, de uma vez por todas, o que é essa integral.
111. = 0 +1 = , , f Dada uma função ∈ ℬ[, ] e dada uma partição = { = 0 < 1 < … < = } de , , para cada subintervalo , +1 dela, consideramos as áreas ∆ e ∆ , onde ∆ = +1 − e nas quais: , = inf , ∈ , +1 , = sup , ∈ , +1
112. , = ෍ =0 −1 , ∆ Soma superior Em seguida, consideramos as somas: , = ෍ =0 −1 , ∆ Soma inferior
113. 4 5 6 7 8 1 2 3 f 4 5 6 7 8 1 2 3 f , = ෍ =1 ( )∆ Soma superior , = ෍ =0 −1 ( )∆ Soma inferior Para ajudar o entendimento, quando f é monótona crescente e contínua, como na figura:
114. Quando, na desigualdade acima, ocorre a igualdade, dizemos que f é Riemann integrável em [, ] e que න = sup{ (, ) ∈ [, ] } Não é muito difícil provar que sup{ (, ) ∈ [, ] } ≤ inf { (, ) ∈ , }, onde , é a coleção de todas as partições do intervalo [, ].
115. Prova-se que toda função monótona (crescente ou decrescente) é Riemann integrável. Prova-se também que toda função contínua é Riemann integrável. Prova-se que ∈ ℬ[, ] é Riemann integrável se, e somente se, dada uma precisão > 0, existe uma partição ∈ [, ] para a qual , − , <
116. ... Leibniz, diferentemente de Newton, usava a integração como uma soma, de uma maneira bastante parecida à de Cavalieri. Daí vem o símbolo - um 's' longo - para representar summa . Segundo ele, "represento a área de uma figura pela soma das áreas de todos os retângulos infinitesimais definidos pelas ordenadas e pelas diferenças entre as abscissas... e portanto eu represento em meu cálculo a área da figura por ׬ ". ... O símbolo de integral é um S estilizado, S de Soma!
117. O cálculo da soma inferior e da soma superior para uma função monótona crescente para partições uniformes de 50 a 60 pontos.
118. 590 à 600 pontos 990 à 1000 pontos Mestra, fiz duas experiências. A convergência é muito lenta, pior que tartaruga!
119. Agora tchau mesmo! Até a próxima aula.