EDO's - aspectos teóricos

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1. LNCC UFRJ Eq. Dif. ordinárias – EDO’s, aspectos teóricos Prof.

   Paulo R. G. Bordoni

2. Antes de estudar métodos numéricos para resolver Equações Diferenciais Ordinárias,

   vamos rever alguns conceitos fundamentais sobre EDOs.

3. No 1º a incógnita é um número real e no

   2º um vetor de n componentes. Já vimos como aproximar a solução de dois tipos de equações: as equações algébricas e os sistemas de equações.

4. A forma geral de uma Equação Diferencial Ordinária de 1ª

   ordem é ′ = , na qual : ⊂ ℝ × ℝ → ℝ é uma função a valores reais definida num aberto do plano (, ) e ′ = Τ . Nas equações diferenciais a incógnita é uma função.

5. Se = 1 2 ⋮ e = 1 2 ⋮

   são vetores de ℝ então ′ = (, ) é uma equação vetorial que descreve um sistema de EDOs. O estudo de EDO’s remonta aos inventores do Cálculo Diferencial e Integral, Newton e Leibnitz, entorno dos anos 1670. Euler (século XVIII) apresentou contribuições fundamentais.

6. Na forma de equações o sistema fica 1 ′ =

   1 (, ) 2 ′ = 2 (, ) ⋮ ′ = (, ) , onde ∈ ℝ. Francamente Mestra não entendi a ideia de sistemas de EDOs.

7. Nesse caso é uma função vetorial: : ⊂ ℝ ×

   ℝ → ℝ Em outras palavras, = 1 2 ⋮ , em que cada função coordenada é uma função a valores reais: : ⊂ ℝ × ℝ → ℝ .

8. Uma solução de uma EDO ′ = (, ) é

   uma função diferenciável ↦ definida num intervalo aberto ⊂ ℝ tal que: • (, ) ∈ , para todo ∈ , • ′ = (, ), para todo ∈ .

9. Γ () O aspecto visual de uma solução ↦ de

   uma EDO ′ = (, ) definida num intervalo . O gráfico de , Γ = , ∈ = , ∈ } define um caminho diferenciável em .

10. Γ 0 0 Se 0 , 0 ∈ então (0

    , 0 ) ∈ ℝ e se ↦ () é uma solução da EDO então ′ 0 = (0 , 0 ). Portanto a inclinação de no ponto 0 é o número = 0 , 0 pois 0 = 0 ! Loirinha, a interpretação geométrica da solução de uma EDO é belíssima. Explique à ela Mestra!

11. Nem sempre a função = (, ) dependerá explicitamente das

    duas variáveis e . Quando = () a EDO é dita autônoma. E quando = () a solução é obtida por integração em .

12. Se , = + (), com , funções de apenas

    de , a EDO ′ = (, ) é linear. Caso = 0 a equação é homogênea. No caso de sistemas de equações lineares, () é uma matriz × . Nesse caso tanto = () como () são vetores de ordem .

13. A Eq. Dif. Ordinária ′ = 2 é facílima de

    resolver Surfista. Claro Mestra a solução é = 2.

14. Claro que não, se = 2 então () = 2.

    Errou feio apressadinho!

15. A Loirinha tem razão Surfista. Para = 2 + temos

    também () = 2 quando é constante real qualquer. Temos assim toda uma família, a um parâmetro ∈ ℝ, de soluções = 2 + .

16. Este programa exibe algumas funções ↦ () dessa família.

17. O gráfico para, ∈ −1.0, −0.8, −0.6, ⋯ , 0.8,1.0

    , de algumas funções = 2 + da família ℱ = { : [−2,2] → ℝ , ∈ ℝ } de soluções da EDO ′ = 2. Observem que 0 = .

18. Dada uma função : ⊂ ℝ × ℝ → ℝ

    e um ponto 0 , 0 ∈ , um problema de valor inicial para uma EDO ′ = (, ) consiste em determinar um intervalo aberto = 0 − , 0 + , > 0 e uma função diferenciável : → ℝ, t ↦ tais que: é solução da EDO: ′ = , , ∀ ∈ e satisfaz a condição inicial 0 = 0 Problema de Valor Inicial

19. Torno a repetir, a EDO ′ = 2 possui uma

    infinidade de soluções, = 2 + . Uma para cada ∈ ℝ. Um Problema de Valor Inicial – PVI, para uma EDO é uma forma de individualizar uma solução.

20. É claro, pois se ′ = () então pelo teorema

    fundamental do cálculo teremos − (0 ) = න 0 ′ , e como 0 = 0 obtemos = 0 + න 0 . Se, num PVI ቊ ′ = , 0 = 0 para uma EDO, a função : → ℝ independe da variavel , isto é , ↦ a solução é obtida por integração direta.

21. Complicado Mestre! Claro que não Loirinha! Você e o Cabelos

    de Fogo mostraram que o problema de valor inicial ቊ ′ = 2 0 = tem como solução a função = 2 + . É mesmo, nesse caso () = 2 e − (0) = න 0 = 2|0 = 2

22. E no caso da função = () não possuir uma

    primitiva explícita, poderemos obter a solução por integração numérica. Claro, aliás esta é a associação entre EDO’s e integração numérica, explicitada na NumPy.

23. Sim, basta escrevermos ቊ ′ = ′ = (, ,

    ) Uma equação diferencial ordinária de 2ª ordem, ′′ = (, ′, ), se reduz a um sistema de duas equações de 1ª ordem.

24. ∗ 0 Suponha que uma massa , presa na ponta

    de uma mola de comprimento sofre uma força, descrita pela lei de Hooke: = −( − ∗). Pela 1ª lei de Newton o movimento é governado pela equação de 2ª ordem ′′ = − − ∗ , uma EDO autônoma. Posição de equilíbrio Cte. rigidez da mola

25. Colocando 1 = e 2 = ′ essa equação pode

    ser reescrita como o sistema de eqs. de 1ª ordem 1 ′ 2 ′ = 2 − (1 − ∗ ) . ∗ 0 Ou ainda, Mestre 1 ′ 2 ′ = 0 1 − 0 1 2 + 0 ∗ . Na forma vetorial o sistema fica, ′ = + ∗

26. ∗ 0 Galileu, mostre como fica o problema de valor

    inicial, PVI, para a EDO da mola, ′ = + ∗ , na qual = 0 1 − 0 e ∗ = 0 ∗ . Na forma vetorial o PVI fica, ቐ ′ = + ∗ 0 =

27. A propriedade enunciada na próxima transparência justifica o qualificativo autônoma.

    Mestres, não entendi em que sentido uma EDO é autônoma.

28. Uma função ↦ () é solução do PVI ቊ ′

    = () 0 = 0 se, e somente se, a função = + 0 , é solução do PVI ቊ ′ = () 0 = 0 . Trata-se de autonomia no sentido de liberdade para começar:

29. Um outro exemplo famoso de EDO autônoma é o modelo

    de Verhulst (∗) para crescimento de uma população: ′ = − , a, b > 0. Ela é não-linear. Trata-se de uma EDO separável cuja solução é = Τ 0 { 0 + − 0 − −0 } (∗) Veja pgs. 18-21, Eq. Dif. Aplicadas - D.G.Figueiredo & A.F. Neves, Coleção Matem. Universitária

30. A solução dessa EDO autônoma satisfaz 0 = 0 e

    lim →∞ = /. Para os dados abaixo os gráficos das duas soluções são:

31. O programa que desenha as soluções:

32. Vamos explorar um pouco mais a interpretação geométrica de uma

    EDO.

33. Apenas em si, (, ) define um campo escalar (,

    ) ↦ (, ) num domínio ⊂ ℝ × ℝ e a valores reais. É o nome preferido por físicos para a função : ⊂ ℝ × ℝ → ℝ Por exemplo o campo de temperaturas médias máximas na região sudeste do Brasil.

34. () ′ = (, ) 0 1 (1 , 1

    ) 2 1 0 2 (0 , 0 ) (2 , 2 ) Portanto define a inclinação ′(t) da função ↦ (), em cada ponto (, ). Entretanto, a igualdade em ′ = (, ) informa que o valor numérico desse campo (, ) ↦ (, ) deve ser interpretado como uma derivada ′ = Τ .

35. 0 1 (1 , 1 ) 2 1 0 2

    (0 , 0 ) (2 , 2 ) Pois é Cabelos de Fogo, poderemos também pensar em um campo de vetores, se levarmos em consideração o sentido de percurso da curva ↦ ( , ). Repetindo a fala do Surfista, o campo (, ) ↦ (, ) é um campo escalar de inclinações definido em cada ponto (, ) ∈ ⊂ ℝ2.

36. Em outras palavras para cada ponto (, ) ∈ o

    campo associa um vetor , = (, ) (, ) . Imagine o fluxo d’água num rio e pense no campo de velocidades das partículas de água. Um campo de vetores com domínio ⊂ ℝ2 é uma aplicação : → ℝ2 dada por (, ) ↦ , = (, ) (, )

37. Pois é, um campo escalar. Entretanto a igualdade ′ =

    (, ) força a entender os valores (, ) como inclinações, já que ′ = Τ é uma derivada. Mas a função (, ) ↦ (, ) assume valores reais, isto é, (, ) ∈ ℝ. Francamente, não entendo!

38. Este programa traça o campo de vetores definido pela função

    (, ) ↦ (, ). O rabinho deles fica preso nos pontos da meshgrid().

39. Os vetores o campo são traçados com a função quiver()

    da matplotlib.

40. Uma execução do programa, com o campo definido por (,

    ) ↦ (, ). Em vermelho o campo para fixado e em magenta para fixado.

41. A função quiver() da matplotlib.

42. 1 0 1 0 () () () Imagine Loirinha, que

    um ponto = () está se deslocando sobre um caminho , parametrizado por ↦ = [ , ], para ∈ [0 , 1 ] () é o vetor deslocamento, a posição em cada instante de tempo .

43. Para concretizar, Loirinha: você se deslocando de bicicleta na pista

    da Lagoa Rodrigo de Freitas. A Lagoa é a curva e sua posição no instante é = () () . O deslocamento do Surfista é outro!

44. 1 0 1 0 () () ′() () A velocidade

    de deslocamento do ponto () é dada por ↦ ′ = [ ′(), ′ ] É o vetor tangente à curva no ponto (). Eu ando mais rápido!

45. ′() ′() ′() () () () Claro Mestre, é a

    velocidade da minha bicicleta! Atenção Surfista: O vetor velocidade ′() e suas coordenadas ′() e ′ são referidas à um sistema de referência “amarrado” em ().

46. 1 0 0 () 1 = [ , ] ′

    = [ 1, ′ ] Para funções, a parametrização é ↦ [, ]. E portanto o vetor velocidade é ↦ ′ = [ 1, ′ ], no sistema de coordenadas amarrado na bicicleta.

47. Isto explica os parâmetros , , , exigidos pela função

    quiver(). Uma explicação esclarecedora, Mestra!

48. Fiz um programa que recebe a expressão da função (,

    ), calcula a solução ↦ () do PVI ቊ ′ = (, ) 0 = 0 e traça alguns vetores do campo (, ) ↦ (, ) tangentes ao gráfico de .

49. Os dados e a saída numa execução do programa:

50. Eis o código do programa. Aqui só mostro a entrada

    de dados

51. Usei a função odeint() da scipy.integrate para calcular a solução

    = () do PVI ቊ ′ = (, ) 0 = _0

52. Utilizando a função arrow( ) para desenhar os vetores tangentes.

53. A função odeint() da scipy.integrate.

54. Voltando à expressão ′ = , . O terceiro ingrediente

    é a igualdade. Ela pode ser verdadeira ou não! Em outras palavras, ela expressa uma equação.

55. Não se trata de uma equação algébrica (ou transcendental) onde

    a incógnita é um número. Nem mesmo de um sistema de equações lineares (ou não-lineares), no qual a incógnita é um vetor. A incógnita é uma função ↦ e a expressão ′ = , relaciona e sua derivada ′ = Τ .

56. Portanto: Se uma função : ↦ () torna a igualdade

    ′ = (, ) verdadeira, ela é uma solução dessa equação. É nesse instante que recordo a velha dualidade: funções são vetores definidos ponto a ponto.

57. Muito oportunamente lembrada, Mestra. Assim, para que uma função ↦

    () seja uma solução da equação ′ = (, ) ela precisa tornar verdadeira a igualdade ′ = , em cada ponto do seu domínio.

58. Como já vimos, um problema de valor inicial, PVI, é

    constituído por uma equação diferencial mais uma condição inicial: ቊ ′ = (, ) 0 = 0 . A pergunta que surge é: Todo problema de valor inicial, PVI, tem solução?

59. Pois é Loirinha, nem sempre. Alguns PVI podem possuir mais

    de uma solução.

60. Confira a afirmação do Mestre em “Equações Diferenciais Ordinárias”, C.L.

    Doering e A.O. Lopes, Teorema de Cauchy- Peano, pg.387. Para que um PVI possua solução, basta que a função (, ) ↦ , seja contínua no seu domínio e que 0 , 0 ∈ .

61. Entretanto, para a unicidade de solução de um PVI, é

    preciso que a função seja Lispschitz contínua no seu domínio . Para maiores detalhes veja o Teorema de Picard-Lindelöf, às pgs. 384,385 da referência anterior.

62. Livros de Matemática, muitos livros. Bons, muito bons e baratos!

63. Mestres, testar essa condição de Lipschitz é complicado. Não há

    algum teste mais simples? Tem sim Loirinha. Lendo, descobri no livro de Doering & Lopes que basta testarmos se e Τ (, ) são funções contínuas em (nas duas variáveis).

64. A grande pergunta é: Dada a função (, ) ↦

    (, ) satisfazendo as condições de existência e unicidade, como obter, numericamente, a função ↦ (), que resolve o problema de valor inicial. Pois é querida, sua resposta ficará para a próxima aula.

65. Tchau, até a próxima aula