Números

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1. Números Prof. Paulo R. G. Bordoni UFRJ
2. Nesta aula vamos revisar alguns conceitos importantes sobre números. Basicamente vamos entender melhor a “reta real”.
3. Lembro a definição de Trefethen de Análise Numérica, já discutida na 2ª aula.
4. Trefethen fala da matemática do contínuo, que começa com o contínuo dos números reais. Que contínuo é esse Mestre?
5. O Mestre colocou o texto de Trefethen, e vários outros, listados abaixo. Você deve lê-los Surfista. 1. A definição de análise numérica – N. L. Trefethen 2. Armadilhas em computação – G. Forsythe 3. A arte de resolver problemas (resumo) – G. Polya
6. Este é o texto em que ele expõe sua proposta para substituir a definição clássica abaixo:
7. Um pouco depois
8. Antes de refutar, pura e simplesmente, o que esses grandes mestres da computação dizem, precisamos entender melhor o que está em jogo. É o jogo do discreto x contínuo!
9. Vejam a seguir a posição de um grande mestre brasileiro sobre ensino e conhecimento. Também penso assim!
10. Ariano Suassuna, Nasceu: 16/06/1927, João Pessoa Morreu: - 23/07/2014, Recife Á pg.14 de sua Iniciação à estética, Ed. José Olympio, 11ª Ed., 1972, Ariano Suassuna disse:
11. “Causarum Cognitio”, ou “A Escola de Atenas”
12. Rafael di Sanzio (1483-1520) pintou o “Causarum Cognitio”. Rafael foi um artista renascentista italiano contemporâneo de Leonardo da Vinci, Michelangelo e Fra Bartolommeo. No afresco Escola de Atenas, pintado a pedido do Papa Júlio II, no salão de sua biblioteca particular, no Vaticano, Rafael dispôs figuras de sábios de diferentes épocas como se fossem colegas de uma mesma academia.
13. Os dois personagens centrais são Platão e Aristóteles. Platão segura sua obra Timaeus e aponta o mundo das ideias como a realidade. Aristóteles porta sua Ética e indica a natureza como origem de todas as coisas. Eu sou eles!
14. Segundo Platão os pintores e escultores “fazem cópia da cópia da realidade”, posto que ela é “o mundo das ideias”. No quadro, Rafael pintou Platão com a cara de Leonardo da Vinci. Comparem com um auto retrato de da Vinci. Uma vingança, porque Platão desprezava pintores e escultores.
15. No canto esquerdo inferior da “Causarum” vemos Pitágoras, de Samos, (570-500 a.C. aprox.) explicando sua teoria musical. No detalhe, uma tábua com alguns símbolos musicais e o número triangular 1+2+3+4, a tetractys sagrada para os pitagóricos.
16. Algumas vezes citaremos trechos do livro História da Matemática – Uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas, da Prof. Tatiana Roque, do IM da UFRJ, (2012), Ed. Zahar.
17. A concepção dos pitagóricos sobre a natureza parte da ideia que há uma explicação global que permite simbolizar a totalidade do cosmos, e essa explicação é dada pelos números. O mundo é determinado, antes de tudo, por um arranjo bem ordenado e tal ordem se baseia no fato de que as coisas são delimitadas e podem ser distinguidas umas das outras. Quando se diz que podem ser distinguidas não significa que elas não possam ser diferentes, e sim separadas umas das outras, logo, as coisas do mundo podem ser contadas. À pg. 104 do livro da Prof. T. Roque encontramos:
18. ... Diferentemente de Platão, os pitagóricos não admitiam nenhuma separação entre números e corporeidade, entre seres corpóreos e incorpóreos. Logo, não é lícito dizer que o conceito pitagórico de número fosse abstrato. De certo ponto de vista, dado seu caráter espacial e concreto, poderíamos afirmar que os números pitagóricos não eram os objetos matemáticos que conhecemos hoje, isto é, entes abstratos. Os números figurados dos pitagóricos eram constituídos de uma multiplicidade de pontos que não eram matemáticos e que remetiam a elementos discretos: pedrinhas organizadas segundo uma determinada configuração. Para esclarecer ainda mais, na mesma página:
19. No canto inferior direito do “Causarum Cognitio” vemos Euclides de Alexandria, ensinando.
20. O início do texto sobre Euclides na Wikipedia. Vá lá ler o resto!
21. A antiga Biblioteca de Alexandria, no delta do Nilo, no Egito.
22. Surfista, eis um lugar onde você vai encontrar informação de qualidade sobre história da Matemática: www-history.mcs.st-and.ac.uk/
23. Recortei uma parte do texto da MacTutor sobre Euclides. Vá lá ler o texto completo! “A matemática grega deve se orgulhar: não há descoberta é mais sutil do que essa, que consolidou a dependência do uso de proporções para grande parte da geometria”.
24. Aproveitando a presença de Euclides e da geometria euclidiana: Mostre, Surfista, como cortar um barbante em três partes iguais! Professor, em duas ou em quatro é só dobrar e cortar, mas em três não sei como!
25. Euclides poderá te ajudar! Não desista, experimente usar a geometria!
26. Surfista, Surfista! Nas próximas transparências vou recordar como podemos dividir um segmento em partes iguais. Crie vergonha, meu filho, isso é ensinado em Desenho Geométrico, lá no 1º grau.
27. A B Vamos dividir um segmento AB em 3 partes iguais. Primeiro traçamos uma reta inclinada passando pelo ponto A
28. A B Em seguida, com um compasso, marcamos 3 pontos igualmente espaçados, na reta inclinada, a partir de A
29. A B Depois, ligamos o último ponto marcado ao ponto B, criando um triângulo.
30. A B Em seguida, traçamos duas paralelas à ela pelos outros dois pontos.
31. A B Por semelhança de triângulos, os 3 segmentos entre A e B são iguais.
32. A B Com construções geométricas, podemos pensar em dividir um intervalo AB na metade. Cada metade na metade. E assim por diante! Um processo repetitivo! Mais alguns passos e os pontos vão cobrir todo o segmento AB
33. Professor, a Loirinha está coberta de razão. Como sou prático, já imaginei logo uma resma com 500 folhas de papel A4. 21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32 26 = 64 27 = 128 28 = 256 29 = 512 210 = 1.024 220 = 1.048.576 230 = 1.073.741.824 240 = 1.099.511.627.776 ... Todas elas são frações da forma /2 e 2 cresce muito, mas muito, rápido. Vejam na tabela em frente:
34. 5 cm Explique-se melhor, Surfista! Pense comigo, Loirinha, concretamente: Uma resma de papel A4 com 500 folhas tem uns 5 cm de espessura. Então, num segmento de 5 cm teríamos 29 = 512 ≈ 500 pontos, cada um com tamanho da espessura de uma folha de papel.
35. Brilhante, Surfista com 240 = 1.099.511.627.776 pontos (mais de um trilhão) não sobrará espaço vazio, por minúsculo que seja, nesse segmento. Imagine 250, 2100 ou mais pontos. É, jovens um raciocínio concreto demais. Essa analogia conduz a um erro fulgurante!
36. A resposta a essa sua pergunta Loirinha é um sonoro NÃO! Ela vale muito mais que um milhão de dólares! Pois é Surfista e Loirinha, a ideia intuitiva que ponto tem tamanho conduz a uma pista errada!
37. É, uma bruta enrascada! Pois então um segmento não pode ser uma coleção de pontos, um após o outro ... Mas se ponto não tem tamanho então estamos numa enrascada, Mestre, pois 240 × 0 = 1.099.511.627.776 × 0 = 0
38. Professora, você está afirmando que eu não consigo preencher um intervalo da reta com frações, ou qualquer outra coleção contável de pontos! SIM, minha filha, e com todas as letras em MAIÚSCULAS !
39. Professor, discorra sobre um problema importante, impossível de resolver usando apenas frações. Q Dado um quadrado Q, construir outro quadrado Q* cuja área é o dobro da área de Q. Em seguida calcular a medida do seu lado. O problema enunciado abaixo é famoso:
40. Ah Professor, não acredito na impossibilidade! Confira, na figura abaixo, como construir um novo quadrado com o dobro da área do Q, só com régua e compasso. Eu estudei muito geometria! Q
41. Perfeito Loirinha, você agiu geometricamente. Agora, calcule a medida do lado desse quadrado. Surfista, ajude a Loirinha! Surfista, para simplificar, assuma que o lado do quadrado menor Q mede 1 unidade. Q
42. Ah Mestra, aplicando o Teorema de Pitágoras temos: 2 = 12 + 12 = 2 . D 1 1 Como minha construção foi com régua e compasso, na pura geometria elementar, o lado D certamente será uma fração!
43. Negativo Loirinha, de 2 = 2 segue = 2, que é irracional. D 1 1 É mesmo Surfista, distração minha! Mas como se prova que 2 não é um número racional?
44. Muitos relatos que caíram no senso comum, reproduzindo anedotas sobre a vida de matemáticos, além de mitos e lendas, vêm sendo desmentidos, descontruídos ou problematizados por diversos historiadores nas últimas décadas. Basta um exemplo da matemática grega: o “horror” que os gregos supostamente teriam pelo infinito, demonstrado pelo escândalo que a descoberta dos números irracionais teria gerado no seio dos pitagóricos, levando um de seus integrantes a ser perseguido e assassinado. Um livro popular no Brasil, Introdução à história da matemática, de Howard Eves, endossa a lenda: “A descoberta da irracionalidade de 2 provocou alguma consternação nos pitagóricos ... . Tão grande foi o ‘escândalo lógico’ que por algum tempo se fizeram esforços para manter a questão em sigilo.” 1 Tal mito, apesar de desmentido, ainda é amplamente reproduzido, entre outras razões, pela escassez de bibliografia no Brasil que leve em conta os trabalhos recentes sobre história da matemática grega,2 que analisam de perto o pensamento dos pitagóricos e sua suposta relação com a matemática. À pg. 17 do livro da Prof. T. Roque encontramos:
45. Ok Loirinha, vamos assumir que D é uma fração, isto é, D = p/q, com p e q inteiros positivos. Mais que isso, vamos assumir que a fração p/q, já está simplificada. Pois senão é só simplificá-la. D 1 1
46. Portanto p e q não tem fatores comuns! Continuando, temos que (p/q)2 = D2 = 2 e, consequentemente, que p2 = 2 q2
47. Como p2 = 2.q2, segue que p2 é par e portanto que p é par. Mas por que p é par? (2m+1)2 = 2k + 1, com k = 2m2 + 2m Ora filha, porque o quadrado de um número ímpar é ímpar:
48. Ora Loirinha, segue daí que 2q2 = p2 = (2r)2 = 4r2, isto é, q2 = 2r2. Claro, Surfista. E daí ? Mas se p é par, então p =2r, com r inteiro positivo.
49. Consequentemente q é par. Ah Professor, se tanto p como q são pares eles tem 2 como fator comum. Então algo está errado: a Mestra já tinha simplificado a fração D no início.
50. Sim Loirinha. O erro está em assumir que a diagonal D do quadrado menor é uma fração! Em outras palavras, acabamos de provar que não existe nenhuma fração D tal que D2 = 2. Portanto, que 2 é irracional D 1 1
51. Não deixem de ler o diálogo entre Sócrates e seu escravo Mênon, escrito por Platão, sobre esse problema de construir um novo quadrado com o dobro da área de um quadrado dado. A Prof. T. Roque, o reproduz em seu livro - pgs. 140 à 147
52. Recortei agora outra parte do texto da MacTutor sobre Euclides. ... enunciados pesados, repetições desnecessárias e até mesmo falácias lógicas. Aparentemente a exposição de Euclides supera-se apenas nas partes em que ele tinha excelentes fontes à sua disposição.
53. No livro à frente, de Ian Stewart, você pode se divertir com uma história da matemática contada de forma muito interessante. Veja a evolução dos numerais da base 10, à pg. 60.
54. Leonardo Fibonacci Nasc. 1170, Pisa Morreu c1250, Pisa Na mesma página, logo em seguida, descobrimos uma contribuição importantíssima de Leonardo de Pisa à Matemática.
55. Só em 1585, quando Simon Stevin divulgou, em seu livro “De theinde”, (em alemão) é que o sistema de numeração decimal foi adotado de forma prática pela comunidade europeia. Simon Stevin 1548 - 1620
56. À página 62 do livro de Yan Stewart, também descobrimos que Stevin foi tutor do conde Maurício de Nassau!
57. Um parênteses pela história do Brasil.
58. O domínio holandês no espaço e no tempo (1630-1654)!
59. Com Maurício de Nassau vieram muitos judeus, fugindo da perseguição na Europa, em particular de Portugal.
60. Recife seria Nova Iorque ?
61. Georg Cantor, 1845-1918 Vamos ver o que G. Cantor ensinou ao mundo sobre conjuntos infinitos.
62. Ele começou com a definição de conjunto infinito: Um conjunto é infinito quando existe uma função biunívoca : → de X num subconjunto próprio Y de X.
63. O conjunto ℕ dos números naturais é infinito. A aplicação = 2 dos naturais nos números pares é biunívoca! Acompanhe na tabela, Surfista. 0 ↔ 0 1 ↔ 2 2 ↔ 4 3 ↔ 6 4 ↔ 8 ... ... ...
64. Os elementos dos conjuntos enumeráveis podem ser imaginados como as gotas d’água d’uma torneira. Um número (gota) após o outro, sem parar... Conjuntos que podem ser colocados em correspondência bijetora com os naturais ℕ são conjuntos contáveis ou enumeráveis.
65. O conjunto dos números inteiros ℤ é enumerável. Uma enumeração de ℤ é dada por = − 2 , para par + 1 2 , para ímpar 0 3 -1 2 -3 -2 1
66. O conjunto ℚ dos números racionais, ℚ = Τ , ∈ ℤ, ∈ ℕ∗ também é enumerável. Ah, mas não é mesmo, Mestra!
67. Muito simples, Loirinha! Uma fração f2 não pode ser a seguinte de uma f1 porque sempre posso colocar a média das duas entre elas: 3 = (1 + 2 )/2 Não vejo porquê Surfista, eles só envolvem inteiros e naturais! Explique sua ideia. f 1 f 2 f 3
68. Jovens, vou contar a ideia que o George Cantor teve para responder a pergunta. É tão bela que lembra “Jesus alegria dos homens” de J. S. Bach! Mestre, outro dia vi o nome dele num livro de meu pai: Gödel, Escher, Bach – Um entrelaçamento de Gênios Brilhantes. Meu pai gostou muito. O autor é famoso: Douglas R. Hofstadter.
69. Surfista, para apresentar a prova de Cantor, vamos considerar o conjunto dos números racionais positivos ℚ+ = { / | ∊ ℕ ∊ ℕ ∗ }. Note que a aplicação : ℕ × ℕ+ → ℚ+ definida por , ↦ / é biunívoca.
70. 1 0 2 3 5 4 0 1 2 3 5 4 (0,1), (1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), ... (0,2), (1,2), (2,2), (3,2), (4,2), (5,2), ... (0,3), (1,3), (2,3), (3,3), (4,3), (5,3), ... (0,4), (1,4), (2,4), (3,4), (4,4), (5,4), ... (0,5), (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), ... Este é um desenho do conjunto , ∈ ℕ ∈ ℕ+}
71. 1 0 2 3 5 4 0 1 2 3 5 4 0/1, 1/1, 2/1, 3/1, 4/1, 5/1, ... 0/2, 1/2, 2/2, 3/2, 4/2, 5/2, ... 0/3, 1/3, 2/3, 3/3, 4/3, 5/3, ... 0/4, 1/4, 2/4, 3/4, 4/4, 5/4, ... 0/5, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 5/5 ... A aplicação biunívoca Id, permite a visualização abaixo do conjunto ℚ+.
72. 1 0 2 3 5 4 0 1 2 3 5 4 Agora, Surfista, começando pelo ponto (0,1) passeie pela rota indicada por Cantor.
73. 0 1 2 3 4 Numerador Denominador 5 6 7 Etiquetando cada ponto visitado por: 0, 1, 2, 3, etc..., temos uma enumeração de ℚ+.
74. Exatamente Professor, acabamos de exibir a prova que os números racionais formam um conjunto enumerável. As características do infinito são estranhas para nós que somos finitos! Dizendo de outra forma Professora: A quantidade de números racionais e de números inteiros é a mesma!
75. 23 = 20 + 3 = 2 × 10 + 3 = = 2 × 10 + 3 × 1 = = 2 × 101 + 3 × 100 867 = 800 + 60 + 1 = = 8 × 100 + 6 × 10 + 7 × 1 = = 8 × 102 + 6 × 101 + 7 × 100 A notação decimal para números inteiros é posicional: Sim, observem que:
76. … 2 1 0 = = 0 ∗ 100 + 1 ∗ 101 + 2 ∗ 102 + … + ∗ 10 com ∊ { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } De forma geral:
77. Usando frações decimais,podemos estender a notação posicional dos inteiros para os racionais. É Loirinha – aqueles frações do tipo: 7/10, 3/100, 41/1.000, ... Frações decimais ?
78. Sim, pois: Τ 7 10 = 0,7, Τ 3 100 = 0,03, Τ 41 1000 = 0,041. 0,23 = 0,2 + 0,03 = = 2 10 + 3 100 = = 2 × 10−1 + 3 × 10−2 0,867 = 0,8 + 0,06 + 0,007 = = 8 10 + 6 100 + 7 1000 = = 8 × 10−1 + 6 × 10−2 + 7 × 10−3 Observem que:
79. 0, 1 2 3 … = 1 ∗ 10−1 + 2 ∗ 10−2 + 3 ∗ 10−3 + … + ∗ 10− com ∊ { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } Novamente, de forma geral:
80. Como a soma de racionais é um racional, podemos afirmar que: Toda representação decimal como essa corresponde a um número racional. Mas todo número racional tem uma representação como essa?
81. Muito boa pergunta, minha filha! Nem todos – lembre-se das dízimas periódicas! Para elas precisamos incluir na representação repetições infindáveis de grupos de dígitos após a vírgula. 2/11 = 0,181818 ... = 0,18 9/37 = 0,243243243 ... = 0,243 141/1111 = 0,126912691269 ... = 0,1269 1/3 = 0,333 ... = 0,3
82. As dízimas periódicas são números com infinitas casas decimais depois da vírgula ... irado! O infinito me assusta – o que é o infinito?
83. Pois é Surfista, mas existem outros números com infinitas casas decimais, por exemplo 2 = 1,414213562373095048… É mesmo, um outro é = 3.14159265359 …
84. São os números irracionais, protagonistas de um novo tipo de infinito! Nosso próximo passo, nessa direção, será rever a representação decimal de um número real.
85. Sir Isaac Newton 1642 - 1726 Gottfried Wilhelm Leibnitz 1646 - 1716 Newton e Leibnitz são reconhecidos como os criadores do Cálculo Diferencial e Integral
86. Nas 1as linhas do Prefácio deste livro encontramos:
87. Neste livro, com título em inglês Infinitesimal (How a Dangereous Mathematical Theory Shaped the Modern World), Amir Alexander apresenta uma história detalhada do nascimento do Cálculo Diferencial e Integral.
88. Alguns dentre os gigantes são: • Na antiguidade: Demócrito (sec. V AC), Eudoxo e Arquimedes (250 AC) usaram infinitesimais para calcular áreas e volumes de corpos. • No século XVII: Kepler (1609-1615), Cavaliere (1635), Descartes (1637), Galileu (1638), Torricelli (1644), Wallis (1656) e Angeli (1658-68), buscaram no passado, desenvolveram e aplicaram o cálculo com infinitesimais. É de Newton a frase: Se enxerguei mais longe é porque estava nos ombros de gigantes.
89. Democrito Eudoxo Arquimedes Kepler Cavalieri Galileu Torricelli Wallis Angeli Descartes
90. Processos limite e convergência Integrais Na modelagem científica dos fenômenos físicos, são essenciais conceitos do cálculo diferencial e integral (a Matemática do contínuo) como:
91. Na base de tudo isso está conceito de número real. O conjunto dos números reais é um contínuo! Eles preenchem um intervalo como um líquido preenche continuamente um copo graduado
92. Professora ... A água parece ser contínua, mas é formada de moléculas de H 2 O – dois átomos de hidrogênio mais um de oxigênio, numa ligação ... O que significa ser contínuo?
93. Pois é, Surfista, por trás de sua fala está a ideia que os reais são enumeráveis. Você acertou num ponto - os reais constituem um conjunto infinito, já que todo racional também é real. Entretanto, mesmo com microscópios eletrônicos, NÃO conseguimos ver um número real separado de outro.
94. Como o mel preenche os buracos no pão! Os irracionais completam os buracos deixados na reta pelos racionais.
95. A continuidade dos reais é a abstração maior da Matemática. Vou citar três gênios matemáticos do século XIX e como eles apresentaram sua forma de entender os números reais.
96. Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831 – 1916) Os números reais, a reta e os “cortes” de Dedekind.
97. Cortando a reta?
98. Karl Theodor Wilhelm Weierstrass 1815 – 1897 O número 2 é a sequência ( 1., 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142,... )
99. Augustin-Louis Cauchy 1789 – 1857 O conceito de limite com épisolons e deltas
100. Se os reais são infinitos e não conseguimos enumerá-los então só pode ser um novo infinito, maior que enumerável, já que todo racional é um real. É o que os Mestres estão afirmando Surfista. O infinito contínuo é maior que o infinito enumerável.
101. Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor 1845 - 1918 Veremos a seguir mais uma contribuição do gênio da teoria dos conjuntos. Sua prova que os reais não são enumeráveis.
102. Professor, vamos assumir que, de fato, podemos enumerar os reais. Veremos que essa hipótese é tão absurda que conduz a uma contradição. E, portanto, só pode estar errada. Pois é, meus jovens, provaremos a seguir que é impossível contar os números reais.
103. 0 ↔ x 0 1 ↔ x 1 2 ↔ x 2 3 ↔ x 3 . . . . . . . Inteiros Reais Ok Professora. Assuma que a lista, abaixo dos meus pés, é uma enumeração de todos os números reais entre 0 e 1. Só p’rá confirmar, é uma lista completa: nenhum número real entre 0 e 1 fica fora dela!
104. X0 = 0,0 1 0 2 5 1 7 ... X1 = 0,2 3 3 4 4 4 5 ... X2 = 0,5 3 1 0 7 4 3 ... X3 = 0,2 3 4 9 2 1 0 ... X4 = 0,1 7 3 0 3 3 1 ... X5 = 0,2 4 5 7 9 2 3 ... X6 = 0,7 3 3 1 8 3 4 ... ........................ Sim Professora, como estamos assumindo que os reais em (0,1) são enumeráveis, minha lista contém todos eles! Veja a expressão decimal dos números reais da minha lista:
105. Ah, eu escreveria a lista de uma forma diferente. Além disso, não vi alguns números famosos como o π e o 2. Surfista, estamos tratando de números entre 0 e 1. Pense em Τ 4 ou Τ 2 2. De qualquer forma, como a lista do Professor é infinita, eles vão aparecer em alguma posição – talvez nas de número 79.891 e 1.001.237.455.
106. Cantor disse: “Considere os dígitos da diagonal”. X0 = 0,0 1 0 2 5 1 7 ... X1 = 0,2 3 3 4 4 4 5 ... X2 = 0,5 3 1 0 7 4 3 ... X3 = 0,2 3 4 9 2 1 0 ... X4 = 0,1 7 3 0 3 3 1 ... X5 = 0,2 4 5 7 9 2 3 ... X6 = 0,7 3 3 1 8 3 4 ... ........................ Quais?
107. X0 = 0,0 1 0 2 5 1 7 ... X1 = 0,2 3 3 4 4 4 5 ... X2 = 0,5 3 1 0 7 4 3 ... X3 = 0,2 3 4 9 2 1 0 ... X4 = 0,1 7 3 0 3 3 1 ... X5 = 0,2 4 5 7 9 2 3 ... X6 = 0,7 3 3 1 8 3 4 ... ........................ Os que eu acabei de pintar de vermelho ....
108. X0 = 0,0 1 0 2 5 1 7 ... X1 = 0,2 3 3 4 4 4 5 ... X2 = 0,5 3 1 0 7 4 3 ... X3 = 0,2 3 4 9 2 1 0 ... X4 = 0,1 7 3 0 3 3 1 ... X5 = 0,2 4 5 7 9 2 3 ... X6 = 0,7 3 3 1 8 3 4 ... ........................ 0 por 1 em x0 3 por 4 em x1 1 por 2 em x2 9 por 0 em x3 3 por 4 em x4 2 por 3 em x5 4 por 5 em x6 E assim por diante ... Em seguida o golpe do gênio: “Crie um número xD a partir da sequência diagonal, com as trocas:”
109. Em x0 : 0 por 1  xD ≠ x0 Em x1 : 3 por 4  xD ≠ x1 Em x2 : 1 por 2  xD ≠ x2 Em x3 : 9 por 8  xD ≠ x3 Em x4 : 3 por 4  xD ≠ x4 Em x5 : 2 por 3  xD ≠ x5 Em x6 : 4 por 5  xD ≠ x6 E assim por diante ... E depois afirmou: “Esse número xD = 0, 1 4 2 0 3 5 ... , é diferente de todos os que estão na lista”. É verdade Mestre. Mas e daí?
110. Claro! Mas a lista tinha todos, temos uma contradição! Em outras palavras, o número, xD = 0, 1 4 2 0 3 5 ... não está na lista.
111. Assim, está provada a existência de uma nova categoria de infinitude: a continuidade, maior que a enumerabilidade. Pois é, meus jovens, acabamos de ver a prova, feita pelo Cantor, de que é impossível contar os números reais. Ficou conhecida como argumento diagonal de Cantor.
112. O conjunto D é o dos dígitos, ⋯ 1 0 é a parte inteira de y e 1 ⋯ ⋯ a parte fracionária de y. Qualquer número ∈ ℝ pode ser representado na forma decimal = ± ⋯ 1 0 . 1 ⋯ ⋯, com , ∈ = 0,1,2, ⋯ , 9 . Sabemos que:
113. ⋯ 1 0 = = 10 + ⋯ + 1 101 + 0 100 = ෍ =0 10 Lembrem-se, trata-se de uma taquigrafia. A parte inteira de y é uma soma:
114. Sim, porque além das dízimas periódicas como 0.333..., existem os irracionais, como 2 = 1.414213… , = 3.141592… , = 2.718281… . E a parte fracionária, 0. 1 ⋯ ⋯ pode não terminar.
115. 0. 1 ⋯ ⋯ = = 1 /101+ ⋯ + /10 + ⋯ = lim →∞ ෍ =1 10− = lim →∞ ෍ =1 10− A parte fracionária não é, necessariamente, uma soma. Trata-se de uma série - o limite de uma sequência de somas parciais (*): (*) – Eventualmente existe ∈ ℕ tal que = 0 para > – então temos um racional.
116. Em outras palavras, os ... ao final de = ± ⋯ 1 0 . 1 ⋯ … escondem um Curso de Cálculo! Ahá !!!!! Sempre desconfiei que havia gato na tuba ...
117. O aspecto mais básico da matemática do contínuo Sim Filósofo, o Mestre acabou de denunciar a continuidade dos números reais, via limites.
118. Esse é o motivo básico de não discutir números reais no 2º grau. A discussão da representação decimal de um número real cabe num curso de cálculo, após o conceito de limite!
119. Para unicidade da representação = ± ⋯ 1 0 . 1 ⋯ ⋯, na parte fracionária são proibidas cadeias infinitas de 9’s, tipo 2.425999… Ah, eu aprendi a somar PGs no 2º grau: 0.000999… = 0.001.
120. Bem, cientistas e engenheiros perceberam que seria vantajoso escrever números sob a forma de ponto flutuante: = 0 . 1 ⋯ ⋯ ∗ 10
121. ... 0002374.0 x 10-2 000237.40 x 10-1 00023.740 x 10-0 0002.3740 x 10+1 00.237400 x 10+2 0.0237400 x 10+3 ... 23.74 = Look at the floating point Ponto-flutuante porquê: Na base 10, multiplicar por uma potência de 10 resulta em deslocar (flutuar) o separador decimal ao longo da representação decimal do número.
122. 23.74 , 0.001, 3.141592, 1.4142135623730951 Sim Querida! Mas quero ver você escrever a constante de Avogadro, 6.02214179(30)×1023 mol-1 em ponto-fixo! Mas a notação de ponto-fixo é mais fácil!
123. Qualquer número real y ≠ 0 pode ser representado de forma única como = 0 . 1 ⋯ ⋯ ∗ 10 y0 ≠ 0 Isto é chamado de normalização. Detalhe: se 0 ≠ 0 essa representação é única!
124. = 0 . 1 ⋯ ⋯ ∗ 10 y0 ≠ 0 A forma normal de um número real ≠ 0 é:
125. O fator de normalização 10 é a potência de 10 que, ao multiplicar o número, o coloca na forma normal (i;é, com sua parte inteira com apenas um dígito, diferente de zero). Vejam alguns exemplos: 345.123 = 3.45123 × 102, 0.000783 = 7.83 × 10−4, 1535 = 1.535 × 103.
126. No sistema métrico decimal o fator de escala é 10: • 1 m = 100 cm = 1.000 mm • 1 km = 1.000 m Assim: • 3 m = 3∗102 cm = 3∗103 mm • 5,2 km = 5,2∗103 m = 5,2 ∗106 mm
127. Réguas, trenas, microscópios! Nas medições reais de engenharia e física, os ... (as séries infinitas) são inviáveis! = 0 . 1 ⋯ ∗ 10, com 0 < 0 < 10. Sem os ...
128. Sim, numa régua comum você consegue precisão de cerca de 1/2 milímetro, Surfista. Com microscópios, algumas casas a mais.
129. = 0 . 1 ⋯ ∗ 10, com 0 < 0 < 10. Sem os ... Reforçando a fala do Sherlock: A prática (leia as Engenharias) força-nos a trabalhar com representações finitas!
130. y = ± y 0 . y 1 ... y k ∗ 10 exp Sinal Expoente Fração Fator de escala Emoldurei a foto da representação dos números, e apontei suas quatro caraterísticas fundamentais:
131. De fato Mestra: uma fração, um número racional, pois o número de casas decimais é finito. y = ± y 0 . y 1 ... y k ∗ 10 exp Fração
132. Na próxima aula, vamos voltar a este quadro!
133. • Números naturais, segundo os Pitagóricos, • Frações e geometria – Euclides, • A intuição e o caminho errado, • Um problema clássico e a diagonal de um quadrado, • A prova que 2 não é uma razão entre inteiros, • Simon Stevin e a base 10 para números, • Um parênteses sobre a invasão holandesa no Brasil, • Cantor e a definição de conjunto infinito, • Conjuntos enumeráveis: ℕ e ℤ, • Os racionais, ℚ, formam um conjunto enumerável, • Dedekind, Weierstrass e Cauchy, • A prova diagonal de Cantor que os reais, ℝ, não são enumeráveis – o contínuo, • Números reais como limites de somas – séries. Eis um resumo do que vimos nestas transparências:
134. Tchau! Até a próxima.