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1. Normas de vetores, matrizes e funções Prof. Paulo R. G. Bordoni LNCC UFRJ
2. Vamos começar analisando o conceito de norma, para vetores e matrizes.
3. A norma de um vetor ∈ é uma função ∶ → ℝ, ⟼ Que satisfaz as quatro propriedades: 1. ≥ 0, ∀ ∈ 2. = 0 ⟺ = 0, ∀ ∈ 3. = , ∀ ∈ ℝ, ∀ ∈ 4. + ≤ + , ∀ , ∈ , conhecida como desigualdade triangular
4. Claramente, a definição anterior de norma de um vetor de ℝ satisfaz essa definição abstrata. Todas as quatro. Prove o que a Mestra afirmou, Surfista.
5. Espaços em que é possível definir uma norma são chamados espaços normados. Portanto os espaços ℝ e ℂ são exemplos de espaços normados.
6. Apresento a numpy.linalg.norm().
7. Usaremos essas três que marquei:
8. Neste programinha, entramos com um vetor ∈ ℝ e calculamos 2 , 1 , ∞ .
9. Entendo que normas são uma extensão (abstração) da ideia de tamanho para vetores. Mas para quê precisaremos de normas matriciais? Para medir a atuação de matrizes (como aplicações lineares) em vetores.
10. Portanto é possível definir uma norma para matrizes em ℳ× . Basta garantir as quatro propriedades relacionadas pelo Galileu. Já conferimos que o conjunto ℳ× das matrizes × com a adição de matrizes e a multiplicação por fator de escala é um espaço vetorial.
11. A norma de Frobenius é definida por: = ෍ ,=1 2 = () Surfista, prove que é uma norma. Operacionalmente é como se fosse a norma euclidiana para um vetor de 2 componentes.
12. Na realidade nosso foco estará na aplicação linear associada à uma matriz ∈ ℳ× . Pensar na aplicação linear : ℝ → ℝ associada à matriz envolverá três normas: uma em ℝ outra em ℝ e uma terceira em ℳ× .
13. O conjunto ℒ(, ) de todas as aplicações lineares : → , de um espaço vetorial em um espaço vetorial é, ele mesmo, um espaço vetorial. Isto é óbvio, visto que aplicações lineares são um tipo particular de funções.
14. Perdão Mestra, mas não acho tão óbvio assim! Para funções , ∈ ℱ , ℝ os valores de () e () são números reais, logo + () ∈ ℝ e também, para ∈ ℝ temos ∙ () ∈ ℝ. Então tudo está bem definido (podemos fazer as contas). Pois é, se , ∈ ℒ(, ), definimos + vetor a vetor (ou, ponto a ponto): + = + , ∀ ∈ , visto que , ∈ e podemos somar vetores de . Assim a soma + está bem definida.
15. É mesmo, Mestra. O mesmo vale para a multiplicação por um escalar ∈ ℝ. Sim filho, se ∈ ℒ(, ) e ∈ ℝ definimos ∙ número a vetor (ou, ponto a ponto): ∙ = ∙ (), ∀ ∈ ℝ , ∀ ∈ , visto que é um vetor de e podemos multiplicá-lo por um escalar . Assim o produto α ∙ está bem definido.
16. Um caso particular importantíssimo de ℒ(, ) é quando = ℝ. ℒ(, ℝ) é denominado espaço dos funcionais lineares ℓ: → ℝ e anotado ′. Um exemplo clássico de funcional linear é a integral definida: ℐ = න . Um outro é derivada: .
17. Claro Mestra: ׬ + = ׬ + ׬ e ׬ ( ∙ ) = ∙ ׬ . É, e o mesmo vale para as derivadas.
18. Vamos provar que: Se é uma norma em ℝ, é uma norma em ℝ, então a função × : ℳ× → ℝ definida por ⟼ × = sup ≠0 é uma norma em ℳ× . É uma norma matricial denominada norma matricial induzida (pelas normas em ℝ e ℝ).
19. Sim, basta considerar o supremo sobre a bola unitária, isto é: × = sup =1 . Antes, vamos mostrar que não precisamos tomar o supremo sobre todos os vetores ≠ 0 de ℝ.
20. Observe, Surfista, que para todo ∈ ℝ, e todo ∈ ℝ temos ∙ = = () Considerando o caso particular em que = Τ 1 , para ∈ ℝ e ≠ 0, temos = 1 = Τ e, obviamente, = 1 para = Τ .
21. Portanto × = sup ≠0 = sup =1 Para tornar a notação mais leve, deixaremos de indicar os índices , e × em , e × , subentendendo os espaços ℝ, ℝ e ℳ× .
22. Assim, já sem os índices: = sup ≠0 = sup =1 Portanto é o maior dos valores quando = 1, isto é, quando percorre a circunferência unitária. Aliás, como será a imagem ∙ da circunferência unitária ?
23. Este programa mostra: • A circunferência unitária , • Sua imagem ∙ por uma matriz , • O valor de 2 .
24. ∙ é uma elipse e vemos que 2 só pode ser o tamanho de seu semi-eixo maior.
25. É o que nossos alunos farão! Senhores, essa afirmação que = sup ≠0 = sup =1 é uma norma é tão importante que merece ser provada!
26. A condição I da definição de norma é imediata: = sup =1 ≥ ≥ 0. A condição III também: = sup =1 = sup =1 = .
27. A parte ⇐ da exigência II da definição de norma é trivial. Se = 0, claramente = 0. Mostre a parte ⇒, Cabelos de Fogo! Se = 0 então sup ≠0 = 0 e portanto = 0, ∀ ∈ ℝ. Logo = 0, ∀ ∈ ℝ e assim = 0.
28. Só falta a condição IV, a desigualdade triangular. Antes de prová-la, vamos provar que ≤ , ∀ ∈ ℝ, uma desigualdade importante em si mesma.
29. Ora, Cabelos de Fogo, sua afirmação decorre da definição de supremo: = sup ≠0 ≥ , ∀ ∈ ℝ, ≠ 0 Claro, pois daí temos ≤ , ∀ ∈ ℝ.
30. Para vetores , ∈ ℝ temos + ≤ + , portanto ∀ ∈ ℝ, segue daí que + = + ≤ + . Então, para na bola unitária, da desigualdade que acabamos de provar, temos + ≤ + ≤ +
31. Notem que + ≤ + , ∀ ∈ ℝ com = 1. Portanto isto também vale para o supremo: + = sup =1 + ≤ + . Brilhante Cabelos de Fogo! Assim é válida a exigência IV, a desigualdade triangular: + ≤ + , ∀, ∈ ℳ× .
32. Agora vamos examinar as normas induzidas 1 e ∞ de uma matriz .
33. É de importância crucial observar que em todos os argumentos desenvolvidos para normas matriciais não fixamos nenhuma das normas em ℝ ou ℝ. Portanto eles se aplicam para bolas nas normas ∙ 1 , ∙ ∞ além da ∙ 2 .
34. E por quê precisamos dessas outras normas em ℳ× ? Veremos mais adiante que a 2 de uma matriz é o seu maior valor singular 1 . E que o cálculo de valores singulares é difícil e trabalhoso. Assim, precisaremos contornar esse problema.
35. Sim Surfista, basta aplicarmos aos vetores dos vértices , , , tanto da 1 (1) como da ∞ (1). Mestra, essas duas bolas unitárias são quadrados. Obter o efeito de uma matriz sobre elas é imediato, não?
36. Por exemplo, a imagem por = 1.1 0.6 0.4 1.8 da ∞ (1) é:
37. E a imagem pela mesma matriz = 1.1 0.6 0.4 1.8 da 1 (1) é:
38. Por inspeção visual, o vetor de tamanho máximo da imagem por A da ∞ (1) é ∗ . Temos ∞ = max{1.7, 2.2} = 2.2. Portanto ∞ = 2.2.
39. Já, examinando a imagem por da 1 (1), vemos que o vetor de tamanho máximo é ∗ . Temos 1 = 0.6 + 1.8 = 2.4. Portanto 1 = 2.4.
40. Entretanto, não precisamos gerar as imagens por das bolas ∞ (1) e 1 (1) para calcular as ∞ e 1 . Basta calcularmos a matriz nos vértices , , , das bolas. Como, Mestre?
41. Ora Loirinha, porque ∞ = max ∞ , ∈ ∞ 1 = = max ∞ , = , , , . E, com a taquigrafia óbvia: = , , , = 1 1 , −1 1 , −1 −1 , 1 −1 ⟹ = 11 12 21 22 1 2 = 1 2 = = 11 + 12 21 + 22 , −11 + 12 −21 + 22 , −11 − 12 −21 − 22 , 11 − 12 21 − 22 .
42. Portanto ∞ = max ∞ , x = a, b, c, d = = max{ 11 + 12 , 21 + 22 } Claro, pois ൠ ()1 = 11 + 12 , −11 +12 , −11 −12 , 11 −12 ()2 = 21 + 22 , −21 +22 , −21 −22 , 21 −22 ⟹ ∞ = max ()1 , ()2 = = max{ 11 + 12 , 21 + 22 }
43. Da mesma forma, porque 1 = max 1 , ∈ 1 1 = = max 1 , = , , , . E com a taquigrafia, também óbvia: = , , , = +1 0 , 0 +1 , −1 0 , 0 −1 , ⟹ = 11 12 21 22 1 2 = ()1 ()2 = 11 21 , 12 22 , −11 −21 , −12 −22 .
44. Portanto 1 = max 1 , = , , , = = max{ 11 + 21 , 12 + 22 } Claro, pois neste caso: ቊ = , ⟹ 1 = 1 + 2 = 11 + 21 = , ⟹ 1 = 1 + 2 = 12 + 22
45. Repetindo, para = 11 12 21 22 : • 1 = max{ 11 + 21 , 12 + 22 } • ∞ = max{ 11 + 12 , 21 + 22 } Por esses dois resultados: • 1 é referida como norma (...) das colunas de e • ∞ como norma (...) das linhas de . (...) = (do máximo da soma dos valores absolutos)
46. Conferindo, para = 1.1 0.6 0.4 1.8 tenho: • 1 = 2.4 (colunas de ), • ∞ = 2.2 (linhas de ).
47. Lembre-se desta imagem, que mostramos em “Introdução à SciPy”. Mestra, volto a perguntar, por que importante sabermos calcular 1 e ∞ ?
48. Como é uma transformação linear, teremos a ordem de inclusão preservada. Portanto se 1 , 2 e ∞ são as bolas unitárias nas 1 , 2 e ∞ então de 1 ⊂ 2 ⊂ ∞ teremos (1 ) ⊂ (2 ) ⊂ (∞ ).
49. Especificamente, vamos calcular as normas ∙ , ∙ 2 , ∙ 1 , ∙ ∞ de uma matriz .
50. Vou mostrar agora como calcular o tamanho de funções : → ℝ do espaço ℱ(, ℝ).
51. Agora teremos que usar mais abstração. Esqueça das flechinhas, Loirinha!
52. Sim colega, elas definem diversas formas de medir tamanho dos vetores flechinha e de matrizes. Inclusive aprendemos a calculá-las usando a NumPy. Já vimos que nos espaços ℝ, ℂ e para as matrizes ℳ× existem diversas normas: 1 , 2 , , ∞ .
53. Volto a perguntar: Como eu faço para calcular o tamanho de uma função : [, ] → ℝ ? Como você mesma já disse, nos ℝ, ℂ e em ℳ× existem diversas formas de medir o tamanho de uma vetor. O mesmo se dará para funções!
54. Lembre-se, Loirinha, uma função de ℱ , ℝ é limitada num conjunto quando existe algum número > 0 tal que () < , ∀ ∈ . É o caráter dual atacando mais uma vez! O subconjunto ℬ , ℝ de ℱ , ℝ constituído pelas funções limitadas é um subespaço vetorial de ℱ , ℝ .
55. É muito fácil confirmar que ℬ(, ℝ) é um espaço vetorial pois: • A soma de funções limitadas é uma função limitada; • O produto de uma função limitada por qualquer número real resulta numa função limitada.
56. Bem Mestres, respondam logo a pergunta da Loirinha! Em geral, como faremos para descobrir o tamanho de uma função : [, ] → ℝ ? Mestres, estou curiosíssima em saber qual será tamanho da função = 2cos( ) ?
57. A expressão ∞ = () , ∈ , define uma norma no conjunto ℬ(, ℝ) das funções limitadas num conjunto . Assim ℬ(, ℝ) é um espaço vetorial normado. As propriedades I, II , III e IV da definição abstrata de norma são facílimas de provar. Faça isto como exercício, Surfista!
58. Assumindo que o domínio dela é o intervalo 0,2 , é só calcular o valor máximo de () em [0, 2]. Veja graficamente: E, pelo programa, ∞ = 36,1986
59. Atenção para o detalhe neste outro exemplo, Surfista. Já vi, Mestre, o valor de ∞ é atingido num ponto de mínimo global da função .
60. Loirinha, neste programa você escolhe o domínio, a expressão da função e a quantidade de pontos no domínio.
61. Os domínios das duas funções são intervalos [, ] ⊂ ℝ. Entretanto, confiram que na 1ª função usamos 100 pontos em [, ] e na 2ª usamos 150 pontos Quantidades finitas de pontos substituindo uma infinidade contínua de pontos! Existe uma ilusão nesse programa:
62. É o Escher nos enganando novamente! Nossos sentidos limitados, não distinguem o infinito contínuo de uma quantidade finita grande de pontos.
63. Já vimos que num espaço vetorial normado com uma norma uma bola aberta de centro em ∈ e raio > 0 é o conjunto = ∈ . . − <
64. A − 2 < − ∞ < − 1 < Em ℝ2, as bolas abertas centradas em = (, ), nas normas 1 , 2 e ∞ , são os conjuntos desenhados abaixo
65. Bem, Loirinha, já sabemos que essa bola é o seguinte subconjunto de ℬ 0,1 , ℝ : = ∈ ℬ 0,1 , ℝ . . − ∞ < . Como será, Galileu, “a cara” de uma bola aberta (), centrada numa função ∈ ℬ [0,1], ℝ , com essa norma ∞ ?
66. Pensando no caráter dual, significa impor que − () < para variando no intervalo [0,1]. Mestra, para , ∈ ℬ( 0,1 , ℝ) o que significa − ∞ < ?
67. () Loirinha, fixe um valor de ∈ [0,1] e marque o ponto (, ) no plano cartesiano ℝ × ℝ. Então qualquer valor = () assumido pela em obrigatoriamente terá que satisfazer − () < . Que é um intervalo de raio centrado nesse ponto sobre a reta vertical por . Confira no meu desenho
68. Escolhi alguns valores de ∈ [0,1] e desenhei os intervalos verticais de raio centrados no ponto de coordenadas (x, ) correspondentes: 1 0
69. Surfista, tive a tentação, irresistível, de ligar os extremos deles, como fiz na figura! 1 0
70. É isso mesmo, menina! A bola de raio entorno de , , é a faixa azul claro desenhada abaixo. É o conjunto de todas as funções limitadas : [0,1] → ℝ situadas a uma distância menor do que da , quando usamos a régua ∞ 1 0 + r − r
71. Mestra, além da bola redondinha de raio r em ℝ2, vimos outras bolas, quadradas. E a pergunta inevitável é: Existirão outras bolas esquisitas nos espaços de funções?
72. Sim minha pequena! Essa bola/faixa de raio entorno de , , corresponde à bola definida pela norma ∞ em ℝ2. 1 0 + r − r
73. Aliás, Mestres como posso calcular a norma da soma, 1 , a 2 e as de uma função ? Elas envolvem uma soma. Use aquele S longo para somas contínuas: ׬ no lugar de σ .
74. Que corresponde a área entre e o eixo-. Claro, com a correspondência σ ↔ ׬ , temos 1 = න | |
75. Atenção! Estamos falando da área entre a função e o eixo- e não da função . Observem a diferença:
76. De forma semelhante, temos 2 = න 2 Que, por sua vez, corresponde a área entre 2 e o eixo-.
77. Agora trata-se da área entre a função 2 e o eixo- e não da função . Notem que 2 = ׬ 2
78. Eis uma pergunta que eu também quero saber a resposta! E como eu desenho as bolas de raio centradas numa função : [, ] → ℝ?
79. Bem, observe primeiro que a bola, na 1 , de centro em uma função ∶ [, ] → ℝ e raio é o conjunto de todas as funções integráveis ∶ [, ] → ℝ tais que න − () < É uma imposição sobre o tamanho da área entre a função ℎ = − e o eixo-. Se fosse a função nula estaríamos falando do conjunto de todas as funções integráveis tais que න () < .
80. Esse conjunto de funções não pode ser desenhado pois a condição sobre a área não impõe restrições sobre a forma (o gráfico) das funções : [, ] → ℝ. Sim, pensem por exemplo, nas funções ℎ : [0, 2] → ℝ definidas por ℎ = ቊ 1/ℎ 0 < ≤ ℎ 0 ℎ < ≤ 2 , para 0 < ℎ < 2. Para todas elas, ℎ 1 = න 0 2 ℎ = 1 .
81. ℎ Τ 1 ℎ 2 Sim Mestra, são retângulos com com base ℎ e altura 1/ℎ e mais um rabinho vermelho. Todos tem área = ℎ × ( Τ 1 ℎ) = 1.
82. 2 Τ 1 2 2 ℎ = Τ 1 2 1 1 1 ℎ = 1 2 Desenhei vários retângulos com base ℎ e altura 1/ℎ. Todos tem área = ℎ × Τ (1 ℎ) = 1. 2 ℎ = 2 Τ 1 2 É, definir a área não define o retângulo.
83. Τ 3 2 Τ 2 3 2 Τ 1 4 4 2 O mesmo vale para as funções “triângulo com rabo” que esbocei abaixo. Todos tem área Τ 1 2 . 1 1 2
84. Sim. Além dessas, qualquer função : [, ] → ℝ com o gráfico como as abaixo também estaria nessa bola de raio 1, desde que ׬ | | ≤ 1. Todas essas funções elas estariam numa bola de raio = 1 centrada na função nula.
85. Da mesma forma, bolas na 2 , de centro em uma função ∶ [, ] → ℝ não podem ser desenhadas pois − 2 = න − () 2 Uma vez que, novamente, − 2 < é uma imposição sobre a área da função ℎ = − 2 e o eixo-.
86. Tchau, até a próxima aula!