Probability & Statistics, 2013 Final exams

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1. 1 2013 資工系，機率與統計，期末考。 可以使用計算機、電腦、以及一張 A4 筆記，A4 筆記需簽名繳回。 不可上網以及通訊。 [1] In probability theory, the normal (or Gaussian) distribution is a continuous probability distribution, defined by the formula 令=0, =1, f(x) (x)      z dx x z ) ( ) (  (.01) ? ) ( ] [        dx x f x X E (證明之) (.02) ? ) ( ) (      z z (證明之) (.03) X 為 Gaussian random variable, ,=100, =10, 畫出 X 的機率密度函數圖(pdf), 請特別標出 中心點(亦為函數最高點)之座標值。並說明 x=x=以及 x=等處的縱座標值的比例。 (.04) Prob(‘80<X<120’) = ? (用 (.)  表示，並計算出數值。) (.05) Prob(‘x1 <X<x2 ’)= 95%, [x1 , x2 ]=[?, ?] (.06) X 的樣本平均(Sample Mean)    n i i X n X 1 1 ，令 n=100, 則 ] [X E =?, X  =? (.07) Prob(‘x1 < X <x2 ’)= 95%, [x1 , x2 ]=[?, ?] (.08) 離散型隨機變數 Y 為 二項分布 (Binomial distribution), n=100, p= 0.5, Prob(‘y1 <Y<y2 ’)= 95%, [y1 , y2 ]=[?, ?] (.09) A 為任意隨機變數 ,平均數 未知, 標準差 = 10, 對 A 作 n=100 的取樣，求得樣本平均 A =101, 請求出平均數的信心區間a1 , a2    承上題，對未知的作一假設 : ’’, 在 = 5%的「有意水準」(significance level)之下， 證據’ 樣本平均 A =101’ 能否支持我們「接受」假設 
2. 2 [2].. 給定一組數據(X,Y)如下， X Y 0.25 10.84 0.12 10.72 0.83 14.43 0.86 14.82 0.53 12.22 0.93 15.07 0.51 13.07 0.7 13.08 0.83 14.11 0.72 13.17 請回答以下問題：(請參考本份考題 p.4 的 Excel 輔助計算列表，不足處請自由使用計算機或電腦) (.01) 就 Y 而言，依本題的數據所計算出的樣本平均數 Ȳ= ?, 樣本標準差 SY =? (.02) 就 Y 而言， 請列出 95% 信心程度(confidence level)的信心區間(confidence interval), I= [?, ?] (.03) 就 Y 而言，呂老師假設「Y 的平均值 = 13」 ，請你把(.01)算出來的數值當成證據 E，此證 據 E 的 p-value= ? (.04) 就 Y 而言，在「有意水準」(significance level) = 5% (雙尾機率) 的之下，證據 E 會讓我們「拒 絕」或是「接受」呂老師的假設？ (.05) 王同學的假設為「Y 的平均值 = 10」 ，根據此假設，重新計算證據 E 的 p-value= ? (.06) 根據相同的「有意水準」= 5%，此時證據 E 會讓我們「拒絕」或是「接受」王同學的假設？ (.07) 承上題，如何調整「有意水準」，會使得我們改變對王同學的假設之檢定結論，亦即從「拒 絕」改變為「接受」或是從「接受」改變為「拒絕」？ (.08) 運用線性迴歸線 L: ŷ= a + bx 來最佳匹配(best fit)這組(X,Y)數據，ab  線性迴歸誤差總和 SE= Σ (y- ŷ)² = ? (.10) 若更動(.08)算出的 a 值，例如a a，SE 的值會增加或是減少？ (.11) X, Y 的相關係數(correlation coefficient,)= ?  在 95% 信心程度之下，這組數據 X 和 Y 可否稱為線性相關，有何依據？ 10 11 12 13 14 15 16 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
3. 3 & T-Dist(.)函數列表 z Phi(z) T-dist(z, df=9) z Phi(z) T-dist(z, df=9) 0 50.00% 50.00% -2 2.28% 3.83% -0.1 46.02% 46.13% -2.06 2.28% 3.47% -0.2 42.07% 42.30% -2.1 1.79% 3.26% -0.3 38.21% 38.55% -2.2 1.39% 2.77% -0.4 34.46% 34.92% -2.3 1.07% 2.35% -0.5 30.85% 31.45% -2.33 1.00% 2.24% -0.6 27.43% 28.17% -2.4 0.82% 1.99% -0.67 25.00% 25.98% -2.5 0.62% 1.69% -0.7 24.20% 25.08% -2.58 0.50% 1.48% -0.8 21.19% 22.22% -2.6 0.47% 1.44% -0.9 18.41% 19.58% -2.7 0.35% 1.22% -1 15.87% 17.17% -2.8 0.26% 1.04% -1.1 13.57% 14.99% -2.81 0.25% 1.02% -1.2 11.51% 13.04% -2.9 0.19% 0.88% -1.28 10.00% 11.63% -3 0.13% 0.75% -1.3 9.68% 11.30% -3.09 0.10% 0.65% -1.4 8.08% 9.75% -3.1 0.10% 0.64% -1.5 6.68% 8.39% -3.2 0.07% 0.54% -1.6 5.48% 7.20% -3.29 0.05% 0.47% -1.64 5.00% 6.77% -3.3 0.05% 0.46% -1.7 4.46% 6.17% -3.4 0.03% 0.39% -1.8 3.59% 5.27% -3.48 0.03% 0.35% -1.9 2.87% 4.49% -3.5 0.02% 0.34% -1.96 2.50% 4.08% -3.6 0.02% 0.29% -2 2.28% 3.83% -3.7 0.01% 0.25% -3.72 0.01% 0.24% T-dist 的反函數表 (最後一行為的反函數) df= 8 df= 9 df= 10 p t= tInv(p) t= tInv(p) t= tInv(p) z= ¯¹ (p) 50.0% 0 0 0 0 90.0% 1.40 1.38 1.37 1.28 95.0% 1.86 1.83 1.81 1.64 97.5% 2.31 2.26 2.23 1.96 99.0% 2.90 2.82 2.76 2.33 95% Critical Values of the Sample Correlation Coefficient Table df= n−2 Critical Values: (+ and −) 1 0.997 2 0.950 : : 7 0.666 8 0.632 9 0.602 10 0.576 11 0.555 : : 19 0.433 20 0.423 30 0.349 60 0.250 90 0.205 : :
4. 4 運用 Excel 計算出題目[2]的一些統計量，包含 sum, mean, var, std, cov 等等，列表如下： n X Y X² Y² XY 1 0.25 10.84 0.063 117.506 2.710 2 0.12 10.72 0.014 114.918 1.286 3 0.83 14.43 0.689 208.225 11.977 4 0.86 14.82 0.740 219.632 12.745 5 0.53 12.22 0.281 149.328 6.477 6 0.93 15.07 0.865 227.105 14.015 7 0.51 13.07 0.260 170.825 6.666 8 0.7 13.08 0.490 171.086 9.156 9 0.83 14.11 0.689 199.092 11.711 10 0.72 13.17 0.518 173.449 9.482 sum= 6.280 131.530 4.609 1751.167 86.226 mean= 0.628 13.153 0.461 175.117 8.623 var(unbiased)= 0.074 2.350 std(unbiased)= 0.272 1.533 cov(X,Y) (unbiased)= 0.403 下周二檢討考卷，有問題當場解決。 下周四送成績。