述語論理による推論の基礎 / Basics of reasoning by predicate logic

導出原理の基礎について簡単に説明したスライドです．

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1. 述語論理による推論の基礎 導出原理を用いた推論 第1回 B3勉強会 2019/1/11 長岡技術科学大学 自然言語処理研究室 吉澤 亜斗武
2. 参考文献・資料 書物 [1] 小林一郎：人工知能の基礎，サイエンス社（2016） [2] 有川節夫，原口誠：述語論理と論理プログラミング， オーム社（1988） 講義資料 [3] 谷口忠大：人工知能概論 第14回， http://ai.tanichu.com/slide_template [4] 二宮祟：知識工学 第6~8回， http://aiweb.cs.ehime-u.ac.jp/~ninomiya/archive/logicbn/ 2
3. Contents (1) 恒真式の自動証明 (2) スコーレム標準形 (3) 導出原理 (4) 単一化置換 (5) 導出制御戦略 (6) 導出原理による質問応答 3
4. (1) 恒真式の自動証明 述語論理式 () は恒真式（tautology）か？ ∈ において ∥ ∀ ∥= 1であるか？ ・対象領域 におけるすべての要素 について()が真であ ることを証明する必要があり，時間がかかる ・ が無限集合であれば，直接的な証明は実質不可能 ここで，論理式を変形してみる． ∥ ∀ ∥=∥ ∀¬¬ ∥=∥ ¬∃¬ ∥= ¬∥ ∃¬ ∥= 1 4
5. () は恒真式（tautology）か？ ∥ ∀ ∥= 1 ∥ ∃¬ ∥= 0 ¬() は恒偽式（contradiction）か？ よって∃¬() が矛盾，充足不能であることを示せばよい． 5 同等 これは背理法（反駁）による証明 を表している． 否定して矛盾が生じるならば， 否定する前のものは正しいはず （排中律や矛盾律を前提） (1) 恒真式の自動証明
6. 充足不能であることを示すのに導出原理を用いる前に， スコーレム化（Skolemization）という前処理を行い， スコーレム標準形（Skolem normal form）にする必要がある． 例：∃𝑥𝑥() ∨ ¬∃∀ () ⟹ (, ) スコーレム化（詳細は省略） ∀1 ∀2 () ∨ (1 ) ∧ () ∨ ¬(2 , (2 )) 6 同値 (2) スコーレム標準形
7. ∀1 ∀2 () ∨ (1 ) ∧ () ∨ ¬(2 , (2 )) 重要なPOINT： ・否定記号は原子式（素論理式）の直前にある ・連言標準形（和積標準形）であること ・冠頭標準形であること（限定作用素が母式の先頭にある） ・存在作用素が削除され，変数がスコーレム定数または スコーレム関数に置き換わっている． 7 (2) スコーレム標準形
8. スコーレム定数とスコーレム関数の例 ∃ () ⟺ () ： は () を満足する定数 ∃∀ , ⟺ ∀ (, ) ： は に束縛されていない ∀∃ , ⟺ ∀ (, ()) ： は に束縛されている 8 (2) スコーレム標準形 全称作用素のスコープ（作用域）にある存在作用素はスコーレム 関数，そうでないときはスコーレム定数に置き換える．
9. スコーレム標準形 ∀1 , ⋯ , ∀ 1 ∧ ⋯ ∧ ：節（clause） 節集合 = 1 , ⋯ , とする 導出（融合）：親節 , から導出節 を導き出すこと． 導出原理： 節集合 において導出を行い，導出節はに加える． これを繰り返し，空節が導かれたとき，親節は矛盾 することを表し，元の節集合 は充足不能である． 9 (3) 導出原理
10. 導出節 は相補リテラルをもつ親節から導出される． 親節 ≡ ′ ∨ , ≡ ′ ∨ ¬ であるとき（ :リテラル） 三段論法より（詳細は省略） ( ′ ∨ ) ∧ ( ′ ∨ ¬) ⟹ ′ ∨ ′ ≡ 𝑖𝑖 空節（ □, nil ）は ∧ ¬ ⟹nil と導出される． 空節が導出できたら，元の論理式は恒偽式である． 10 (3) 導出原理
11. 例： () ∧ ¬() ∨ () ∧ ¬() 11 (3) 導出原理 () ¬() ∨ () ¬() () nil
12. 今，次の2つの節があるとする． (, ) ∨ ¬(, ) ∨ ここで，変数は任意であるので = , = と仮定し， 単一化置換（単一化代入） = {/, /} と表現する． 置換の自由度を確保するために，最小限の置換を行うことを 最汎単一化置換（most general unifier）という． 12 (4) 単一化置換
13. 例： () ∧ ¬() ∨ () ∧ ¬() 13 (4) 単一化置換 () ¬() ∨ () ¬() () nil / / 単一化置換 = {/, /} の下で 証明された
14. 節集合が大きいと効率よく導出するための戦略が重要になる． 14 (5) 導出制御戦略 ∨ ¬ ∨ ¬ ¬ ∨ ∨ ∨ ¬ ¬
15. 15 機械的な制御戦略 ・幅優先戦略（breadth-first strategy） 導出に使われていない節を優先的に親節として導出する ・線形導出戦略（linear resolution strategy） 直前に導出された節を親節の1つとする 意味的な制御戦略 ・支持集合戦略（set-of-support strategy） 含意の形式において前提が通常，充足可能なことを利用 ・意味導出戦略（semantic resolution strategy） 真偽に応じて節をグループ分けし，グループ間で導出 (5) 導出制御戦略
16. 線形導出戦略の例 ・主節と側節から導出する ・主節： 直前に導出された節 ・側節： 節集合内と主節の先祖 16 (5) 導出制御戦略 ∨ ¬ ∨ ¬ ∨ ¬ ¬ ∨ ¬ nil
17. 意味的導出戦略の例 リテラル , , を真とし，真偽の異なるグループ間で導出 17 (5) 導出制御戦略 ∨ ¬ ∨ ¬ ¬ ∨ ¬ ¬ nil
18. 規則節と事実節からなる知識ベース があり，そこに質問 が与えられたとすると， から が導けるかという問題になる ¬ ⟹ ≡ ∧ ¬ 上式は質問 を否定し，知識ベース と合わせて考えて矛盾 を示す背理法（反駁）を表している． ∧ ¬ を導出原理によって空節を導けるかどうかを行う． 18 (6) 導出原理による質問応答
19. 例 知識1：正人は和子の好きなものは何でも好きである ∀ [好き（和子, ）⟹ 好き（正人, ）] 規則節 知識2：和子はケーキが好きである． 好き（和子, ケーキ） 事実節 質問 ：正人は何が好きか？ ∃ 好き（正人, ） ∀ ¬好き（正人, ） 19 (6) 導出原理による質問応答 否定
20. 20 (6) 導出原理による質問応答 ¬好き（正人, ） ¬好き（和子, ） ∨ 好き（正人, ） 好き（和子, ケーキ） ¬好き（和子, ） nil / ケーキ/ 単一化された定数「ケーキ」を答えとして返す