導出原理の基礎について簡単に説明したスライドです．
述語論理による推論の基礎導出原理を用いた推論第1回 B3勉強会2019/1/11長岡技術科学大学自然言語処理研究室 吉澤 亜斗武
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参考文献・資料書物[1] 小林一郎：人工知能の基礎，サイエンス社（2016）[2] 有川節夫，原口誠：述語論理と論理プログラミング，オーム社（1988）講義資料[3] 谷口忠大：人工知能概論 第14回，http://ai.tanichu.com/slide_template[4] 二宮祟：知識工学 第6~8回，http://aiweb.cs.ehime-u.ac.jp/~ninomiya/archive/logicbn/2
Contents(1) 恒真式の自動証明(2) スコーレム標準形(3) 導出原理(4) 単一化置換(5) 導出制御戦略(6) 導出原理による質問応答3
(1) 恒真式の自動証明述語論理式 () は恒真式（tautology）か？ ∈ において ∥ ∀ ∥= 1であるか？・対象領域 におけるすべての要素 について()が真であることを証明する必要があり，時間がかかる・ が無限集合であれば，直接的な証明は実質不可能ここで，論理式を変形してみる．∥ ∀ ∥=∥ ∀¬¬ ∥=∥ ¬∃¬ ∥= ¬∥ ∃¬ ∥= 14
() は恒真式（tautology）か？∥ ∀ ∥= 1∥ ∃¬ ∥= 0¬() は恒偽式（contradiction）か？よって∃¬() が矛盾，充足不能であることを示せばよい．5同等これは背理法（反駁）による証明を表している．否定して矛盾が生じるならば，否定する前のものは正しいはず（排中律や矛盾律を前提）(1) 恒真式の自動証明
充足不能であることを示すのに導出原理を用いる前に，スコーレム化（Skolemization）という前処理を行い，スコーレム標準形（Skolem normal form）にする必要がある．例：∃𝑥𝑥() ∨ ¬∃∀ () ⟹ (, )スコーレム化（詳細は省略）∀1∀2() ∨ (1) ∧ () ∨ ¬(2, (2))6同値(2) スコーレム標準形
∀1∀2() ∨ (1) ∧ () ∨ ¬(2, (2))重要なPOINT：・否定記号は原子式（素論理式）の直前にある・連言標準形（和積標準形）であること・冠頭標準形であること（限定作用素が母式の先頭にある）・存在作用素が削除され，変数がスコーレム定数またはスコーレム関数に置き換わっている．7(2) スコーレム標準形
スコーレム定数とスコーレム関数の例∃ () ⟺ () ： は () を満足する定数∃∀ , ⟺ ∀ (, ) ： は に束縛されていない∀∃ , ⟺ ∀ (, ()) ： は に束縛されている8(2) スコーレム標準形全称作用素のスコープ（作用域）にある存在作用素はスコーレム関数，そうでないときはスコーレム定数に置き換える．
スコーレム標準形 ∀1, ⋯ , ∀1∧ ⋯ ∧ ：節（clause）節集合 = 1, ⋯ , とする導出（融合）：親節 , から導出節を導き出すこと．導出原理： 節集合 において導出を行い，導出節はに加える．これを繰り返し，空節が導かれたとき，親節は矛盾することを表し，元の節集合 は充足不能である．9(3) 導出原理
導出節は相補リテラルをもつ親節から導出される．親節 ≡ ′ ∨ , ≡ ′ ∨ ¬ であるとき（ :リテラル）三段論法より（詳細は省略）(′ ∨ ) ∧ (′ ∨ ¬) ⟹ ′ ∨ ′ ≡ 𝑖𝑖空節（ □, nil ）は ∧ ¬⟹nil と導出される．空節が導出できたら，元の論理式は恒偽式である．10(3) 導出原理
例： () ∧ ¬() ∨ () ∧ ¬()11(3) 導出原理() ¬() ∨ () ¬()()nil
今，次の2つの節があるとする．(, ) ∨ ¬(, ) ∨ ここで，変数は任意であるので = , = と仮定し，単一化置換（単一化代入） = {/, /} と表現する．置換の自由度を確保するために，最小限の置換を行うことを最汎単一化置換（most general unifier）という．12(4) 単一化置換
例： () ∧ ¬() ∨ () ∧ ¬()13(4) 単一化置換() ¬() ∨ () ¬()()nil//単一化置換 = {/, /}の下で 証明された
節集合が大きいと効率よく導出するための戦略が重要になる．14(5) 導出制御戦略 ∨ ¬ ∨ ¬¬ ∨ ∨ ∨ ¬¬
15機械的な制御戦略・幅優先戦略（breadth-first strategy）導出に使われていない節を優先的に親節として導出する・線形導出戦略（linear resolution strategy）直前に導出された節を親節の1つとする意味的な制御戦略・支持集合戦略（set-of-support strategy）含意の形式において前提が通常，充足可能なことを利用・意味導出戦略（semantic resolution strategy）真偽に応じて節をグループ分けし，グループ間で導出(5) 導出制御戦略
線形導出戦略の例・主節と側節から導出する・主節：直前に導出された節・側節：節集合内と主節の先祖16(5) 導出制御戦略 ∨ ¬ ∨ ¬ ∨ ¬¬ ∨ ¬nil
意味的導出戦略の例リテラル , , を真とし，真偽の異なるグループ間で導出17(5) 導出制御戦略 ∨ ¬ ∨ ¬¬ ∨ ¬¬nil
規則節と事実節からなる知識ベース があり，そこに質問 が与えられたとすると， から が導けるかという問題になる¬ ⟹ ≡ ∧ ¬上式は質問 を否定し，知識ベース と合わせて考えて矛盾を示す背理法（反駁）を表している． ∧ ¬ を導出原理によって空節を導けるかどうかを行う．18(6) 導出原理による質問応答
例知識1：正人は和子の好きなものは何でも好きである∀ [好き（和子, ）⟹ 好き（正人, ）] 規則節知識2：和子はケーキが好きである．好き（和子, ケーキ） 事実節質問 ：正人は何が好きか？∃ 好き（正人, ） ∀ ¬好き（正人, ）19(6) 導出原理による質問応答否定
20(6) 導出原理による質問応答¬好き（正人, ） ¬好き（和子, ） ∨ 好き（正人, ）好き（和子, ケーキ）¬好き（和子, ）nil/ケーキ/単一化された定数「ケーキ」を答えとして返す
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