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1. d-q回転座標系 ―②座標変換行列 大阪府立大学 工学研究科 清水 悠生
2. 2 本記事の目的 ✓ 目的 ・ACモータでよく用いられるd-q回転座標系について 3相座標系からの変換行列を導出すること ✓ 本記事で述べないこと ・電圧方程式の座標変換
3. 3 3相座標系⇒α-β座標系への変換 ✓ 3相座標系からα-β座標系への変換は A倍した(後述)u,v,w相ベクトルのα,β成分を考える 0 = 1 cos 2 3 cos(− 2 3 ) 0 sin 2 3 sin(− 2 3 ) = 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 •数式表現 Aは絶対変換の場合は 2/3、相対変換の場合は2/3 i 0 は零相電流（詳細は次スライド） α β u v w i β =0 i α =Ai u α β u v w i α =Ai v cos(120°) i β =Ai v sin(120°) Ai v α β u v w i α =Ai w cos(-120°) i β =Ai w sin(-120°) u相電流i u v相電流i v w相電流i w Ai w
4. 4 座標変換による瞬時電力の変化 ✓ 3相座標系での電気系モデルを考える = = T ✓ 電機子電圧と電機子電流をα-β座標に変換 = T：3相電機子電圧ベクトル = T：3相電機子電流ベクトル ：インピーダンス行列 ：瞬時電力 ′ = , ′ = ′ = ′T′ = ()T() = TT ′ = T：α,β相電機子電圧ベクトル ′ = T：α,β相電機子電流ベクトル ：3相⇒α,β相変換行列 ′： α,β相での瞬時電力
5. 5 絶対変換とは ✓ 絶対変換（日本でよく使われる） ・座標変換前後で瞬時電力を不変とする変換 変換行列Cが次式を満たすことが必要十分 ′ = TT = ⇔ T = 3 (3次の単位行列) T = 1 0 − 1 2 3 2 − 1 2 − 3 2 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 = 2 1 + 2 − 1 2 + 2 − 1 2 + 2 − 1 2 + 2 1 + 2 − 1 2 + 2 − 1 2 + 2 − 1 2 + 2 1 + 2 = ⇔ 2 = 2 3 , 2 = 1 2 ⟶ = 2 3 , = 1 2 ・3相⇒ α,β相変換行列で計算すると下記の通り 変換前後のベクトルの向きを揃えるため、A,B>0 ・瞬時電力を不変にするため 変換される物理量はベクトルの大きさがA倍になる
6. 6 零相成分とは ✓ 零相成分 ・3相⇒2相への変換時に現れる成分 三相平衡交流の場合は常に0となる ✓ 3相⇒2相座標変換における数学的な必要性 ・絶対変換において変換行列Cには逆行列が存在する つまり、変換行列Cは正則である必要があるため 零相成分を追加して、変換行列を3×3の正方行列にする 変換行列計算後は、零相成分を無視することも多い ✓ 注意点 ・入力に高調波成分が含まれる場合や 事故等による短絡で非平衡な三相交流になった場合は 零相成分が常に0とは限らない T = 3 ⟺ T = −
7. 7 相対変換とは ✓ 相対変換（欧米でよく使われる） ・合成ベクトルの大きさを入力物理量の振幅とする変換 （例）三相交流電流（初期位相0） ・出力やトルクの値が3相座標上の値（実際の値）の 2/3倍になるため、注意が必要 = sin() sin( − 2 3 ) sin( + 2 3 ) ：各相の電機子電流の振幅 = = 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 = 3 2 sin() −cos() ：変換後の電機子 電流ベクトル = 2 + β 2 = 3 2 = ⇔ = 2 3 ： の大きさ
8. 8 α-β座標系⇒d-q回転座標系への変換 ✓ α-β座標系からd-q回転座標系への変換も同様に α,β相ベクトルのd,q成分を考える ただし、d-q回転座標系は回転速度ωで回転すると仮定 ✓ 変換行列が直交行列であるため 絶対変換、相対変換ともに同じ行列 = cos() sin() −sin() cos() •数式表現（零相成分は省略） d α β q ωt ωt α相電流i α d α β q i d =i α cos(ωt) i q =-i α sin(ωt) β相電流i α d α β q i d =i β sin(ωt) i q =i β cos(ωt)
9. 9 3相座標系⇒d-q回転座標系への変換 ✓ 3相座標系からd-q回転座標系への変換をまとめると次式 ただし、零相成分は省略 = cos() sin() −sin() cos() = cos() sin() −sin() cos() 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 = cos() sin() −sin() cos() 1 cos(2 3 ) cos(− 2 3 ) 0 sin(2 3 ) sin(− 2 3 ) = cos() cos( − 2 3 ) cos( + 2 3 ) −sin() −sin( − 2 3 ) −sin( + 2 3 ) （∵三角関数の加法定理） Aは絶対変換の場合は 2/3、相対変換の場合は2/3
10. 10 座標変換の実際の計算(1/3) 電機子巻線の回路図 ✓ 電機子巻線はY(スター､星形)結線を想定 相電流 相電圧 線間 電圧
11. 11 ✓ 平衡三相電流をd-q回転座標系へと絶対変換する = 2ℎ sin( + γ) sin( + γ − 2 3 ) sin( + γ + 2 3 ) ℎ ：各相の電機子電流の実効値 γ：u相電機子電流の初期位相 = = 2 3 cos() sin() −sin() cos() 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 = 2 3 cos() sin() −sin() cos() − 1 2 − 1 2 3 2 − 3 2 = 2 3 cos() sin() −sin() cos() 3 2 3 2 ℎ sin( + γ − 2 3 ) − sin( + γ + 2 3 ) = 3ℎ cos() sin() −sin() cos() sin( + γ) −cos( + γ) 座標変換の実際の計算(2/3) + + = 0 和積の公式
12. 12 （つづき） = 3ℎ cos sin + γ − sin()cos( + γ) −sin() sin + γ − cos()cos( + γ) = 3ℎ sin(γ) −cos(γ) 座標変換の実際の計算(3/3) 加法定理 = 2ℎ sin( + ) sin( + − 2 3 ) sin( + + 2 3 ) ：各相の線間電圧の実効値 ℎ ：各相の相電圧の実効値 ：u相電機子電流の初期位相 ✓ 電機子電圧も同様の計算 = = 2 3 cos() sin() −sin() cos() 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 = 3ℎ sin() −cos() = sin() −cos() ✓ 平衡三相交流ではd-q回転座標系において 電流、電圧を直流とみなすことができ 初期位相γ, によってその値を制御することができる
13. 13 参考文献 ✓ 森本茂雄・真田雅之：「省エネモータの原理と設計法」， 科学情報出版株式会社 (2013)