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2023年度秋学期 画像情報処理 第11回 逆投影法による再構成 (2023. 12. 15)

Akira Asano
December 07, 2023

2023年度秋学期 画像情報処理 第11回 逆投影法による再構成 (2023. 12. 15)

関西大学総合情報学部 画像情報処理(担当・浅野晃)
http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2023a/IPPR/

Akira Asano

December 07, 2023
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  1. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理 3 投影群から2次元関数を再構成する fx F(fx, fy) fy

    θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の2次元 フーリエ変換 投影の1次元 フーリエ変換
  2. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理 3 投影群から2次元関数を再構成する fx F(fx, fy) fy

    θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の2次元 フーリエ変換 投影の1次元 フーリエ変換
  3. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理 3 投影群から2次元関数を再構成する fx F(fx, fy) fy

    θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の2次元 フーリエ変換 投影の1次元 フーリエ変換
  4. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理 3 投影群から2次元関数を再構成する fx F(fx, fy) fy

    θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の2次元 フーリエ変換 投影の1次元 フーリエ変換
  5. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 投影切断面定理 3 投影群から2次元関数を再構成する fx F(fx, fy) fy

    θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の2次元 フーリエ変換 投影の1次元 フーリエ変換
  6. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 2次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx F(fx, fy) fy

    θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の2次元 フーリエ変換 投影の1次元 フーリエ変換
  7. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 2次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy fx F(fx,

    fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の2次元 フーリエ変換 投影の1次元 フーリエ変換
  8. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 5 fx fy 断面は極座標 周波数空間の誤差は,画像全体にひろがる アーティファクトを生む

    補間を行う。が,コンピュータで計算する限りは「離散的」 2次元フーリエ変換は正方座標 コンピュータの能力が低かった時代は 精密な計算が難しかった →さてどうした? fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の2次元 フーリエ変換 投影の1次元 フーリエ変換
  9. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 素朴な再構成 ー 逆投影 7 2次元関数の任意の点 f(x, y)

    での値は f(x, y) を通るすべての投影(線積分)が わかれば求められる x y f(x, y) なら,それらの線積分をすべて合計してみれば?
  10. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 素朴な再構成 ー 逆投影 7 2次元関数の任意の点 f(x, y)

    での値は f(x, y) を通るすべての投影(線積分)が わかれば求められる x y f(x, y) なら,それらの線積分をすべて合計してみれば? どの線積分にも f(x, y) は含まれているのだから, 合計したら f(x, y) が強調される?
  11. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s

    軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0    
  12. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s

    軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0     s = x cos θ + y sin θ つまり
  13. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s

    軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0     s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は
  14. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s

    軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0     s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ)
  15. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s

    軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では これを半周分足し合わせたのが逆投影 x cos θ + y sin θ − s = 0     s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ)
  16. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s

    軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では これを半周分足し合わせたのが逆投影 x cos θ + y sin θ − s = 0     s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ) b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
  17. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s

    軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では これを半周分足し合わせたのが逆投影 x cos θ + y sin θ − s = 0     s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ) b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
  18. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s

    軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では これを半周分足し合わせたのが逆投影 x cos θ + y sin θ − s = 0     s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ) b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 復元できているのか? f(x, y) とどれほど違うのだろうか?
  19. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか? 9 b(x, y) = π 0

    g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影
  20. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか? 9 b(x, y) = π 0

    g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影
  21. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか? 9 s = x cos θ

    + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影
  22. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか? 9 s = x cos θ

    + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影
  23. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか? 9 s = x cos θ

    + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′, y′)δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′, y′) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′dy′
  24. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか? 9 s = x cos θ

    + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′, y′)δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′, y′) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′dy′
  25. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか? 9 s = x cos θ

    + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′, y′)δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′, y′) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′dy′
  26. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか? 9 s = x cos θ

    + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′, y′)δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′, y′) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′dy′
  27. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか? 9 s = x cos θ

    + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′, y′)δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′, y′) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′dy′
  28. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか? 10 b(x, y) = π 0

    ∞ −∞ f(x′, y′)δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′, y′) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′dy′
  29. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか? 10 b(x, y) = π 0

    ∞ −∞ f(x′, y′)δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′, y′) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′dy′
  30. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか? 10 h(θ)が有限個のθk でしか0にならないとき b(x, y) =

    π 0 ∞ −∞ f(x′, y′)δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′, y′) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′dy′ δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk]
  31. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか? 10 h(θ)が有限個のθk でしか0にならないとき b(x, y) =

    π 0 ∞ −∞ f(x′, y′)δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′, y′) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′dy′ δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] (x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ = (x′ − x)2 + (y′ − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y′−y √ (x′−x)2+(y′−y)2 = sin−1 x′−x √ (x′−x)2+(y′−y)2 三角関数を合成
  32. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか? 10 h(θ)が有限個のθk でしか0にならないとき b(x, y) =

    π 0 ∞ −∞ f(x′, y′)δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′, y′) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′dy′ δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] (x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ = (x′ − x)2 + (y′ − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y′−y √ (x′−x)2+(y′−y)2 = sin−1 x′−x √ (x′−x)2+(y′−y)2 三角関数を合成 θ = π − α のときだけ0
  33. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか? 10 h(θ)が有限個のθk でしか0にならないとき b(x, y) =

    π 0 ∞ −∞ f(x′, y′)δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′, y′) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′dy′ δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] (x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ = (x′ − x)2 + (y′ − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y′−y √ (x′−x)2+(y′−y)2 = sin−1 x′−x √ (x′−x)2+(y′−y)2 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 三角関数を合成 θ = π − α のときだけ0
  34. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているといえなくもないが… 11 b(x, y) = π 0

    ∞ −∞ f(x′, y′)δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′, y′) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′dy′
  35. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているといえなくもないが… 11 b(x, y) = π 0

    ∞ −∞ f(x′, y′)δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′, y′) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′dy′
  36. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているといえなくもないが… 11 b(x, y) = π 0

    ∞ −∞ f(x′, y′)δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′, y′) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′dy′ δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α))      
  37. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているといえなくもないが… 11 b(x, y) = π 0

    ∞ −∞ f(x′, y′)δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′, y′) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′dy′ δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α))      
  38. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているといえなくもないが… 11 積分すると 1 b(x, y) =

    π 0 ∞ −∞ f(x′, y′)δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′, y′) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′dy′ δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α))      
  39. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているといえなくもないが… 11 積分すると 1 b(x, y) =

    π 0 ∞ −∞ f(x′, y′)δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′, y′) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′dy′ b(x, y) = ∞ −∞ f(x′, y′) 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 dx′dy′ = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α))       よって
  40. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているといえなくもないが… 11 積分すると 1 b(x, y) =

    π 0 ∞ −∞ f(x′, y′)δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′, y′) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′dy′ b(x, y) = ∞ −∞ f(x′, y′) 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 dx′dy′ = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α))       よって コンヴォリューションになっている
  41. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元するには 12 フーリエ変換すると,コンヴォリューション→積 b(x, y)= f(x, y)

    ∗ 1 x2 + y2 FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y なので
  42. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元するには 12 フーリエ変換すると,コンヴォリューション→積 b(x, y)= f(x, y)

    ∗ 1 x2 + y2 FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y なので
  43. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか? 13 FT[f(x, y)] = f2 x

    + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0     FT[f(x, y)] = 0     周波数0の成分は 全体の平均が0
  44. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか? 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] =

    f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0     FT[f(x, y)] = 0     周波数0の成分は 全体の平均が0
  45. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか? 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] =

    f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0     FT[f(x, y)] = 0     周波数0の成分は 0 全体の平均が0
  46. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか? 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] =

    f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0     FT[f(x, y)] = 0     周波数0の成分は 0 全体の平均が0
  47. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか? 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] =

    f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0     FT[f(x, y)] = 0     周波数0の成分は 0 こうなっていることになる 全体の平均が0
  48. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか? 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] =

    f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0     FT[f(x, y)] = 0     周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 全体の平均が0
  49. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか? 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] =

    f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0     FT[f(x, y)] = 0     周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 全体の平均が0
  50. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか? 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] =

    f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0     FT[f(x, y)] = 0     周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 全体の平均が0
  51. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか? 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] =

    f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0     FT[f(x, y)] = 0     周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 値は正のはず 全体の平均が0
  52. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか? 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] =

    f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0     FT[f(x, y)] = 0     周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 値は正のはず そもそも 全体の平均が0
  53. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか? 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] =

    f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 fx = fy = 0     FT[f(x, y)] = 0     周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 値は正のはず そもそも 全体の平均が0
  54. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか? 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] =

    f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y fx = fy = 0     FT[f(x, y)] = 0     周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 値は正のはず そもそも 全体の平均が0
  55. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか? 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] =

    f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y fx = fy = 0     FT[f(x, y)] = 0     周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 値は正のはず そもそも fx = fy = 0 で発散している 全体の平均が0
  56. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 14 再び投影切断面定理 fx F(fx, fy) fy

    θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の2次元 フーリエ変換 投影の1次元 フーリエ変換
  57. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 14 再び投影切断面定理 fx F(fx, fy) fy

    θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の2次元 フーリエ変換 投影の1次元 フーリエ変換 復元
  58. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 14 再び投影切断面定理 fx F(fx, fy) fy

    θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の2次元 フーリエ変換 投影の1次元 フーリエ変換 復元 2次元逆フーリエ変換
  59. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 14 再び投影切断面定理 fx F(fx, fy) fy

    θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の2次元 フーリエ変換 投影の1次元 フーリエ変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy 復元 2次元逆フーリエ変換
  60. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞

    −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
  61. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞

    −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
  62. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞

    −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ dfx dfy 正方座標の微小面積
  63. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞

    −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ dfx dfy ξ dξ ξdθ dθ 正方座標の微小面積 極座標の微小面積
  64. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞

    −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ dfx dfy ξ dξ ξdθ dθ 正方座標の微小面積 極座標の微小面積
  65. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞

    −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) 投影切断面定理より dfx dfy ξ dξ ξdθ dθ 正方座標の微小面積 極座標の微小面積
  66. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞

    −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 投影切断面定理より dfx dfy ξ dξ ξdθ dθ 正方座標の微小面積 極座標の微小面積
  67. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π

    0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ       f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ      
  68. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π

    0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ       f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ      
  69. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π

    0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ       f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ      
  70. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π

    0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ       f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ       s = x cos θ + y sin θ
  71. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π

    0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ       f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ       f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ s = x cos θ + y sin θ
  72. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π

    0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ       f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ       f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ s = x cos θ + y sin θ
  73. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π

    0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ       f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ       f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ s = x cos θ + y sin θ
  74. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π

    0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ       f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ       f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ s = x cos θ + y sin θ の逆フーリエ変換 |ξ|Gθ(ξ)
  75. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 17 f(x, y) = π 0

    ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換 |ξ|Gθ(ξ) ˆ g(s, θ) ≡ ˆ g(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
  76. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 17 f(x, y) = π 0

    ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換 |ξ|Gθ(ξ) ˆ g(s, θ) ≡ ˆ g(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ とおくと,
  77. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 17 f(x, y) = π 0

    ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換 |ξ|Gθ(ξ) ˆ g(s, θ) ≡ ˆ g(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ f(x, y) = π 0 ˆ g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ とおくと,
  78. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 17 f(x, y) = π 0

    ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換 |ξ|Gθ(ξ) ˆ g(s, θ) ≡ ˆ g(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ f(x, y) = π 0 ˆ g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ とおくと, 投影を,「周波数空間で |ξ| 倍するフィルタ」を適用してから,逆投影
  79. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 コンヴォリューション逆投影法 18 ˆ g(s, θ) ≡ ˆ

    g(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍
  80. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 コンヴォリューション逆投影法 18 ˆ g(s, θ) ≡ ˆ

    g(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍 実空間では FT−1[|ξ|] とのコンヴォリューション
  81. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 コンヴォリューション逆投影法 18 ˆ g(s, θ) ≡ ˆ

    g(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ˆ g(s, θ) = g(s, θ) ∗ FT−1[|ξ|] ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍 実空間では FT−1[|ξ|] とのコンヴォリューション
  82. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 最初からこれを定義しておけば,フーリエ変換の必要はない コンヴォリューション逆投影法 18 ˆ g(s, θ) ≡

    ˆ g(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ˆ g(s, θ) = g(s, θ) ∗ FT−1[|ξ|] ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍 実空間では FT−1[|ξ|] とのコンヴォリューション
  83. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 最初からこれを定義しておけば,フーリエ変換の必要はない コンヴォリューション逆投影法 18 ˆ g(s, θ) ≡

    ˆ g(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ˆ g(s, θ) = g(s, θ) ∗ FT−1[|ξ|] ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍 実空間では FT−1[|ξ|] とのコンヴォリューション 極座標→直交座標の変換は実空間で行うので, 誤差が画面全体に拡散することはない
  84. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ関数 19 ξ H(ξ) ξmax – ξmax

    ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax – ξmax (a) (b) (c) |ξ| H(ξ) = |ξ|rect ξ 2ξmax H(ξ) = |ξ|sinc ξ 2ξmax rect ξ 2ξmax
  85. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ関数 19 ξ H(ξ) ξmax – ξmax

    ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax – ξmax (a) (b) (c) |ξ| H(ξ) = |ξ|rect ξ 2ξmax H(ξ) = |ξ|sinc ξ 2ξmax rect ξ 2ξmax 高い周波数成分を増幅すると ノイズを強調してしまうので,抑える
  86. 19 2023年度秋学期 画像情報処理 / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ関数 19 ξ H(ξ) ξmax – ξmax

    ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax – ξmax (a) (b) (c) |ξ| H(ξ) = |ξ|rect ξ 2ξmax H(ξ) = |ξ|sinc ξ 2ξmax rect ξ 2ξmax 高い周波数成分を増幅すると ノイズを強調してしまうので,抑える ※現代のCTスキャナでは,  初期状態の物体から計算で投影を求める→実際の投影と比較して,物体を修正する  という操作を繰り返すことで,実際の物体に近づけていく,という方法(逐次近似法)も  用いられています