2023年度秋学期 画像情報処理 第11回 逆投影法による再構成 (2023. 12. 15)

関西大学総合情報学部　画像情報処理（担当・浅野晃）
http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2023a/IPPR/

Transcript

1. 2023年度秋学期　画像情報処理 浅野　晃 関西大学総合情報学部 逆投影法による再構成 第11回
2. 19 2
3. 19 2 投影切断面定理の復習
4. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 投影切断面定理 3 投影群から２次元関数を再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
5. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 投影切断面定理 3 投影群から２次元関数を再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
6. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 投影切断面定理 3 投影群から２次元関数を再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
7. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 投影切断面定理 3 投影群から２次元関数を再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
8. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 投影切断面定理 3 投影群から２次元関数を再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
9. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 投影切断面定理 3 投影群から２次元関数を再構成する 「断面」がすべてそろえば，２次元逆フーリエ変換で２次元関数が再構成できる fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
10. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
11. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
12. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面 fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
13. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面 fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
14. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面 fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
15. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面 fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
16. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面 fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
17. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面 有限個の投影では，２次元フーリエ変換を埋め尽くすことはできない fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
18. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面 有限個の投影では，２次元フーリエ変換を埋め尽くすことはできない →補間を行う fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
19. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 5 fx fy 断面は極座標 周波数空間の誤差は，画像全体にひろがる アーティファクトを生む 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」 ２次元フーリエ変換は正方座標 コンピュータの能力が低かった時代は 精密な計算が難しかった　→さてどうした？ fx F(fx, fy) fy θ ξ スライス F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
20. 19 6
21. 19 6 逆投影法💡💡
22. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 素朴な再構成 ー 逆投影 7 x y f(x, y)
23. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 素朴な再構成 ー 逆投影 7 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は x y f(x, y)
24. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 素朴な再構成 ー 逆投影 7 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は x y f(x, y)
25. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 素朴な再構成 ー 逆投影 7 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は f(x, y) を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y)
26. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 素朴な再構成 ー 逆投影 7 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は f(x, y) を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y)
27. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 素朴な再構成 ー 逆投影 7 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は f(x, y) を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y) なら，それらの線積分をすべて合計してみれば？
28. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 素朴な再構成 ー 逆投影 7 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は f(x, y) を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y) なら，それらの線積分をすべて合計してみれば？ どの線積分にも f(x, y) は含まれているのだから， 合計したら f(x, y) が強調される？
29. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 逆投影法 8 x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s
30. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s
31. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では
32. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0 　 　
33. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0 　 　 s = x cos θ + y sin θ つまり
34. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0 　 　 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は
35. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0 　 　 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ)
36. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では これを半周分足し合わせたのが逆投影 x cos θ + y sin θ − s = 0 　 　 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ)
37. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では これを半周分足し合わせたのが逆投影 x cos θ + y sin θ − s = 0 　 　 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ) b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
38. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では これを半周分足し合わせたのが逆投影 x cos θ + y sin θ − s = 0 　 　 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ) b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
39. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では これを半周分足し合わせたのが逆投影 x cos θ + y sin θ − s = 0 　 　 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ) b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 復元できているのか？ f(x, y) とどれほど違うのだろうか？
40. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているのだろうか？ 9 b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 逆投影
41. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているのだろうか？ 9 b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影
42. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているのだろうか？ 9 b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影
43. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影
44. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影
45. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′, y′)δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′, y′) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′dy′
46. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′, y′)δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′, y′) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′dy′
47. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′, y′)δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′, y′) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′dy′
48. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′, y′)δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′, y′) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′dy′
49. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′, y′)δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′, y′) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′dy′
50. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているのだろうか？ 10 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′, y′)δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′, y′) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′dy′
51. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているのだろうか？ 10 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′, y′)δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′, y′) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′dy′
52. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているのだろうか？ 10 h(θ)が有限個のθk でしか0にならないとき b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′, y′)δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′, y′) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′dy′ δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk]
53. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているのだろうか？ 10 h(θ)が有限個のθk でしか0にならないとき b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′, y′)δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′, y′) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′dy′ δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] (x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ = (x′ − x)2 + (y′ − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y′−y √ (x′−x)2+(y′−y)2 = sin−1 x′−x √ (x′−x)2+(y′−y)2 三角関数を合成
54. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているのだろうか？ 10 h(θ)が有限個のθk でしか0にならないとき b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′, y′)δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′, y′) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′dy′ δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] (x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ = (x′ − x)2 + (y′ − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y′−y √ (x′−x)2+(y′−y)2 = sin−1 x′−x √ (x′−x)2+(y′−y)2 三角関数を合成 θ = π − α のときだけ0
55. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているのだろうか？ 10 h(θ)が有限個のθk でしか0にならないとき b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′, y′)δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′, y′) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′dy′ δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] (x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ = (x′ − x)2 + (y′ − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y′−y √ (x′−x)2+(y′−y)2 = sin−1 x′−x √ (x′−x)2+(y′−y)2 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 三角関数を合成 θ = π − α のときだけ0
56. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているといえなくもないが… 11 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′, y′)δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′, y′) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′dy′
57. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているといえなくもないが… 11 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′, y′)δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′, y′) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′dy′
58. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているといえなくもないが… 11 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′, y′)δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′, y′) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′dy′ δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 　 　 　
59. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているといえなくもないが… 11 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′, y′)δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′, y′) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′dy′ δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 　 　 　
60. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているといえなくもないが… 11 積分すると １ b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′, y′)δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′, y′) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′dy′ δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 　 　 　
61. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているといえなくもないが… 11 積分すると １ b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′, y′)δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′, y′) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′dy′ b(x, y) = ∞ −∞ f(x′, y′) 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 dx′dy′ = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 　 　 　 よって
62. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているといえなくもないが… 11 積分すると １ b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′, y′)δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′, y′) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′dy′ b(x, y) = ∞ −∞ f(x′, y′) 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 dx′dy′ = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 　 　 　 よって コンヴォリューションになっている
63. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元するには 12 b(x, y)= f(x, y) ∗ 1 x2 + y2
64. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元するには 12 フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積 b(x, y)= f(x, y) ∗ 1 x2 + y2
65. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元するには 12 フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積 b(x, y)= f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2
66. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元するには 12 フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積 b(x, y)= f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y なので
67. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元するには 12 フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積 b(x, y)= f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y なので
68. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 これでいいのでしょうか？ 13 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)]
69. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 これでいいのでしょうか？ 13 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　
70. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 これでいいのでしょうか？ 13 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 周波数0の成分は
71. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 これでいいのでしょうか？ 13 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は
72. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 これでいいのでしょうか？ 13 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は
73. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 これでいいのでしょうか？ 13 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 全体の平均が0
74. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 全体の平均が0
75. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 0 全体の平均が0
76. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 0 全体の平均が0
77. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる 全体の平均が0
78. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 全体の平均が0
79. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 全体の平均が0
80. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 全体の平均が0
81. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 値は正のはず 全体の平均が0
82. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 値は正のはず そもそも 全体の平均が0
83. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 値は正のはず そもそも 全体の平均が0
84. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 値は正のはず そもそも 全体の平均が0
85. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 値は正のはず そもそも fx = fy = 0 で発散している 全体の平均が0
86. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 14 再び投影切断面定理 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
87. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 14 再び投影切断面定理 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 復元
88. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 14 再び投影切断面定理 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 復元 ２次元逆フーリエ変換
89. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 14 再び投影切断面定理 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy 復元 ２次元逆フーリエ変換
90. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 15 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
91. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
92. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ
93. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ
94. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
95. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
96. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ dfx dfy 正方座標の微小面積
97. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ dfx dfy ξ dξ ξdθ dθ 正方座標の微小面積 極座標の微小面積
98. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ dfx dfy ξ dξ ξdθ dθ 正方座標の微小面積 極座標の微小面積
99. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) 投影切断面定理より dfx dfy ξ dξ ξdθ dθ 正方座標の微小面積 極座標の微小面積
100. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 投影切断面定理より dfx dfy ξ dξ ξdθ dθ 正方座標の微小面積 極座標の微小面積
101. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 16 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 　 　 　
102. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 　 　 　
103. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 　 　 　 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ 　 　 　
104. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 　 　 　 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ 　 　 　
105. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 　 　 　 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ 　 　 　
106. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 　 　 　 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ 　 　 　 s = x cos θ + y sin θ
107. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 　 　 　 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ 　 　 　 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ s = x cos θ + y sin θ
108. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 　 　 　 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ 　 　 　 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ s = x cos θ + y sin θ
109. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 　 　 　 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ 　 　 　 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ s = x cos θ + y sin θ
110. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 　 　 　 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ 　 　 　 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ s = x cos θ + y sin θ の逆フーリエ変換 |ξ|Gθ(ξ)
111. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 17 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換 |ξ|Gθ(ξ)
112. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 17 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換 |ξ|Gθ(ξ) ˆ g(s, θ) ≡ ˆ g(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
113. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 17 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換 |ξ|Gθ(ξ) ˆ g(s, θ) ≡ ˆ g(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ とおくと，
114. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 17 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換 |ξ|Gθ(ξ) ˆ g(s, θ) ≡ ˆ g(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ f(x, y) = π 0 ˆ g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ とおくと，
115. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 17 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換 |ξ|Gθ(ξ) ˆ g(s, θ) ≡ ˆ g(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ f(x, y) = π 0 ˆ g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ とおくと， 投影を，「周波数空間で |ξ| 倍するフィルタ」を適用してから，逆投影
116. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コンヴォリューション逆投影法 18 ˆ g(s, θ) ≡ ˆ g(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
117. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コンヴォリューション逆投影法 18 ˆ g(s, θ) ≡ ˆ g(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
118. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コンヴォリューション逆投影法 18 ˆ g(s, θ) ≡ ˆ g(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍
119. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コンヴォリューション逆投影法 18 ˆ g(s, θ) ≡ ˆ g(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍 実空間では FT−1[|ξ|] とのコンヴォリューション
120. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コンヴォリューション逆投影法 18 ˆ g(s, θ) ≡ ˆ g(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ˆ g(s, θ) = g(s, θ) ∗ FT−1[|ξ|] ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍 実空間では FT−1[|ξ|] とのコンヴォリューション
121. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 最初からこれを定義しておけば，フーリエ変換の必要はない コンヴォリューション逆投影法 18 ˆ g(s, θ) ≡ ˆ g(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ˆ g(s, θ) = g(s, θ) ∗ FT−1[|ξ|] ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍 実空間では FT−1[|ξ|] とのコンヴォリューション
122. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 最初からこれを定義しておけば，フーリエ変換の必要はない コンヴォリューション逆投影法 18 ˆ g(s, θ) ≡ ˆ g(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ˆ g(s, θ) = g(s, θ) ∗ FT−1[|ξ|] ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍 実空間では FT−1[|ξ|] とのコンヴォリューション 極座標→直交座標の変換は実空間で行うので， 誤差が画面全体に拡散することはない
123. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ関数 19 ξ H(ξ) ξmax – ξmax ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax – ξmax (a) (b) (c)
124. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ関数 19 ξ H(ξ) ξmax – ξmax ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax – ξmax (a) (b) (c) |ξ|
125. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ関数 19 ξ H(ξ) ξmax – ξmax ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax – ξmax (a) (b) (c) |ξ| H(ξ) = |ξ|rect ξ 2ξmax
126. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ関数 19 ξ H(ξ) ξmax – ξmax ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax – ξmax (a) (b) (c) |ξ| H(ξ) = |ξ|rect ξ 2ξmax H(ξ) = |ξ|sinc ξ 2ξmax rect ξ 2ξmax
127. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ関数 19 ξ H(ξ) ξmax – ξmax ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax – ξmax (a) (b) (c) |ξ| H(ξ) = |ξ|rect ξ 2ξmax H(ξ) = |ξ|sinc ξ 2ξmax rect ξ 2ξmax 高い周波数成分を増幅すると ノイズを強調してしまうので，抑える
128. 19 2023年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ関数 19 ξ H(ξ) ξmax – ξmax ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax – ξmax (a) (b) (c) |ξ| H(ξ) = |ξ|rect ξ 2ξmax H(ξ) = |ξ|sinc ξ 2ξmax rect ξ 2ξmax 高い周波数成分を増幅すると ノイズを強調してしまうので，抑える ※現代のCTスキャナでは， 　初期状態の物体から計算で投影を求める→実際の投影と比較して，物体を修正する 　という操作を繰り返すことで，実際の物体に近づけていく，という方法（逐次近似法）も 　用いられています