2026年度秋学期　画像情報処理　第1部・画像のサンプリングと周波数／第3回　フーリエ級数とフーリエ変換

2026年度秋学期画像情報処理第1部・画像のサンプリングと周波数／第3回フーリエ級数とフーリエ変換関西大学総合情報学部浅野晃

フーリエ級数

周期関数を分解ここからは１次元の波で考えるもし，この周期関数が，三角関数の和で周期（の長さ）L 書けるとしたら？周期関数 … 波長 L …
足されるのは，どの三角関数？周期が合う→ 波が進んでも同期しているから足す波長 L /(1.5) 合わない → 波が進むとずれていってしまうから足してはいけない波長 L/2 合う→足す波長 L/3 合う→足す … 足されるのは波長 L / n（nは整数）のものに限る。無限個の波の足し合わせだが，足し算（級数）で書ける。 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 3 29

「無限個だが，足し算で書ける」周期 L 周期関数 f(x) … … 周期関数 f(x)が，三角関数の和で書けるとしたら，足されるのは波長
L f(x) = + 波長 L/n 波長 L/3 波長 L/2 + +…+ +… … 足されるのは波長 L / n （nは整数）のものに限るから，無限個の三角関数を足すのだけれどもこのように「項」を並べることはできる「級数」という 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 4 29

無限個の項を並べることができる，とは周期関数 f(x)が，三角関数の和で書けるとしたら，足されるのは波長 L / n （nは整数）のものに限る波長
L f(x) = 波長 L/2 1番めの三角関数 2番めの三角関数 +… +…+ + + 波長 L/n 波長 L/3 3番めの三角関数 n番めの三角関数 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 5 29

L f(x) = 波長 L/2 1番めの三角関数 2番めの三角関数 +… +…+ + + 波長 L/n 波長 L/3 3番めの三角関数 n番めの三角関数 1,2,3, … という自然数と，過不足なく1対1対応がつく（［全単射］が存在する） 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 5 29

L f(x) = 波長 L/2 1番めの三角関数 2番めの三角関数 +… +…+ + + 波長 L/n 波長 L/3 3番めの三角関数 n番めの三角関数 1,2,3, … という自然数と，過不足なく1対1対応がつく（［全単射］が存在する）これを，数えられる無限（［可算無限］）という 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 5 29

「全単射」について集合の要素間の対応関係について集合X 集合Y … … [全単射］(bijection) 1対1に対応し， X,Yどちらにも余りがない集合X
集合Y 集合X 集合Y ? ? XからYへの XからYへの [単射］(injection) [全射］(surjection) 1対1であるこの例では Yに余りがあるので全射ではないどちらにも余りはないこの例では 1対1ではないので単射ではない 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 6 29

周期関数＝三角関数の級数 1 2 n f(x) = a0 + a1 cos(2π
x) + a2 cos(2π x) + … + an cos(2π x) + … L L L 波長 L 波長 L/2 波長 L/n なのですが… 三角関数は計算が面倒。 1 cos x cos y = {cos(x + y) + cos(x − y)} 2 指数関数なら計算が簡単 x y a a =a x+y かけ算＝指数の足し算 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 7 29

三角関数と指数関数の関係 i 2 = − 1 虚数単位オイラーの式 exp(iω) =
cos ω + i sin ω exp(x) = e x x (e )′ = e x 微分しても変わらない exp(iω) = cos ω + i sin ω e = 2.71828... exp(−iω) = cos(−ω) + i sin(−ω) = cos ω − i sin ω 足し算すると引き算すると exp(iω) + exp(−iω) = 2 cos ω exp(iω) − exp(−iω) = 2i sin ω exp(iω) + exp(−iω) cos ω = 2 exp(iω) − exp(−iω) sin ω = 2i 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 8 29

三角関数と指数関数の関係オイラーの式 exp(iω) = cos ω + i sin ω
exp(iω) + exp(−iω) cos ω = 2 exp(iω) − exp(−iω) sin ω = 2i ひとつの三角関数＝波は，正負の周波数をもつ指数関数の組で表される「周波数がマイナス」というのはヘンだが，プラスの周波数とマイナスの周波数のペアでひとつの波になる 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 9 29

周期関数を指数関数の和で n n 波長 L / n の波は exp(i2π x)
と exp(−i2π x) の組 L L 周期 L の周期関数 f(x) は，波長 L / n の波を足し合わせてプラスもマイナスも∞ n f (x) = an exp i2π x L n=−∞ ∞ と書けるはず。 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 10 29

書ける，のはいいが周期 L の周期関数 f(x) は，波長 L / n の波を足し合わせて
n f (x) = an exp i2π x L n=−∞ ∞ と書けるはず。 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 11 29

書ける，のはいいが周期 L の周期関数 f(x) は，波長 L / n の波を足し合わせて
n f (x) = an exp i2π x L n=−∞ ∞ と書けるはず。この係数はどうやって求めるの？ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 11 29

ある波長の波を切り出す n f (x) = an exp i2π x
L n=−∞ ∞ 波長 L / n の指数関数から，波長 L / n の波に対応する指数関数だけを切り出したい n exp i2π x L 一方，f(x) を構成する指数関数のいずれか（波長 L / m）は m exp i2π x L 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 12 29

ある波長の波を切り出す波長 L / m の指数関数と L / n の指数関数についてこういう計算をしてみる
L 2 m n exp i2π x exp −i2π x dx L L L − 2 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 13 29

L 2 m n exp i2π x exp −i2π x dx L L L − 2 波長 L / m 波長 L / n 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 13 29

f(x) の１周期分だけ積分（積分については後半で） L 2 m n exp i2π x exp −i2π x dx L L L − 2 波長 L / m 波長 L / n 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 13 29

f(x) の１周期分だけ積分（積分については後半で） L 複素共役 2 m n exp i2π x exp −i2π x dx L L L − 2 波長 L / m 波長 L / n 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 13 29

f(x) の１周期分だけ積分（積分については後半で） L 複素共役 2 m n exp i2π x exp −i2π x dx L L L − 2 波長 L / m 波長 L / n この答は 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 13 29

f(x) の１周期分だけ積分（積分については後半で） L 複素共役 2 m n exp i2π x exp −i2π x dx L L L − 2 波長 L / m 波長 L / n この答は m と n が異なるとき（別の波長） 0 m と n が等しいとき（同じ波長） L 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 13 29

f(x) の１周期分だけ積分（積分については後半で） L 複素共役 2 m n exp i2π x exp −i2π x dx L L L − 2 波長 L / m 波長 L / n この答は m と n が異なるとき（別の波長） 0 m と n が等しいとき（同じ波長） L 指数関数はこの「同期しないと積分が0」という性質をもつ直交関数系 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 13 29

フーリエ級数展開とフーリエ係数そこで 1 L L k f
(x) exp −i2π x dx L −L 2 2 を計算してみる 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 14 29

フーリエ級数展開とフーリエ係数そこで 1 L L ある整数 k
f (x) exp −i2π x dx L −L 2 2 を計算してみる 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 14 29

f (x) exp −i2π x dx L −L 2 2 を計算してみる n f (x) = an exp i2π x なので L n=−∞ ∞ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 14 29

f (x) exp −i2π x dx L −L 2 2 を計算してみる n f (x) = an exp i2π x なので L n=−∞ ∞ k n an exp i2π x exp −i2π x dx L − L n=−∞ L L L ∞ 2 1 2 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 14 29

f (x) exp −i2π x dx L −L 2 2 を計算してみる n f (x) = an exp i2π x なので L n=−∞ ∞ k n an exp i2π x exp −i2π x dx L − L n=−∞ L L L ∞ 2 1 2 級数の各項を積分すると，n = k の項だけは積分すると L 他の項は積分すると 0 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 14 29

f (x) exp −i2π x dx L −L 2 2 を計算してみる n f (x) = an exp i2π x なので L n=−∞ ∞ k n an exp i2π x exp −i2π x dx L − L n=−∞ L L L ∞ 2 1 2 級数の各項を積分すると，n = k の項だけは積分すると L 他の項は積分すると 0 つまりこの積分の答は 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 14 29

f (x) exp −i2π x dx L −L 2 2 を計算してみる n f (x) = an exp i2π x なので L n=−∞ ∞ k n an exp i2π x exp −i2π x dx L − L n=−∞ L L L ∞ 2 1 2 級数の各項を積分すると，n = k の項だけは積分すると L 他の項は積分すると 0 1 · Lak = ak つまりこの積分の答は L 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 14 29

f (x) exp −i2π x dx L −L 2 2 を計算してみる n f (x) = an exp i2π x なので L n=−∞ ∞ k n an exp i2π x exp −i2π x dx L − L n=−∞ L L L ∞ 2 1 2 級数の各項を積分すると，n = k の項だけは積分すると L 他の項は積分すると 0 1 · Lak = ak 係数が求まったつまりこの積分の答は L 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 14 29

まとめ・フーリエ級数展開とフーリエ係数周期 L の周期関数 f(x) は， n f (x)
= an exp i2π x L n=−∞ ∞ という波の足し合わせ（級数）で表される（フーリエ級数展開）係数 an（フーリエ係数）は L 2 n 1 f (x) exp −i2π x dx an = L −L L という積分で表される 2 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 15 29

フーリエ変換🤔🤔

周期関数は，フーリエ級数で表される周期 L 周期 L の周期関数 f(x) … …
n f (x) = an exp i2π x という，波の足し合わせ（級数）で表される L n=−∞ ∞ 係数 ak（フーリエ係数）は（フーリエ級数展開） ak = 1 L L k f (x) exp −i2π x dx L −L 2 2 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 17 29

周期関数でない場合は？周期L … … 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃
18 29

周期関数でない場合は？周期L … … L →大 … … 2026年度秋学期画像情報処理
／関西大学総合情報学部浅野晃 18 29

周期関数でない場合は？周期L … … L →大 … … L →∞
2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 18 29

周期関数でない場合は？周期L … … L →大 … … L →∞
非周期関数は周期が無限大と考える 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 18 29

周期 L が大きくなっていくと間隔1/L フーリエ係数 … 0 1/L 2/L 3/L
4/L 周波数（1/波長） 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 19 29

周期 L が大きくなっていくと間隔1/L フーリエ係数間隔1/L は周波数の差 … 0 1/L
2/L 3/L 4/L これをΔν で表す周波数（1/波長） 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 19 29

周期 L が大きくなっていくと間隔1/L = Δν フーリエ係数間隔1/L は周波数の差 …
0 1/L 2/L 3/L 4/L これをΔν で表す周波数（1/波長） 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 19 29

0 1/L 2/L 3/L 4/L これをΔν で表す周波数（1/波長） L →大 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 19 29

0 1/L 2/L 3/L 4/L これをΔν で表す周波数（1/波長） L →大 1/L = Δν→小 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 19 29

0 1/L 2/L 3/L Δν 4/L これをΔν で表す周波数（1/波長） L →大 1/L = Δν→小 … 0 1/L 2/L 3/L 4/L 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 19 29

0 1/L 2/L 3/L Δν 4/L これをΔν で表す周波数（1/波長） L →大 1/L = Δν→小 … 0 1/L 2/L 3/L 4/L L→∞ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 19 29

0 1/L 2/L 3/L Δν 4/L これをΔν で表す周波数（1/波長） L →大 1/L = Δν→小 … 0 1/L 2/L 3/L 4/L L→∞ 1/L = Δν→0 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 19 29

0 1/L 2/L 3/L Δν 4/L これをΔν で表す周波数（1/波長） L →大 1/L = Δν→小 … 0 1/L 2/L 3/L 4/L L→∞ 1/L = Δν→0 Δν ? … 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 19 29

0 1/L 2/L 3/L Δν 4/L これをΔν で表す周波数（1/波長） L →大 1/L = Δν→小 … 0 1/L 2/L 3/L 4/L L→∞ 1/L = Δν→0 Δν ? フーリエ係数が隙間なく並ぶ … 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 19 29

0 1/L 2/L 3/L Δν 4/L これをΔν で表す周波数（1/波長） L →大 1/L = Δν→小 … 0 1/L 2/L 3/L 4/L L→∞ 1/L = Δν→0 Δν ? … フーリエ係数が隙間なく並ぶもはや足し算はできない（可算でない）級数ではなく積分で表す 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 19 29

実数は可算無限ではない自然数と実数に一対一対応がつくか？つまり「実数の集合は可算基数をもつか？」 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 20
29

実数は可算無限ではない自然数と実数に一対一対応がつくか？つまり「実数の集合は可算基数をもつか？」いいえ。🙅🙅 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃
20 29

実数は可算無限ではない自然数と実数に一対一対応がつくか？つまり「実数の集合は可算基数をもつか？」いいえ。🙅🙅 実数を1つ，2つ，3つと数えることはできない 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野
晃 20 29

実数は可算無限ではない自然数と実数に一対一対応がつくか？つまり「実数の集合は可算基数をもつか？」いいえ。🙅🙅 実数を1つ，2つ，3つと数えることはできない実数も自然数もその「個数」は無限だが，実数は自然数よりも本質的に大きな無限 2026年度秋学期画像情報処理／
関西大学総合情報学部浅野晃 20 29

カントールの対角線論法仮に，すべての実数を1番，2番，…と番号をつけて並べられるとする 1番 0. 1 2 3 4 5 6
… 2番 0. 8 9 3 1 2 9 … 3番 0. 2 3 0 4 9 0 … ⋮ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 21 29

… 2番 0. 8 9 3 1 2 9 … 3番 0. 2 3 0 4 9 0 … ⋮ 0.190… 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 21 29

… 2番 0. 8 9 3 1 2 9 … 3番 0. 2 3 0 4 9 0 … ⋮ 0.190… 対角線上の数字を並べた実数をつくる 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 21 29

… 2番 0. 8 9 3 1 2 9 … 3番 0. 2 3 0 4 9 0 … ⋮ 0.190… 対角線上の数字を並べた実数をつくる各ケタを1ずつずらす 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 21 29

… 2番 0. 8 9 3 1 2 9 … 3番 0. 2 3 0 4 9 0 … ⋮ 0.190… 対角線上の数字を並べた実数をつくる 0. 各ケタを1ずつずらす 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 21 29

… 2番 0. 8 9 3 1 2 9 … 3番 0. 2 3 0 4 9 0 … ⋮ 0.190… 対角線上の数字を並べた実数をつくる 0.2 各ケタを1ずつずらす 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 21 29

… 2番 0. 8 9 3 1 2 9 … 3番 0. 2 3 0 4 9 0 … ⋮ 0.190… 対角線上の数字を並べた実数をつくる 0.201… 各ケタを1ずつずらす 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 21 29

カントールの対角線論法すべての実数を1番，2番，…と番号をつけて並べた表 1番 0. 1 2 3 4 5 6
… 2番 0. 8 9 3 1 2 9 … 3番 0. 2 3 0 4 9 0 … ⋮ 0. 2 0 1 … 各ケタを 1ずつずらした数 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 22 29

… 2番 0. 8 9 3 1 2 9 … 3番 0. 2 3 0 4 9 0 … ⋮ 0. 2 0 1 … 各ケタを 1ずつずらした数この数字は， 1番の数字とは1ケタめで， 2番の数字とは2ケタめで，… n番の数字とはnケタめで 1だけずれているので，「すべての実数を並べた」表にない ∴矛盾 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 22 29

… 2番 0. 8 9 3 1 2 9 … 3番 0. 2 3 0 4 9 0 … ⋮ 0. 2 0 1 … 各ケタを 1ずつずらした数つまり「実数は可算でない」この数字は， 1番の数字とは1ケタめで， 2番の数字とは2ケタめで，… n番の数字とはnケタめで 1だけずれているので，「すべての実数を並べた」表にない ∴矛盾 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 22 29

級数から積分へ周期 L の周期関数 f(x) は， n f (x)
= an exp i2π x L n=−∞ ∞ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 23 29

= an exp i2π x L n=−∞ L 2 n 1 an = f (x) exp −i2π x dx L −L L ∞ 2 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 23 29

= an exp i2π x L n=−∞ L 2 n 1 an = f (x) exp −i2π x dx L −L L ∞ 2 1/L =Δν と書き換える 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 23 29

= an exp i2π x L n=−∞ L 2 n 1 an = f (x) exp −i2π x dx L −L L ∞ 2 1/L =Δν と書き換える f (x) = ∞ n=−∞ ∆ν L 2 −L 2 f (τ ) exp (−i2πn∆ντ ) dτ exp (i2πn∆νx) 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 23 29

= an exp i2π x L n=−∞ L 2 n 1 an = f (x) exp −i2π x dx L −L L ∞ 2 1/L =Δν と書き換える f (x) = ∞ n=−∞ ∆ν 紛らわしいので別の文字にしただけ L 2 −L 2 f (τ ) exp (−i2πn∆ντ ) dτ exp (i2πn∆νx) 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 23 29

級数から積分へ nΔν はある周波数を表すので，ν であらわす L→∞ のとき Δν→0 このとき f (x)
= ∞ n=−∞ f (x) = ∆ν L ∞ ∞ −∞ −∞ 2 −L 2 f (τ ) exp (−i2πn∆ντ ) dτ f (τ ) exp (−i2πντ ) dτ exp (i2πn∆νx) のなかの総和（Σ）が， exp (i2πνx) dν という積分になる 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 24 29

= ∞ n=−∞ f (x) = ∆ν L ∞ ∞ −∞ −∞ 2 −L 2 f (τ ) exp (−i2πn∆ντ ) dτ f (τ ) exp (−i2πντ ) dτ exp (i2πn∆νx) のなかの総和（Σ）が， exp (i2πνx) dν という積分になる？？？😵😵 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 24 29

積分とは？ f(x) この面積を求めたい 0 a x 2026年度秋学期画像情報処理／
関西大学総合情報学部浅野晃 25 29

積分とは？ f(x) この面積を求めたい a 0 x f(x) 幅が Δx
の長方形で近似 0 Δx 2Δx nΔx x 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 25 29

積分とは？ f(x) この面積を求めたい a 0 x 高さ f(2Δx) f(x)
幅が Δx の長方形で近似 0 Δx 2Δx nΔx x 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 25 29

積分とは？ f(x) この面積を求めたい a 0 x 高さ f(2Δx) 短冊の面積の合計
f(x) 幅が Δx の長方形で近似 n−1 f (k∆x)∆x k=0 0 Δx 2Δx nΔx x 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 25 29

f(x) 幅が Δx の長方形で近似 n−1 f (k∆x)∆x k=0 0 Δx 2Δx nΔx x Δx → 0 区切りを無限に細かく 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 25 29

f(x) 幅が Δx の長方形で近似 n−1 f (k∆x)∆x a f (x)dx k=0 0 Δx 2Δx nΔx x Δx → 0 0 区切りを無限に細かくこれが積分 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 25 29

積分とは？ ★ところで：長方形の面積＝縦×横？ f(x) この面積を求めたい a 0 x 高さ
f(2Δx) 短冊の面積の合計 f(x) 幅が Δx の長方形で近似 n−1 f (k∆x)∆x a f (x)dx k=0 0 Δx 2Δx nΔx x Δx → 0 0 区切りを無限に細かくこれが積分 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 25 29

積分とは？ ★ところで：長方形の面積＝縦×横？長方形の面積は，有限個の f(x) 正方形を敷き詰めたときのこの面積を求めたい a 0
x 正方形の面積の合計（有限加法性）高さ f(2Δx) 正方形の面積は「定義」短冊の面積の合計 f(x) 幅が Δx の長方形で近似 n−1 f (k∆x)∆x a f (x)dx k=0 0 Δx 2Δx nΔx x Δx → 0 0 区切りを無限に細かくこれが積分 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 25 29

= ∞ n=−∞ f (x) = f (k∆x)∆x a f (x)dx ∆ν L ∞ ∞ −∞ n−1 −∞ 2 −L 2 f (τ ) exp (−i2πn∆ντ ) dτ f (τ ) exp (−i2πντ ) dτ exp (i2πn∆νx) のなかの総和（Σ）が， exp (i2πνx) dν という積分になる k=0 Δx → 0 区切りを無限に細かく 0 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 26 29

= ∞ n=−∞ f (x) = f (k∆x)∆x a f (x)dx k=0 Δx → 0 区切りを無限に細かく 0 ∆ν L ∞ ∞ −∞ n−1 −∞ 2 −L 2 f (τ ) exp (−i2πn∆ντ ) dτ f (τ ) exp (−i2πντ ) dτ exp (i2πn∆νx) のなかの総和（Σ）が， exp (i2πνx) dν という積分になる！！！積分では，幅 dν が大事です 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 26 29

フーリエ変換 f (x) = ∞ ∞ −∞ −∞
f (τ ) exp (−i2πντ ) dτ exp (i2πνx) dν 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 27 29

フーリエ変換 f (x) = ∞ ∞ −∞ −∞
F (ν) = ∞ f (τ ) exp (−i2πντ ) dτ exp (i2πνx) dν f (x) exp (−i2πνx) dx と分けて書く −∞ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 27 29

フーリエ変換 f (x) = ∞ ∞ f (τ
) exp (−i2πντ ) dτ exp (i2πνx) dν −∞ −∞ F (ν) = ∞ f (x) exp (−i2πνx) dx ∞ F (ν) exp (i2πxν) dν と分けて書く −∞ f (x) = −∞ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 27 29

フーリエ変換 f (x) = ∞ ∞ f (τ
) exp (−i2πντ ) dτ exp (i2πνx) dν −∞ −∞ F (ν) = ∞ f (x) exp (−i2πνx) dx ∞ F (ν) exp (i2πxν) dν −∞ f (x) = と分けて書くフーリエ変換対という −∞ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 27 29

フーリエ変換 F (ν) = ∞ f (x) exp (−i2πνx)
dx フーリエ変換 ∞ F (ν) exp (i2πxν) dν 逆フーリエ変換 −∞ f (x) = −∞ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 28 29

dx フーリエ変換 −∞ 関数 f(x) にどのような周波数の波がどれだけ含まれているか，「波を切り出す」 f (x) = ∞ F (ν) exp (i2πxν) dν 逆フーリエ変換 −∞ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 28 29

dx フーリエ変換 −∞ 関数 f(x) にどのような周波数の波がどれだけ含まれているか，「波を切り出す」フーリエ係数の並びだったのが，周波数の間隔がどんどん小さくなって，ついにはひとつの関数 F(ν) になる f (x) = ∞ F (ν) exp (i2πxν) dν 逆フーリエ変換 −∞ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 28 29

dx フーリエ変換 −∞ 関数 f(x) にどのような周波数の波がどれだけ含まれているか，「波を切り出す」フーリエ係数の並びだったのが，周波数の間隔がどんどん小さくなって，ついにはひとつの関数 F(ν) になる f (x) = ∞ F (ν) exp (i2πxν) dν 逆フーリエ変換 −∞ 周波数 ν の波 exp(i2πxν) に，対応するフーリエ係数 F(ν) をかけたものを合計（積分）すると f(x) に戻る 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 28 29

dx フーリエ変換 −∞ 関数 f(x) にどのような周波数の波がどれだけ含まれているか，「波を切り出す」フーリエ係数の並びだったのが，周波数の間隔がどんどん小さくなって，ついにはひとつの関数 F(ν) になる f (x) = ∞ F (ν) exp (i2πxν) dν 逆フーリエ変換 −∞ 「位置」周波数 ν の波 exp(i2πxν) に，対応するフーリエ係数 F(ν) をかけたものを合計（積分）すると f(x) に戻る 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 28 29

dx フーリエ変換 −∞ 「周波数」関数 f(x) にどのような周波数の波がどれだけ含まれているか，「波を切り出す」フーリエ係数の並びだったのが，周波数の間隔がどんどん小さくなって，ついにはひとつの関数 F(ν) になる f (x) = ∞ F (ν) exp (i2πxν) dν 逆フーリエ変換 −∞ 「位置」周波数 ν の波 exp(i2πxν) に，対応するフーリエ係数 F(ν) をかけたものを合計（積分）すると f(x) に戻る 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 28 29

dx フーリエ変換 −∞ 「周波数」関数の表し方［基底］が変わっただけ（先で出てきます） f (x) = 関数 f(x) にどのような周波数の波がどれだけ含まれているか，「波を切り出す」フーリエ係数の並びだったのが，周波数の間隔がどんどん小さくなって，ついにはひとつの関数 F(ν) になる ∞ F (ν) exp (i2πxν) dν 逆フーリエ変換 −∞ 「位置」周波数 ν の波 exp(i2πxν) に，対応するフーリエ係数 F(ν) をかけたものを合計（積分）すると f(x) に戻る 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 28 29

2次元の場合は１次元のフーリエ変換 F (ν) = ∞ f (x) exp
(−i2πνx) dx −∞ ２次元のフーリエ変換 F (νx , νy ) = ∞ f (x, y) exp{−i2π(νx x + νy y)}dxdy −∞ この式は，x, y それぞれに１次元のフーリエ変換をしたことになっている F (νx , νy ) = ∞ ∞ −∞ f (x, y) exp(−i2πνx x)dx exp(−i2πνy y)dy −∞ 注： exp(a + b) = exp(a) exp(b) たし算かけ算この性質を［分離可能(separable)］であるという（あとで出てきます） 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 29 29

2026年度秋学期 画像情報処理 第1部・画像のサンプリングと周波数 ／ 第3回 フーリエ級数...

2026年度秋学期 画像情報処理 第1部・画像のサンプリングと周波数 ／ 第3回 フーリエ級数とフーリエ変換

Video

More Decks by Akira Asano

Other Decks in Education

Featured

Transcript

2026年度秋学期　画像情報処理　第1部・画像のサンプリングと周波数／第3回　フーリエ級数...

2026年度秋学期　画像情報処理　第1部・画像のサンプリングと周波数／第3回　フーリエ級数とフーリエ変換