A Study of Critical Snarks

Snarks are cubic graphs that do not admit a 3-edge-colouring and that are regarded to be the minimal cubic graphs without this property. Snarks have been studied by many researchers throughout the history, since many famous open problems are known to have their potential counter-examples residing in this family of graphs. In this paper we present relations between several classes of critical snarks. It follows from one of such relations that no hypohamiltonian snark is a counter-example to Tutte's 5-flow Conjecture, thus giving a positive answer to a question proposed by Cavicchioli et al. in 2003.

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1. Introdu¸ c˜ ao Motiva¸ c˜ ao Resultados Considera¸ c˜ oes finais A Study of Critical Snarks Breno L. Freitas Cˆ andida N. Silva Cl´ audio L. Lucchesi CTIC 2015 Breno L. Freitas, Cˆ andida N. Silva, Cl´ audio L. Lucchesi A Study of Critical Snarks
2. Introdu¸ c˜ ao Motiva¸ c˜ ao Resultados Considera¸ c˜ oes finais Hist´ orico Snarks k-fluxo Conjectura de Tutte e outros teoremas Defini¸ c˜ oes Hist´ orico Teorema das 4 cores Todo grafo planar sem arestas de corte admite uma 4-colora¸ c˜ ao de suas faces. Em 1880, Tait acreditou ter provado o Teorema das 4 cores por ter mostrado que era equivalente a afirmar que todo grafo planar c´ ubico tem 3-colora¸ c˜ ao de arestas, acreditando que todos planares c´ ubicos eram hamiltonianos. Breno L. Freitas, Cˆ andida N. Silva, Cl´ audio L. Lucchesi A Study of Critical Snarks
3. Introdu¸ c˜ ao Motiva¸ c˜ ao Resultados Considera¸ c˜ oes finais Hist´ orico Snarks k-fluxo Conjectura de Tutte e outros teoremas Defini¸ c˜ oes Hist´ orico A partir destas observa¸ c˜ oes Tutte apresentou um contra exemplo para a conjectura de Tait. Com isso come¸ cou o estudo de uma classe interessante de grafos: os snarks. Breno L. Freitas, Cˆ andida N. Silva, Cl´ audio L. Lucchesi A Study of Critical Snarks
4. Introdu¸ c˜ ao Motiva¸ c˜ ao Resultados Considera¸ c˜ oes finais Hist´ orico Snarks k-fluxo Conjectura de Tutte e outros teoremas Defini¸ c˜ oes Snarks Um snark ´ e um grafo c´ ubico, sem arestas de corte e sem 3-colora¸ c˜ ao de arestas. Nenhum snark ´ e hamiltoniano. Snarks s˜ ao usualmente restritos a terem cintura no m´ ınimo 5, serem conexos e ciclicamente 4-aresta-conexos. Snarks podem ser vistos como grafos c´ ubicos minimais sem 3-colora¸ c˜ ao de arestas. Breno L. Freitas, Cˆ andida N. Silva, Cl´ audio L. Lucchesi A Study of Critical Snarks
5. Introdu¸ c˜ ao Motiva¸ c˜ ao Resultados Considera¸ c˜ oes finais Hist´ orico Snarks k-fluxo Conjectura de Tutte e outros teoremas Defini¸ c˜ oes Snarks Um snark ´ e um grafo c´ ubico, sem arestas de corte e sem 3-colora¸ c˜ ao de arestas. Nenhum snark ´ e hamiltoniano. Snarks s˜ ao usualmente restritos a terem cintura no m´ ınimo 5, serem conexos e ciclicamente 4-aresta-conexos. Snarks podem ser vistos como grafos c´ ubicos minimais sem 3-colora¸ c˜ ao de arestas. Grafo de Petersen foi o primeiro snark descoberto (1898). O nome referencia o poema de Lewis Carroll The Hunting of the Snark onde o Snark era uma criatura muito rara e tamb´ em desconhecida. Breno L. Freitas, Cˆ andida N. Silva, Cl´ audio L. Lucchesi A Study of Critical Snarks
6. Introdu¸ c˜ ao Motiva¸ c˜ ao Resultados Considera¸ c˜ oes finais Hist´ orico Snarks k-fluxo Conjectura de Tutte e outros teoremas Defini¸ c˜ oes k-fluxo ´ E um par (D, ϕ). D ´ e um direcionamento das arestas de um grafo G. ϕ ´ e uma atribui¸ c˜ ao de pesos em {1, · · · , k − 1} para as arestas. Breno L. Freitas, Cˆ andida N. Silva, Cl´ audio L. Lucchesi A Study of Critical Snarks
7. Introdu¸ c˜ ao Motiva¸ c˜ ao Resultados Considera¸ c˜ oes finais Hist´ orico Snarks k-fluxo Conjectura de Tutte e outros teoremas Defini¸ c˜ oes k-fluxo ´ E um par (D, ϕ). D ´ e um direcionamento das arestas de um grafo G. ϕ ´ e uma atribui¸ c˜ ao de pesos em {1, · · · , k − 1} para as arestas. O fluxo l´ ıquido de um v´ ertice v ´ e a soma de todas as arestas entrando menos as que saem de v. O fluxo l´ ıquido de todos os v´ ertices do grafo G deve ser zero. Breno L. Freitas, Cˆ andida N. Silva, Cl´ audio L. Lucchesi A Study of Critical Snarks
8. Introdu¸ c˜ ao Motiva¸ c˜ ao Resultados Considera¸ c˜ oes finais Hist´ orico Snarks k-fluxo Conjectura de Tutte e outros teoremas Defini¸ c˜ oes Conjecturas de Tutte e outros teoremas Conjectura dos 5-fluxos (Tutte, 1954) Todo grafo 2-aresta-conexo admite um 5-fluxo. Teorema dos 6-fluxos (Seymour, 1981) Todo grafo 2-aresta-conexo admite um 6-fluxo. Breno L. Freitas, Cˆ andida N. Silva, Cl´ audio L. Lucchesi A Study of Critical Snarks
9. Introdu¸ c˜ ao Motiva¸ c˜ ao Resultados Considera¸ c˜ oes finais Hist´ orico Snarks k-fluxo Conjectura de Tutte e outros teoremas Defini¸ c˜ oes Conjecturas de Tutte e outros teoremas Conjectura dos 5-fluxos (Tutte, 1954) Todo grafo 2-aresta-conexo admite um 5-fluxo. Teorema dos 6-fluxos (Seymour, 1981) Todo grafo 2-aresta-conexo admite um 6-fluxo. Teorema de Tutte Todo grafo c´ ubico admite um 4-fluxo se e somente se admite uma 3-colora¸ c˜ ao de arestas. Breno L. Freitas, Cˆ andida N. Silva, Cl´ audio L. Lucchesi A Study of Critical Snarks
10. Introdu¸ c˜ ao Motiva¸ c˜ ao Resultados Considera¸ c˜ oes finais Hist´ orico Snarks k-fluxo Conjectura de Tutte e outros teoremas Defini¸ c˜ oes Importˆ ancia dos Snarks A importˆ ancia dos snarks vem em parte de que provar certas conjecturas para estes grafos ´ e suficiente. Jaeger, 1988: Se existe um contra-exemplo para a Conjectura dos 5-fluxos de Tutte, este deve ser um snark. Breno L. Freitas, Cˆ andida N. Silva, Cl´ audio L. Lucchesi A Study of Critical Snarks
11. Introdu¸ c˜ ao Motiva¸ c˜ ao Resultados Considera¸ c˜ oes finais Hist´ orico Snarks k-fluxo Conjectura de Tutte e outros teoremas Defini¸ c˜ oes Nota¸ c˜ ao G/e ´ e o grafo G ap´ os a contra¸ c˜ ao da aresta e. G \ e ´ e o grafo G ap´ os a remo¸ c˜ ao da aresta e. Breno L. Freitas, Cˆ andida N. Silva, Cl´ audio L. Lucchesi A Study of Critical Snarks
12. Introdu¸ c˜ ao Motiva¸ c˜ ao Resultados Considera¸ c˜ oes finais Hist´ orico Snarks k-fluxo Conjectura de Tutte e outros teoremas Defini¸ c˜ oes Grafos k-fluxo-cr´ ıticos Silva e Lucchesi, 2008: G n˜ ao admite k-fluxo. G/e, e ∈ E(G) admite k-fluxo. G \ e, e ∈ E(G) adimite k-fluxo. Breno L. Freitas, Cˆ andida N. Silva, Cl´ audio L. Lucchesi A Study of Critical Snarks
13. Introdu¸ c˜ ao Motiva¸ c˜ ao Resultados Considera¸ c˜ oes finais Hist´ orico Snarks k-fluxo Conjectura de Tutte e outros teoremas Defini¸ c˜ oes Grafos k-fluxo-cr´ ıticos admitem (k+1)-fluxo Teorema (Jaeger, 1988) Todo grafo c´ ubico 3-aresta-conexo G, tal que G \ e admite 4-fluxo, admite um 5-fluxo. Teorema (Silva e Lucchesi, 2008) Todo grafo 2-aresta-conexo G, tal que G \ e admite k-fluxo, admite um (k + 1)-fluxo. Breno L. Freitas, Cˆ andida N. Silva, Cl´ audio L. Lucchesi A Study of Critical Snarks
14. Introdu¸ c˜ ao Motiva¸ c˜ ao Resultados Considera¸ c˜ oes finais Hist´ orico Snarks k-fluxo Conjectura de Tutte e outros teoremas Defini¸ c˜ oes Grafo c´ ubico subjacente O grafo c´ ubico subjacente Ge de um snark G, para uma aresta e := (u, v) de G, ´ e o grafo obtido de G \ e ap´ os a contra¸ c˜ ao de uma das arestas incidentes a v e u. Ge admite um 4-fluxo se e somente se G \ e admite um 4-fluxo. Breno L. Freitas, Cˆ andida N. Silva, Cl´ audio L. Lucchesi A Study of Critical Snarks
15. Introdu¸ c˜ ao Motiva¸ c˜ ao Resultados Considera¸ c˜ oes finais Hist´ orico Snarks k-fluxo Conjectura de Tutte e outros teoremas Defini¸ c˜ oes Grafo c´ ubico subjacente O grafo c´ ubico subjacente Ge de um snark G, para uma aresta e := (u, v) de G, ´ e o grafo obtido de G \ e ap´ os a contra¸ c˜ ao de uma das arestas incidentes a v e u. Ge admite um 4-fluxo se e somente se G \ e admite um 4-fluxo. Breno L. Freitas, Cˆ andida N. Silva, Cl´ audio L. Lucchesi A Study of Critical Snarks
16. Introdu¸ c˜ ao Motiva¸ c˜ ao Resultados Considera¸ c˜ oes finais Hist´ orico Snarks k-fluxo Conjectura de Tutte e outros teoremas Defini¸ c˜ oes Grafo c´ ubico subjacente O grafo c´ ubico subjacente Ge de um snark G, para uma aresta e := (u, v) de G, ´ e o grafo obtido de G \ e ap´ os a contra¸ c˜ ao de uma das arestas incidentes a v e u. Ge admite um 4-fluxo se e somente se G \ e admite um 4-fluxo. Breno L. Freitas, Cˆ andida N. Silva, Cl´ audio L. Lucchesi A Study of Critical Snarks
17. Introdu¸ c˜ ao Motiva¸ c˜ ao Resultados Considera¸ c˜ oes finais Hist´ orico Snarks k-fluxo Conjectura de Tutte e outros teoremas Defini¸ c˜ oes Grafo c´ ubico subjacente O grafo c´ ubico subjacente Ge de um snark G, para uma aresta e := (u, v) de G, ´ e o grafo obtido de G \ e ap´ os a contra¸ c˜ ao de uma das arestas incidentes a v e u. Ge admite um 4-fluxo se e somente se G \ e admite um 4-fluxo. 1 3 2 3 1 3 1 1 2 2 2 1 Breno L. Freitas, Cˆ andida N. Silva, Cl´ audio L. Lucchesi A Study of Critical Snarks
18. Introdu¸ c˜ ao Motiva¸ c˜ ao Resultados Considera¸ c˜ oes finais Hist´ orico Snarks k-fluxo Conjectura de Tutte e outros teoremas Defini¸ c˜ oes Grafo c´ ubico subjacente O grafo c´ ubico subjacente Ge de um snark G, para uma aresta e := (u, v) de G, ´ e o grafo obtido de G \ e ap´ os a contra¸ c˜ ao de uma das arestas incidentes a v e u. Ge admite um 4-fluxo se e somente se G \ e admite um 4-fluxo. 1 2 1 3 2 3 1 3 1 2 1 1 2 2 Breno L. Freitas, Cˆ andida N. Silva, Cl´ audio L. Lucchesi A Study of Critical Snarks
19. Introdu¸ c˜ ao Motiva¸ c˜ ao Resultados Considera¸ c˜ oes finais Panorama Grafos hipohamiltonianos Classes de criticalidade Motiva¸ c˜ ao Teorema (Da Silva, Pesci e Lucchesi, 2013) Todo snark G tem um snark 4-fluxo-cr´ ıtico H como minor H tem 5-fluxo. Podemos estender o fluxo de H para G? Poderia ser mais f´ acil se houvesse alguma estrutura pr´ oxima de um grafo hamiltoniano? Objetivo do trabalho Tentar estender o 5-fluxo do minor para o grafo original, contribuindo com a Conjectura dos 5-fluxos de Tutte. Breno L. Freitas, Cˆ andida N. Silva, Cl´ audio L. Lucchesi A Study of Critical Snarks
20. Introdu¸ c˜ ao Motiva¸ c˜ ao Resultados Considera¸ c˜ oes finais Panorama Grafos hipohamiltonianos Classes de criticalidade Grafos hipohamiltonianos G n˜ ao ´ e hamiltoniano. G \ v ´ e hamiltoniano para todo v´ ertice v. V´ arios snarks conhecidos s˜ ao hipohamiltonianos. Breno L. Freitas, Cˆ andida N. Silva, Cl´ audio L. Lucchesi A Study of Critical Snarks
21. Introdu¸ c˜ ao Motiva¸ c˜ ao Resultados Considera¸ c˜ oes finais Panorama Grafos hipohamiltonianos Classes de criticalidade Outras classes de criticalidade Um snark ´ e 2-v´ ertice-cr´ ıtico se a remo¸ c˜ ao de dois v´ ertices adjacentes induz um grafo com 3-colora¸ c˜ ao de arestas. Um snark ´ e 2-v´ ertice-cocr´ ıtico se a remo¸ c˜ ao de dois v´ ertices n˜ ao adjacentes induz um grafo com 3-colora¸ c˜ ao de arestas. Um snark ´ e bicr´ ıtico se ´ e 2-v´ ertice-cr´ ıtico e 2-v´ ertice-cocr´ ıtico ao mesmo tempo. Breno L. Freitas, Cˆ andida N. Silva, Cl´ audio L. Lucchesi A Study of Critical Snarks
22. Introdu¸ c˜ ao Motiva¸ c˜ ao Resultados Considera¸ c˜ oes finais Panorama Grafos hipohamiltonianos Classes de criticalidade Outras classes de criticalidade A resistˆ encia de um grafo c´ ubico G, ρ(G), ´ e o n´ umero m´ ınimo de arestas que devem ser removidas para se obter um grafo 3-aresta-color´ ıvel. A imparidade de um grafo G, ω(G), ´ e o n´ umero m´ ınimo de ciclos ´ ımpares em qualquer 2-fator de G. Breno L. Freitas, Cˆ andida N. Silva, Cl´ audio L. Lucchesi A Study of Critical Snarks
23. Introdu¸ c˜ ao Motiva¸ c˜ ao Resultados Considera¸ c˜ oes finais Panorama Grafos hipohamiltonianos Classes de criticalidade Outras classes de criticalidade A resistˆ encia de um grafo c´ ubico G, ρ(G), ´ e o n´ umero m´ ınimo de arestas que devem ser removidas para se obter um grafo 3-aresta-color´ ıvel. A imparidade de um grafo G, ω(G), ´ e o n´ umero m´ ınimo de ciclos ´ ımpares em qualquer 2-fator de G. Teorema de Steffen Um grafo c´ ubico G tem imparidade dois se e somente se G tem resistˆ encia dois. Proposi¸ c˜ ao Um grafo c´ ubico G tem 3-colora¸ c˜ ao de arestas se e somente se tem imparidade zero. Breno L. Freitas, Cˆ andida N. Silva, Cl´ audio L. Lucchesi A Study of Critical Snarks
24. Introdu¸ c˜ ao Motiva¸ c˜ ao Resultados Considera¸ c˜ oes finais Panorama Grafos hipohamiltonianos Classes de criticalidade A Survey on Critical Snarks Cavicchioli, Murgolo, Ruini and Spaggiari, 2003 Quest˜ ao 6.1: Podemos dizer que todo snark hipohamiltoniano satisfaz a Conjectura dos 5-fluxos de Tutte? Snarks cr´ ıticos at´ e 28 v´ ertices: ordem 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 snarks 1 0 0 0 2 6 20 38 280 2900 snarks 2-v´ ertice-cr´ ıticos 1 0 0 0 2 1 2 0 111 33 snarks 2-v´ ertice-cocr´ ıticos 1 0 0 0 2 1 2 2 113 35 snarks bicr´ ıticos 1 0 0 0 2 1 2 0 111 33 snarks hipohamiltonianos 1 0 0 0 2 1 2 0 95 31 Breno L. Freitas, Cˆ andida N. Silva, Cl´ audio L. Lucchesi A Study of Critical Snarks
25. Introdu¸ c˜ ao Motiva¸ c˜ ao Resultados Considera¸ c˜ oes finais Panorama Grafos hipohamiltonianos Classes de criticalidade Snarks 4-fluxo-cr´ ıticos Silva, Pesci and Lucchesi, 2013: snarks 4-fluxo-cr´ ıticos at´ e 28 v´ ertices: ordem 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 snarks 1 0 0 0 2 6 20 38 280 2900 snarks 4-fluxo-cr´ ıticos 1 0 0 0 2 1 2 0 111 33 snarks 2-v´ ertice-cr´ ıticos 1 0 0 0 2 1 2 0 111 33 snarks 2-v´ ertice-cocr´ ıticos 1 0 0 0 2 1 2 2 113 35 snarks bicr´ ıticos 1 0 0 0 2 1 2 0 111 33 snarks hipohamiltonianos 1 0 0 0 2 1 2 0 95 31 Breno L. Freitas, Cˆ andida N. Silva, Cl´ audio L. Lucchesi A Study of Critical Snarks
26. Introdu¸ c˜ ao Motiva¸ c˜ ao Resultados Considera¸ c˜ oes finais Todo snark hipohamiltoniano tem 5-fluxo Um snark G ´ e 4-fluxo-cr´ ıtico se e somente se ´ e 2-v´ ertice-cr´ ıtico Todo snark 4-fluxo-cr´ ıtico G tem imparidade 2 Resultados Teorema Todo snark hipohamiltoniano tem 5-fluxo Rascunho da prova: G \ v ´ e hamiltoniano para qualquer v. Portanto, Ge tamb´ em ´ e hamiltoniano. Ge tem 3-colora¸ c˜ ao de arestas, e portanto, 4-fluxo. Segue que G \ v admite 4-fluxo, e portanto, G admite um 5-fluxo. Breno L. Freitas, Cˆ andida N. Silva, Cl´ audio L. Lucchesi A Study of Critical Snarks
27. Introdu¸ c˜ ao Motiva¸ c˜ ao Resultados Considera¸ c˜ oes finais Todo snark hipohamiltoniano tem 5-fluxo Um snark G ´ e 4-fluxo-cr´ ıtico se e somente se ´ e 2-v´ ertice-cr´ ıtico Todo snark 4-fluxo-cr´ ıtico G tem imparidade 2 Resultados Teorema Um snark G ´ e 4-fluxo-cr´ ıtico se e somente se ´ e 2-v´ ertice-cr´ ıtico Rascunho da prova (⇒): O que queremos mostrar Que ´ e poss´ ıvel obter uma 3-colora¸ c˜ ao para G \ {u, v} a partir de uma 3-colara¸ c˜ ao de Ge. Breno L. Freitas, Cˆ andida N. Silva, Cl´ audio L. Lucchesi A Study of Critical Snarks
28. Introdu¸ c˜ ao Motiva¸ c˜ ao Resultados Considera¸ c˜ oes finais Todo snark hipohamiltoniano tem 5-fluxo Um snark G ´ e 4-fluxo-cr´ ıtico se e somente se ´ e 2-v´ ertice-cr´ ıtico Todo snark 4-fluxo-cr´ ıtico G tem imparidade 2 Resultados Rascunho da prova (⇒): v u v1 v2 u1 u2 G v1 v2 u1 u2 Ge Ge tem 3-colora¸ c˜ ao de arestas. Ge ´ e supergrafo de G \ {v, u}. Logo G \ {v, u} tem 3-colora¸ c˜ ao de arestas. Breno L. Freitas, Cˆ andida N. Silva, Cl´ audio L. Lucchesi A Study of Critical Snarks
29. Introdu¸ c˜ ao Motiva¸ c˜ ao Resultados Considera¸ c˜ oes finais Todo snark hipohamiltoniano tem 5-fluxo Um snark G ´ e 4-fluxo-cr´ ıtico se e somente se ´ e 2-v´ ertice-cr´ ıtico Todo snark 4-fluxo-cr´ ıtico G tem imparidade 2 Resultados Rascunho da prova (⇐): O que queremos mostrar Que ´ e poss´ ıvel obter uma 3-colora¸ c˜ ao para Ge a partir de uma 3-colora¸ c˜ ao de G \ {v, u}. Breno L. Freitas, Cˆ andida N. Silva, Cl´ audio L. Lucchesi A Study of Critical Snarks
30. Introdu¸ c˜ ao Motiva¸ c˜ ao Resultados Considera¸ c˜ oes finais Todo snark hipohamiltoniano tem 5-fluxo Um snark G ´ e 4-fluxo-cr´ ıtico se e somente se ´ e 2-v´ ertice-cr´ ıtico Todo snark 4-fluxo-cr´ ıtico G tem imparidade 2 Resultados Rascunho da prova (⇐): O que queremos mostrar Que ´ e poss´ ıvel obter uma 3-colora¸ c˜ ao para Ge a partir de uma 3-colora¸ c˜ ao de G \ {v, u}. G \ {v, u} tem 3-colora¸ c˜ ao de arestas. Seja Mi as arestas com cor i em uma 3-colora¸ c˜ ao de G. Mi cobre um n´ umero par de v´ ertices. Existem 4 v´ ertices (u1, u2, v1, v2) de grau 2 que n˜ ao possuem uma cor incidente. Breno L. Freitas, Cˆ andida N. Silva, Cl´ audio L. Lucchesi A Study of Critical Snarks
31. Introdu¸ c˜ ao Motiva¸ c˜ ao Resultados Considera¸ c˜ oes finais Todo snark hipohamiltoniano tem 5-fluxo Um snark G ´ e 4-fluxo-cr´ ıtico se e somente se ´ e 2-v´ ertice-cr´ ıtico Todo snark 4-fluxo-cr´ ıtico G tem imparidade 2 Resultados Rascunho da prova (⇐): v1 v2 u1 u2 G \ {u, v} v1 v2 u1 u2 Ge Nos casos em que os pares {u1, u2} e {v1, v2} n˜ ao s˜ ao cobertos por alguma cor em comum, podemos atribuir a (u1, u2) e (v1, v2) tal cor. Isto induz uma 3-colora¸ c˜ ao de Ge. Breno L. Freitas, Cˆ andida N. Silva, Cl´ audio L. Lucchesi A Study of Critical Snarks
32. Introdu¸ c˜ ao Motiva¸ c˜ ao Resultados Considera¸ c˜ oes finais Todo snark hipohamiltoniano tem 5-fluxo Um snark G ´ e 4-fluxo-cr´ ıtico se e somente se ´ e 2-v´ ertice-cr´ ıtico Todo snark 4-fluxo-cr´ ıtico G tem imparidade 2 Resultados Rascunho da prova (⇐): v1 v2 u1 u2 G \ {u, v} v u v1 v2 u1 u2 G No caso em que os pares {u1, u2} e {v1, v2} n˜ ao possuem uma cor em comum faltante, podemos estender a 3-colora¸ c˜ ao para G, uma contradi¸ c˜ ao. Breno L. Freitas, Cˆ andida N. Silva, Cl´ audio L. Lucchesi A Study of Critical Snarks
33. Introdu¸ c˜ ao Motiva¸ c˜ ao Resultados Considera¸ c˜ oes finais Todo snark hipohamiltoniano tem 5-fluxo Um snark G ´ e 4-fluxo-cr´ ıtico se e somente se ´ e 2-v´ ertice-cr´ ıtico Todo snark 4-fluxo-cr´ ıtico G tem imparidade 2 Resultados Proposi¸ c˜ ao Todo snark 4-fluxo-cr´ ıtico G tem imparidade 2 Rascunho da prova: Ge tem 3-colora¸ c˜ ao de arestas. Seja Me um emparelhamento perfeito de Ge. M := Me ∪ {e} ´ e um emparelhamento perfeito de G. Breno L. Freitas, Cˆ andida N. Silva, Cl´ audio L. Lucchesi A Study of Critical Snarks
34. Introdu¸ c˜ ao Motiva¸ c˜ ao Resultados Considera¸ c˜ oes finais Todo snark hipohamiltoniano tem 5-fluxo Um snark G ´ e 4-fluxo-cr´ ıtico se e somente se ´ e 2-v´ ertice-cr´ ıtico Todo snark 4-fluxo-cr´ ıtico G tem imparidade 2 Resultados Proposi¸ c˜ ao Todo snark 4-fluxo-cr´ ıtico G tem imparidade 2 Rascunho da prova: Ge tem 3-colora¸ c˜ ao de arestas. Seja Me um emparelhamento perfeito de Ge. M := Me ∪ {e} ´ e um emparelhamento perfeito de G. G \ M pode ser obtido por uma subdivis˜ ao de duas arestas em Ge \ Me. Se ambas estiverem no mesmo ciclo em Ge \ Me, ent˜ ao G teria imparidade zero, uma contradi¸ c˜ ao. Breno L. Freitas, Cˆ andida N. Silva, Cl´ audio L. Lucchesi A Study of Critical Snarks
35. Introdu¸ c˜ ao Motiva¸ c˜ ao Resultados Considera¸ c˜ oes finais Todo snark hipohamiltoniano tem 5-fluxo Um snark G ´ e 4-fluxo-cr´ ıtico se e somente se ´ e 2-v´ ertice-cr´ ıtico Todo snark 4-fluxo-cr´ ıtico G tem imparidade 2 Resultados A rec´ ıproca ´ e falsa (um snark n˜ ao 4-fluxo-cr´ ıtico): u2 v2 u1 v1 Breno L. Freitas, Cˆ andida N. Silva, Cl´ audio L. Lucchesi A Study of Critical Snarks
36. Introdu¸ c˜ ao Motiva¸ c˜ ao Resultados Considera¸ c˜ oes finais Considera¸ c˜ oes finais Existem maneiras de se estender o 5-fluxo do minor para o grafo original. Rela¸ c˜ oes de equivalˆ encia ajudam na compreens˜ ao da estrutura do problema. Ser´ a poss´ ıvel estender de outro modo o 5-fluxo do minor? ´ E poss´ ıvel utilizar este conhecimento para a solu¸ c˜ ao de outras conjecturas? Breno L. Freitas, Cˆ andida N. Silva, Cl´ audio L. Lucchesi A Study of Critical Snarks
37. Introdu¸ c˜ ao Motiva¸ c˜ ao Resultados Considera¸ c˜ oes finais Considera¸ c˜ oes finais Existem maneiras de se estender o 5-fluxo do minor para o grafo original. Rela¸ c˜ oes de equivalˆ encia ajudam na compreens˜ ao da estrutura do problema. Ser´ a poss´ ıvel estender de outro modo o 5-fluxo do minor? ´ E poss´ ıvel utilizar este conhecimento para a solu¸ c˜ ao de outras conjecturas? Projetos de pesquisa contam com incertezas. ´ E dif´ ıcil mensurar o tempo para realiza¸ c˜ ao de projetos te´ oricos. Grande parte deste trabalho foi publicado na forma de um artigo com o t´ ıtulo Hypohamiltonian Snarks Have a 5-flow no VIII Latin-American Algorithms, Graphs and Optimization Symposium. Breno L. Freitas, Cˆ andida N. Silva, Cl´ audio L. Lucchesi A Study of Critical Snarks
38. Introdu¸ c˜ ao Motiva¸ c˜ ao Resultados Considera¸ c˜ oes finais Obrigado! Breno L. Freitas, Cˆ andida N. Silva, Cl´ audio L. Lucchesi A Study of Critical Snarks