arestas de corte admite uma 4-colora¸ c˜ ao de suas faces. Em 1880, Tait acreditou ter provado o Teorema das 4 cores por ter provado sua equivalˆ encia com: Todo grafo planar c´ ubico e 3-aresta-conexo tem 3-colora¸ c˜ ao de arestas. Breno L. Freitas Snarks Fluxo-cr´ ıticos
3-aresta-conexo era hamiltoniano e assim ter provado o Teorema das 4 Cores. Contra-exemplo: Grafo de Tutte: c´ ubico planar 3-conexo e n˜ ao-hamiltoniano Breno L. Freitas Snarks Fluxo-cr´ ıticos
uma classe interessante de grafos: os snarks. Um snark ´ e um grafo c´ ubico, sem arestas de corte e sem 3-colora¸ c˜ ao de arestas. Breno L. Freitas Snarks Fluxo-cr´ ıticos
uma classe interessante de grafos: os snarks. Um snark ´ e um grafo c´ ubico, sem arestas de corte e sem 3-colora¸ c˜ ao de arestas. Para evitar casos triviais, os snarks s˜ ao usualmente restritos a terem cintura no m´ ınimo 5, serem conexos e ciclicamente 4-aresta-conexos (A. Cavicchioli et al., 1998). Breno L. Freitas Snarks Fluxo-cr´ ıticos
uma classe interessante de grafos: os snarks. Um snark ´ e um grafo c´ ubico, sem arestas de corte e sem 3-colora¸ c˜ ao de arestas. Para evitar casos triviais, os snarks s˜ ao usualmente restritos a terem cintura no m´ ınimo 5, serem conexos e ciclicamente 4-aresta-conexos (A. Cavicchioli et al., 1998). Grafo de Petersen foi o primeiro snark descoberto: Breno L. Freitas Snarks Fluxo-cr´ ıticos
de Lewis Carroll A Ca¸ cada do Snark. Na obra, o Snark era uma criatura muito rara e tamb´ em desconhecida, da´ ı o nome para tais grafos: a grande dificuldade de encontr´ a-los. Breno L. Freitas Snarks Fluxo-cr´ ıticos
de Lewis Carroll A Ca¸ cada do Snark. Na obra, o Snark era uma criatura muito rara e tamb´ em desconhecida, da´ ı o nome para tais grafos: a grande dificuldade de encontr´ a-los. Descobertas: 1898 - Petersen – |V (G)| = 10 1946 - Blanuˇ sa – |V (G)| = 18 1948 - Descartes – |V (G)| = 210 1948 - Szekeres – |V (G)| = 50 1973 - Watkins – |V (G)| = 50 1975 - Flower-Snarks (Uma fam´ ılia infinita descoberta por Isaacs) Breno L. Freitas Snarks Fluxo-cr´ ıticos
que provar certas conjecturas para estes grafos ´ e suficiente, algumas s˜ ao: Cobertura dupla por ciclos Conjectura dos 5-fluxos de Tutte Breno L. Freitas Snarks Fluxo-cr´ ıticos
sem 3-cortes tem 3-fluxo Todo grafo sem aresta de corte e sem minor de Petersen tem 4-fluxo Todo grafo sem aresta de corte tem 5-fluxo Breno L. Freitas Snarks Fluxo-cr´ ıticos
uma 2-tupla D, ϕ , onde D ´ e um direcionamento das arestas de um grafo G e ϕ := E(G) → {1, · · · , k − 1} uma fun¸ c˜ ao de peso para as arestas de G, tal que o fluxo l´ ıquido ϕ(v) = 0, v ∈ V (G). Breno L. Freitas Snarks Fluxo-cr´ ıticos
uma 2-tupla D, ϕ , onde D ´ e um direcionamento das arestas de um grafo G e ϕ := E(G) → {1, · · · , k − 1} uma fun¸ c˜ ao de peso para as arestas de G, tal que o fluxo l´ ıquido ϕ(v) = 0, v ∈ V (G). ´ Indice crom´ atico O ´ ındice crom´ atico de um grafo G, χ (G) ´ e o n´ umero m´ ınimo de cores necess´ arias para colorir E(G) tal que arestas incidentes em um dado v´ ertice tenham cores distintas. Breno L. Freitas Snarks Fluxo-cr´ ıticos
uma 2-tupla D, ϕ , onde D ´ e um direcionamento das arestas de um grafo G e ϕ := E(G) → {1, · · · , k − 1} uma fun¸ c˜ ao de peso para as arestas de G, tal que o fluxo l´ ıquido ϕ(v) = 0, v ∈ V (G). ´ Indice crom´ atico O ´ ındice crom´ atico de um grafo G, χ (G) ´ e o n´ umero m´ ınimo de cores necess´ arias para colorir E(G) tal que arestas incidentes em um dado v´ ertice tenham cores distintas. Teorema de Tutte Todo grafo c´ ubico tem 3-colora¸ c˜ ao de arestas se e somente se tem 4-fluxo. Breno L. Freitas Snarks Fluxo-cr´ ıticos
G ´ e dito k-fluxo-cr´ ıtico, se G n˜ ao admite k-fluxo, mas G \ e, e ∈ E(G) admite. Al´ em, se G ´ e k-fluxo-cr´ ıtico, ent˜ ao G − e, e ∈ E(G) adimite k-fluxo. Breno L. Freitas Snarks Fluxo-cr´ ıticos
G ´ e dito k-fluxo-cr´ ıtico, se G n˜ ao admite k-fluxo, mas G \ e, e ∈ E(G) admite. Al´ em, se G ´ e k-fluxo-cr´ ıtico, ent˜ ao G − e, e ∈ E(G) adimite k-fluxo. Todo contra-exemplo m´ ınimo para a conjectura dos 5-fluxos ´ e um snark n˜ ao-4-fluxo-cr´ ıtico. Breno L. Freitas Snarks Fluxo-cr´ ıticos
G ´ e dito k-fluxo-cr´ ıtico, se G n˜ ao admite k-fluxo, mas G \ e, e ∈ E(G) admite. Al´ em, se G ´ e k-fluxo-cr´ ıtico, ent˜ ao G − e, e ∈ E(G) adimite k-fluxo. Todo contra-exemplo m´ ınimo para a conjectura dos 5-fluxos ´ e um snark n˜ ao-4-fluxo-cr´ ıtico. Al´ em: com cintura no m´ ınimo 11 e ciclicamente 6-aresta conexo. (Kochol, 2010) Breno L. Freitas Snarks Fluxo-cr´ ıticos
G ´ e dito k-fluxo-cr´ ıtico, se G n˜ ao admite k-fluxo, mas G \ e, e ∈ E(G) admite. Al´ em, se G ´ e k-fluxo-cr´ ıtico, ent˜ ao G − e, e ∈ E(G) adimite k-fluxo. Todo contra-exemplo m´ ınimo para a conjectura dos 5-fluxos ´ e um snark n˜ ao-4-fluxo-cr´ ıtico. Al´ em: com cintura no m´ ınimo 11 e ciclicamente 6-aresta conexo. (Kochol, 2010) Todo Flower-Snark ´ e 4-fluxo-cr´ ıtico (C. N. da Silva et al., 2012) Breno L. Freitas Snarks Fluxo-cr´ ıticos
G ´ e dito k-fluxo-cr´ ıtico, se G n˜ ao admite k-fluxo, mas G \ e, e ∈ E(G) admite. Al´ em, se G ´ e k-fluxo-cr´ ıtico, ent˜ ao G − e, e ∈ E(G) adimite k-fluxo. Todo contra-exemplo m´ ınimo para a conjectura dos 5-fluxos ´ e um snark n˜ ao-4-fluxo-cr´ ıtico. Al´ em: com cintura no m´ ınimo 11 e ciclicamente 6-aresta conexo. (Kochol, 2010) Todo Flower-Snark ´ e 4-fluxo-cr´ ıtico (C. N. da Silva et al., 2012) Snarks hipohamiltonianos s˜ ao 4-fluxo-cr´ ıticos? Breno L. Freitas Snarks Fluxo-cr´ ıticos
hipohamiltoniano se G n˜ ao ´ e hamiltoniano, mas G − v, v ∈ V (G) ´ e. Grafos bicr´ ıticos Um grafo G ´ e dito bicr´ ıtico se χ (G) = 4, mas χ (G − {v, u}) = 3, {v, u} ∈ V (G). Breno L. Freitas Snarks Fluxo-cr´ ıticos
hipohamiltoniano se G n˜ ao ´ e hamiltoniano, mas G − v, v ∈ V (G) ´ e. Grafos bicr´ ıticos Um grafo G ´ e dito bicr´ ıtico se χ (G) = 4, mas χ (G − {v, u}) = 3, {v, u} ∈ V (G). Teorema de Steffen Todo snark hipohamiltoniano ´ e bicr´ ıtico Breno L. Freitas Snarks Fluxo-cr´ ıticos
dos snarks nomeados mais famosos s˜ ao hipohamiltonianos: Grafo de Petersen Primeiro e segundo Blanuˇ sa Flower-snarks Primeiro e segundo Loupekine Primeiro e segundo Celmins-Swart Double-star Szekeres Breno L. Freitas Snarks Fluxo-cr´ ıticos
4-fluxo-cr´ ıtico? Sim! Defini¸ c˜ oes Sejam S um snark hipohamiltoniano e v e u dois v´ ertices de S adjacentes pela aresta e. Sejam u1 e u2 os v´ ertices adjacentes a u diferentes de v e similarmente v1 e v2 os v´ ertices adjacentes a v diferentes de u. Seja H := S − {v, u}. Breno L. Freitas Snarks Fluxo-cr´ ıticos
claramente possui 3 v´ ertices de grau 2 (um dos quais ´ e u) e ´ e hamiltoniano. Por sua vez em H, temos um caminho hamiltoniano ´ ımpar P, com extremos em u1 e u2. Breno L. Freitas Snarks Fluxo-cr´ ıticos
claramente possui 3 v´ ertices de grau 2 (um dos quais ´ e u) e ´ e hamiltoniano. Por sua vez em H, temos um caminho hamiltoniano ´ ımpar P, com extremos em u1 e u2. Pelo Teorema de Steffen , S ´ e bicr´ ıtico, e a 3-colora¸ c˜ ao ´ e dada 2-colorindo P alternando as cores e colorindo E(H) − E(P) (que formam um emparelhamento) com a terceira cor. Breno L. Freitas Snarks Fluxo-cr´ ıticos
grafo qualquer G. Sabemos que se G ´ e 4-fluxo-cr´ ıtico, ent˜ ao G − e, e ∈ E(G) admite 4-fluxo. Al´ em, sabemos que G − e admite k-fluxo se e somente se (G − e) \ {v1, v2} com {v1, v2} ∈ V (G) admite k-fluxo. Breno L. Freitas Snarks Fluxo-cr´ ıticos
grafo qualquer G. Sabemos que se G ´ e 4-fluxo-cr´ ıtico, ent˜ ao G − e, e ∈ E(G) admite 4-fluxo. Al´ em, sabemos que G − e admite k-fluxo se e somente se (G − e) \ {v1, v2} com {v1, v2} ∈ V (G) admite k-fluxo. Provaremos ent˜ ao, que para qualquer snark hipohamiltoniano a remo¸ c˜ ao de uma aresta implica na obten¸ c˜ ao de um grafo que admite 4-fluxo. Breno L. Freitas Snarks Fluxo-cr´ ıticos
oes Sejam S um snark hipohamiltoniano e v e u dois v´ ertices de S adjacentes pela aresta e. Sejam u1 e u2 os v´ ertices adjacentes a u diferentes de v e similarmente v1 e v2 os v´ ertices adjacentes a v diferentes de u. Sejam G := (S − e) \ {v, u} e H := S − {v, u}. Breno L. Freitas Snarks Fluxo-cr´ ıticos
G ´ e H + u1u2 + v1v2. Sabemos que H tem 3-colara¸ c˜ ao, como vimos anteriormente, pelo Teorema de Steffen : “a 3-colora¸ c˜ ao ´ e dada 2-colorindo P (caminho hamiltoniano ´ ımpar) alternando as cores e colorindo E(H) − E(P) (que formam um emparelhamento) com a terceira cor”. Breno L. Freitas Snarks Fluxo-cr´ ıticos
G ´ e H + u1u2 + v1v2. Sabemos que H tem 3-colara¸ c˜ ao, como vimos anteriormente, pelo Teorema de Steffen : “a 3-colora¸ c˜ ao ´ e dada 2-colorindo P (caminho hamiltoniano ´ ımpar) alternando as cores e colorindo E(H) − E(P) (que formam um emparelhamento) com a terceira cor”. Logo, a 3-colora¸ c˜ ao de G ´ e a mesma de H mais a colora¸ c˜ ao das arestas u1u2 e v1v2. Breno L. Freitas Snarks Fluxo-cr´ ıticos
G ´ e H + u1u2 + v1v2. Sabemos que H tem 3-colara¸ c˜ ao, como vimos anteriormente, pelo Teorema de Steffen : “a 3-colora¸ c˜ ao ´ e dada 2-colorindo P (caminho hamiltoniano ´ ımpar) alternando as cores e colorindo E(H) − E(P) (que formam um emparelhamento) com a terceira cor”. Logo, a 3-colora¸ c˜ ao de G ´ e a mesma de H mais a colora¸ c˜ ao das arestas u1u2 e v1v2. Notemos que u1 e u2 em H tem duas arestas incidentes, uma com a primeira cor de P (por ser ´ ımpar) e a outra com a terceira cor do emparelhamento. Breno L. Freitas Snarks Fluxo-cr´ ıticos
que u1 e u2 s˜ ao extremos de P em H, a aresta u1u2 torna P um ciclo hamiltoniano, logo basta color´ ı-la com a segunda cor de P. Breno L. Freitas Snarks Fluxo-cr´ ıticos
que u1 e u2 s˜ ao extremos de P em H, a aresta u1u2 torna P um ciclo hamiltoniano, logo basta color´ ı-la com a segunda cor de P. A aresta v1v2 por sua vez, ´ e incidente em v´ ertices de grau 2 em H que fazem parte de P. Logo, como tanto v1 quanto v2 tem arestas incidentes das duas cores de P, basta que coloramos esta com a terceira cor, finalizando a 3-colora¸ c˜ ao de G. Breno L. Freitas Snarks Fluxo-cr´ ıticos
que u1 e u2 s˜ ao extremos de P em H, a aresta u1u2 torna P um ciclo hamiltoniano, logo basta color´ ı-la com a segunda cor de P. A aresta v1v2 por sua vez, ´ e incidente em v´ ertices de grau 2 em H que fazem parte de P. Logo, como tanto v1 quanto v2 tem arestas incidentes das duas cores de P, basta que coloramos esta com a terceira cor, finalizando a 3-colora¸ c˜ ao de G. Como G tem 3-colora¸ c˜ ao de arestas, G admite 4-fluxo, logo, S − e tamb´ em admite. Breno L. Freitas Snarks Fluxo-cr´ ıticos
que u1 e u2 s˜ ao extremos de P em H, a aresta u1u2 torna P um ciclo hamiltoniano, logo basta color´ ı-la com a segunda cor de P. A aresta v1v2 por sua vez, ´ e incidente em v´ ertices de grau 2 em H que fazem parte de P. Logo, como tanto v1 quanto v2 tem arestas incidentes das duas cores de P, basta que coloramos esta com a terceira cor, finalizando a 3-colora¸ c˜ ao de G. Como G tem 3-colora¸ c˜ ao de arestas, G admite 4-fluxo, logo, S − e tamb´ em admite. E como, S − e, e ∈ E(S) admite 4-fluxo, e por defini¸ c˜ ao, S n˜ ao admite, todo snark hipohamiltoniano ´ e 4-fluxo-cr´ ıtico. Breno L. Freitas Snarks Fluxo-cr´ ıticos
snark que seja hipohamiltoniano ´ e contra-exemplo para a Conjectura dos 5-fluxos. ´ E poss´ ıvel estender as estat´ ısticas para todas as cintura ≥ 4, por curiosidades estat´ ısticas. Breno L. Freitas Snarks Fluxo-cr´ ıticos
snark que seja hipohamiltoniano ´ e contra-exemplo para a Conjectura dos 5-fluxos. ´ E poss´ ıvel estender as estat´ ısticas para todas as cintura ≥ 4, por curiosidades estat´ ısticas. O estudo mais aprofundado das estruturas de certos snarks, aliado com outras descobertas, pode ajudar a compreender melhor os contra-exemplos m´ ınimos para a Conjectura dos 5-fluxos. Breno L. Freitas Snarks Fluxo-cr´ ıticos
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