Math Cafe vol. 1 - Filtering Bit Sequence by Set Logical Vector

集合論理ベクトルによるビット列のフィルタリング岩淵勇樹

何がしたいの？インスタンス（ビット列）を絞り込むフィルターを作りたい

着想 • ビット列は「0か1」の万能細胞から分化しているという概念 • CSSのクラスの絞り込みが元のアイデア • 正規表現に近いかも

（オブジェクト指向的）クラスとは • オブジェクトの設計図にあたるもの。 • インスタンスという具体的なオブジェクトの元となるもの。 • 抽象データ型。

（オブジェクト指向的）クラスとは Dog 名前: ? 耳: 2つ目: 2つ鼻: 1つ
足: 4本毛の色: ? 鼻の色: ? a dog 名前: ポチ耳: 2つ目: 2つ鼻: 1つ足: 4本毛の色: 金鼻の色: 黒 a dog 名前: ゴン耳: 2つ目: 2つ鼻: 1つ足: 4本毛の色: 茶鼻の色: 茶インスタンス化インスタンス化（「継承」という概念も重要ですが割愛）

class Dog() { (コンストラクタ関数) } var dog1 = new Dog();
var dog2 = new Dog(); （オブジェクト指向的）クラスとはクラス定義インスタンス化インスタンス化

（CSS的）クラスとは HTMLの装飾をする際に用いる、装飾すべきHTML要素を絞り込むための種別クラスなどを指定して絞り込む式のことを「セレクタ」という

（CSS的）クラスとは .hoge .piyo { margin: 10px; color: red; } セレクタ
クラスプロパティ値

（CSS的）クラスとは <html> <head></head> <body> 強調！ 小さい。 小さいけど強調、そして青！ </body> </html> HTML .class-1 { font-weight: bold; } .class-2 { font-size: small; } .class-1.class-2 { color: blue; } CSS 強調！小さい。小さいけど強調！ブラウザ表示

セレクタにも演算がある * すべての要素 E F 子孫 E > F 子要素
E + F 隣接 E ~ F 兄弟 :not 該当しない場合 :first-child 該当する要素が1番目の要素の場合他にもいろいろ

（今回扱う）オレオレクラスとは • クラスは不確定要素を持つビット列 • インスタンスは不確定要素を持たないビット列 • インスタンスは親となるクラスの部分集合 • クラスを乗算する（絞り込む）ことをフィルタリング
と呼ぶ

具体例「偶数」クラス: “***0” インスタンス: “0010”, “1010”, “1100”, … 「8以上の数」
クラス: “1***” インスタンス: “1000”, “1010”, “1111”, … →このような絞り込みを数値的に表したい

具体例「8以上の偶数」クラス: “1**0” インスタンス: “1000”, “1010”, “1110”, …

前提 {φ, θ, ρ, σ}（後述）の4値を扱う論理値集合のベクトルが1つの値今回は4ビットを考える

語彙 V := {φ, θ, ρ, σ} ビットの値は φ =
{}, θ = {0}, ρ = {1}, σ = {0, 1}

加算表 ∪ φ θ ρ σ φ φ θ ρ
σ θ θ θ σ σ ρ ρ σ ρ σ σ σ σ σ σ

乗算表 ∩ φ θ ρ σ φ φ φ φ
σ θ φ θ φ θ ρ φ φ ρ φ σ φ θ φ σ

ベクトルの加算と乗算 W: = (b 0 ,b 1 ,b 2 ,b
3 ) | b i ∈ V x, y ∈ W x + y := (x 0 ∪y 0 , x 1 ∪y 1 , x 2 ∪y 2 , x 3 ∪y 3 ) （これ意図と違うっぽい） x × y := (x 0 ∩x 0 , x 1 ∩x 1 , x 2 ∩x 2 , x 3 ∩x 3 )

計算例 (φ, θ, θ, θ) + (σ, ρ, θ, φ)
= (σ, σ, θ, θ) (θ, σ, σ, ρ) × (θ, ρ, θ, φ) = (θ, ρ, θ, φ)

単位元、零元単位元 Σ = (σ,σ,σ,σ) →オールパスフィルター a + Σ =
Σ a × Σ = a 零元 Φ = (φ, φ, φ, φ) →オールカットフィルター a + Φ = a a × Φ = Φ

フィルタリングインスタンスを抽象化: (θ, θ, θ, θ) + (θ, ρ, θ,
θ) = (θ, σ, θ, θ) オールパスフィルター (σ, σ, σ, θ) × (σ, σ, σ, σ) = (σ, σ, σ, θ)

絶対値 |x| := φを1つでも持っていたら0, それ以外は1 例: |(ρ, ρ, θ, ρ)|
= 1 |(ρ, φ, θ, ρ)| = 0

クラスとインスタンス(復習) • インスタンスはクラスの部分集合 • クラスは任意のW • インスタンスはWのうち、θ, ρのみで構成されるもの •
クラスを乗算することをフィルタリングと呼ぶ

最初の例に立ち返る「偶数」クラス: (σ, σ, σ, θ) インスタンス: (θ, θ,
ρ, θ), (ρ, θ, ρ, θ), (ρ, ρ, θ, θ), … ダメな例: (ρ, ρ, θ, ρ) →|(σ, σ, σ, θ)×(ρ, ρ, θ, ρ)| = |(ρ, ρ, θ, φ)| = 0

最初の例に立ち返る「8以上の数」クラス: (ρ, σ, σ, σ) インスタンス: (ρ, θ,
θ, θ), (ρ, θ, ρ, θ), (ρ, ρ, ρ, ρ), … ダメな例: (θ, ρ, θ, ρ) →|(ρ, σ, σ, σ)×(θ, ρ, θ, ρ)| = |(φ, ρ, θ, ρ)| = 0

課題無限ビットを扱うインスタンスからクラスを作る（推定する）機械学習 01列ではなく文字列を語として扱う

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IWABUCHI Yu(u)ki butchi

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集合論理ベクトルによるビット列のフィルタリング岩淵勇樹

何がしたいの？インスタンス（ビット列）を絞り込むフィルターを作りたい

着想 • ビット列は「0か1」の万能細胞から分化しているという概念 • CSSのクラスの絞り込みが元のアイデア • 正規表現に近いかも

（オブジェクト指向的）クラスとは • オブジェクトの設計図にあたるもの。 • インスタンスという具体的なオブジェクトの元となるもの。 • 抽象データ型。

（オブジェクト指向的）クラスとは Dog 名前: ? 耳: 2つ目: 2つ鼻: 1つ

class Dog() { (コンストラクタ関数) } var dog1 = new Dog();

（CSS的）クラスとは HTMLの装飾をする際に用いる、装飾すべきHTML要素を絞り込むための種別クラスなどを指定して絞り込む式のことを「セレクタ」という

（CSS的）クラスとは .hoge .piyo { margin: 10px; color: red; } セレクタ

（CSS的）クラスとは <html> <head></head> <body> <p class="class-1">強調！</p> <p class="class-2">小さい。</p> <p class="class-1

セレクタにも演算がある * すべての要素 E F 子孫 E > F 子要素

具体例「偶数」クラス: “***0” インスタンス: “0010”, “1010”, “1100”, … 「8以上の数」

具体例「8以上の偶数」クラス: “1**0” インスタンス: “1000”, “1010”, “1110”, …

前提 {φ, θ, ρ, σ}（後述）の4値を扱う論理値集合のベクトルが1つの値今回は4ビットを考える

語彙 V := {φ, θ, ρ, σ} ビットの値は φ =

加算表 ∪ φ θ ρ σ φ φ θ ρ

乗算表 ∩ φ θ ρ σ φ φ φ φ

ベクトルの加算と乗算 W: = (b 0 ,b 1 ,b 2 ,b

計算例 (φ, θ, θ, θ) + (σ, ρ, θ, φ)

単位元、零元単位元 Σ = (σ,σ,σ,σ) →オールパスフィルター a + Σ =

フィルタリングインスタンスを抽象化: (θ, θ, θ, θ) + (θ, ρ, θ,

絶対値 |x| := φを1つでも持っていたら0, それ以外は1 例: |(ρ, ρ, θ, ρ)|

クラスとインスタンス(復習) • インスタンスはクラスの部分集合 • クラスは任意のW • インスタンスはWのうち、θ, ρのみで構成されるもの •

最初の例に立ち返る「偶数」クラス: (σ, σ, σ, θ) インスタンス: (θ, θ,

最初の例に立ち返る「8以上の数」クラス: (ρ, σ, σ, σ) インスタンス: (ρ, θ,

課題無限ビットを扱うインスタンスからクラスを作る（推定する）機械学習 01列ではなく文字列を語として扱う