Sunday Math Party 31 - Collatz Problem and Integer Spiral

第31回日曜数学会 2024-10-27
「コラッツの問題と整数螺旋」

コラッツの問題（コラッツ予想）の一つのアプローチとして、3n+1→n/2の遷移、つまり約3/2倍の値の増加を、3/2ごとに一周する「整数螺旋」（造語）としてプロットすることによって整数同士のつながりが可視化できた、というお話です。

Transcript

1. コラッツの問題と整数螺旋 第31回日曜数学会 2024-10-27 岩淵夕希物智 (@butchi_y)
2. 『bion』『waon』(2008) 大学時代の数学の研究を CG作品に昇華 SNSアイコンにも使ってい たぐらいで「代表作」感が ある作品のひとつ
3. 両対数極座標…？ 16年前から 「両対数極座標」を称していたものの 具体的な定義はできていなかった
4. 両対数極座標の(改めての)定義 連続だったら r = θ のグラフは アルキメデスの螺旋 （どっちも一緒やんけ → ？） (線形)極座標: 両対数極座標: x = r cos(θ) x = log b r cos(2π log b θ) y = r sin(θ) y = log b r cos(2π log b θ)
5. 両対数極座標離散プロット 離散でプロット (r,θ) → (1,1), (2,2), (3,3), … ⇒ 違いが出てくる (線形)極座標: 両対数極座標: x = r cos(θ) x = log b r cos(2π log b θ) y = r sin(θ) y = log b r cos(2π log b θ)
6. 整数螺旋 離散プロットされた インデックスを整数として配置 して放射と螺旋が可視化される (線形)極座標: 両対数極座標:
7. 対数の底を変えてみる 黄金比を底にしたら フィボナッチ数が放射部分に現れたりする → 底ごとにいろいろな見方ができる 第22回日本フィボナッチ研究集会 「フィボナッチの放射と螺旋」 で発表 http://jfa.mathsalon.com/22ndJFAWorkshop.pdf
8. コラッツの問題 f(n): nが奇数だったら3n+1, 偶数だったらn/2 任意のnが有限回の遷移 (関数fの適用) で1に到達する ⇒ 「コラッツ予想 」 1億2000万円がもらえる未解決の懸賞金問題
9. コラッツの遷移が奇数のとき n (奇数) → 3n + 1 (必ず偶数) → (3n + 1) / 2 (奇数か偶数) 次の奇数に行くまで 約3/2mの増減 ⇒ 増えるのは約3/2の遷移 (奇数→偶数→奇数) のみ 例: 7 → 22 → 11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1
10. 約3/2倍に増える経路 対数の底を3/2にすると 約3/2倍の値の偏角が ほぼ等しくなる ⇒ 可視化できた！！！ 数値のプロット (整数螺旋) 離散プロット
11. 眺めてみる メルセンヌ数 交互
12. わかったこと 新しい法則を見つけるまでは至らなかったけれど、 法則性の道しるべになりそうな整然さが垣間見えた （カオスな挙動をシンプルに図示できる可能性） ブログ記事もご覧ください → https://blog.yu.butchi.jp/post/collatz-peak-first/
13. まとめ • 両対数極座標離散プロットを定義できた • 「整数螺旋」という自然数の可視化方法を提案 • コラッツの問題での増加列のつながりを整数螺旋上に示せた
14. 宣伝1 登壇します Mathematica研究会10周年記念発表会 → 両対数極座標離散プロットによる自然数の可視化（岩淵勇樹） 日時：2024年11月9日 13時〜19時 場所：日比谷図書文化館スタジオプラス （小ホール） 定員：60名 参加費：無料。どなたでも参加できます。 https://mathrg.jp/
15. 宣伝2 デジタルアルバムリリースしました M3 2024秋 [橙-003] 『odd gallop』 2024-10-27 on sale!!! コラッツの奇数遷移を 解析して フラクタル化 https://butchi.bandcamp.com/
16. ご静聴ありがとう ございました